Растяжение и сжатие построение эпюр перемещений сечений

1. На рисунке проводиться ось ОХ, совпадающая с продольной осью стержня.

2. Под рисунком стержня проводятся две базовые нулевые линии, параллельно продольной оси стержня. Одна для эпюры продольной силы Nz

Вторая базовая нулевая линия для эпюры нормальных напряжений (Мпа).

3. Стержень разбивается на участки. Для границ участков проводятся вертикальные линии в точках приложения нагрузки и изменения площади поперечного сечения вниз до пересечения с базовыми нулевыми линиями. Нумерация участков начинается со свободной стороны стержня для задачи статически определимой. Если задача статически неопределимая, то нумерация выполняется слева направо.

4. Для определения значения продольной силы используется метод сечений. В середине участка проводится сечение. Указывается направление продольной силы. Положительным считается направление продольной силы, направленной от сечения (растягивает). Значение продольной силы Nz определяется из условия равновесия отсечённой части (сумма проекций на ось ох всех действующих сил равна нулю 0).

5. Вычисляем значение нормальных напряжений.

6. Положительные значения продольной силы и нормального напряжения откладываем вверх от базовой нулевой линии, отрицательные вниз.

7. Проверяем правильность решения задачи по эпюре продольной силы. В точках, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре должен быть скачок равный значению продольной силы.

8. Условие прочности проверяем по эпюре нормальных напряжений. Максимальные напряжения, возникающие в конструкции, не должны превышать допускаемых.

Пример №1: Построить эпюры продольной силы N и нормального напряжения σ, проверить на прочность стальной стержень, закрепленный с одной стороны (статически определимая задача). Р1 = 10кН Р2 = 15кН

Р3 =15кН

=100 Мпа; А1 = F; А2 = 2F; F = 100 мм2

Решение:

Параллельно продольной оси стержня проводим две базовые нулевые линии для продольной силы и нормального напряжения.

Разбиваем стержень на участки, начиная со свободной стороны. Проводим вниз вертикальные линии в точках приложения сил и изменения площади поперечного сечения до пересечения с нулевыми линиями. Нумерация участков начинается со свободной стороны стержня.

1 участок:

— на первом участке проводим сечение, перпендикулярное продольной оси, мысленно отбрасываем большую часть и рассматриваем меньшую часть стержня. Заменяем действие отброшенной части на оставленную продольной силой N1. Положительным считается действие от сечения (растягивает).

Рассматриваем равновесие оставленной части, проецируя действующие силы на ось ОХ:

Определяем продольную силу на первом участке:

-N1+ Р1=0 следовательно N1 = Р1=10 кН

Определяем нормальное напряжение на первом участке

2 участок:

-N2+ Р1 — Р2=0 следовательно N2 = Р1-Р2 =10-15= -5 кН

3 участок:

-N3+ Р1 — Р2=0 следовательно N3 = Р1-Р2 =10-15= -5 кН

4 участок:

-N4+ Р1 — Р2+Р3=0 следовательно N4 = Р1-Р2+Р3=10-15+15= 10 кН

Рис. 10.

Метод сечений для определения продольной силы.

Для построения эпюр продольной силы и нормального напряжения задаёмся произвольным масштабом (например: одна клеточка -5 кН и -25 мегапаскалей). Строим эпюры продольной силы и нормального напряжения, откладывая положительные значения вверх от базовой нулевой линии, отрицательные вниз.

Проверяем правильность решения задачи по эпюре продольной силы, в точке приложения сосредоточенной силы на эпюре должен быть скачок, равный действующей силе.

По эпюре нормального напряжения проверяем условие прочности максимальные напряжения должны быть меньше или равны допустимым, значит прочность обеспечена.

Рис.11.

Эпюры продольной силы N и нормального напряжения σ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Рубашкин А.Г. Лабораторные работы по сопротивлению материалов.- М.: Высшая школа, 1961.-159с.

2. Афанасьев A.M., Марьин В.А. Лабораторный практикум по сопротивлению материалов.- М.: Наука, 1975.-284с.

3. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов.- М.: Наука, 1979.-559с.

4. Писаренко Г.С. Сопротивление материалов.- Киев.: Высшая школа, 1973.-667с.

При растяжении брус удлиняется на А / и сокращается в поперечном сечении на Ah = /г, — И, где h — начальная ширина бруса; И] — ширина бруса после деформации (рис. 2.2.10).

Рис. 2.2.10

Тогда относительная продольная деформация = -j- — ez > 0, а относительная поперечная деформация -h Ah

? = ——-, ? > 0. Опытным путем

у h h у

установлено, что при чистом растяжении или сжатии отношение относительной поперечной деформации к относительной продольной деформации для каждого материала есть величина постоянная.

Это отношение носит название коэффициента поперечной деформации или коэф-

?

фициента Пуассона, р = ——.

ez

Коэффициент Пуассона — это упругая постоянная для данного материала.

Пуассон установил, что коэффициент поперечной деформации для всех материалов р = 0,25, но дальнейшими экспериментальными исследованиями было установлено, что этот коэффициент находится в пределах —0,5

Перемещение произвольного сечения бруса равно изменению длины участка, заключенного между этим сечением и заделкой.

При растяжении (сжатии) бруса его поперечные сечения перемещаются в направлении оси. Перемещения являются следствием деформации. Абсолютная деформация бруса (удлинение или укорочение) равна алгебраической сумме абсолютных деформаций

П

(удлинения или укорочения) отдельных его участков: А/ = ^А/;..

В соответствии с законом Гука А/ = — = о—, складывая абсолютен Е

ные деформации участков, получим

Эпюра перемещения — графическое изображение перемещений поперечных сечений по длине бруса. Эта эпюра строится от заделки, которая принимается за начало координат, так как в заделке перемещение А = 0.

П р и м е р 1. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений а и перемещений А для данного стержня (рис. 2.2.11).

Рис. 2.2.11

Дано: 2 105 МПа.

Эпюру продольных сил начинаем строить со свободного конца. Мысленно рассечем брус в сечении I—I и отбросим левую часть, рассмотрим равновесие правой части: = 0; N = F брус растягивается, так как сила F действует от сечения. Продольная сила положительна и на всем участке длиной / постоянна. Нормальные напряжения, как и продольная сила, положительны и постоянны (а = const).

Перемещение сечения, отстоящего от начала координат (заделки) на расстоянии z, равно А(^) = — — это уравнение пря-

ЕЛ

мой, проходящей через начало координат, 0

при z = О А = О,

/ л Nl

прИг = / д = —.

Положительными силами считаются растягивающие, откладываем их на эпюре вверх.

Для эпюры перемещений ординаты откладываются вверх, что соответствует перемещениям сечений слева направо.

Пример 2. Для данного стержня (рис. 2.2.12) построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений, Е=2105 МПа. 1

Рис. 2.2.12

1. Эпюра продольных сил N.

Строим эпюру со свободного конца — участок КВ. Мысленно рассечем этот участок, отбросив левую часть, и рассмотрим равновесие правой части: = Е— N= О, N= F. Продольная сила N направлена от сечения, следовательно, она положительна, N= 10 кН.

На участке ВС продольная сила N = F. Эпюра продольных сил постоянна по всей длине стержня КС.

2. Эпюра нормальных напряжений о = —.

А

По полученным данным строим эпюру о.

3. Эпюра перемещений А.

Определим, на какую величину переместится сечение на расстоянии z от начала координат (точка С) на участке СВ.

Участок СВ:

при z = О Дс = 0;

, . / 20 Ю2П1

при z = I Дв = свс- = у^- = 0,1см.

Участок ВК:

Пример 3. Для данного стержня построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений о и перемещений А по принципу независимости действия сил (рис. 2.2.13). Все эпюры можно строить по принципу независимости действия сил. Это значит, что каждую эпюру строят от одного внутреннего силового фактора (например, от силы F{), потом от другого (от силы F2), а затем от суммы этих факторов.

Рис. 2.2.13

Дано: Fx = 5 кН; F2 = 10 кН; А = 5 см2; Е = 2 • 105 МПа.

Эпюры продольных сил N.

• 1. Строим эпюру от Fx = 5 кН (считаем, что F2 отсутствует); сила Fx растягивает весь стержень (участки КВ и ВС), поэтому NX=FX = 5 кН.
• 2. Строим эпюру от силы F2 = 10 кН. Сила F2 растягивает только участок ВС, поэтому на участке КВ N2 = 0 и N2 = F2 = 10 кН на участке ВС.
• 3. Строим эпюру от суммы сил Fx и FT Участок КВ: TV , = F. + 0 = 5 кН.

сум 1

Участок ВС: У = F. + F2 = 5 + 10 = 15 кН.

Сум 1 L

Эпюры нормальных напряжений о.

1. Строим эпюру от силы Fy Так как стержень постоянного

Fx 5 103

сечения, то = const на всей длине стержня, о = — —-т —

кс кс л 5 Ш2

= 10 МПа.

2. Строим эпюру от силы FT Участок КВ: о кв = 0, так как N2= 0.

N 10 Ю3

Участок ВС: a Rr — —- =-— = 20 МПа.

к А 5-Ю2

3. Строим эпюру от суммы сил Fx и Fr Участок КВ: акв =10 + 0=10 МПа.

Участок ВС: одс = 10 + 20 = 30 МПа.

Эпюры перемещений А.

1. Строим эпюру от силы Fx.

П a NZ

Для сечения, отстоящего на расстоянии z от заделки, А = — =

ЕА

= акс~’ Так как окс= const, то 0z с = 0; при

M-J

Z= 1 М Ав = 10y~j = 0,005 см; при ^ = 2 м = Ю— = 0,01 см.

2. Строим эпюру от силы FT

гг Л N2Z

Для сечения, отстоящего на расстоянии г от заделки, А = —— =

ЕА

— ®bc^’ 0 z ^ 1 м; при z = 0 Ас = 0; при г = 1 м Ав = авс — = Е Е

= ^ см;на участке КВ акв = 0, поэтому Ак= Ав + 0 =

= 0,01 см.

3. Строим эпюру от суммы сил Fx и F2.

Точка С: Дс = 0.

Точка В: Ав = 0,005 + 0,01 = 0,015 см.

Точка К: Ак= 0,01 + 0,01 = 0,02 см.

Пример 4. Определить диаметр стального стержня (рис. 2.2.14), если под действием нагрузки F= 100 кН удлинение равняется

А/ = 2 мм. Чему будет равна при этом

Рис. 2.2.14

площадь поперечного сечения?

NL

По формуле Гука А/ = —, продоль- ЕЛ

ная сила N во всех сечениях постоянна

и равна 100 кН, /=3м; ?= 2 • 105 МПа;

А — площадь поперечного сечения стержня, А = nd2/4; удлинение стрежня

100-103- 3•103- 4 ,

А/ =—-— = 2 мм = [А/],

2 105 nd2

.. /юо 3 109 4

d > J-т-

2105-л-2

п , _. . 7id2 тс• 31 ^ т

Принимаем d = 31 мм, тогда А ——= 754,36 мм .

5 4

Пример решения задачи на растяжение и сжатие

.

Условие задачи на растяжение и сжатие

Стальной стержень (модуль Юнга кН/см2) с размерами см; см, см и площадью поперечного сечения нижнего участка см2, а верхнего – см2 нагружен внешними осевыми силами кН и кН. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений . Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) кН/см2, а допускаемый коэффициент запаса . Найти удлинение стержня .

Расчетная схема для задачи на растяжение и сжатие

рис 3.2

Решение пример задачи на растяжение и сжатие

Определяем значение опорной реакции , возникающей в заделке

Учитывая, что , направим опорную реакцию вниз. Тогда из уравнения равновесия находим:

кН.

Строим эпюру продольных сил

Разбиваем длину стержня на три участка. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы и (или) изменяется размер поперечного сечения стержня.

Воспользуемся методом сечений. Делаем по одному сечению в произвольном месте каждого из трех участков стержня.

Cечение 1 – 1. Отбросим (или закроем листком бумаги) верхнюю часть стержня (рис. 3.2, б). Само сечение 1 – 1 мысленно считаем неподвижным. Мы видим, что внешняя сила растягивает рассматриваемую нижнюю часть стержня. Отброшенная нами верхняя часть стержня противодействует этому растяжению. Это противодействие мы заменим внутренней продольной силой , направленной от сечения и соответствующей растяжению. Разрушения стержня не произойдет только в том случае, если возникающая в сечении 1 – 1 внутренняя продольная сила уравновесит внешнюю силу . Поэтому очевидно, что

кН.

Сечение 2 – 2. Внешняя сила растягивает рассматриваемую нами нижнюю часть стержня, а сила ее сжимает (напомним, что 2 – 2 мы мысленно считаем неподвижным). Причем, согласно условию задачи, . Чтобы уравновесить эти две силы, в сечении 2 – 2 должна возникнуть внутренняя сила , противодействующая сжатию, то есть направленная к сечению. Она равна:

кН.

Сечение 3 – 3. Отбросим теперь часть стержня, расположенную ниже этого сечения. Внутренняя продольная сила должна уравновесить внешнюю (реактивную) сжимающую силу . Поэтому она направлена к сечению и равна:

кН.

Легко убедиться в том, что полученный результат не изменится, если мы отбросим не нижнюю, а верхнюю часть стержня. В этом случае продольная сила также противодействует сжатию. Она равна:

кН.

При построении эпюры продольных сил будем пользоваться следующим правилом знаков: внутренняя продольная сила, возникающая в поперечном сечении стержня, считается положительной, если она противодействует растяжению стержня, и отрицательной, если она противодействует его сжатию. Оно вводится для того, чтобы можно было наглядно видеть, какая часть стержня испытывает деформацию растяжения, а какая часть – деформацию сжатия. Это обстоятельство может оказаться крайне важным, в частности для стержней из хрупкого материала, которые имеют разные допускаемые напряжения на растяжение и на сжатие.

Таким образом, мы установили, что в любом сечении нижнего участка стержня внутренняя продольная сила противодействует растяжению и равна кН. В любом сечении среднего и верхнего участков стержня имеет место деформация сжатия, поэтому кН.

Для построения эпюры продольных сил проводим тонкой линией ось, параллельную оси стержня z (рис. 3.2, д). Вычисленные значения продольных сил в выбранном масштабе и с учетом их знака откладываем от этой вертикальной оси. В пределах каждого из участков стержня продольная сила остается постоянной, поэтому мы как бы «заштриховываем» горизонтальными линиями соответствующий участок.

Отметим, что каждая линия «штриховки» (то есть ордината эпюры) в принятом масштабе дает значение продольной силы в соответствующем поперечном сечении стержня.

Полученную эпюру обводим жирной линией.

Анализируя полученную эпюру, мы видим, что в местах приложения внешних сил на эпюре имеет место скачкообразное изменение продольной силы на величину, равную значению соответствующей внешней силы. Причем изменение поперечного размера стержня, как это видно из рис. 3.2, д, никак не сказывается на характере эпюры .

Строим эпюру нормальных напряжений

Нормальное напряжение, возникающее в k–м поперечном сечении стержня при растяжении (сжатии), вычисляется по следующей формуле

,

где и – продольная сила и площадь k–го поперечного сечения стержня соответственно.

В первом поперечном сечении стержня нормальное напряжение равно

кН/см2,

во втором –

кН/см2,

в третьем –

кН/см2.

Строим по вычисленным значениям эпюру (рис. 3.2, е). В пределах каждого из участков стержня напряжения постоянны, то есть эпюра напряжений параллельна оси. Заметим, что в отличие от эпюры N, на эпюре «скачок» имеет место не только в местах приложения внешних сил, но и там, где происходит изменение размеров поперечного сечения стержня.

Оцениваем прочность стержня

Сопоставляем наибольшее (по модулю) нормальное напряжение , которое в нашем примере возникает во втором сечении стержня, с допускаемым напряжением . Напомним, что допускаемое напряжение представляет собой долю от предельного напряжения , то есть от напряжения, при котором начинается разрушение материала. Разрушение стали, как пластичного материала, начинается при появлении значительных остаточных деформаций. Поэтому для стали предельное напряжение равно пределу текучести: . Тогда

кН/см2.

Условие прочности имеет вид . В нашем случае

кН/см2 > кН/см2,

следовательно, прочность стержня на втором участке не обеспечена.

Таким образом, площадь поперечного сечения стержня на втором участке, равную см2, нам необходимо увеличить.

Несложный анализ показывает, что на других участках стержня условие прочности выполняется.

Из условия прочности определяем требуемую площадь поперечного сечения стержня на втором участке:

см2.

Принимаем на втором участке см2.

Вычисляем удлинение всего стержня

При переменных по длине стержня значениях продольной силы и площади поперечного сечения удлинение вычисляется по формуле

,

где E – модуль Юнга, а – длина соответствующего участка стержня.

Тогда

см.

Таким образом, длина стержня уменьшается на мм.

Задача по сопромату на растяжение и сжатие для самостоятельного решения

Условие задачи на растяжение и сжатие

Стальной стержень (модуль Юнга кН/см2) находится под действием внешних осевых сил и (рис. 3.1). Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений . Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) кН/см2, а допускаемый коэффициент запаса . Найти удлинение стержня .

Схемы для задачи на растяжение и сжатие

Исходные данные к задаче на растяжение и сжатие