Растяжение и сжатие прямолинейного стержня
1. Определение внутренних сил в растягиваемых и сжимаемых стержнях.
2. напряжения при растяжении (сжатии) прямого стержня. Понятие о допускаемом напряжении.
3. Определение деформаций и перемещений. Закон Гука.
4. Опытное изучение свойств материалов.
Растяжение и сжатие – это простой и часто встречающийся случай напряженного состояния элементов конструкции и деталей машин.
В таких условиях работает буксировочный канат или трос подъемного механизма, колонна здания.
Чистое (центральное) растяжение или сжатие возникает в элементе конструкции, если внешняя нагрузка вызывает в нем только одно внутреннее усилие, которое сопротивляется этой внешней нагрузке, — нормальную продольную силу.
При определении значений внутренних нормальных сил, действующих в поперечных сечениях стержней, примем следующее правило знаков:
— нормальная сила положительна, если сопротивляется растяжению стержня;
— нормальная сила отрицательна – если сопротивляется сжатию.
Для определения значений внутренней нормальной силы в любом из поперечных сечений используется метод сечений.
Пусть прямой стержень постоянной толщиной в одном конце закреплен, а к его другому торцу приложена растягивающая его вдоль оси стержня внешняя сила F.
Какое по величине внутреннее продольное усилие возникает в некотором поперечном сечении стержня n-n?
Прежде всего, отметим, что под действием закрепления и внешней силы стержень растягивается (деформируется), но никуда не движется, т.е. остается в равновесии.
Удобно вначале мысленно «снять» со стержня закрепление. Заменим его влияние на стержень эквивалентно действующей внешней силой. Эта сила равна реакции закрепления.
Т.е. в закреплении возникает некоторое усилие, благодаря которому верхний край стержня остается неподвижным. Это усилие называют реакцией закрепления на внешнюю нагрузку, передающееся на это закрепление через деформируемый стержень.
Незакрепленный стержень, теперь уже под действием двух внешних воздействий: известной силы и неизвестной пока реакции также никуда не движется, т.е. находится в равновесии.
Определить величину реакции поможет математическая формулировка этого факта.
Проведем координатную ось Оz, для удобства совпадающую с осью стержня. Стержень никуда не движется под действием силы и реакции в частности, не движется и вдоль оси, потому что проекции этих внешних сил на ось уравновешивают друг друга.
Такого рода факт в механике формулируется уравнением общего равновесия стержня: суммарная проекция на ось Оz всех действующих на стержень внешних сил, равна нулю:
При построении уравнений общего равновесия механики принято использовать следующее правило знаков:
· Проекция усилия на ось положительна, если ее направление совпадает с выбранным направлением этой оси;
· И наоборот – проекция отрицательна, если направлена в противоположную сторону.
Эпюры – графики внутренних усилий, напряжений, перемещений, деформаций, возникающих в элементах конструкций и деталях машин под воздействием внешней нагрузки.
Напряжения при растяжении (сжатии) прямого стержня
Предположим, растягивающую брус внешнюю силу удалось распределить равномерно по его торцам.
Опыты показывают. Что в этом случае каждое продольное волокно бруса подвержено только растяжению и в любом его поперечном сечении внутренние силы действуют только по нормали к этим сечениям.
Поперечные сечения бруса, плоские до деформации, под действием внешних сил перемещаются параллельно своему начальному положению и остаются постоянными.
Растягивающие стержень внешние силы не всегда удается распределить по площади стержня равномерно.
Но опыты показывают, что поведение поперечных сечений растягиваемых стержней, расположенных на некотором расстоянии от места приложения внешней нагрузки, уже не зависит от способа приложения этих сил и всегда соответствует гипотезе плоских сечений.
При рассмотрении деформаций растяжения или сжатия, а также при рассмотрении последующих простых деформаций нами будет рассматриваться принцип Сен-Венана, названный по имени французского ученого XIX века, который заключается в том, что внутренние силовые факторы, возникающие в результате действия внешних сил, распределяются по сечениям рассматриваемого тела равномерно.
Рассмотрим стержень, подверженный действию продольных сил
Если на поверхность призматического стержня нанести сетку линий параллельных и перпендикулярных оси стержня, и приложить к нему растягивающую силу, то можно убедиться в том, что линии сетки и после деформации останутся взаимно-перпендикулярными, но расстояние между ними изменятся.
Все горизонтальные линии, например, cd, переместятся вниз, оставаясь горизонтальными и прямыми.
Можно предположить, что и внутри стержня будет происходить то же самое, т.е. поперечные сечения стержня плоские и нормальные к его оси до деформации, останутся плоскими и нормальными к оси и после деформации.
Эту гипотезу называют гипотезой плоских сечений (гипотезой Бернулли).
Продольная сила N есть равнодействующая нормальных напряжений в поперечном сечении:
поскольку , то
, отсюда
В частном случае, когда на стержень действует одна внешняя сила, из уравнения равновесия получим:
И вместо общей формулы получим частный вид формулы для растяжения:
Эти формулы справедливы и для сжатия, с той только разницей, что сжимающие напряжения считаются отрицательными.
Кроме того, сжатые стержни помимо расчета на прочность рассчитываются также и на устойчивость.
Очевидно, что эти напряжения в реальных условиях нельзя создавать больше или много меньше определенной величины. Поэтому вводится понятие допускаемого напряжения: — условие прочности.
Определение деформаций и перемещений. Закон Гука.
Опыты показывают, что при растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры уменьшаются, при сжатии – наоборот.
Для многих материалов при нагружении до определенных пределов опыты показали следующую зависимость между относительным удлинением стержня и напряжением :
, где
— абсолютное удлинение стержня
— длина образца до деформации
— длина образца после деформации
Эта зависимость носит название закона Гука и формулируется следующим образом: линейные деформации прямо пропорциональны нормальным напряжениям.
— коэффициент, зависящий от материала, т.е. его способность сопротивляться деформированию. Он характеризует жесткость материала, т.е. его способность сопротивляться деформированию.
Для ст.3 .
Для других материалов значение можно найти в справочниках.
Имея ввиду, что для стержня постоянного сечения:
, а
Можно получить формулу для определения полного (абсолютного) удлинения (укорочения) стержня:
Между продольным удлинением и поперечным существует зависимость:
Здесь — коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона),который характеризует способность материала к поперечным деформациям.
При пользовании этой формулой удлинение считается положительным, а укорочение – отрицательным.
Для всех материалов .
Для стали при упругих деформациях можно принимать =0,3.
Зная можно определить полное поперечное сужение или расширение стержня : , где — поперечный размер стержня до деформации
— поперечный размер стержня после деформации.
В стержнях переменного сечения напряжения в поперечных сечениях можно считать распределенными равномерно (если угол конусности ) и определять их по той же формуле, что и для стержня постоянного сечения.
Для определения деформаций стержня переменного сечения, в поперечных сечениях которого действует продольная сила N, найдем сначала удлинение элемента длиной , которое является дифференциалом полного удлинения .
Согласно закону Гука, имеем:
Полное удлинение стержня получим, интегрируя выражение в пределах :
, если и — величины постоянные, то
Чтобы воспользоваться этой формулой, необходимо знать закон изменения в зависимости от .
Для ступенчатых стержней интегрирование заменяется суммирование, и полное изменение длины бруса определяется как алгебраическая сумма деформаций его отдельных частей, в пределах которых :
Например, для стержня изображенного на схеме, имеем:
Определим теперь удлинение стержня постоянного сечения под действием силы тяжести, которая представляет собой нагрузку, равномерно распределенную вдоль стержня.
Удельный вес материала обозначим через .
Рассмотрим деформацию элемента , выделенного на расстоянии от нижнего конца.
Удлинение элемента равно:
Интегрируя это выражение в пределах, получим
Это выражение можно представить в другом виде, если учесть, что сила тяжести бруса равна: или , тогда получим — формула по определению перемещения с учетом собственного веса при известной длине
Следовательно, удлинение бруса постоянного сечения от собственной силы тяжести в два раза меньше удлинения от действия силы, равной силе тяжести и приложенной к его концу.
Опытное изучение свойств материалов
Для изучения свойств материалов и установления значения предельных (по разрушению или по пластическим деформациям) производят испытания образцов материала вплоть до разрушения. По виду деформации различают испытания на растяжение, сжатие, кручение и изгиб.
Испытания производят при статической и ударной (испытание на усталость и выносливость) нагрузках на ГМС – 50.
Цель испытания на растяжение – определение механических характеристик материала.
При проведении испытания автоматически записывается диаграмма зависимости между растягивающей силой и удлинением образца.
Условия и порядок выполнения работы
1. Стальной стержень ступенчатого сечения находится под действием внешней силы и собственного веса.
2. Необходимо построить эпюры:
· нормальных продольных сил
· нормальных напряжений
· перемещения сечений стержня относительно жесткой заделки.
Площадь большего поперечного сечения стержня в 2 раза превышает меньшую.
Источник
Растяжение (сжатие) – это такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечном сечении возникает внутренняя продольная сила Ν, действующая вдоль центральной оси z.
Продольная сила Ν – это равнодействующая всех внутренних нормальных сил в сечении. Для вычисления продольной силы применяется метод сечений.
Продольная сила Ν численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось бруса.
Правило знаков для продольной силы Ν: при растяжении продольная сила положительна, при сжатии – отрицательна.
График изменения продольных сил по длине стержня называется эпюрой. Эпюра N строится методом сечений на характерных участках бруса. Строится эпюра для использования ее при расчете бруса на прочность. Она дает возможность найти наибольшие значения продольных сил и положение сечений, в которых они возникают.
При растяжении (сжатии) возникают только нормальные напряжения. Согласно гипотезе Я. Бернулли (или гипотеза плоских сечений) в поперечных сечениях, удаленных от места приложения нагрузок, нормальные напряжения распределяются по сечению практически равномерно, а сами сечения, перпендикулярные к оси стержня z, остаются плоскими в процессе нагружения.
Нормальные напряжения в сечении при растяжении (сжатии) вычисляются по формуле
где А – площадь поперечного сечения.
Правило знаков для σ совпадает с правилом знаков для N.
В наклонном сечении, нормаль к которому составляет угол α с осью стержня z,
При растяжении в продольном направлении стержень удлиняется, а его поперечные размеры уменьшаются, при сжатии, напротив, в продольном направлении стержень укорачивается, а его поперечные размеры увеличиваются; Δℓ — абсолютное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, Δb – абсолютная поперечная деформация.
Относительное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, называемое линейной деформацией, определяется следующим образом
ε=Δℓ/ℓ.
Экспериментально установлено, что в определенной области нагрузок при упругом поведении материала между нормальными напряжениями и линейными деформациями существует линейная зависимость (закон Гука для напряжений)
σ=εЕ,
где Е – модуль продольной упругости или модуль Юнга, это физическая const. Для каждого из материалов величина модуля упругости имеет свое значение:
сталь, Е = 2.105 МПа,
медь, Е = 1.105 МПа,
алюминий, Е = 0,7.105 МПа.
Значение модуля упругости устанавливается экспериментально.
Согласно закону Гука (данную запись называют законом Гука для деформаций)
Δℓ=Νℓ/ЕА
Произведение ЕА – называется жесткостью стержня при растяжении – сжатии.
Перемещение произвольного сечения ступенчатого стержня
w=∑Δℓi
Относительная поперечная деформация:
ε′=Δb/b
где b – поперечный размер стержня.
Эксперименты также показывают, что в упругой стадии деформирования между продольной и поперечной деформациями существует взаимосвязь
μ =│ε′⁄ε│ — const,
где μ — коэффициент Пуассона, берется по модулю ,поскольку у продольной и поперечной деформации разные знаки (при растяжении продольные волокна увеличиваются, а поперечные уменьшаются в размере).
Для твердых материалов имеет значения коэффициент Пуассона
0≤μ ≤0,5
Изменение температуры стержня вызывает его удлинение (при нагревании) или укорочение (при охлаждении)
где — a- коэффициент линейного температурного расширения; Δtº=(tºк-tºн) — изменение температуры между значениями начальным (tºн) и конечным (tºк).
Статически неопределимыми называют системы, имеющие лишние связи – внешние или внутренние.
Для определения внутренних усилий в таких системах недостаточно рассматривать только уравнения равновесия.
В этом случае требуются дополнительные уравнения, число которых равно количеству лишних связей. Дополнительные уравнения составляются на основе анализа картины деформирования системы и использования законов деформирования ее элементов.
Алгоритм решения подобных задач включает следующее:
1) Статическая часть. Составляются уравнения равновесия с включением неизвестных усилий, действующих по направлению лишних связей.
2) Геометрическая часть. Составляются уравнения, описывающие взаимосвязь перемещений характерных точек, удлинений и укорочений отдельных стержней между собой.
3) Физическая связь. Записываются законы деформирования отдельных стержней системы.
Порядок расчета статически неопределимых брусьев
- Задаться направлениями возможных опорных реакций и составить уравнение статики для всей системы в целом.
- Определить степень статической неопределимости и использовать метод сечений с целью выразить неизвестные усилия через неизвестные опорные реакции. При этом неизвестные продольные силы (N) следует предполагать положительными и поэтому направлять «от сечения».
- Сформулировать условие совместности деформаций участков бруса.
- В процессе превращения условия совместности в уравнение совместности деформаций различий в характере деформаций участков не учитывать.
Порядок расчета статически неопределимых шарнирно-стержневых систем
- Задаться направлениями опорных реакций, но уравнений равновесия для всей системы не составлять, а сразу использовать метод сечений и составить уравнения статики для выделенной части системы.
- Определить степень статической неопределимости как разницу между количеством всех неизвестных, оказавшихся в уравнениях статики, и числом самих этих уравнений.
- Рассмотреть (изобразить) любую возможную картину деформаций системы и из ее анализа сформулировать условия совместности деформаций стержней системы (столько, какова степень статической неопределимости).
- В процессе преобразования условий совместности в уравнения совместности деформаций обязательно учитывать различие в характере деформаций стержней (т.е. вводить удлинение со знаком «плюс», а укорочение со знаком «минус») в соответствии с той картиной деформации, которую мы рассматриваем.
Источник
2.6.1. Построение эпюр продольных сил
Рассмотрим случай осевого растяжения или сжатия, при котором внешние силы действуют по оси стержня. Для определения внутренних усилий (продольных осевых сил) применим метод сечений. Вначале определим реакцию связи RA.
.
Проводим сечение n-n, отбрасываем верхнюю часть и рассматриваем равновесие оставшейся части (рис. 2.12). Воздействие отброшенной части заменяем внутренним усилием N1. Под действием двух внешних сил 7F и 2F и внутреннего усилия N1 оставшаяся часть бруса будет находиться в равновесии. Составляем уравнение равновесия в виде суммы проекций всех сил на вертикальную ось и находим N1:
Таким образом, в сечении n-n действует растягивающее усилие, величина которого равна 5F. Очевидно, что такой же результат получится, если сечение провести в любом месте на участке от точки приложения силы 7F до точки А. Рассуждая аналогичным образом, определим внутреннее усилие в сечении m-m. В этом сечении действует сжимающее усилие равное 2F. Принято растягивающее усилие считать положительным, а сжимающее – отрицательным.
Рис. 2.12
Построим график изменения продольных сил по оси стержня. Базовую ось графика проводим параллельно оси стержня, а значения продольных сил откладываем перпендикулярно оси в выбранном масштабе. Положительные значения откладывают вправо либо вверх, если ось горизонтальная, отрицательные значения – влево либо вниз. Такой график называется эпюрой продольных сил. Этими же правилами будем пользоваться при построении эпюр различных величин, таких как напряжения, крутящие моменты, перемещения и т. д.
2.6.2. Определение нормальных напряжений
в поперечных сечениях стержня
Нанесём на поверхность призматического стержня линии перпендикулярные и параллельные оси и приложим к нему растягивающую осевую силу F (рис. 2.13).
Рис 2.13
Можно заметить, что после деформации линии, нанесённой на стержень, сетки останутся взаимно перпендикулярными, а расстояние между горизонтальными линиями увеличится, при этом они останутся прямыми. Поскольку горизонтальные линии представляют собой след секущей плоскости, то можно сделать вывод о том, что поперечные сечения стержня, плоские и нормальные к его оси до деформации, остались плоскими и нормальными к оси и после деформации. Это очень важная гипотеза сопротивления материалов, которая носит название гипотезы плоских сечений или гипотезы Бернулли.
На основании гипотезы Бернулли можно сделать вывод о том, что в поперечных сечениях стержня действуют только нормальные напряжения, равномерно распределённые по сечению, в противном случае горизонтальные линии не сохраняли бы прямолинейность и не были бы нормальными к оси. Касательные напряжения в этих сечениях отсутствуют, так как углы сетки остались прямыми, что свидетельствует об отсутствии сдвига слоёв материала стержня.
Продольная сила N является равнодействующей нормальных напряжений в поперечном сечении:
(2.1)
Поскольку σ = сonst, то , откуда (2.2)
Формула (2.2) применяется и при сжатии с той разницей, что сжимающие напряжения считаются отрицательными.
2.6.3. Определение деформаций
Для большинства конструкционных материалов при нагружении до определённых значений напряжений справедлива следующая зависимость между деформацией стержня и нормальным напряжением:
(2.3)
где ε – относительное удлинение стержня; ;
∆ℓ – абсолютное удлинение стержня; ℓ – длина образца до деформации;
ℓ1– длина образца после деформации (рис. 2.13).
Зависимость (2.3) носит название закона Гука и формулируется следующим образом: линейные деформации прямо пропорциональны нормальным напряжениям.
Коэффициент Е, зависящий от материала, называется модулем продольной упругости, или модулем упругости первого рода. Он характеризует жёсткость материала, т. е. его способность сопротивляться деформации. Поскольку ε – величина безразмерная, то единица измерения модуля продольной упругости Е та же, что и у напряжения σ, т. е. паскаль. В табл. 2.1 приведены значения Е для некоторых материалов.
| Материал | E, МПа | Материал | E, МПа |
| Сталь | 2×105 … 2,2×105 | Бронза | 1,2×105 |
| Медь | 1×105 | Титан | 1×105 |
| Чугун | 0,75×105 … 1,6×105 | Дерево | 1×105 |
| Алюминий | 0,675×105 | Стеклопластики | 0,18×105…0,4×105 |
Таблица 2.1
Поскольку и , из формулы (2.3) получаем выражение для определения абсолютного удлинения или укорочения стержня длиной ℓ: (2.4)
Между продольной и поперечной деформациями существует зависимость:
(2.5)
где ε` – относительное поперечное сужение стержня. Коэффициент μ называется коэффициентом Пуассона или коэффициентом поперечной деформации. Значение μ для различных материалов колеблется в пределах от 0 до 0,5. Для всех марок сталей можно принимать значениеμ=0,3. Поскольку , то полное поперечное сужение (при растяжении) или уширение (при сжатии) определяется по формуле
где ∆b – абсолютная поперечная деформация; b – первоначальный поперечный размер; b1 – поперечный размер стержня после деформации.
Рис. 2.14
В практике часто встречаются стержни переменного сечения, в основном – ступенчатые. У таких стержней полное изменение длины определяется как алгебраическая сумма деформаций его отдельных частей, в пределах которых величины Е, N и A постоянны:
В частности, для приведённой на рис. 2.14 схемы полное удлинение ступенчатого стержня определится как сумма деформаций двух участков:
2.6.4. Статически неопределимые задачи при осевом растяжении или сжатии
Рис. 2.15
Определить реакции и усилия в частях бруса ℓ1 и ℓ2 (рис. 2.15). Сила F растягивает верхнюю часть бруса и сжимает нижнюю. Обозначим реакции заделки RA и R
Уравнение равновесия:
Рассмотрим деформации. Поскольку концы бруса защемлены, то удлинение верхней части равно укорочению нижней, следовательно, или т. е. реакции обратно пропорциональны длинам l1 и l2. Решаем это уравнение совместно с уравнением статики:
Источник