Растяжение стержня под действием собственного веса

Подбор сечений с учетом собственного веса (при растяжении и сжатии).

При установлении внешних сил, растягивающих или сжимающих элементы конструкций, мы до сих пор игнорировали собственный вес этих элементов. Возникает вопрос, не вносится ли этим упрощением расчета слишком большая погрешность? В связи с этим подсчитаем величины напряжений и деформаций при учете влияния собственного веса растянутых или сжатых стержней.

Пусть вертикальный стержень (Рис.1, а) закреплен своим верхним концом; к нижнему его концу подвешен груз Р. Длина стержня l, площадь поперечного сечения F, удельный вес материала и модуль упругости Е. Подсчитаем напряжения по сечению АВ, расположенному на расстоянии от свободного конца стержня.

а) б)

Рис.1. Исходная расчетная схема бруса а) и б) равновесие нижней отсеченной части.

Рассечем стержень сечением АВ и выделим нижнюю часть длиной с приложенными к ней внешними силами (Рис.1, б) грузом Р и ее собственным весом . Эти две силы уравновешиваются напряжениями, действующими на площадь АВ от отброшенной части. Эти напряжения будут нормальными, равномерно распределенными по сечению и направленными наружу от рассматриваемой части стержня, т. е. растягивающими. Величина их будет равна:

Таким образом, при учете собственного веса нормальные напряжения оказываются неодинаковыми во всех сечениях. Наиболее напряженным, опасным, будет верхнее сечение, для которого достигает наибольшего значения l; напряжение в нем равно:

Условие прочности должно быть выполнено именно для этого сечения:

Отсюда необходимая площадь стержня равна:

От формулы, определяющей площадь растянутого стержня без учета влияния собственного веса, эта формула отличается лишь тем, что из допускаемого напряжения вычитается величина .

Чтобы оценить значение этой поправки, подсчитаем ее для двух случаев. Возьмем стержень из мягкой стали длиной 10 м; для него , а величина . Таким образом, для стержня из мягкой стали поправка составит т. е. около 0,6%. Теперь возьмем кирпичный столб высотой тоже 10 м; для него , а величина Таким образом, для кирпичного столба поправка составит , т.е. уже 15%.

Вполне понятно, что влиянием собственного веса при растяжении и сжатии стержней можно пренебрегать, если мы не имеем дела с длинными стержнями или со стержнями из материала, обладающего сравнительно небольшой прочностью (камень, кирпич) при достаточном весе. При расчете длинных канатов подъемников, различного рода длинных штанг и высоких каменных сооружений (башни маяков, опоры мостовых ферм) приходится вводить в расчет и собственный вес конструкции.

В таких случаях возникает вопрос о целесообразной форме стержня. Если мы подберем сечение стержня так, что дадим одну и ту же площадь поперечного сечения по всей длине, то материал стержня будет плохо использован; нормальное напряжение в нем дойдет до допускаемого лишь в одном верхнем сечении; во всех прочих сечениях мы будем иметь запас в напряжениях, т. е. излишний материал. Поэтому желательно так запроектировать размеры стержня, чтобы во всех его поперечных сечениях (перпендикулярных к оси) нормальные напряжения были постоянны,

Такой стержень называется стержнем равного сопротивления растяжению или сжатию. Если при этом напряжения равны допускаемым, то такой стержень будет иметь наименьший вес.

Возьмем длинный стержень, подверженный сжатию силой Р и собственным весом (Рис.2). Чем ближе к основанию стержня мы будем брать сечение, тем больше будет сила, вызывающая напряжения в этом сечении, тем большими придется брать размеры площади сечения. Стержень получит форму, расширяющуюся книзу. Площадь сечения F будет изменяться по высоте в зависимости от , т. е. .

Установим этот закон изменения площади в зависимости от расстояния сечения от верха стержня.

Рис.2. Расчетная схема бруса равного сопротивления

Площадь верхнего сечения стержня определится из условия прочности:

где допускаемое напряжение на сжатие; напряжения во всех прочих сечениях стержня также должны равняться величине

Чтобы выяснить закон изменения площадей по высоте стержня, возьмем два смежных бесконечно близких сечения на расстоянии от верха стержня; расстояние между сечениями ; площадь верхнего назовем , площадь же смежного .

Приращение площади при переходе от одного сечения к другому должно воспринять вес элемента стержня между сечениями. Так как на площади он должен вызвать напряжение, равное допускаемому , то определится из условия:

Отсюда:

После интегрирования получаем:

При площадь ; подставляя эти значения, имеем:

Отсюда

Если менять сечения точно по этому закону, то боковые грани стержня получат криволинейное очертание (Рис.2), что усложняет и удорожает работу. Поэтому обычно такому сооружению придают лишь приближенную форму стержня равного сопротивления, например в виде усеченной пирамиды с плоскими гранями. Приведенный расчет является приближенным. Мы предполагали, что по всему сечению стержня равного сопротивления передаются только нормальные напряжения; на самом деле у краев сечения напряжения будут направлены по касательной к боковой поверхности.

В случае длинных канатов или растянутых штанг форму стержня равного сопротивления осуществляют тоже приближенно, разделяя стержень по длине на ряд участков; на протяжении каждого участка сечение остается постоянным (Рис.3) получается так называемый ступенчатый стержень.

Рис.3. Эквивалентный ступенчатый брус с приближением к модели бруса равного сопротивления

Определение площадей … при выбранных длинах производится следующим образом. Площадь поперечного сечения первого нижнего участка будет по формуле равна:

Чтобы получить площадь поперечного сечения второго участка, надо нагрузить его внешней силой Р и весом первого участка:

Для третьего участка к внешней силе добавляются веса первого и второго участков. Подобным же образом поступают и для других участков.

Деформации при действии собственного веса.

При определении влияния собственного веса на деформацию при растяжении и сжатии стержней придется учесть, что относительное удлинение различных участков стержня будет переменным, как и напряжение . Для вычисления полного удлинения стержня постоянного сечения определим сначала удлинение бесконечно малого участка стержня длиной , находящегося на расстоянии от конца стержня (Рис.4).

Рис.4. Расчетная модель бруса с учетом собственного веса.

Абсолютное удлинение этого участка равно

Полное удлинение стержня равно:

Величина представляет собой полный вес стержня. Таким образом, для вычисления удлинения от действия груза и собственного веса можно воспользоваться прежней формулой:

подразумевая под S внешнюю силу и половину собственного веса стержня.

Что же касается деформаций стержней равного сопротивления, то, так как нормальные напряжения во всех сечениях одинаковы и равны допускаемым , относительное удлинение по всей длине стержня одинаково и равно

Абсолютное же удлинение при длине стержня l равно:

где обозначения соответствуют приведенным на рис.1.

Деформацию ступенчатых стержней следует определять по частям, выполняя подсчеты по отдельным призматическим участкам. При определении деформации каждого участка учитывается не только его собственный вес, но и вес тех участков, которые влияют на его деформацию, добавляясь к внешней силе. Полная деформация получится суммированием деформаций отдельных участков.

Дальше…

Источник

Глава 2. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ УПРУГОГО РАВНОВЕСИЯ

В этой главе рассматриваются наиболее простые случаи распределения напряжений в анизотропных телах, преимущественно в стержнях и пластинках. Формулы для составляющих напряжений и перемещения мы приводим без вывода, так как они получаются элементарным путем. Во всех случаях, рассмотренных в этой главе (а также и в последующих), принимается во внимание известный принцип Сен-Венана, позволяющий значительно упростить в ряде случаев постановку задач.

§ 12. Растяжение стержня под действием осевой силы и собственного веса

Простейшей задачей теории упругости является задача о растяжении стержня осевой силой, приложенной к концу. Эта задача была рассмотрена еще Фойгтом ([38], стр. 631) и более подробно А. Л. Рабиновичем [85]. Рассмотрим цилиндрический или призматический стержень, изготовленный из однородного материала, обладающего анизотропией (прямолинейной) самого общего вида. Пусть один конец его закреплен, а к другому приложены усилия, приводящиеся к равнодействующей направленной вдоль оси стержня. Поместим начало координат в центре тяжести закрепленного сечения, ось z направим по оси стержня, а оси х и у направим произвольно (рис. 17). Обозначим через длину и площадь поперечного сечения недеформированного стержня и через — упругие

постоянные (коэффициенты деформации) из уравнений, выражающих обобщенный закон Гука, которые в этом общем случае будут иметь вид (3.8). Собственный вес пока не будем принимать во внимание.

Если допустить, что усилия по нижнему концу и реакции по верхнему концу распределены равномерно и нормальны к плоскостям крайних сечений, то составляющие напряжений и деформации, удовлетворяющие уравнениям равновесия упругого тела (11.1) и условиям на поверхности, определятся по формулам

Рис. 17.

Определяя перемещения путем интегрирования, получим

Здесь постоянные, характеризующие «жесткое» перемещение тела в пространстве, не сопровождаемое деформацией; первые три характеризуют перемещения при повороте вокруг осей координат, а вторые три — поступательные перемещения вдоль осей. Эти постоянные мы определим из условий закрепления стержня. Считая закрепленным бесконечно малый элемент на оси z около начала координат, имеем при

условия:

Удовлетворяя им, получим

Формулы (12.2) показывают, что в общем случае анизотропии стержень не только удлиняется в направлении силы и сокращается в поперечных направлениях, но еще испытывает сдвиги во всех плоскостях, параллельных координатным. Эти сдвиги характеризуются коэффициентами которые выражаются через модули Юнга или сдвига и коэффициенты взаимного влияния первого и второго рода:

Рис. 18.

Поперечные сечения остаются плоскими, но вследствие сдвигов наклоняются к линии действия силы. Стержень, который имеет форму прямоугольного параллелепипеда, деформируясь, станет косоугольным параллелепипедом (рис. 18). Абсолютное удлинение стержня (точнее, его оси), равно:

Если в каждой точке имеется плоскость упругой симметрии, нормальная к оси, то

у стержня в виде прямоугольного параллелепипеда боковые грани останутся прямоугольными, а углы поперечного сечения изменятся. Наконец, если стержень является ортотропным, т. е. имеет еще плоскости упругой симметрии, параллельные оси, то удлинение не будет сопровождаться сдвигами и углы граней параллелепипеда не исказятся.

Все формулы справедливы, строго говоря, только для одного специального случая распределения усилий и реакций. Но на основании принципа Сен-Венана ими можно пользоваться и в случае усилий, приводящихся к силам распределенным по концам произвольно; нужно только исключить из рассмотрения узкие области около концов, где основная картина напряжений и деформаций будет искажена вследствие местных напряжений и деформаций, зависящих от закона распределения усилий и от способа закрепления. Это замечание относится и к другим случаям деформации стержней, а также и пластинок.

Если стержень, изображенный на рис. 17 (закрепленный в вертикальном положении), деформируется только под действием собственного веса, то мы получим ([38], § 331)

где у — удельный вес материала.

Принимая, что верхний конец закреплен так же, как и у стержня, растягиваемого силой, т. е. перемещения удовлетворяют условиям (12.4), получим

Отсюда видно, что поперечные сечения не остаются плоскими, а принимают форму поверхности второго порядка. В общем случае анизотропии ось искривляется и уравнение изогнутой оси будет

При этом центр нижнего конца перемещается не только вдоль оси но и в стороны, и проекции перемещения его

на оси координат определяются по формулам

Если же стержень закреплен так, что центр нижней поверхности остается на вертикали, то перемещение его по вертикали будет прежним (см. третью формулу (12.12)), а ось стержня примет форму кривой

Искривления оси не будет только в том случае, когда постоянные равны нулю (например, когда имеется плоскость упругой симметрии, нормальная к оси).

Как показывают формулы (12.1) и (12.9), распределение напряжений в растянутом анизотропном стержне совпадает с распределением в таком же стержне из изотропного материала, т. е. не зависит от упругих свойств. Влияние анизотропии сказывается лишь на деформациях. Это относится не только к случаю растяжения, но и ко всем другим случаям, рассмотренным в настоящей главе.

Источник

Макеты страниц

Если — удельный вес стержня (рис. 143), то объемные силы будут равны

Дифференциальные уравнения равновесия (123) удовлетворяются, если положить

т. е. принять, что в каждом поперечном сечении мы имеем равномерное растяжение, вызываемое весом нижележащей части стержня. Легко видеть, что граничные условия на боковой поверхности, которая свободна от напряжений, удовлетворяются. Граничные условия дают нулевые напряжения для нижнего конца стержня, а для верхнего конца — равномерное распределенное растягивающее напряжение , где — длина стержня.

Рис. 143.

Условия совместности (126) также удовлетворяются решением таким образом, это корректное решение задачи для равномерного распределения усилий в верхнем сечении. Оно совпадает с решением, которое обычно дается в элементарных курсах сопротивления материалов.

Рассмотрим теперь перемещения (см. § 86). Из закона Гука используя уравнения (3) и (6), находим

Перемещения можно теперь найти путем интегрирования уравнений Уравнение (в) дает

где — функция от х и у, которая подлежит определению. Подставляя (е) во второе и третье уравнения (д), получаем

откуда

где суть функции только от х и у. Подставляя выражение (ж) в уравнения (г), получаем

Учитывая, что не зависят от уравнениям (и) можно удовлетворить только в том случае, если принять

Подставляя выражения (ж) для в первое из уравнений (д), находим

дхду Так как не зависят от то имеем

Из уравнений (к) и (л) можно теперь выписать общие выражения для функций Легко показать, что все эти уравнения удовлетворяются, если положить

где — произвольные постоянные. Теперь из уравнений (е) и (ж) следуют общие выражения для перемещений

Шесть произвольных постоянных можно определить из условий на опорном сечении. Опирание должно быть таким, чтобы воспрепятствовать любому движению стержня как абсолютно твердого тела. Чтобы воспрепятствовать поступательному движению стержня, закрепим центр тяжести верхнего конца А так, чтобы при выполнялось Чтобы исключить вращение стержня относительно осей, проходящих через точку А и параллельных осям х и у, закрепим элемент оси z в точке А. Тогда в этой точке Возможность вращения относительно оси z исключается в силу закрепления элементарной площадки, проходящей через точку А и параллельной плоскости Тогда в точке А. Используя уравнения (м), придаем шести условиям в точке А вид

Отсюда

и окончательные выражения для перемещений будут

Можно видеть, что точки на оси z имеют только вертикальные перемещения

Ввиду поперечного сужения другие точки стержня имеют не только вертикальные, но горизонтальные перемещения. Линии, параллельные до деформации оси z, после деформации становятся наклонными к этой оси; форма стержня после деформации показана на рис. 143 штриховыми линиями. Поперечные сечения стержня, перпендикулярные к оси z, после деформации искривляются, образуя параболическую поверхность. Точки поперечного сечения например, после деформации оказываются на поверхности

Эта поверхность перпендикулярна ко всем продольным волокнам стержня, которые после деформации приобретают наклон по отношению к оси z, так что деформация сдвига отсутствуют.

Источник

Рис.4. Расчетная модель бруса с учетом собственного веса.

Абсолютное удлинение этого участка равно

Полное удлинение стержня равно:

подразумевая под S внешнюю силу и половину собственного веса стержня.

Абсолютное же удлинение при длине стержня l равно:

где обозначения соответствуют приведенным на рис.1.

Лекция № 15. Расчет гибких нитей.

В технике встречается еще один вид растянутых элементов, при определении прочности которых важное значение имеет собственный вес. Это — так называемые гибкие нити. Таким термином обозначаются гибкие элементы в линиях электропередач, в канатных дорогах, в висячих мостах и других сооружениях.

Пусть (Рис.1) имеется гибкая нить постоянного сечения, нагруженная собственным весом и подвешенная в двух точках, находящихся на разных уровнях. Под действием собственного веса нить провисает по некоторой кривой АОВ.

Горизонтальная проекция расстояния между опорами (точками ее закрепления), обозначаемая , носит название пролета.

Нить имеет постоянное сечение, следовательно, вес ее распределен равномерно по ее длине. Обычно провисание нити невелико по сравнению с ее пролетом, и длина кривой АОВ мало отличается (не более чем на 10%) от длины хорды АВ. В этом случае с достаточной степенью точности можно считать, что вес нити равно- мерно распределен не по ее длине, а по длине ее проекции на горизонтальную ось, т. е. вдоль пролета l.

Рис.1. Расчетная схема гибкой нити.

Эту категорию гибких нитей мы и рассмотрим. Примем, что интенсивность нагрузки, равномерно распределенной по пролету нити, равна q. Эта нагрузка, имеющая размерность сила/длина, может быть не только собственным весом нити, приходящимся на единицу длины пролета, но и весом льда или любой другой нагрузкой, также равномерно распределенной. Сделанное допущение о законе распределения нагрузки значительно облегчает расчет, но делает его вместе с тем приближенным; если при точном решении (нагрузка распределена вдоль кривой) кривой провисания будет цепная линия, то в приближенном решении кривая провисания оказывается квадратной параболой.

Начало координат выберем в самой низшей точке провисания нити О, положение которой, нам пока неизвестное, очевидно, зависит от величины нагрузки q, от соотношения между длиной нити по кривой и длиной пролета, а также от относительного положения опорных точек. В точке О касательная к кривой провисания нити, очевидно, горизонтальна. По этой касательной направим вправо ось .

Вырежем двумя сечениями — в начале координат и на расстоянии от начала координат (сечение m — n) — часть длины нити. Так как нить предположена гибкой, т. е. способной сопротивляться лишь растяжению, то действие отброшенной части на оставшуюся возможно только в виде силы, направленной по касательной к кривой провисания нити в месте разреза; иное направление этой силы невозможно.

На рис.2 представлена вырезанная часть нити с действующими на нее силами. Равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q направлена вертикально вниз. Воздействие левой отброшенной части (горизонтальная сила Н) направлено, ввиду того, что нить работает на растяжение, влево. Действие правой отброшенной части, сила Т, направлено вправо по касательной к кривой провисания нити в этой точке.

Cоставим уравнение равновесия вырезанного участка нити. Возьмем сумму моментов всех сил относительно точки приложения силы Т и приравняем ее нулю. При этом учтем, опираясь на приведенное в начале допущение, что равнодействующая распределенной нагрузки интенсивностью q будет , и что она приложена посредине отрезка . Тогда

Рис.2. Фрагмент вырезанной части гибкой нити

откуда

(1)

Отсюда следует, что кривая провисания нити является параболой. Когда обе точки подвеса нити находятся на одном уровне, то Величина в данном случае будет так называемой стрелой провисания. Ее легко определить. Так как в этом случае, ввиду симметрии, низшая точка нити находится посредине пролита, то ; подставляя в уравнение (1) значения и получаем:

(2)

Из этой формулы находим величину силы Н:

(3)

Величина Н называется горизонтальным натяжением нити.

Таким образом, если известны нагрузка q и натяжение H, то по формуле (2) найдем стрелу провисания . При заданных и натяжение Н определяется формулой (3). Связь этих величин с длиной нити по кривой провисания устанавливается при помощи известной из математики приближенной формулы)

Составим еще одно условие равновесия вырезанной части нити, а именно, приравняем нулю сумму проекций всех сил на ось :

Из этого уравнения найдем силу Т — натяжение в произвольной точке

Откуда следует, что сила Т увеличивается от низшей точки нити к опорам и будет наибольшей в точках подвеса — там, где касательная к кривой провисания нити составляет наибольший угол с горизонталью. При малом провисании нити этот угол не достигает больших значений, поэтому с достаточной для практики степенью точности можно считать, что усилие в нити постоянно и равно ее натяжению Н. На эту величину обычно и ведется расчет прочности нити. Если все же требуется вести расчет на наибольшую силу у точек подвеса, то для симметричной нити ее величину определим следующим путем. Вертикальные составляющие реакций опор равны между собой и равны половине суммарной нагрузки на нить, т. е. . Горизонтальные составляющие равны силе Н, определяемой по формуле (3). Полные реакции опор получатся как геометрические суммы этих составляющих:

Условие прочности для гибкой нити, если через F обозначена площадь сечения, имеет вид:

Заменив натяжение Н его значением по формуле (3), получим:

Из этой формулы при заданных , , и можно определить необходимую стрелу провисания . Решение при этом упростится, если в включен лишь собственный вес; тогда , где — вес единицы объема материала нити, и

т. е. величина F не войдет в расчет.

Если точки подвеса нити находятся на разных уровнях, то, подставляя в уравнение (1) значения и , находим и :

Отсюда из второго выражения определяем натяжение

а деля первое на второе, находим:

или

Имея в виду, что , получаем:

или

Подставив это значение в формулу определенного натяжения Н, окончательно определяем:

(6.15)

Два знака в знаменателе указывают на то, что могут быть две основные формы провисания нити. Первая форма при меньшем значении Н (знак плюс перед вторым корнем) дает нам вершину параболы между опорами нити. При большем натяжении Н (знак минус перед вторым корнем) вершина параболы расположится левее опоры А (Рис.1). Получаем вторую форму кривой. Возможна и третья (промежуточная между двумя основными) форма провисания, соответствующая условию ; тогда начало координат совмещается с точкой А. Та или иная форма будет получена в зависимости от соотношений между длиной нити по кривой провисания АОВ (Рис.1) и длиной хорды АВ.

Если при подвеске нити на разных уровнях неизвестны стрелы провисания и , но известно натяжение Н, то легко получить значения расстояний а и b и стрел провисания, и . Разность h уровней подвески равна:

Подставим в это выражение значения и , и преобразуем его, имея в виду, что :

откуда

а так как то

Следует иметь в виду, что при будет иметь место первая форма провисания нити, при — вторая форма провисания и при — третья форма. Подставляя значения и в выражения для стрел провисания и , получаем величины и :

Теперь выясним, что произойдет с симметричной нитью, перекрывающей пролет , если после подвешивания ее при температуре и интенсивности нагрузки температура нити повысится до а нагрузка увеличится до интенсивности (например, из-за ее обледенения). При этом предположим, что в первом состоянии задано или натяжение , или стрела провисания (Зная одну из этих двух величин, всегда можно определить другую.)

При подсчете деформации нити, являющейся по сравнению с длиной нити малой величиной, сделаем два допущения: длина нити ‘равна ее пролету, а натяжение постоянно и равно Н. При пологих нитях эти допущения дают небольшую погрешность.

В таком случае удлинение нити, вызванное увеличением температуры, будет равно

где — коэффициент линейного температурного расширения материала нити.

При повышении температуры нить удлиняется. В связи с этим увеличится ее стрела провисания и, как следствие, уменьшится ее натяжение. С другой стороны, из-за увеличения нагрузки, как видно из формулы (3), натяжение увеличится. Допустим, что окончательно натяжение увеличивается. Тогда удлинение нити, вызванное увеличением натяжения, будет, согласно закону Гука, равно:

Если окажется меньше, чем то величина будет отрицательной. При понижении температуры будет отрицательной величина .

Таким образом, длина нити во втором ее состоянии будет равна длине при первом ее состоянии с добавлением тех деформаций, которые произойдут от повышения температуры и натяжения:

Изменение длины нити вызовет изменение и ее стрелы провисания. Вместо, она станет .

Теперь заменим в последнем уравнении и их известными выражениями, а деформации и — также их полученными ранее значениями. Тогда уравнение для S2примет следующий вид:

В этом уравнении заменим и их значениями по формуле (2):

Тогда, после некоторых преобразований, уравнение для расчета натяжения может быть написано в виде:

Определив из этого уравнения натяжение , можно найти по формуле (2) и стрелу .

В случае, если при переходе от первого ко второму состоянию нагрузка не изменяется, а изменяется лишь температура, то в последнем уравнении интенсивность заменяется на . В случае, если при переходе от первого ко второму состоянию не изменяется температура, а изменяется лишь нагрузка, то в этом уравнении средний член в квадратной скобке равен нулю. Полученное уравнение пригодно, конечно, и при понижении температуры и уменьшении нагрузки.

В тех случаях, когда стрела провисания не является малой по сравнению с пролетом, выведенные выше формулы, строго говоря, неприменимы, так как действительная кривая провисания нити, цепная линия, будет уже значительно отличаться от параболы, полученной нами благодаря предположению о равномерном распределении нагрузки по пролету нити, а не по ее длине, как то имеет место в действительности.

Точные подсчеты показывают, что значение погрешности в величине натяжения Н, вызванной этим предположением, таково: при отношении погрешность не превосходит 0,3%, при ошибка составляет уже 1,3%, а при погрешность несколько, превосходит 5%.

Лекция № 16. Геометрические характеристики плоских сечений.

Источник