Растяжение или сжатие пластины
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник
[c.65]
Часто приходится иметь дело с ограниченными твердыми телами, например цилиндрическими стержнями и пластинами. Растяжение таких ограниченных участков сред происходит иначе, чем растяжение сплошной среды. Рассмотрим однородное растяжение вдоль оси стержня со свободной боковой поверхностью. Направим ось Xi по оси стержня. Единственной отличной от нуля компонентой напряжения будет Стц, так как на боковых стенках стержня напряжения должны обращаться в нуль, а в силу однородности деформации компоненты тензора напряжений постоянны по всему телу.
[c.444]
Перейдем к задаче о растяжении тонкой пластины (растяжение по нормали к трещине — задача I). Будем рассматривать ее как задачу
[c.129]
Здесь F — площадь поперечного сечения I — длина стержня, балки -момент сопротивления при изгибе 7 — о.севой момент инерции сечения — момент сопротивления при кручении — момент инерции при кручении h — толщина оболочки, пластины г — радиус оболочки, пластины Е, G — moj h упругости при растяжении и сдвиге соответственно а, а, 1, oi2, а% — коэффициенты, зависящие от условий закрепления, нагружения и коэффициента Пуассона /i.
[c.5]
Кольцевые ребра. Кольцевые ребра применяют наряду с обычными прямыми ребрами для увеличения жесткости круглых деталей типа дисков, днищ цилиндров и др. Механизм их действия своеобразен. Предположим, чю круглая пластина с кольцевым ребром изгибается приложенной в центре осевой силой Р (рис. 128, а). Деформации пластины передаются кольцу ребра его стенки стремятся разойтись к периферии (рис. 128, б). В кольце возникают напряжения растяжения, сдерживающие прогиб пластины. Кольцевое ребро, обращенное навстречу нагрузке (рис. 128, в), действует аналогично, с той лишь разницей, что оно подвергается сжатию в радиальных направлениях.
[c.240]
Втулки, в свою очередь, несут ролики, которые входят во впадины между зубьями на звездочках и сцепляются со звездочками. Благодаря роликам трение скольжения между цепью и звездочкой заменяется трением качения, что уменьшает износ зубьев звездочек. Пластины очерчивают контуром, напоминающим цифру 8 и приближающим пластины к телам равного сопротивления растяжению.
[c.251]
Выше было рассмотрено растяжение оболочки, не связанное с ее изгибом. Теперь рассмотрим случай изгиба, не связанного с растяжением. Удобнее всего это сделать на примере изгиба пластин.
[c.302]
Пластины, прогибы которых соизмеримы с толщиной, рассчитываются с учетом растяжения срединной поверхности.
[c.302]
Выше были рассмотрены случаи растяжения оболочек без изгиба (безмоментная теория) и изгиба пластин без растяжения. Теперь остановимся на более общем случае, когда в сечениях оболочки возникают и изгибающие моменты, и нормальные силы.
[c.315]
При укладке очередного валика Az (рис. 11.13, а) в результате поперечной усадки в нем возникают остаточные поперечные напряжения растяжения. Нижележащие участки металла шва оказывают сопротивление усадке слоя п, поэтому в них возникают сжимающие поперечные напряжения. Кроме этого, без закрепления пластин происходит угловая деформация, вызывающая пластические деформации удлинения Ву и соответственно поперечные напряжения растяжения Оу в нижних слоях наплавленного металла. Совокупное воздействие указанных факторов приводит к неравномерному распределению поперечных напряжений (кривая I на рис. 11.13, а). На поверхности шва растягивающие напряжения достигают 0,5ат и более. В корне
[c.428]
Как видим, при малых по сравнению с толщиной пластины перемещениях энергия деформации состоит из суммы энергий от растяжения и изгиба. Иначе говоря, растяжение и изгиб не влияют друг на друга и могут рассматриваться отдельно.
[c.199]
Рассмотрим пример. Пусть дана симметричная пластина единичной толщины с центральной трещиной при растяжении (рис. 5.1). Выберем контур по границе пластины. На верхней стороне пластины смещения равны нулю, на боковых — усилия равны нулю, и интеграл но этим сторонам пластины не дает вклада в величину G. На нижней стороне пластины 9 = О, qy = a, Ux = 0, м =Д.
[c.43]
Если величина стрелы прогиба при изгибе не превышает 7б толщины, пластина считается жесткой, при этом можно пренебречь напряжениями растяжения или сжатия в срединной поверхности. Когда эти напряжения будут одного порядка с изгиб-ными и ими пренебречь нельзя — пластина считается гибкой. Если прогиб пластины превышает ее толщину в 5 раз и более, ее принято считать мембраной. При этом пренебрегают собственными изгибными напряжениями в срединной поверхности.
[c.60]
Растяжение тела мы получим, оттягивая верхнюю пластину вверх (рис. 251), сжатие — нажимая на нее вниз (рис. 252). Изменение расстояний между пластинами происходит таким образом, что расстояния между соседними пластинами во всех точках остаются одинаковыми. Такая деформация называется однородным растяжением или сжатием.
[c.461]
О = (9=1). При этом для тонких пластин, в которых реализуется условия простого растяжения в вершине дефекта (О j = 2к, О2 = О3 = 0], выражение для угла 0 (рис. 3.8, а) с учетом (3.13) и (3.14) будет определяться первой из формул
[c.89]
Предположим теперь, что в пластине возникла трещина в направлении, перпендикулярном направлению растяжения, и трещина мала по сравнению с размерами пластины (рис. 48). Для простоты будем считать пластину бесконечной. Эта трещина не изменит существенно распределение напряжений в большей части пластины на расстоянии от трещины. Около концов трещины, конечно, возникнет концентрация напряжений, однако средний уровень напряжения в окрестности трещины понизится, так как образовалась новая свободная поверхность, на которой не действуют никакие нагрузки.
[c.73]
При изготовлении резервуаров, сосудов давления, как и других конструкций, избежать наличия в них дефектов не удается. Размер и форма этих дефектов определяются с помощью специальных методов контроля, а именно цветной, магнитной, радиографической или ультразвуковой дефектоскопией. Естественно, эти трещины малы по сравнению с размерами резервуара. Наиболее опасная ориентация трещины — это ортогональная максимальному растягивающему напряжению. При расчетах необходимо рассматривать самый худший вариант, поэтому можно считать, что в окрестности дефекта реализуется картина, аналогичная растяжению пластины с трещиной.
[c.77]
Рассматривая пластину как брус при внецентренном растяжении распределенной нагрузкой, получим для произвольного сечения внутренние усилия
[c.41]
Другой вид имеем, когда отношение а/б 80. .. 100 и пластина превращается в мембрану, которая может работать только при достаточно закрепленных краях на контуре. Ее сопротивление на изгиб оказывается ничтожно малым и основную роль в восприятии поперечной нагрузки играют усилия растяжения (а также сдвига) в срединной поверхности (рис. 6.2). Эти усилия, называемые мембранными, создают проекцию на вертикальную ось z и тем самым уравновешивают поперечную нагрузку, приложенную к каждому элементу мембраны.
[c.147]
Если wib превышает указанные ориентировочные пределы, то пластина одновременно работает и на изгиб, и как мембрана. Значимость этих факторов становится одного порядка, причем с ростом прогибов роль растяжения срединной поверхности возрастает. Такая пластина называется гибкой. Например, железобетонные плиты обычно бывают жесткими пластинами, а тонкие стальные листы в зависимости от нагрузки могут работать и как жесткие, и как гибкие. Здесь есть аналогия со стержнем, который, будучи достаточно тонким при закрепленных концах, работает как балка, а при больших прогибах начинает работать как нить на растяжение (см. 3.5, рис. 3.7).
[c.147]
Коэффициенты концентрации напряжений верхняя кривая — растяжение тонкой пластины с поперечным отверстием, h=P/F , где Ffi=b (D — а) нижняя кривая — изгиб вала с поперечным отверстием ан=М /1Г , где
[c.330]
Вязкость разрушения при плоском напряженном состоянии К с определяется, как правило, при растяжении широких, относительно тонких пластин с центральной щелью (ширина S=100-v-400 мм / = 2-н15 мм). Длина щели вместе с выращенными по ее концам трещинами составляет примерно 0,3 В. При определении Кс в расчет принимается начальный размер трещины (вместе со щелью).
[c.83]
Пластина значительной ширины с малым отверстием радиуса а в ее центральной части подвергается равномерному растяжению напряжениями а в направлении оси Xi (рис. 9.42), следовательно,
[c.302]
Растяжение пластины в направлениях осей Xi п с одинаковым напряжением о (рис. 9.44). Суммировав напряжения, определяемые по формулам (9.329) в произвольной точке К (г, 9) пластины при ее растяжении вдоль оси х с соответств уюш,ими напряжениями при растяжении в направлении оси х , которые можно вычислить по тем же формулам (9.329), подставив в них вместо угла 9 угол (п,/2 + 9), получим
[c.304]
Растяжение пластины напряжением а в направлении оси Xi и ее сжатие напряжением — о в направлении оси (рис. 9.45). Применяя метод суперпозиции и используя формулы (9.329) для рассмат-
[c.304]
ОДНООСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ
[c.321]
Иида, Кобаясн. Скорость распространения трещин в пластинах из сплава 7075-Т6 при циклическом растяжении и поперечном сдвиге//Теор. осн. инж, расчетов (серия Д),— 1969,-91, № 4,—С. 210—214.
[c.367]
При однородном растяжении пластины, изготовленной из оптически активного материала, мы никаких полос вообще не увидим. Будет происходить лишь периодическое затемнение или просветление изображения, когда возникающая деформация проходит через определепиое значение. В муаровом методе такое просветление следом за затемнением будет происходить тогда, когда задана не деформация, а перемещение одной сетки относительно другой ка]с
[c.523]
При ударе о поверхносчъ пластины снаряда либо при подрыве около нее детонирующего заряда с противоположной ее стороны может отслоиться или отколоться кусок материала (рис. 7.5,а). Чтобы понять механизм явления откола, рассмотрим импульс сжимающего напряжения, проходящий через пластину в результате удара о левую поверхность, изображенный на рис. 7.5,6. Когда волна сжатия проходит через пластину и достигает ее свободной. поверхности, она отражается от этой свободной поверхности в виде волны растяжения. Отраженная волна растяжения взаимодействует с падающей волной сжатия. Этот процесс изображен на рис.
[c.355]
Толщина свариваемых пластин из стали 12Х18Н10Т составила 110 мм . а из сплава АМгв — 50 мм. Образцы для исследования сечением 3,6×2,б мм вырезались поперек шва. Характер иротекания деформации определялся Измерением расстояния в процессе растяжения между отпечатками микрртвердости, которые наносились по сечению металла шва до начала испытания через 1 мм.
[c.146]
Пример 2. Растяжение пластины конечной ширины с центральной трешдной. Оценим протяженность поля напряжений, возмущенною наличием трещины. Для бесконечной пластины размер возмущенной зоны перед концом трещины равен а = 1/2. Следоиательно, если ширина пластины Ь 21+2а = Ы, то конечность ее ширины пе влияет па коэффициент интенсивности К = а]Ш.
[c.117]
На рис. 37.2 показан донритический рост трещин различной начальной длины при растяжении пластины из стали (а = —5,67).
[c.299]
При всем разнообразии деформаций тел оказывается возможным любую деформацию тела свести к двум основным типам деформаций, которые поэтому называю1ся элементарными деформациями. Этими элементарными деформациями являются растяжение (и сжатие) и сдвиг. Для того чтобы ясно представить себе эти основные деформации и их связь с другими типами деформаций, удобно пользоваться моделью, изображенной на рис. 250. Ряд одинаковых пластин (кусков фанеры) соединен между собой по четырем углам одинаковыми пружинами. Нижняя пластина прикреплена к столу.
[c.461]
Проблема учета механической неоднородности при оценке работоспособности сварных соединений и конструкций всегда привлекала внимание ученых. В настоящее время наиболее полно материал по данной проблеме изложен в монографиях /4, 9/. Здесь с единых теоретических позиций представлены математические зависимости о влиянии механической неоднородности и геометрических параметров мягких прослоек на несущую способность сварных соедине -ний. В частности, для сварных соединений из пластин (гиюская деформация) с мягкой прослойкой, геометрическая форма которой может быть самой разнообразной (рис. 1.7), получена следующая обобщающая зависимость для случая статического растяжения
[c.19]
Растяжение пластины с круглым отверстием (задача Кирша). Пусть радиус отверстия а в несколько раз меньше ширины пластины. Тогда можно считать, что имеем бесконечную пластину, растянутую напряжением = о и имеющую отверстие радиуса а (рис. 4.58). Выделим из пластины кольцо достаточно большого радиуса г = Ъ. Вдали от отверстия имеется простое растяжение Од. = о, поэтому по формулам (4.106) для наклонных нлош адок найдем напряжения
[c.121]
Если на расстяжение а наложим сжатие (—а) в перпендикулярном направлении, то, как известно, пластина в целом будет испытывать чистый сдвиг с касательным напряжением т = ст. Распределение напряжений ст у отверстия в этом случае показано на рис. 4.60. Коэффициент концентрации при одноосном растяжении у отверстия равен 3, а при чистом сдвиге — 4.
[c.123]
Образец — пластина шириной 100—200 мм с центральной щелью, испытание при ассиметричном растяжении.
[c.82]
Скорость роста трещины усталости определяют на пластинах с центральной щелью размером 2/ = 6- 10 мм при циклическом растяжении. Графическое дифференцирование кривой прирост трещины Д-2/— число циклов Л позволяет получить скорость роста трещины усталости dljdN в зависимости от размаха коэффициента интенсивности напряжений = у, где Да=атах OmiD — размах напряжений цикла.
[c.83]
ОДНОСТОРОННЕЕ РАСТЯЖЕНИЕ ПЛАСТИНЫ С МАЛЫМ КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ (ЗАДАЧА КИРША)
[c.302]
Источник