Растяжение продольная и поперечная деформации
Сопротивление материалов
Деформации при растяжении и сжатии
Продольные деформации при растяжении и сжатии
Характер деформаций, которым подвергается прямой брус при растяжении или сжатии мы определили, проведя опыт с резиновым брусом, на котором была нанесена сетка линий.
Теперь представим себе брус постоянного сечения имеющий длину l, один из концов которого защемлен, а к свободному концу приложена растягивающая сила F. Под действием этой силы брус удлинится на некоторую величину Δl, которую назовем абсолютным удлинением бруса.
Отношение абсолютного удлинения Δl к первоначальной длине бруса l назовем относительным удлинением и обозначим ε:
ε = Δl / l
Относительное удлинение – величина безразмерная, иногда его выражают в процентах.
Итак, деформация бруса при растяжении и сжатии характеризуется абсолютным и относительным удлинением или укорочением.
***
Закон Гука при растяжении и сжатии
Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой линейной зависимостью, которая называется законом Гука, по имени английского физика Р. Гука (1653-1703 г.г.), установившего этот закон.
Сформулировать закон Гука можно так: нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению или укорочению.
Математически эта зависимость записывается так:
σ = E ε.
Здесь Е – коэффициент пропорциональности, который характеризует жесткость материала бруса, т. е. его способность сопротивляться деформации; его называют модулем продольной упругости, или модулем упругости первого рода.
Модуль упругости, как и напряжение, выражаются в паскалях (Па).
Значения Е для различных материалов устанавливаются экспериментально-опытным путем, и их величину можно найти в соответствующих справочниках.
Так, для стали Е = (1,96.…2,16) х 105 МПа, для меди Е = (1,00…1,30) х 105 МПа и т. д.
Следует оговориться, что закон Гука справедлив лишь в определенных пределах нагружения.
Если в формулу закона Гука подставить полученные ранее значения относительного удлинения и напряжения: ε = Δl / l , σ = N / А, то можно получить следующую зависимость:
Δl = Nl / (EА).
Произведение модуля упругости на площадь сечения Е×А, стоящее в знаменателе, называют жесткостью сечения при растяжении и сжатии; оно характеризует одновременно и физико-механические свойства материала бруса и геометрические размеры поперечного сечения этого бруса.
Приведенную выше формулу можно читать так: абсолютное удлинение или укорочение бруса прямо пропорционально продольной силе и длине бруса, и обратно пропорционально жесткости сечения бруса.
Выражение ЕА / l называют жесткостью бруса при растяжении и сжатии.
Приведенные выше формулы закона Гука справедливы лишь для брусьев и их участков, имеющих постоянное поперечное сечение, изготовленных из одного материала и при постоянной силе. Для бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами сечения, продольной силой, изменение длины всего бруса определяется, как алгебраическая сумма удлинений или укорочений отдельных участков:
Δl = Σ (Δli)
***
Поперечные деформации при растяжении и сжатии
Описанный ранее опыт с резиновым брусом, на котором нанесена сетка линий, показал, что при растяжении поперечные размеры бруса уменьшаются, а при сжатии – увеличиваются, т. е. брус становится либо тоньше, либо толще. Это явление характерно для брусьев, изготовленных из всех материалов.
Опытным путем установлено, что при одноосном растяжении или сжатии отношение относительных поперечной и продольной деформаций для данного материала – величина постоянная.
Впервые на эту зависимость указал французский ученый С. Пуассон (1781-1840 г.г.) и математически она записывается так:
|ε1| = ν |ε|,
где ν – коэффициент поперечной деформации, называемый коэффициентом Пуассона.
Коэффициент Пуассона является безразмерной величиной, и характеризует упругие свойства материала. При растяжении и сжатии этот коэффициент принимается одинаковым.
Значения коэффициента Пуассона для разных материалов установлены опытным путем и их величины можно найти в соответствующих справочниках.
***
Потенциальная энергия деформации при растяжении
При статическом (медленном) растяжении образца растягивающая сила F возрастает от нуля до какого-то значения, удлиняет образец на величину Δl и при этом совершает работу W.
Эта работа аккумулируется в деформируемом образце в виде потенциальной энергии деформации U, причем, пренебрегая незначительными потерями энергии (например, тепловыми), можно считать, что W = U.
Путем изучения диаграмм растяжения образцов, установлено, что потенциальная энергия упругой деформации стержня длиной l постоянного поперечного сечения А при одинаковой во всех сечениях продольной силе N = F будет равна:
U = W = F Δl / 2 = N2 l / (2E А)
Сопротивление материалов оперирует, также, таким понятием, как удельная потенциальная энергия деформации, которая подсчитывается, как потенциальная энергия, приходящаяся на единицу объема бруса.
При одновременном действии растягивающих и сжимающих нагрузок или ступенчатом изменении размеров поперечного сечения бруса, его разбивают на однородные участки и для каждого подсчитывают потенциальную энергию деформации. Потенциальную энергию деформации всего бруса определяют, как сумму потенциальных энергий отдельных участков.
Анализируя формулу потенциальной энергии деформации можно сделать вывод, что эта величина всегда положительная, поскольку в ее выражения входят квадраты линейных и силовых величин. По этой причине при вычислении потенциальной энергии деформации нельзя применять принцип независимости действия сил (поскольку квадрат суммы не равен сумме квадратов слагаемых).
Единицей измерения потенциальной энергии деформации, как и работы, является джоуль (Дж).
***
Материалы раздела «Растяжение и сжатие»:
- Основные понятия о деформации растяжения и сжатия.
- Расчеты на прочность при растяжении и сжатии. Статически неопределимые задачи.
Смятие
Правильные ответы на вопросы Теста № 5
№ вопроса | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Правильный вариант ответа | 3 | 3 | 1 | 2 | 1 | 3 | 2 | 2 | 1 | 1 |
Источник
Иметь представление о продольных и поперечных деформациях и их связи.
Знать закон Гука, зависимости и формулы для расчета напряжений и перемещений.
Уметь проводить расчеты на прочность и жесткость статически определимых брусьев при растяжении и сжатии.
Деформации при растяжении и сжатии
Рассмотрим деформацию бруса под действием продольной силы F (рис. 21.1).
В сопротивлении материалов принято рассчитывать деформации в относительных единицах:
Между продольной и поперечной деформациями существует зависимость
где μ— коэффициент поперечной деформации, или коэффициент Пуассона, —характеристика пластичности материала.
Закон Гука
В пределах упругих деформаций деформации прямо пропорциональны нагрузке:
где F — действующая нагрузка; к — коэффициент. В современной форме:
Получим зависимость
где Е — модуль упругости, характеризует жесткость материала.
В пределах упругости нормальные напряжения пропорциональны относительному удлинению.
Значение Е для сталей в пределах (2 – 2,1) • 105МПа. При прочих равных условиях, чем жестче материал, тем меньше он деформируется:
Формулы для расчета перемещений поперечных сечений бруса при растяжении и сжатии
Используем известные формулы.
Относительное удлинение
В результате получим зависимость между нагрузкой, размерами бруса и возникающей деформацией:
где
Δl — абсолютное удлинение, мм;
σ — нормальное напряжение, МПа;
l — начальная длина, мм;
Е — модуль упругости материала, МПа;
N — продольная сила, Н;
А — площадь поперечного сечения, мм2;
Произведение АЕ называют жесткостью сечения.
Выводы
1. Абсолютное удлинение бруса прямо пропорционально величине продольной силы в сечении, длине бруса и обратно пропорционально площади поперечного сечения и модулю упругости.
2. Связь между продольной и поперечной деформациями зависит от свойств материала, связь определяется коэффициентом Пуассона, называемом коэффициентом поперечной деформации.
Коэффициент Пуассона: у стали μ от 0,25 до 0,3; у пробки μ = 0; у резины μ = 0,5.
3. Поперечные деформации меньше продольных и редко влияют на работоспособность детали; при необходимости поперечная деформация рассчитывается через продольную.
где Δа — поперечное сужение, мм;
ао — начальный поперечный размер, мм.
4. Закон Гука выполняется в зоне упругих деформаций, которая определяется при испытаниях на растяжение по диаграмме растяжения (рис. 21.2).
При работе пластические деформации не должны возникать, упругие деформации малы по сравнению с геометрическими размерами тела. Основные расчеты в сопротивлении материалов проводятся в зоне упругих деформаций, где действует закон Гука.
На диаграмме (рис. 21.2) закон Гука действует от точки 0 до точки 1.
5. Определение деформации бруса под нагрузкой и сравнение ее с допускаемой (не нарушающей работоспособности бруса) называют расчетом на жесткость.
Примеры решения задач
Пример 1. Дана схема нагружения и размеры бруса до деформации (рис. 21.3). Брус защемлен, определить перемещение свободного конца.
Решение
1. Брус ступенчатый, поэтому следует построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.
Делим брус на участки нагружения, определяем продольные силы, строим эпюру продольных сил.
2. Определяем величины нормальных напряжений по сечениям с учетом изменений площади поперечного сечения.
Строим эпюру нормальных напряжений.
3. На каждом участке определяем абсолютное удлинение. Результаты алгебраически суммируем.
Примечание. Балка защемлена, в заделке возникает неизвестная реакция в опоре, поэтому расчет начинаем со свободного конца (справа).
1. Два участка нагружения:
участок 1:
растянут;
участок 2:
2.
Три участка по напряжениям:
Пример 2. Для заданного ступенчатого бруса (рис. 2.9, а) построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по его длине, а также определить перемещения свободного конца и сечения С, где приложена сила Р2. Модуль продольной упругости материала Е = 2,1 • 105 Н/’мм3.
Решение
1. Заданный брус имеет пять участков /, //, III, IV, V (рис. 2.9, а). Эпюра продольных сил показана на рис. 2.9, б.
2. Вычислим напряжения в поперечных сечениях каждого участка:
для первого
для второго
для третьего
для четвертого
для пятого
Эпюра нормальных напряжений построена на рис. 2.9, в.
3. Перейдем к определению перемещений поперечных сечений. Перемещение свободного конца бруса определяется как алгебраическая сумма удлинений (укорочений) всех его участков:
Подставляя числовые значения, получаем
4. Перемещение сечения С, в котором приложена сила Р2, определяется как алгебраическая сумма удлинений (укорочений) участков ///, IV, V:
Подставляя значения из предыдущего расчета, получаем
Таким образом, свободный правый конец бруса перемещается вправо, а сечение, где приложена сила Р2, — влево.
5. Вычисленные выше значения перемещений можно получить и другим путем, пользуясь принципом независимости действия сил, т. е. определяя перемещения от действия каждой из сил Р1; Р2; Р3 в отдельности и суммируя результаты. Рекомендуем учащемуся проделать это самостоятельно.
Пример 3. Определить, какое напряжение возникает в стальном стержне длиной l = 200 мм, если после приложения к нему растягивающих сил его длина стала l1 = 200,2 мм. Е = 2,1*106 Н/мм2.
Решение
Абсолютное удлинение стержня
Продольная деформация стержня
Согласно закону Гука
Пример 4. Стенной кронштейн (рис. 2.10, а) состоит из стальной тяги АВ и деревянного подкоса ВС. Площадь поперечного сечения тяги F1 = 1 см2, площадь сечения подкоса F2 = 25 см2. Определить горизонтальное и вертикальное перемещения точки В, если в ней подвешен груз Q = 20 кН. Модули продольной упругости стали Eст = 2,1*105 Н/мм2, дерева Ед = 1,0*104 Н/мм2.
Решение
1. Для определения продольных усилий в стержнях АВ и ВС вырезаем узел В. Предполагая, что стержни АВ и ВС растянуты, направляем возникающие в них усилия N1 и N2 от узла (рис. 2.10, 6). Составляем уравнения равновесия:
откуда
Усилие N2 получилось со знаком минус. Это указывает на то, что первоначальное предположение о направлении усилия неверно — фактически этот стержень сжат.
2. Вычислим удлинение стальной тяги Δl1и укорочение подкоса Δl2:
где
Тяга АВ удлиняется на Δl1= 2,2 мм; подкос ВС укорачивается на Δl1= 7,4 мм.
3. Для определения перемещения точки В мысленно разъединим стержни в этом шарнире и отметим их новые длины. Новое положение точки В определится, если деформированные стержни АВ1 и В2С свести вместе путем их вращения вокруг точек А и С (рис. 2.10, в). Точки В1 и В2 при этом будут перемещаться по дугам, которые вследствие их малости могут быть заменены отрезками прямых В1В’ и В2В’, соответственно перпендикулярными к АВ1 и СВ2. Пересечение этих перпендикуляров (точка В’) дает новое положение точки (шарнира) В.
4. На рис. 2.10, г диаграмма перемещений точки В изображена в более крупном масштабе.
5. Горизонтальное перемещение точки В
Вертикальное
где составляющие отрезки определяются из рис. 2.10, г;
Подставляя числовые значения, окончательно получаем
При вычислении перемещений в формулы подставляются абсолютные значения удлинений (укорочений) стержней.
Контрольные вопросы и задания
1. Стальной стержень длиной 1,5 м вытянулся под нагрузкой на 3 мм. Чему равно относительное удлинение? Чему равно относительное сужение? (μ = 0,25.)
2. Что характеризует коэффициент поперечной деформации?
3. Сформулируйте закон Гука в современной форме при растяжении и сжатии.
4. Что характеризует модуль упругости материала? Какова единица измерения модуля упругости?
5. Запишите формулы для определения удлинения бруса. Что характеризует произведение АЕ и как оно называется?
6. Как определяют абсолютное удлинение ступенчатого бруса, нагруженного несколькими силами?
7. Ответьте на вопросы тестового задания.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
Источник
Отношение абсолютного удлинения стержня к его первоначальной длине называетсяотносительным удлинением ( – эпсилон) или продольной деформацией. Продольная деформация – это безразмерная величина. Формула безразмерной деформации:
При растяжении продольная деформация считается положительной, а при сжатии – отрицательной.
Поперечные размеры стержня в результате деформирования также изменяются, при этом при растяжении они уменьшаются, а при сжатии – увеличиваются. Если материал является изотропным, то его поперечные деформации равны между собой:
.
Опытным путем установлено, что при растяжении (сжатии) в пределах упругих деформаций отношение поперечной деформации к продольной является постоянной для данного материала величиной. Модуль отношения поперечной деформации к продольной, называемый коэффициентом Пуассона иликоэффициентом поперечной деформации, вычисляется по формуле:
Для различных материалов коэффициент Пуассона изменяется в пределах . Например, для пробки , для каучука , для стали , для золота .
Закон Гука
Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации
Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:
Здесь — сила, которой растягивают (сжимают) стержень, — абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а — коэффициент упругости (или жёсткости).
Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения и длины ) явно, записав коэффициент упругости как
Величина называется модулем упругости первого рода или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.
Если ввести относительное удлинение
и нормальное напряжение в поперечном сечении
то закон Гука в относительных единицах запишется как
В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.
Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме
Модуль Юнга
Модуль Юнга (модуль упругости) — физическая величина, характеризующая свойства материала сопротивляться растяжению/сжатию при упругой деформации.
Модуль Юнга рассчитывается следующим образом:
где:
E — модуль упругости,
F — сила,
S — площадь поверхности, по которой распределено действие силы,
l — длина деформируемого стержня,
x — модуль изменения длины стержня в результате упругой деформации (измеренного в тех же единицах, что и длина l).
Через модуль Юнга вычисляется скорость распространения продольной волны в тонком стержне:
где — плотность вещества.
Коэффициент Пуассона
Коэффициент Пуассона (обозначается как или ) — абсолютная величина отношения поперечной к продольной относительной деформации образца материала. Этот коэффициент зависит не от размеров тела, а от природы материала, из которого изготовлен образец.
Уравнение
,
где
— коэффициент Пуассона;
— деформация в поперечном направлении (отрицательна при осевом растяжении, положительна при осевом сжатии);
— продольная деформация (положительна при осевом растяжении, отрицательна при осевом сжатии).
хиты: 9832 рейтинг:0 |
Источник
Содержание:
- Продольные и поперечные деформации бруса при растяжении (сжатии). Закон Гука. Перемещения
Продольные и поперечные деформации бруса при растяжении (сжатии). Закон Гука. Перемещения
- Продольная и поперечная деформация балки при растяжении (сжатии). Закон крючка. Приложим внешнюю силу F к стержню длины / постоянной площади сечения A(рис. 15.4, а). Изображая силу стрелы, как уже говорилось, она считается равномерно распределенной по всем концам. Другими словами, предположим, что все воображаемые продольные призматические элементы (волокна) балки нагружены равномерно и подвергаются одинаковой деформации. Под действием натяжения длина стержня I увеличивается на величину AZ, как показал эксперимент, Тысяча и
сто тысяч. Его поперечные размеры уменьшаются. Для риса. 15.4, и пунктирная линия показывает диаграмму деформации протянутой балки. Когда сила действует в противоположном направлении, луч сжимается. В случае сжимаемого стержня с меньшей длиной по сравнению с его поперечными размерами его длина I уменьшается на величину D/, а поперечные размеры увеличиваются.
Если длина балки значительна по сравнению с ее поперечными размерами, то сила сжатия может согнуть ее, то есть происходит потеря
Людмила Фирмаль
устойчивости. Этот случай будет рассмотрен в главе 24. Величина D / называется продольным удлинением стержня при растяжении. Удлинение при растяжении считается положительным, а укорочение при сжатии-отрицательным. Естественно, что чем больше сила растяжения балки и ее длина, тем больше удлинение D/, и наоборот, и чем больше поперечное сечение, тем меньше брус из разных материалов будет удлиняться при разных значениях. Связь между мощностью и удлинением называется R. R Гука law.It впервые был получен Гуком.EAS константа Nz и Az Al-N1 / EA, (15.4), где D / —
абсолютное удлинение балки./ Это физическая постоянная материала, характеризующая его способность противостоять упругой деформации. Чем больше Е, тем меньше продольная деформация.EA-жесткость поперечного сечения балки при растяжении или сжатии. Таким образом, удлинение балки прямо пропорционально силе, действующей на поперечное сечение N и обратно пропорционально длине балки I и жесткости балки EA. Поскольку в любой точке рассматриваемой балки О2 имеет одинаковое значение, то линейная деформация 141в все точки будут одинаковыми, их значение можно определить по формуле E2=D///. (15.5) Линейная деформация при
- растяжении балки (сжатии), Е2 обычно называется растяжением или относительной продольной деформацией. Относительная продольная деформация-это абстрактная величина, равная абсолютному удлинению единицы длины балки. Если разделить левую и правую части уравнения (15.4) на I и указать a-Z=N / At, то D/ / =N / EA;E2= O2 / E или (ЮЖД = эз)(15.6) В свою очередь, закон крюка можно сформулировать следующим образом: относительная продольная деформация прямо пропорциональна соответствующему вертикальному напряжению. В то же время размеры поперечного сечения (ширина b и высота y) уменьшаются за счет продольной
деформации при растяжении стержня. Обозначает горизонтальное укорочение от B и h до-D6 и-Dy(рис. 15.4, 6). Относительная поперечная деформация экс—б!bEU= — &h/h. (15.7) Для изотропных материалов поперечная деформация одинакова.7. Как показывают эксперименты, при напряжении, не превышающем предела упругости, относительная поперечная деформация прямо пропорциональна относительной продольной деформации, но имеет противоположный знак: eg= — ex / p= — Ey/[i. (15.8) Отношение поперечной деформации к продольной (абсолютная амплитуда) называется коэффициентом Пуассона: И=I| / / E2|. (15.9))
Коэффициент Пуассона C является безразмерной величиной. Продольные упругие константы E и C являются физико-механическими свойствами
Людмила Фирмаль
Изотропных материалов. Коэффициент Пуассона был определен экспериментально. Для различных материалов он имеет значение от нуля (для пробки) до значения, близкого к 0,5 (для резины). Для стали C составляет 0,25-0,3,для некоторых материалов значение E и C приведены в таблице. 15.1. 142T a b l I C a15. Один Имя материала E, MPa L имя материала E-M P A th Сталь 2.1-10 » 0.25-0.3 бетон (0.18-0.25) 10* 0.1— 0.2 Медь 1• 10* 0,31—0 ; 34 камень 0,01*105 0,16— 0,34 Алюминий 0.7-10″0.32-0.36 дерево 0.1 * 105-чугун 1.1-10″ 0.23-0.27 стекло 0.56 * 105 0.25 Движение поперечного сечения штанги. Изменение поперечного сечения — это изменение начального положения поперечного сечения в результате деформации балки. Движение
может быть линейным из-за изменения расстояния или угла при повороте секции. Исходя из гипотезы о плоском сечении поперечного сечения после деформации барина центральное натяжение(сжатие) занимает новое положение параллельно исходному, смещаясь вдоль оси за счет расширения (укорочения). В этом случае угловое смещение всех поперечных сечений равно нулю. Кроме того, смещение рассматриваемого участка, поскольку величина смещения представляет собой изменение расстояния между двумя участками, зависит от того, вычисляется ли смещение для какого участка, как
правило, в виде сечения, как линейное (продольное) движение балки вычисляется как сечение, сечение, где величина жесткости (перемещение равно нулю) равна Перемещение определяется выражением &=N l/E A, (15.10), где I-расстояние между исследуемыми участками, N-внутренняя продольная сила, а EA-жесткость балки при растяжении(сжатии). Если стержень между двумя исследуемыми участками имеет ступенчатое изменение поперечного сечения или нагружается каким-то внешним продольным усилием фокуса, то участок съемки будет закрыт.、 Смещение вычисляется как алгебраическая сумма расширений отдельных участков: 143). 15.5 D=5W или / E A t). i = l Результат расчета указывается в виде графика
продольного смещения сечения балки. Процесс построения графиков движений объясняется примерами. Например. Для ступенчатых балок (рис. 15.5, а) построить график движения. Решение. Для этого бара см. рис. 15.2, b, C) внутренние продольные силы уже рассчитаны и построены графики N и az, поэтому перейдем непосредственно к построению графика продольных перемещений. В этом случае ступенчатый стержень имеет три секции KD, DC и CB, в которых построены N и o^. Верхняя секция K, которая совпадает с жесткой прижимной опорой, не имеет движения, поэтому рассчитайте движение остальных секций балки против нее. Во-первых, рассмотрим сюжет KD. В любом сечении сделайте смещение от
верхнего удлинения 1-1(рис. 15.5, g) равно DX=N2z / EA2-z / E. Из этой формулы мы устанавливаем, что закон изменения смещения вдоль участка KD является линейным. 2=0DL=0; z=l=AZ / ^=0.75 TSE m. Участок постоянного тока. Перемещение любого сечения 2-2(рис. 15.5, d) равна сумме смещения сечения DK и удлинения балки на длину z сечения DC:^S D+Nt z/EA2. Закон изменения смещения также линейный. От 2=0=0.75/£’, z=l&c = QJ5l/E+Nil / EA2=0f75l / E+0.25 l / E / E-=TSE m. Любой участок 3-3 Санкт-Петербурга(рис. 15.5, д) сумма перемещений двух верхних частей KD и DC и длины балки на участке CB длиной z равна: 144А Три. =A c+^Z>E A1-в этой области смещение изменяется линейно. АТ2=0=АТ2=з:АВ=цэ+НР UEAt = цэ+0.5/ / Д=1.5 м це. По полученным данным строится график продольного смещения поперечного сечения балки (рис. 15.5, г).
Смотрите также:
Решение задач по технической механике
Источник