Растяжение пружины в положении равновесия бруска

2017-05-21   
К вертикальной невесомой пружине, верхний конец которой закреплен, подвешен груз массы $m = 0,1 кг$. Жесткость пружины $k = 40 Н/м$. Определить период вертикальных колебаний системы, которые возникнут, если вывести груз из положения равновесия. Определить амплитуду колебаний и начальную фазу, если в момент $t = 0$ груз оттянуть вниз на расстояние $x_{1} = 10 см$ и сообщить ему начальную скорость $v_{1} = 3,5 м/с$, направленную вниз (вверх).

Решение:

Задача практически состоит из двух самостоятельных частей. Анализ ее и решение также будут содержать легко прослеживаемые две части.

Период колебаний можно определить только в случае, если груз, движущийся поступательно, совершает гармонические колебания. Это значит, что ускорение груза должно быть прямо пропорционально его смещению от положения равновесия и направлено в противоположную сторону.

В процессе движения на груз действуют две силы: тяжести и упругости пружины. Сила упругости пружины однозначно определяется растяжением или сжатием пружины, т. е. смещением ее незакрепленного конца. Если ввести ось ОХ (рис.), то координата х груза равна смещению конца пружины от прямой $AA^{ prime}$ — уровня, на котором находился конец пружины в положении равновесия. Тогда полное растяжение пружины равно $x + s_{0}$ и сила упругости

$f_{x} = — k (x + s_{0})$, (1)

где $s_{0}$ — растяжение пружины, при котором груз находился в положении устойчивого равновесия, когда

$ks_{0} = mg$. (2)

Поскольку обе силы (тяжести и упругости) направлены вдоль оси ОХ, уравнение движения для груза можно записать сразу в скалярном виде:

$m ddot{x} = mg — k (x + s_{0})$.

Раскрывая скобки и учитывая равенство (2), получаем

$m ddot{x} = — kx$. (3)

Это и есть дифференциальное уравнение гармонического колебания, которое позволяет однозначно определить период колебаний.

Амплитуду колебаний $X_{0}$ можно найти, рассматривая изменение энергии при переходе из положения, в котором система находилась в момент $t = 0$, в положение, при котором $x = X_{0}$. Полная энергия системы состоит из кинетической энергии груза, потенциальной энергии груза в поле тяготения Земли (пружина невесома, поэтому речь идет только о грузе) и потенциальной энергии упругой деформации. Поскольку диссипативных сил нет и никакие внешние силы на систему груз—пружина не действуют, полная энергия системы при рассматриваемом переходе остается постоянной:

$Delta K + Delta U_{тяг} + Delta U_{упр} = 0$. (4)

После определения амплитуды колебаний начальную фазу $alpha_{0}$ можно найти, если выразить координату $x$ и скорость $v_{x}$ как функции времени и приравнять эти выражения при $t = 0$ значениям $x_{1}$ и $v_{1x}$, данным в условии задачи.

Уравнение (3) показывает, что тело заданной массы совершает гармонические колебания относительно положения равновесия с циклической частотой $omega = sqrt{k/m}$ и периодом $T = 2 pi sqrt{ m/k} = 0,31 с$.

Найдем каждое из слагаемых, входящих в уравнение (4). В начальном положении ($t = 0$), как следует из условия задачи, $x = x_{1}, v_{x} = v_{1x}$. В конечном положении $x = X_{0}, v_{x} = 0$. Следовательно, при этом переходе

$Delta K = — mv_{1}^{2}/2, Delta U_{тяг} = — mg (X_{0} — x_{1})$, (5)

$Delta U_{упр} = k (X_{0} + s_{0})^{2}/2 — k(x_{1} + s_{0})^{2}/2$.

Выражение потенциальной энергии деформации объясняется тем, что растяжение пружины при любом положении тела больше, чем его координата $x$ (для $x > 0$) на $s_{0}$.

Прежде чем подставлять выражения (5) в (4), рассмотрим отдельно изменение потенциальной энергии системы:

$Delta U_{тяг} + Delta U_{упр} = -mg (X_{0} — x_{1}) + kX_{0}^{2} /2 — kx_{1}^{2} /2 + ks_{0} (X_{0} — x_{1})$

(члены, содержащие $s_{0}^{2}$, взаимно уничтожаются). Учитывая равенство (2), получаем

$Delta U = Delta U_{тяг} + Delta U_{упр} = kX_{0}^{2}/2 — kx_{1}^{2}/2$. (6)

Можно показать, что найденное изменение потенциальной энергии равно взятой с обратным знаком работе результирующей силы при переходе тела от $x = x_{1}$, к $x = X_{0}$:

$f_{x ~ рез} = — kx, dA = — kx dx$,

$Delta U = -A = int_{x_{1}}^{X_{0}} kx dx = kX_{0}^{2}/2 — kx_{1}^{2}/2$.

Такой результат справедлив для любого гармонического осциллятора: изменение потенциальной энергии равно взятой с обратным знаком работе результирующей квазиупругой силы.

Подставив первое из выражений (5) и (6) в (4), получим

$- mv_{1}^{2}/2 + kX_{0}^{2}/2 — kx_{1}^{2}/2 = 0$,

откуда

$X_{0} = sqrt{mv_{1}^{2} / k + x_{1}^{2}} = 0,2 м$.

Запишем теперь выражения для $x(t)$ и $v_{x}(t)$:

$x = X_{0} sin ( omega t + alpha_{0})$,

$v_{x} = dot{x} = X_{0} omega cos ( omega t + alpha_{0})$.

При $t = 0$

$x(0) = X_{0} sin alpha_{0} = x_{1}, v_{x}(0) = X_{0} omega cos alpha_{0} = pm v_{1}$. (7)

Следовательно, $alpha_{0} = arcsin (x_{1}/X_{0}) = pi /6$ (или $5 pi/6$). Знак «+» в выражении (7) соответствует направлению скорости $v_{1}$ вниз. В этом случае $X_{0} omega cos alpha_{0} > 0$. Следовательно, $alpha_{0} = pi /6$. Если скорость $v_{1}$ направлена вверх, то $v_{1x} = — v_{1}, X_{0} omega cos alpha_{0}

Глава 3. Силы в механике

При решении задач по этой теме надо иметь в виду, что закон Гука справедлив только при упругих деформациях тел. Сила упругости не зависит от того, какая происходит деформация: сжатия или растяжения, она одинакова при одинаковых Δl. Кроме этого, считается, что сила упругости вдоль всей пружины одинакова, так как масса пружины обычно не учитывается.

Задача 1. При помощи пружинного динамометра поднимают с ускорением а = 2,5 м/с2, направленным вверх, груз массой m = 2 кг. Определите модуль удлинения пружины динамометра, если её жёсткость k = 1000 Н/м.

Р е ш е н и е. Согласно закону Гука, выражающему связь между модулем внешней силы , вызывающей растяжение пружины, и её удлинением, имеем F = kΔl. Отсюда

Для нахождения силы воспользуемся вторым законом Ньютона. На груз, кроме силы тяжести m, действует сила упругости пружины, равная по модулю F и направленная вертикально вверх. Согласно второму закону Ньютона m = F + m.

Направим ось OY вертикально вверх так, чтобы пружина была расположена вдоль этой оси (рис. 3.16). В проекции на ось OY второй закон Ньютона можно записать в виде mау = Fy + mgy.

Так как ау = a, gy = -g и Fy = F, то F = mа + mg = m(а + g).

Следовательно,

Задача 2. Определите, как изменяется сила натяжения пружины, прикреплённой к бруску массой m = 5 кг, находящемуся неподвижно на наклонной поверхности, при изменении угла наклона от 30° до 60°. Трение не учитывайте.

Р е ш е н и е. На брусок действуют сила тяжести, сила натяжения пружины и сила реакции опоры (рис. 3.17).

Условие равновесия бруска: m + + yпp = 0.

Запишем это условие в проекциях на оси ОХ и OY:

Из первого уравнения системы получим Fyпp = mg sinα.

При изменении угла наклона изменение силы упругости найдём из выражения ΔFyпp = mg(sinα2 — sinα1) = 5 • 10 • (0,866 — 0,5) (Н) = 18,3 Н.

Задача 3. К потолку подвешены последовательно две невесомые пружины жёсткостями 60 Н/м и 40 Н/м. К нижнему концу второй пружины прикреплён груз массой 0,1 кг. Определите жёсткость воображаемой пружины, удлинение которой было бы таким же, как и двух пружин при подвешивании к ней такого же груза (эффективную жёсткость).

Р е ш е н и е. Так как весом пружин можно пренебречь, то очевидно, что силы натяжения пружин равны (рис. 3.18). Тогда согласно закону Гука

Fynp1 = Fупр2; k1x1 = k2х2.                     (1)

На подвешенный груз действуют две силы — сила тяжести и сила натяжения второй пружины.

Условие равновесия груза запишем в виде mg = k2х2.

Из этого уравнения найдём удлинение

Подставив выражение для х2 в уравнение (1), получим для удлинения

Определим теперь эффективную жёсткость. Запишем закон Гука для воображаемой пружины:

Подставив в формулу (2) выражения для удлинений x1 и х2 пружин, получим

Для эффективной жёсткости получим выражение

Задача 4. Через блок, закреплённый у края стола, перекинута нерастяжимая нить, к концам которой привязаны брусок массой m1 = 1 кг, находящийся на горизонтальной поверхности стола, и пружина жёсткостью k = 50 Н/м, расположенная вертикально. Ко второму концу пружины привязана гиря массой m2 = 200 г (рис. 3.19). Определите удлинение пружины при движении тел. Силу трения, массы пружины, блока и нити не учитывайте.

Р е ш е н и е. На брусок действуют сила тяжести, сила реакции опоры и сила натяжения нити.

На гирю действуют сила тяжести и сила натяжения пружины.

Согласно второму закону Ньютона для бруска и гири запишем:

m11 = m1 + + ;

m22 = m + упр.

В проекциях на выбранные оси координат запишем: на ось ОХ: m1а1 = Т;

на ось OY:

Так как нить нерастяжима, то модули ускорений равны: а1 = а2 = а.

В силу условия малых масс пружины, нити и блока можно записать: T2 = Fупр и Т1 = Т2 = Т.

Учтя последние равенства, систему уравнений (1) запишем в виде

Выразив ускорение из первого уравнения системы и подставив его во второе, получим Из этого уравнения найдём силу натяжения нити:

Так как согласно закону Гука Fупр = kx, то

Тогда удлинение пружины

Задачи для самостоятельного решения

1. К динамометру привязан груз массой 2 кг. Динамометр с грузом опускают с ускорением 3 м/с2. Жёсткость пружины 103 Н/м. Определите модуль растяжения пружины динамометра.

2. К бруску массой 1 кг, находящемуся на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплены две пружины (рис. 3.20). Жёсткость правой пружины 2 • 103 Н/м, левой — в 2 раза меньше. Чему равно отношение удлинений пружин в случае, когда брусок неподвижен?

3. Ящик массой 100 кг удерживается на наклонной плоскости на высоте 0,5 м закреплённой у основания пружиной, жёсткость которой равна 104 Н/м (рис. 3.21). Определите длину пружины в недеформированном сотоянии. Угол у основания наклонной плоскости равен 30°. Трением можно пренебречь.

4. К нижнему концу лёгкой пружины подвешены связанные невесомой нитью грузы: верхний массой m1 = 0,5 кг и нижний массой m2 = 0,2 кг. Нить, соединяющую грузы, пережигают. Определите проекцию ускорения на направленную вниз ось OY, с которым начнёт двигаться верхний груз.