Растяжение плоскости по прямой

Растяжение плоскости по прямой thumbnail

Преобразования плоскости

      Определение 1. Преобразованием плоскости называют правило, с помощью которого каждой точке плоскости ставится в соответствие точка этой же плоскости.

      Из определения 1 вытекает, что, если F – преобразование плоскости α , а M – произвольная точка плоскости , то F(M) тоже является точкой плоскости α .

      Определение 2. Точку F(M) называют образом точки M при преобразовании F, а точку M называют прообразом точки F(M) при преобразовании F.

      Аналогично определяются образы и прообразы любых фигур на плоскости при преобразовании F.

      Определение 3. Преобразование плоскости называют взаимно однозначным преобразованием плоскости на себя, если разные точки имеют разные образы, и каждая точка плоскости имеет прообраз.

      Другими словами, при взаимно однозначном преобразовании плоскости на себя разные точки плоскости переходят в разные точки этой же плоскости, и в каждую точку плоскости переходит какая-то точка этой плоскости.

      Определение 4. Произведением (композицией) двух преобразований называют преобразование, которое получается в результате последовательного выполнения этих преобразований.

      Таким образом, если F  и G – два преобразования, то произведением этих преобразований будет такое преобразование H, которое произвольную точку A плоскости переводит в точку A’ этой плоскости, определяемую по формуле:

A’ = H (A) = F (G (A)) .

Движения плоскости

      Определение 5. Движением плоскости называют такое преобразование плоскости, при котором расстояние между двумя любыми точками плоскости равно расстоянию между их образами.

      Следующие преобразования являются движениями плоскости:

1. Параллельный перенос (сдвиг) на заданный вектор

      При параллельном переносе плоскости на заданный вектор (рис.1) произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A’ плоскости, что выполнено равенство

Параллельный перенос на заданный вектор

Параллельный перенос на заданный вектор

Рис.1

      Замечание. Движение, при котором каждая точка плоскости остаётся на своём месте, называют тождественным преобразованием. Тождественное преобразование можно рассматривать как параллельный перенос на вектор, равный нулю.

2. Поворот вокруг заданной точки, называемой центром поворота, на заданный угол

      При повороте плоскости вокруг точки O на угол φ (рис. 2) произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A’ плоскости, что выполнены равенства

Поворот вокруг заданной точки называемой центром поворота на заданный угол

Поворот вокруг заданной точки называемой центром поворота на заданный угол

Рис.2

3. Центральная симметрия (симметрия относительно заданной точки, называемой центром симметрии)

      При центральной симметрии плоскости относительно точки O произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A’ плоскости, что серединой отрезка AA’ является точка O – заданный центр симметрии (рис.3).

      Замечание. Центральная симметрия совпадает с поворотом плоскости вокруг центра симметрии на угол 180°.

Центральная симметрия симметрия относительно заданной точки называемой центром симметрии

Рис.3

4. Осевая симметрия (симметрия относительно заданной прямой, называемой осью симметрии)

      При осевой симметрии относительно прямой PQ (ось симметрии) произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A’ плоскости, что, во-первых, прямая AA’ перпендикулярна прямой PQ , а, во-вторых, точка пересечения прямых AA’ и PQ является серединой отрезка AA’

Осевая  симметрия симметрия относительно заданной прямой называемой осью симметрии

Рис.4

5. Скользящая симметрия (композиция осевой симметрии относительно заданной прямой и параллельного переноса на заданный отличный от нуля вектор, параллельный этой прямой)

      Если прямая PQ – ось симметрии, а параллельный перенос задаётся вектором параллельным прямой  PQ , то результат скользящей симметрии можно условно изобразить так, как показано на рисунке 5.

Скользящая симметрия

Скользящая симметрия

Скользящая симметрия

Рис.5

Движения плоскости, сохраняющие ориентацию. Движения плоскости, изменяющие ориентацию. Теорема Шаля

      Рассмотрим на плоскости произвольный равносторонний треугольник и обозначим его вершины буквами A, B и C так, чтобы при обходе по сторонам треугольника в направлении

ABCA

треугольник оказывался расположенным слева (рис.6). При таком обозначении вершин обход треугольника будет осуществляться против часовой стрелки.

Движения плоскости

Рис.6

      Предположим теперь, что некоторое движение F переводит треугольник ABC в треугольник A’B’C’, у которого

F(A) = A’,       F(B) = B’,       F(C) = C’.

      Поскольку каждое движение плоскости сохраняет расстояния между точками, то треугольник A’B’C’ также будет равносторонним, однако возможны следующие два случая.

      В первом случае при обходе по сторонам треугольника A’B’C’ в направлении

A’B’C’A’

треугольник A’B’C’ располагается слева, и обход производится против часовой стрелки (рис.7).

Движения плоскости

Рис.7

Во втором случае при обходе по сторонам треугольника A’B’C’ в направлении

A’B’C’A’

треугольник A’B’C’ располагается справа, и обход производится по часовой стрелке (рис.8).

Движения плоскости

Рис.8

      Определение 6. Если при движении F осуществляется первый случай, то такое движение называют движением, сохраняющим ориентацию плоскости (движением 1-го рода, собственным движением). Если при движении F осуществляется второй случай, то такое движение называют движением, изменяющим ориентацию (движением 2-го рода, несобственным движением).

      Классификацию всех движений плоскости даёт следующая теорема Шаля.

      Теорема Шаля. Любое движение плоскости, сохраняющее ориентацию, является или параллельным переносом, или поворотом. Любое движение плоскости, изменяющее ориентацию, является или осевой симметрией, или скользящей симметрией.

Аффинные преобразования плоскости

      Определение 7. Аффинным преобразованием плоскости называют такое взаимно однозначное преобразование плоскости на себя, при котором образом любой прямой на плоскости является прямая.

      Поскольку каждое движение плоскости переводит прямые линии в прямые линии, то каждое движение является аффинным преобразованием.

      Однако аффинные преобразования не ограничиваются движениями плоскости. Следующие преобразования также являются аффинными преобразованиями плоскости:

Читайте также:  Как разработать голеностопный сустав после растяжения

1. Сжатие (растяжение) к прямой с заданным коэффициентом сжатия (растяжения)

      При сжатии (растяжении) плоскости к прямой PQ с заданным коэффициентом сжатия k (рис.9) произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A’ плоскости, что выполнены следующие условия:

  • прямая AA’ перпендикулярна прямой PQ ;
  • если обозначить буквой A» точку пересечения прямых AA’ и PQ , то будет справедливо равенство
  • | A’A» | = | k | | AA» |;

  • если k > 0, то точки A и A’ лежат по одну сторону от прямой PQ , если же k < 0, то точки A и A’ лежат по разные стороны от прямой PQ .

Сжатие растяжение в направлении заданной прямой с заданным коэффициентом сжатия растяжения

Сжатие растяжение в направлении заданной прямой с заданным коэффициентом сжатия растяжения

Рис.9

      Замечание 1. В случае, когда | k | < 1, рассматриваемое аффинное преобразование называют сжатием к прямой PQ , если же | k | > 1, то это преобразование называют растяжением.

      Замечание 2. Будем использовать для рассматриваемого сжатия (растяжения) обозначение

2. Сжатие (растяжение) по двум заданным взаимно перпендикулярным направлениям с заданными коэффициентами сжатия (растяжения)

      Пусть PQ и MN – две взаимно перпендикулярных прямых, а числа k1 и k2 – коэффициенты сжатия (расширения) плоскости в направлении прямых PQ и MN соответственно. Тогда сжатием (растяжением) по двум заданным взаимно перпендикулярным направлениям PQ и MN с коэффициентами k1 и k2 (рис.10) называют композицию сжатий (растяжений).

Сжатие  растяжение в направлении заданной прямой с заданным коэффициентом сжатия растяжения

Сжатие  растяжение в направлении заданной прямой с заданным коэффициентом сжатия растяжения

Сжатие  растяжение в направлении заданной прямой с заданным коэффициентом сжатия растяжения

Рис.10

3. Гомотетия с заданным центром гомотетии и заданным коэффициентом сжатия (растяжения)

      Гомотетией с центром в точке O и коэффициентом k называют такое аффинное преобразование, при котором произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A’ плоскости, что выполнены следующие условия:

  • точка A’ лежит на прямой AO ;
  • справедливо равенство
  • | OA’ | = | k | | OA |;

  • если k > 0, то точки A и A’ лежат по одну сторону от точки O, если же k < 0, то точки A и A’ лежат по разные стороны от точки O (рис.11).

      Замечание. Рассмотрим две произвольных взаимно перпендикулярных прямых PQ и MN, пересекающихся в точке O. Тогда гомотетия с центром в точке O и коэффициентом k совпадёт со сжатием (растяжением) по направлениям PQ и MN с коэффициентами, равными k . Другими словами, гомотетия является композицией сжатий (растяжений):

Гомотетия с заданным центром гомотетии и заданным коэффициентом сжатия растяжения

Гомотетия с заданным центром гомотетии и заданным коэффициентом сжатия растяжения

Рис.11

4. Преобразование подобия с заданным коэффициентом подобия

      Преобразованием подобия с коэффициентом подобия k называют аффинное преобразование, представленное в виде композиции гомотетии с коэффициентом k и движения (рис. 12).

Преобразование подобия с заданным коэффициентом подобия

Преобразование подобия с заданным коэффициентом подобия

Преобразование подобия с заданным коэффициентом подобия

Рис.12

Классификация аффинных преобразований плоскости

      Справедлива следующая теорема о классификации аффинных преобразований плоскости.

      Теорема. Любое аффинное преобразование плоскости представляется в виде композиции движения плоскости и сжатий (растяжений) по двум взаимно перпендикулярным направлениям.

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник

Пример растяжения пятиугольника в десятиугольник путём движения рёбер от центра и вставки новых рёбер в получившиеся разрывы. Растяжение является однородным, если все рёбра имеют один и тот же размер.

Анимация растяжения куба (и октаэдра)

Растяжение — операция над многогранником (в любой размерности, не только в трёхмерном пространстве), при которой фасеты отделяются и передвигаются радиально в направлении от центра, новые фасеты образуются на разделённых элементах (вершинах, рёбрах и т.д.). Эти же операции можно понимать как операции, сохраняющие фасеты на месте, но уменьшающие их в размерах.

Под политопом понимается многомерный многогранник и далее в статье эти понятия употребляются как синонимы (слово «многомерный» может быть опущено, если оно предполагается по смыслу)[1].

Растяжение правильного многомерного многогранника образует однородный политоп[en], но операция может быть применена к любому выпуклому политопу, как продемонстрировано для многогранников в статье «Нотация Конвея для многогранников». В случае трёхмерных многогранников растянутый многогранник имеет все грани исходного многогранника, все грани двойственного многогранника и дополнительные квадратные грани на месте исходных рёбер.

Растяжение правильных политопов[править | править код]

Согласно Коксетеру, это термин для многомерных тел был определён Алишией Буль Стотт[en][2] для создания новых многомерных многогранников. Точнее, для создания однородных многомерных многогранников[en] из правильных многомерных многогранников.

Операция растяжения симметрична для правильных политопов и им двойственных многогранников. Получающееся тело содержит фасеты как правильного многогранника, так и двойственного ему многогранника, а также дополнительные призматические фасеты, заполняющие пространство между элементами меньшей размерности.

Растяжение до некоторой степени имеет различное значение для разных размерностей. В построении Витхоффа растяжение генерируется отражением от первого и последнего зеркала. В более высоких размерностях растяжение может быть записано с помощью (нижнего) индекса, так что e2 — это то же самое, что и t0,2 в любой размерности.

Замечание: Названия операций над многогранниками в русскоязычной литературе не устоялись, так что ниже даны английские названия с переводом.

По размерностям:

  • Правильный {p} многоугольник растягивается в правильный 2p-угольник.
  • Правильный {p,q} многогранник (3-мерный политоп) растягивается в многогранник с вершинную фигуру p.4.q.4.
    • Для многогранников эта операция носит название «cantellation» (скашивание), e{p,q} = e2{p,q} = t0,2{p,q} = rr{p,q}, и операция имеет диаграмму Коксетера .

      Например, ромбокубооктаэдр может быть назван растянутым кубом, растянутым октаэдром, а также скошенным кубом или скошенным октаэдром.

  • Правильный {p,q,r} четырёхмерный многогранник (4-политоп) растягивается в новый 4-мерный политоп с теми же {p,q} ячейками, новые ячейки {r,q} образуются на месте старых вершин, p-угольные призмы образуются на месте старых (2-мерных) граней и r-угольные призмы на месте старых рёбер.
  • Подобным же образом правильный {p,q,r,s} пятимерный многогранник растягивается в новый 5-мерный политоп с фасетами {p,q,r}, {s,r,q}, призмами[en] {p,q}×{ }, призмами {s,r}×{ } и дуопризмами {p}×{s}.
    • Операция называется «sterication»[en] (обрубание), e{p,q,r,s} = e4{p,q,r,s} = t0,4{p,q,r,s} = 2r2r{p,q,r,s} и операция имеет диаграмму Коксетера .

Общая операция растяжения правильного n-мерного многогранника — t0,n-1{p,q,r,…}. Новые правильные фасеты добавляются на место каждой вершины и новые призматические политопы добавляются для каждого разделённого ребра, (двумерной) грани и т.д..

См. также[править | править код]

  • Нотация Конвея для многогранников

Примечания[править | править код]

  1. ↑ В русскоязычной литературе под правильными политопами (многогранниками размерности > 3) и многогранниками обычно понимают выпуклые тела, в англоязычной литературе звёздчатые правильные многогранники тоже считаются правильными политопами (многогранниками)
  2. ↑ Coxeter, 1973, с. 123,210.

Литература[править | править код]

  • H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes. — third edition. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8.. Первое издание: Methuen & Co. Ltd., London, 1948
  • Weisstein, Eric W. Expansion (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Norman Johnson. Uniform Polytopes. — 1991. — (рукопись).

    • N.W. Johnson. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — Ph.D. University of Toronto, 1966. — (Ph.D. Dissertation).
Операции над многогранниками

ОсноваУсечениеПолное усечениеГлубокое усечение[en]Двойствен-
ность
РастяжениеВсеусечение[en]Альтернация[en]
t0{p, q}
{p, q}
t01{p,q}[en]
t{p, q}
t1{p,q}
r{p, q}
t12{p,q}[en]
2t{p, q}
t2{p, q}
2r{p, q}
t02{p,q}[en]
rr{p, q}
t012{p,q}[en]
tr{p, q}
ht0{p,q}[en]
h{q, p}
ht12{p,q}
s{q, p}
ht012{p,q}
sr{p, q}

Источник

§ 7. Первая позиционная задача. Построение точки пересечения прямой линии с плоскостью

Задача 7.1. Построить точку пересечения прямой п с плоскостью треугольника АВС. Определить видимость прямой п. (Рисунок 101)

Рисунок 101. Условие задачи 7.1.

Решение.

Задачи данного типа решаются в три этапа:

1. Проведение через заданную прямую вспомогательной проецирующей плоскости и нахождение линии пересечения этой вспомогательной плоскости с заданной плоскостью.

2. Построение точки пересечения прямой и плоскости, опираясь на результат этапа 1..

3. Определение видимости прямой.

1. Для решения задачи применяют проецирующую плоскость, проходящую через заданную прямую. Заключим прямую п в горизонтально проецирующую плоскость. Данная плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, на которой она отобразится в виде прямой, совпадающей с проекцией п1 . Обозначим ее утолщенной линией и буквами ГП1 (рисунок 102).

ГП пересекает стороны ΔАВС в точках 1 и 2: в точке 1 – со стороной АВ, а в точке 2 – со стороной ВС. Покажем проекции этих точек на эпюре (см. рис. 102).

Можно утверждать, что ГП, проведенная через прямую п пересекает плоскость треугольника АВС по прямой, проходящей через точки 1 и 2. На горизонтальной проекции эта прямая совпадает с прямой п (как и все другие прямые, лежащие в плоскости ГП), а на фронтальной проекции мы получаем эту прямую, соединив точки 12 и 22.

Рисунок 102.

2. На пересечении проекций прямых п2 и (12 — 22) построим точку К2, которая является фронтальной проекцией точки К — точки пересечения прямой п и прямой, проходящей через точки 1 и 2. Найдем проекцию К1, проведя линию связи с фронтальной проекции на горизонтальную до пересечения с проекцией прямой п1 (рисунок 103).

Рисунок 103.

3. Чтобы определить видимость прямой п, рассмотрим конкурирующие точки (рисунок 104)

Рисунок 104. Определение видимости прямой с помощью конкурирующих точек.

Конкурирующими называются две точки, одна из проекций которых совпадает. На горизонтальной проекции рассмотрим конкурирующие точки, лежащие на стороне АВ (проекция А1В1) и прямой п (проекция п1). Их горизонтальная проекция совпадает – это точка 11. Если мы посмотрим на фронтальную проекцию эпюра, направив взгляд по проекционной линии связи, то увидим, что Прямая АВ лежит выше, чем прямая п, а это значит, что на горизонтальной проекции сторона А1В1 перекрывает прямую п1 , которая после пересечения с А1В1 становится невидимой. Далее, в точке К1 прямая как бы «протыкает» плоскость треугольника и становится видимой.

На фронтальной проекции также рассмотрим конкурирующие точки на прямой АВ (проекция А2В2) и прямой п (проекция п2). Направляем взгляд по стрелке вниз (рис. 104) и видим, что точка, расположенная на прямой п ближе к нам (ниже на эпюре), поэтому прямая п2 в месте пересечения со стороной А2В2 видимая, а после прохождения точки К2 становится невидимой.

Окончательно решение задачи выглядит так, как показано на рисунке 105.

Рисунок 105. Решение задачи 1.

Задача 7. 2. Построить точку пересечения прямой а с плоскостью, заданной параллельными прямыми m и n. Определить видимость прямой а. (Рисунок 106).

Рисунок 106. Исходные данные задачи 7.2.

Решение:

Данную задачу решаем аналогично задаче 1.Для разнообразия вместо горизонтально проецирующей плоскости проведем фронтально проецирующую – результат решения от этого не изменится. Заключим прямую а в фронтально-проецирующую плоскость ФП, обозначив ее на эпюре как ФП2.

Плоскость ФП, проведенная через прямую а пересекает заданную плоскость по прямой, проходящей через точки 1 и 2. фронтальной проекции эта прямая совпадает с прямой п, а на горизонтальной проекции мы получаем эту прямую, соединив точки 12 и 21. Получив на эпюре точку N1 от пересечения прямой (11-21) и а1, «поднимаем» от нее линию связи на фронтальную проекцию и получаем на проекции а2 точку N2.

Видимость прямой определяем методом конкурирующих точек. Решение задачи представлено на рисунке 107.

Рисунок 107. Решение задачи 7.2.

Задача 7.3. Построить точку пересечения прямой l с плоскостью α, заданной следами . Определить видимость прямой l. (Рисунок 108).

Рисунок 108. Исходные данные к задаче 7.3.

Решение.

Заключим прямую l в горизонтально-проецирующую плоскость ГП и найдем точки пересечения этой плоскости со следами заданной плоскости α. Точка 1 – это точка пересечения ГП с горизонтальным следом α1, а точка 2 – это точка пересечения ГП с фронтальным следом α2 (рисунок 109).

Поскольку следы плоскости – это прямые, принадлежащие плоскостям проекций и самой плоскости, то нахождение проекций точек пересечения их с вспомогательной плоскостью ГП не представляет затруднений (см. рис. 109).

Рисунок 109. Решение задачи 7.3.

Также как и в двух предыдущих задачах, проведем прямую (1-2), являющуюся результатом пересечения ГП и плоскости α. Фронтальная проекция этой прямой представлена отрезком [12-22], а ее горизонтальная проекция совпадает с проекцией l1. Теперь мы можем получить проекцию М2, и «опустив» ее на плоскость Н получаем проекцию М1. Точка пересечения Прямой l и плоскости α найдена.

Видимость в данном случае легко определить интуитивно, поскольку плоскость задана следами. Применение метода конкурирующих точек также дает верное решение.

Упражнение 7.

Построить точку пересечения прямой l с плоскостью, заданной пересекающимися прямыми а и b. Определить видимость прямой l. (Рисунок 110)

Рисунок 110. Задание к упражнению 7.

Источник

Если общая точка у прямой и плоскости одна, то говорят, что прямая пересекает плоскость.

Если прямая и плоскость имеют хотя бы две общих точки, то по аксиоме прямой и плоскости прямая лежит в плоскости.

Возможен и третий случай.

Определение

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Теорема (признак параллельности прямой и плоскости)

Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то эти прямая и плоскость параллельны.

Пусть прямая $a$ параллельна прямой $b$ лежащей в плоскости $alpha$, но не лежит в ней. Предположим противное: $a$ не параллельна $alpha$. Так как $a$ не лежит в $alpha$, то они имеют ровно одну общую точку. По признаку скрещивающихся прямых (если одна из двух прямых лежит в плоскости, а вторая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещиваются) $a$ и $b$ скрещиваются, а не параллельны. Противоречие.

Теорема (о линии пересечения)

Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Пусть плоскость $alpha$ проходит через прямую $a$, параллельную плоскости $beta$, и пересекает плоскость $beta$ по прямой $b$.

Прямые $a$ и $b$ лежат в $alpha$. Если бы они имели общую точку, то прямая $a$ не была бы параллельна плоскости $beta$, так как прямая $b$ лежит в плоскости $beta$, что противоречит условию. Следовательно, прямые $a$ и $b$ параллельны.

Следствие 1

Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причём эти плоскости пересекаются, то их линия пересечения параллельна каждой из данных прямых.

Пусть параллельные прямые $a$ и $b$ лежат в плоскостях $alpha$ и $beta$ соответственно, а плоскости пересекаются по прямой $c$. Докажем, что $c$ параллельна прямым $a$ и $b$.

Прямая $a$ параллельна прямой $b subset beta$, а значит и плоскости $beta$ по признаку параллельности прямой и плоскости. Применив теорему о линии пересечения, получим, что $c parallel a$. Аналогично доказывается, что $c parallel b$.

Следствие 2 (транзитивность параллельности прямых)

Если прямая $a$ параллельна прямой $b$, а прямая $b$ параллельна прямой $c$, то $a$ параллельна $c$.

Если все три прямые лежат в одной плоскости, то это известная теорема планиметрии. Предположим, что это не так. Возьмем на прямой $a$ точку $M$ и проведём через прямую $c$ и точку $M$ плоскость $alpha$, а через прямую $b$ и точку $M$ плоскость $beta$. Линия пересечения плоскостей $alpha$ и $beta$, согласно предыдущему следствию, параллельна прямым $b$ и $c$. Но через точку $M$ можно провести только одну прямую, параллельную прямой $b$, значит, $a$ является линией пересечения плоскостей $alpha$ и $beta$ и параллельна $c$.

Следствие 3

Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна их линии пересечения.

Пусть плоскости $alpha$ и $beta$ пересекаются по прямой $a$, а прямая $b$ параллельна плоскостям $alpha$ и $beta$.

Возьмем точку $M$ на прямой $a$ и проведём плоскость $gamma$ через прямую $b$ и точку $M$. По теореме о линии пересечения плоскость $gamma$ пересекает плоскости $alpha$ и $beta$ по параллельным прямой $b$ прямым $a_1$ и $a_2$. Если прямые $a_1$ и $a_2$ различны, то по предыдущему следствию они параллельны. Но прямые $a_1$ и $a_2$ имеют общую точку — точку $M$. Следовательно, прямые $a_1$ и $a_2$ совпадают и плоскости $alpha$ и $beta$ пересекаются с плоскостью $gamma$ по одной и той же прямой $a_1$. Следовательно, прямая $a_1$ принадлежит плоскостям $alpha$ и $beta$. Но их пересечение есть прямая $a$, значит прямые $a$ и $a_1$ совпадают.

Источник

Читайте также:  Растяжение мышц при беге