Растяжение и сжатие расчеты на срез и смятие

Сдвигом называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор — поперечная сила.

Рассмотрим брус, на который действуют две силы, равные по величине (рис. 20) и противоположно направленные. Эти силы перпендикулярны к оси бруса, и расстояние между ними ничтожно мало. При достаточной величине этих сил происходит срез.

Левая часть тела отделяется от правой по некоторому сечению АВ. Деформация, предшествующая срезу, которая заключается в перекашивании прямых углов элементарного параллелепипеда, называется сдвигом. На рис. 20, б показан сдвиг, происходящий в параллелепипеде до среза; прямоугольник abed превращается в параллелограмм abed‘. Величина ССК, на которую сечение cd сдвинулось относительно соседнего сечения ab, называется абсолютным сдвигом. Угол У, на который изменяются прямые углы параллелепипеда, называется относительным сдвигом.

Рис. 20. Схема деформации сдвига: а) перерезывающие силы, действующие на брус; б) деформация элемента бруса abed

Ввиду малости деформаций угол У можно определить следующим образом:

Очевидно, что в сечении АВ из шести внутренних силовых факторов будет возникать только поперечная сила Q, равная силе F:

Данная поперечная сила Q вызывает появление только касательных напряжений т.

Подобная картина наблюдается в деталях, служащих для соединения отдельных элементов машин, — заклепках, штифтах, болтах и т. п., так как они во многих случаях воспринимают нагрузки, перпендикулярные их продольной оси.

Поперечная нагрузка в указанных деталях возникает, в частности, при растяжении (сжатии) соединяемых элементов. На рис. 21 приведены примеры штифтового (а), заклепочного (б), болтового (в) и шпоночного (г) соединений. Такой же характер нагружения соединительных деталей имеет место и при передаче вращающего момента, например в соединении шестерни с валом с помощью штифта, который при передаче момент от шестерни к валу (или наоборот) несет нагрузку, перпендикулярную его оси.

Рис. 21. Схемы соединений:

а) штифтового; б) заклепочного; в) болтового; г) шпоночного

Действительные условия работы рассматриваемых деталей сложны и во многом зависят от технологии изготовления отдельных элементов конструкции и ее сборки.

Практические расчеты этих деталей носят весьма условный характер и базируются на следующих основных допущениях:

• 1. В поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор — поперечная сила Q.
• 2. Касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении, распределены по его площади равномерно.
• 3. В случае, если соединение осуществлено несколькими одинаковыми деталями (болтами и т. п.), принимается, что все они нагружены одинаково.

Разрушение соединительных элементов (в случае недостаточной прочности) происходит в результате их перерезывания по плоскости, совпадающей с поверхностью соприкосновения соединяемых деталей (см. рис. 21,6). Поэтому говорят, что эти элементы работают на срез, и возникающие в их поперечном сечении касательные напряжения также называют напряжениями среза и обозначают тср.

На основе сформулированных выше допущений получаем следующее условие прочности на срез:

где гСр — расчетное напряжение среза, возникающее в поперечном сечении рассчитываемой детали; Q — поперечная сила, вызывающая срез соединительных элементов (болтов, заклепок и т. п.); [тср] — допускаемое напряжение на срез, зависящее от материала соединительных элементов и условий работы конструкции; ZAcp — суммарная площадь среза: LAcp — Асрт (здесь Аср — площадь среза одного соединительного элемента; z — число соединительных элементов; / — количество плоскостей среза в одном соединительном элементе).

В машиностроении при расчете штифтов, болтов, шпонок и т. д. принимают [тср] = (0,5…0,6)*[о] — для пластичных материалов и [хср] = (0,8… 1,0)-[а] — для хрупких материалов. Меньшие значения принимают при невысокой точности определения действующих нагрузок и возможности не строго статического нагружения.

Формула (30) является зависимостью для проверочного расчета соединения на срез. В зависимости от постановки задачи она может быть преобразована для определения допускаемой нагрузки или требуемой площади сечения (проектный расчет).

Расчет на срез обеспечивает прочность соединительных элементов, но не гарантирует надежности конструкции (узла) в целом. Если толщина соединяемых элементов недостаточна, то давления, возникающие между стенками их отверстий и соединительными деталями, получаются недопустимо большими. В результате стенки отверстий обминаются и соединение становится ненадежным. В случае, если изменение формы отверстия значительно (при больших давлениях), а расстояние от его центра до края элемента невелико, часть элемента может срезаться (выколоться).

При этом давления, возникающие между поверхностями отверстий и соединительных деталей (рис. 22, а)у принято называть напряжениями смятия и обозначать их Ос*. Соответственно расчет, обеспечивающий выбор таких размеров деталей, при которых не будет значительных деформаций стенок отверстий, называют расчетом на смятие. Распределение напряжений смятия на поверхности контакта деталей весьма неопределенно (рис. 22, б) ив значительной степени зависит от зазора (в нена- груженном состоянии) между стенками отверстия и болтом (заклепкой и др.).

Рис. 22. Передача давлений на стержень заклепки: а) общий вид заклепочного соединения; б) распределение напряжений по образующей; в) площадь смятия заклепки

Расчет на смятие также носит условный характер и ведется в предположении, что силы взаимодействия между деталями равномерно распределены по поверхности контакта и во всех точках нормальны к этой поверхности.

Соответствующая расчетная формула имеет вид

где F — нагрузка, вызывающая смятие; 1АСМ — суммарная площадь смятия; [С„] — допускаемое напряжение на смятие, устанавливаемое опытным путем. В расчетах принимают: [асм = (2,..2,5)-[[ас] — допускаемое напряжение на сжатие того из контактирующих материалов, прочность которого меньше.

За расчетную площадь смятия при контакте по плоскости (рис. 21, г) принимают действительную площадь соприкосновения Асм = 1-1, где / — размер шпонки в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа; при контакте по цилиндрической поверхности (см. рис. 21, а, б, в и рис. 22, а, в) за расчетную площадь принимают площадь проекции поверхности контакта на диаметральную плоскость, т. е. Асм = d-d. При различной толщине соединяемых деталей в расчетную формулу следует подставлять d„i„. Суммарная площадь смятия ?АСМ = ACM-z (где z — число соединительных элементов).

Как уже говорили, в некоторых конструкциях соединительные детали (штифты, шпонки) работают на срез по продольным сечениям (см. рис. 21, г); предпосылки расчета и его методика остаются такими же, как и при срезе по поперечным сечениям.

Помимо расчетов на срез и смятие необходима проверка прочности соединяемых элементов на растяжение по ослабленному сечению. При этом площадь поперечного сечения принимается с учетом ослаблений:

где А„етто — площадь ослабленного сечения.

На рис. 23 показано болтовое соединение. Силы F стремятся сдвинуть листы относительно друг друга. Этому препятствует болт, на который со стороны каждого листа передаются распределенные по контактной поверхности силы, равнодействующие которых равны F. Эти силы стремятся срезать болт по плоскости раздела листов т — л, так как в этом сечении действует максимальная поперечная сила Q = F.

Считая, что касательные напряжения распределены равномерно, получаем

Рис. 23. Болтовое соединение: а) общий вид; б) площадь смятия

Таким образом, условие прочности болта на срез принимает вид

Отсюда можно найти диаметр болта:

При расчете данного болтового соединения следует учитывать, что нагрузки, приложенные к элементам соединений, помимо среза вызывают смятие контактирующих поверхностей.

где Аа, — представляет собой площадь проекции поверхности контакта на диаметральную плоскость (см. рис. 22, б, в): Аш = 3 d.

Тогда условие прочности на смятие болтового соединения (см. рис. 23)

откуда получаем

Чтобы были удовлетворены условия прочности на срез и на смятие, из двух найденных диаметров следует взять больший, округлив его до стандартного значения.

На срез принято рассчитывать и некоторые сварные соединения (рис. 24).

Рис. 24. Схема сварного соединения: а) расчетная схема углового шва; б) площадь среза ABCD сварного шва

Если не учитывать наплывы, то в разрезе угловой шов имеет форму равнобедренного прямоугольного треугольника (см. рис. 24, а). Разрушение шва будет происходить по его минимальному сечению ABCD (см. рис. 24, б), высота которого к = 3- cos 45° =0,73 .

Для нахлесточного сварного соединения в расчет вводят оба шва. Запишем в этом случае условие прочности шва:

где /т- расчетная длина торцевого шва; т,- допускаемое напряжение для сварных соединений.

Поскольку в начале и в конце шва из-за непровара качество его ухудшается, действительную его длину увеличивают по сравнению с расчетной на 10 мм:

где / — действительная длина шва (на рис. 24, 6:1 = Ь).

Детали, работающие на сдвиг (срез) и смятие

1. Ось (рис. 25, а). В случае, если толщина детали 2 меньше, Ат = Sd;

где / — количество плоскостей (площадей) среза.

2. Болт (рис. 25, б). В этом случае Аср -ndh

Рис. 25. Соединения деталей: а) осью; б) болтом

3. Заклепка односрезная (рис. 26, а двухсрезная (рис. 26, б).

Рис. 26. Расчетная схема заклепочного соединения: а) с одной плоскостью среза; б) с двумя плоскостями среза

• 4. Шпонки (рис. 27, а) работают на срез и смятие, но рассчитываются, в основном, только на смятие. Площади среза и смятия определяются по формулам Аср= Ья1 ACM=lt.
• 5. Сварное соединение (рис. 27, б).

Угловой шов разрушается под углом 45° к плоскости разъема в результате среза: к — катет углового шва, подбирается по толщине свариваемого листа.

Двусторонний шов: Аср=2-0уЪсЬ = 1,4 к Ь.

Рис. 27. Соединения: а) шпоночное; б) сварное

Пример 6. Определить требуемое число заклепок в соединении двух листов, нагруженных силами F = 85 кН (рис. 28). Диаметр заклепок d = 16 мм. Допускаемые напряжения [гср] = 100 МПа, [си] = 240 МПа.

Решение

Из условия прочности на срез

где АСр=к d 2 / 4 — площадь среза; z — количество заклепок.

Тогда

Рис. 28. К примеру расчета заклепочного соединения

Из условия прочности на смятие
где Асм = dS- площадь смятия; z — количество заклепок, получаем

Вывод: для того чтобы не произошло ни среза, ни смятия заклепок, следует установить пять заклепок.

Пример 7. Стальной болт (рис. 29) нагружен силой F= 120 кН. Определить его диаметр d и высоту головки И, если допускаемые напряжения [ор] = 120 МПа, [zcp = бОМПа.

Решение

Определим диаметр болта из условия прочности на растяжение:

откуда

С некоторым округлением принимаем d= 36 мм.

Головка болта может срезаться по цилиндрической поверхности, условно отмеченной на рис. 29 волнистыми линиями. Площадь этой поверхности Аср= ndh.

Рис. 29. Пример расчета болтового соединения

Условие прочности на срез

откуда

Округляя, окончательно принимаем h = 18 мм.

Пример 8. Проверить, удовлетворяют ли условию прочности лобовые швы двух стальных полос, сваренных внахлестку (рис. 30) и находящихся под нагрузкой F- 120 кН. Допускаемое напряжение [гэ] = 80 МПа. Ширина полос Ь- 150 мм и толщина их

Решение

Соединение может разрушиться от разрыва лобовых швов по вертикальным катетам сс’ или от среза этих швов по горизонтальным катетам сс». Однако практика показывает, что шов разрушается по биссекторному сечению, высота которого

где к — катет шва, в нашем случае к = 8.

Такой шов рассчитывают условно на срез по биссекторному сечению из условия прочности:

где Аср = 0,7 ЗЬ — площадь среза одного сварного шва.

Рис. 30. Пример расчета сварного соединения

Вывод: швы недогружены.

Пример 9. Вал передает крутящий момент, равный 27 кН м при помощи шлицевого соединения (рис. 31). Диаметр вала D = 80 мм, внутренний диаметр d = 68 мм, высота шлица h = 6 мм, ширина шлица b — 12 мм, длина соединения / = 100 мм. Число шлицев 2 = 6. Определить напряжения среза и смятия шлица.

Рис. 31. Расчет шлицевого соединения

Решение

Полагая, что все шлицы нагружены одинаково, найдем усилие, приходящееся на один шлиц:

Определим напряжение среза:

Определим напряжение смятия: