Растяжение пружины в положении равновесия

2017-05-21   
К вертикальной невесомой пружине, верхний конец которой закреплен, подвешен груз массы $m = 0,1 кг$. Жесткость пружины $k = 40 Н/м$. Определить период вертикальных колебаний системы, которые возникнут, если вывести груз из положения равновесия. Определить амплитуду колебаний и начальную фазу, если в момент $t = 0$ груз оттянуть вниз на расстояние $x_{1} = 10 см$ и сообщить ему начальную скорость $v_{1} = 3,5 м/с$, направленную вниз (вверх).

Решение:

Задача практически состоит из двух самостоятельных частей. Анализ ее и решение также будут содержать легко прослеживаемые две части.

Период колебаний можно определить только в случае, если груз, движущийся поступательно, совершает гармонические колебания. Это значит, что ускорение груза должно быть прямо пропорционально его смещению от положения равновесия и направлено в противоположную сторону.

В процессе движения на груз действуют две силы: тяжести и упругости пружины. Сила упругости пружины однозначно определяется растяжением или сжатием пружины, т. е. смещением ее незакрепленного конца. Если ввести ось ОХ (рис.), то координата х груза равна смещению конца пружины от прямой $AA^{ prime}$ — уровня, на котором находился конец пружины в положении равновесия. Тогда полное растяжение пружины равно $x + s_{0}$ и сила упругости

$f_{x} = — k (x + s_{0})$, (1)

где $s_{0}$ — растяжение пружины, при котором груз находился в положении устойчивого равновесия, когда

$ks_{0} = mg$. (2)

Поскольку обе силы (тяжести и упругости) направлены вдоль оси ОХ, уравнение движения для груза можно записать сразу в скалярном виде:

$m ddot{x} = mg — k (x + s_{0})$.

Раскрывая скобки и учитывая равенство (2), получаем

$m ddot{x} = — kx$. (3)

Это и есть дифференциальное уравнение гармонического колебания, которое позволяет однозначно определить период колебаний.

Амплитуду колебаний $X_{0}$ можно найти, рассматривая изменение энергии при переходе из положения, в котором система находилась в момент $t = 0$, в положение, при котором $x = X_{0}$. Полная энергия системы состоит из кинетической энергии груза, потенциальной энергии груза в поле тяготения Земли (пружина невесома, поэтому речь идет только о грузе) и потенциальной энергии упругой деформации. Поскольку диссипативных сил нет и никакие внешние силы на систему груз—пружина не действуют, полная энергия системы при рассматриваемом переходе остается постоянной:

$Delta K + Delta U_{тяг} + Delta U_{упр} = 0$. (4)

После определения амплитуды колебаний начальную фазу $alpha_{0}$ можно найти, если выразить координату $x$ и скорость $v_{x}$ как функции времени и приравнять эти выражения при $t = 0$ значениям $x_{1}$ и $v_{1x}$, данным в условии задачи.

Уравнение (3) показывает, что тело заданной массы совершает гармонические колебания относительно положения равновесия с циклической частотой $omega = sqrt{k/m}$ и периодом $T = 2 pi sqrt{ m/k} = 0,31 с$.

Найдем каждое из слагаемых, входящих в уравнение (4). В начальном положении ($t = 0$), как следует из условия задачи, $x = x_{1}, v_{x} = v_{1x}$. В конечном положении $x = X_{0}, v_{x} = 0$. Следовательно, при этом переходе

$Delta K = — mv_{1}^{2}/2, Delta U_{тяг} = — mg (X_{0} — x_{1})$, (5)

$Delta U_{упр} = k (X_{0} + s_{0})^{2}/2 — k(x_{1} + s_{0})^{2}/2$.

Выражение потенциальной энергии деформации объясняется тем, что растяжение пружины при любом положении тела больше, чем его координата $x$ (для $x > 0$) на $s_{0}$.

Прежде чем подставлять выражения (5) в (4), рассмотрим отдельно изменение потенциальной энергии системы:

$Delta U_{тяг} + Delta U_{упр} = -mg (X_{0} — x_{1}) + kX_{0}^{2} /2 — kx_{1}^{2} /2 + ks_{0} (X_{0} — x_{1})$

(члены, содержащие $s_{0}^{2}$, взаимно уничтожаются). Учитывая равенство (2), получаем

$Delta U = Delta U_{тяг} + Delta U_{упр} = kX_{0}^{2}/2 — kx_{1}^{2}/2$. (6)

Можно показать, что найденное изменение потенциальной энергии равно взятой с обратным знаком работе результирующей силы при переходе тела от $x = x_{1}$, к $x = X_{0}$:

$f_{x ~ рез} = — kx, dA = — kx dx$,

$Delta U = -A = int_{x_{1}}^{X_{0}} kx dx = kX_{0}^{2}/2 — kx_{1}^{2}/2$.

Такой результат справедлив для любого гармонического осциллятора: изменение потенциальной энергии равно взятой с обратным знаком работе результирующей квазиупругой силы.

Подставив первое из выражений (5) и (6) в (4), получим

$- mv_{1}^{2}/2 + kX_{0}^{2}/2 — kx_{1}^{2}/2 = 0$,

откуда

$X_{0} = sqrt{mv_{1}^{2} / k + x_{1}^{2}} = 0,2 м$.

Запишем теперь выражения для $x(t)$ и $v_{x}(t)$:

$x = X_{0} sin ( omega t + alpha_{0})$,

$v_{x} = dot{x} = X_{0} omega cos ( omega t + alpha_{0})$.

При $t = 0$

$x(0) = X_{0} sin alpha_{0} = x_{1}, v_{x}(0) = X_{0} omega cos alpha_{0} = pm v_{1}$. (7)

Следовательно, $alpha_{0} = arcsin (x_{1}/X_{0}) = pi /6$ (или $5 pi/6$). Знак «+» в выражении (7) соответствует направлению скорости $v_{1}$ вниз. В этом случае $X_{0} omega cos alpha_{0} > 0$. Следовательно, $alpha_{0} = pi /6$. Если скорость $v_{1}$ направлена вверх, то $v_{1x} = — v_{1}, X_{0} omega cos alpha_{0}

Теория периодичности относится к общей физике. Повторяемость некоторых процессов в течение времени определяют с помощью различных величин, например, угла, напряжённости, температуры. Для изучения явления удобно использовать маятник. Одним из его видов является пружина с грузом. Колебания в такой системе зависят от периода, частоты и амплитуды. Узнать эти параметры можно, зная начальные условия и уравнения, описывающие механическую работу.

Общие сведения

Колебания — это изменения какой-либо величины в точности или приблизительно повторяющиеся во времени. Если рассматривать процесс, с точки зрения механики, то он описывается положением тела. Повторение в точности является периодическим. Математически это можно записать формулой: x (t + T) = x (t), где T — время, в течение которого совершается одно полное колебание (период). Число циклов принято обозначать буквой N. Его находят как отношение времени к периоду: N = t / T.

При исследовании процесса не всегда бывает удобно оперировать временем, поэтому часто используют число колебаний за единицу времени. Эта величина называется частотой. Находят её количество по формуле: f = 1 / T. Доказать справедливость приведённого равенства просто. Число колебаний зависит от времени и частоты: N = f * t. Отсюда: f = N / t = (t / T) / t = 1 / T.

Очень важно не только понимать суть характеристик колебания, но и знать единицы его измерения. Вот основные из них:

• период — секунды (с);
• частота — герцы (Гц);
• число колебаний — безразмерная величина.

Если в течение времени меняется и координата, то периодически будет изменяться и скорость. Значит: vx (t + T) = Vx (t).

Исходя из верности равенства, можно сказать, что условие периодичности будет справедливо и для проекции, то есть изменения ускорения. Отсюда следует, что сила действующая на тело тоже будет переменной: Fx (t + T) = Fx (t).

При процессе также происходит изменение потенциальной и кинетической энергий. Действительно, так как в процессе колебания скорость не является постоянной величиной, то соответственно будет меняться кинетическая работа. Потенциальная же энергия зависит от координат. Например, если рассмотреть период колебаний пружинного маятника, то за это время тело переместится из нижнего положения в верхнее и вернётся обратно. Значит, координата физического объекта изменится от нуля до какого-то граничного значения.

Следует отметить, что периодичные движения обязательно будут происходить в той системе, в которой есть положение равновесия. Причём оно должно быть устойчивым. То есть существует равнодействующая сила, стремящаяся привести объект в положение, соответствующее покою. Поэтому для поддержания отклонений нужна дополнительная сила. Колебательную систему (осциллятор) под действием вынужденной периодической силы называют вынужденной.

Пружинный маятник

Это устройство является простейшим примером свободных колебаний. В его состав входит кронштейн, пружина и груз. В качестве последнего может выступать любое физическое тело. Масса пружины по сравнению с грузом считается малой и при исследованиях не учитывается.

При изучении такой системы важной задачей является измерение периода движения тела, подвешенного к пружине. Определение понятию пружинного маятника, которое даётся в учебниках по физике довольно обобщённое. Считается, что это конструкция, в которой тело, имеющее массу m, подвешено на упругой пружине обладающей жёсткостью K. При этом из состояния равновесия систему может вывести упругая сила F = — k * x, где: x- расстояние от середины пружинного элемента до поверхности прикреплённого к нему груза.

Можно выделить два достаточных условия возникновения свободных колебаний:

Суть изучения гармонических колебаний состоит в определении их частоты движения или периода. В пружинном маятнике, впрочем, как и в любой колебательной системе, параметры зависят от ряда характеристик. Из основных величин, описывающих процесс, можно выделить: массу груза и жёсткость. Поэтому задача и состоит в выяснении, как период зависит от этих двух параметров.

Во время экспериментов регулировать массу довольно легко. Для этого можно взять эталонные гири и, соединяя их, увеличивать вес. Жёсткость же пружины можно изменить, добавляя параллельно или последовательно к ней другое сжимающееся тело. Чтобы выяснить, как будет изменяться характеристика растягивающегося элемента, нужно знать, что же представляет собой параметр. Так, под жёсткостью тела понимают отношение силы упругости к удлинению: k0 = F / Δ L. Измеряется величина в ньютонах, делённых на метр (Н/м).

Исходя из правила, если соединить две пружины параллельно и деформировать их, то можно утверждать, что первый и второй элемент растянется на одинаковую длину ΔL. Значит, возникнет две одинаково направленных силы упругости. Отсюда равнодействующая будет равняться: K = 2F/ ΔL = 2k0. Для последовательного же соединения длина всей системы увеличится на 2 ΔL. Сила упругости будет равна F. Соответственно, жёсткость будет изменяться по формуле: K = F / 2ΔL = k0 / 2.

Зависимость периода

При проведении эксперимента можно исследовать пять различных комбинаций поведения груза на пружине — два варианта связаны с весом и три с жёсткостью. Чтобы выполнить опыт самостоятельно нужно будет взять вертикальный кронштейн, две одинаковые пружины и два равных по весу груза. Так как в реальности период будет довольно маленький, то для его измерения можно взять время, например, пятидесяти колебаний, а потом полученный результат разделить на это число. Подсчёт времени удобно выполнять с помощью секундомера.

Вычисленные результаты нужно занести в таблицу. Примерный порядок чисел должен получиться таким:

Эти данные можно проанализировать. Выводы будут следующими:

• с ростом массы физического тела период цикличности увеличивается;
• по мере увеличения жёсткости период колебаний уменьшается.

Приведённые утверждения, возможно, описать и количественно. Исходя из результатов, величины, стоящие в ячейке m0k0 и 2m02ko почти совпадают. С точки зрения физики, так и должно быть. Если взять грузик на пружине и измерить характеристику, а потом добавить к нему точно такую же систему, то период не поменяется. Это и можно наблюдать во время опыта. Значит, период движения зависит от того каким будет отношение массы к жёсткости.

По аналогии можно рассмотреть, как влияет жёсткость. Из эксперимента, видно, что если её увеличить дважды на одну и ту же величину, то она возрастёт в четыре раза, а значение обратное частоте уменьшится на это же число. Отсюда можно предположить, что период будет обратно пропорционален корню квадратному из жёсткости.

Объединив эти две гипотезы можно сделать заключение. Что период амплитуды колебаний груза на пружине будет прямо пропорционален корню квадратного из отношения массы к жёсткости: T = √(m / k). Проверить это утверждение можно по теории размерности. Подставив в формулу единицы измерения, получим: √(m / k) = √(кг / (Н/м)) = √(кг * м / Н). Учитывая, что ньютон — это отношение метра к секунде в квадрате или килограмму, умноженному на метр и делённому на секунду, размерное равенство примет вид: √(кг * м/Н) = √(c2 * м/м) = √с2 = с.

Для написания полной формулы в равенство нужно вести ещё коэффициент. Он будет равняться 2p. Значит, период колебаний пружинного маятника количественно описывается выражением: T = 2p * √ (m / k).

Примеры решения задач

Практические задания помогают лучше разобраться в теоретическом материале и запомнить нужные для решения формулы. Существуют различные примеры, с помощью которых можно довольно быстро проработать весь изученный курс. Вот два задания с подробным описанием решения на вычисления параметров пружинных колебаний тела. Разобравшись в них, можно переходить к самостоятельному вычислению более сложных примеров.

Задание № 1. Груз, подвешенный к пружине, перемещается циклически по вертикальной оси. За восемь секунд он совершил тридцать два колебания. Определить частоту. Итак, по условию задания дано время t = 8 c и число полного перемещения тела N = 32. Чтобы решить эту задачу нужно воспользоваться формулой нахождения периода: T = t / N. Все величины для этого есть: T = 8 c / 32 = 1 / 4 = 0,25 секунды. Частота связана с периодом выражением: f = 1 / T. После подстановки чисел получится ответ равный четырём герцам.

Задание № 2. Грузик совершает колебания на пружине с жёсткостью сто ньютон на метр. При этом максимальная скорость движения составляет два метра в секунду. Вычислить массу тела учитывая, что максимальная амплитуда отклонения от точки покоя составляет десять сантиметров. Силой трения пренебречь.

При решении примера нужно рассуждать следующим образом. Когда будет максимальное растяжение пружины, то скорость груза равна нулю: V1 = 0. Значит, кинетическая энергия тоже будет нулевой: Ek1 = 0.

В этот момент останется только потенциальная энергия вытянутой пружины Ep1. В положении равновесия скорость тела максимальная и равняется V = 2 м/с. Так как пружина в этот момент нерастянута и несжатая, то Ep = 0.

По закону сохранения энергии: Ek1 + Ep1 = Ek + Ep. Кинетическая работа при растянутой пружине равняется нулю, так же как и потенциальная в состоянии покоя, значит, Ep1 = (k * L2) / 2, где L — удлинение, а k — жёсткость. Энергию же можно найти так: Ek = mV2 / 2. Так как тело совершает колебания около положения равновесия, то вытянутость пружины будет равняться амплитуде.

Перед тем как непосредственно переходить к составлению итоговой формулы и вычислениям необходимо все значения измерений привести в соответствии с СИ. Так, амплитуда указана в сантиметрах, поэтому её нужно перевести в метры. Теперь можно переходить к составлению отношения и подстановки данных: (k * L 2) / 2 = mV 2 / 2. Отсюда: m = (k * L) / V 2 = (100 Н/м * 0,1 2 м) / 2 2 м/с = 1 / 4 = 0,25 килограмма.

Предыдущая

ФизикаФормула тонкой линзы — свойства, применение и расчеты

Следующая

ФизикаТепловое движение — доказательство явления, виды и признаки