Растяжение и сжатие графиков функций к оси абсцисс
3.1 Сжатие (растяжение) графика вдоль оси ординат
Рассмотрим
функцию вида y=A
,
где A>0.
Нетрудно заметить, что при равных
значениях аргумента ординаты графика
этой функции будут в A
раз больше ординат графика функции
y=f(x)
при A>1
или в
раз меньше ординат графика функцииy=f(x)
при A<1.
Таким образом, получаем следующее
правило.
Для
построения графика функции y=A
следует построить график функции y=f(x)
и увеличить его ординаты в A
раз при A>1
(произвести растяжение графика вдоль
оси ординат) или уменьшить его ординаты
в
раз приA<1
(произвести сжатие графика вдоль оси
ординат). Полученный график является
графиком функции y=A
.
Пример
13. Построить
график функции y=2cos
x.
Р
е ш е н и е: Строим график функции y=cos
x
(рис.16 – пунктирная кривая) и растяжением
этого графика вдоль оси ординат в 2
раза получаем график функции y=2cos
x
(сплошная кривая).
Пример
14. Построить
график функции y=
x2.
Р
е ш е н и е: Строим график функции y=x2
и сжатием этого графика в 3 раза вдоль
оси ординат получаем график функции
y=
x2
(рис.17).
Рис.16
Рис.17
3.2. Сжатие (растяжение) графика вдоль оси абсцисс
Пусть
требуется построить график функции
y=f(x),
где >0.
Рассмотрим функцию y=f(x),
которая в произвольной точке x=x1
принимает значение y1=f(x1).
Очевидно,
что функция y=f(x)
принимает такое же значение в точке
x=x2,
координата
к
оторой
определяется равенствомx1=x2,
или x2=
,
причём это равенство справедливо для
совокупности всех значений x
из области определения функции.
Следовательно, график функции y=f(x)
оказывается сжатым (при >1)
или растянутым (при <1)
вдоль оси абсцисс относительно графика
функции y=f(x).
Таким образом, получаем следующее
правило.
Для
построения графика функции y=f(x)
следует построить график функции y=f(x)
и уменьшить его абсциссы в
раз при >1
(произвести сжатие графика вдоль оси
абсцисс) или увеличить его абсциссы в
раз при<1
(произвести растяжение графика вдоль
оси абсцисс). Полученный график является
графиком функции y=f(x).
П
Рис. 18
ример 15.Построить
график функции
x.
Р
е ш е н и е: Строим график функции
x
(рис.18 – пунктирная кривая), и проводя
его сжатие в
раз вдоль оси абсцисс, получаем график
функции
x
(сплошная кривая). Период этой функции
уже равен не 2,
а
=2.
График пересекает ось абсцисс в точкахx=0,
…
.
Пример
16. Построить
график функции
.
Р
е ш е н и е: Строим график функции
и, растянув его вдоль оси абсцисс в 3
раза, получаем график функции
.
4. Комбинация переноса, отражения и деформации
Рис.
19
Очень часто при построении графиков
функций применяют композицию приёмов,
изложенных в пунктах 1-3. Последовательное
применение ряда таких приёмов позволяет
существенно упростить построение
графика исходной функции и нередко
свести его в конце концов к построению
одной из простейших элементарных
функций.
Рассмотрим,
как с учётом изложенного следует,
например, построить
график функции вида y=Af(x+a)+b.
Запишем
исходную функцию в виде y=Af
[
( x+
) ] +b
и схему поэтапного её упрощения
(последовательность преобразований):
1
.y=Af
[
( x+
) ] + b
; перенос оси абсцисс на b
единиц;
2
.y=Af
[
( x+
) ]; перенос оси ординат на
единиц;
3. y=Af
[
x
]; отражение графика относительно оси
абсцисс
(
этап
выполняется только приA<0);
4
.y=A·
f
(x); сжатие
или растяжение графика
вдоль оси ординат;
5. y=f
(x) отражение
графика относительно оси ординат
(
этап
выполняется только при<0);
6
.y=f
(
x); сжатие
или растяжение вдоль оси абсцисс;
7. y=f
( x);
Проводя
построение графика шаг за шагом в
порядке, обратном порядку упрощения
вида функции с учётом всех указанных
правил, получим график исходной функции.
Пример 17. Построить
график функции y=
.
Р
е ш е н и е: Схема построения графика :
y
=
x
0,
y=
;y=
;у=
;y=
;
Итак,
построение графика исходной функции
следует начинать с построения графика
функции y=
.
График (рис.20) пересекает ось ординат
в точке
(из условияx=0),
а ось абсцисс в точках x=1
(из условия y=0,
т.е.
=0).
В
заключении отметим, что порядок упрощения
целесообразно проводить в следующей
последовательности.
Использование
чётности или нечётности функции.Перенос осей.
Отражение и
деформация.
Построение
же графика, как обычно, выполняется в
обратной последовательности.
Рис.20
Задание для
самостоятельного выполнения
Ниже
приводятся тексты заданий для
самостоятельного выполнения. Вам
необходимо построить графики функций,
оформить работу отдельно от решений по
другим предметам и выслать в адрес
Хабаровской краевой заочной
физико-математической школы.
М.11.2.1 С
помощью элементарных преобразований
постройте графики следующих функций:
y=x2-2;
y=(x+1)2;
y=sin
x;y=-
3sin x;y=tg
;
М.11.2.2.
Написать последовательность преобразований
и построить графики следующих функций:
y=
;y=(x-1)3+2;
y=ln
(1-x);y=tg(-
);y=
cos(2x-1)-2.
Хабаровская краевая заочная
физико-математическая школа
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Источник
Анна Малкова
В этой статье мы расскажем об основных преобразованиях графиков функций. Что нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали. Как задать растяжение графика по горизонтали или вертикали. Как отразить график относительно оси Х или Y.
Очень жаль, что эта тема — полезная и очень интересная — выпадает из школьной программы. На нее не постоянно хватает времени. Из-за этого многим старшеклассникам не даются задачи с параметрами — которые на самом деле похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов. Хотя бы для того, чтобы решать задачи с параметрами, стоит научиться строить графики функций.
Но конечно, не только для того, чтобы сдать ЕГЭ. Первая лекция на первом курсе технического или экономического вуза посвящена функциям и графикам. Первые зачеты в курсе матанализа связаны с функциями и графиками.
Начнем со сдвигов графиков по Х и по Y.
Сдвиг по горизонтали.
Пусть функция задана формулой и Тогда график функции сдвинут относительно исходной на а вправо. График функции сдвинут относительно исходной на а влево.
1. Сдвиг по вертикали.
Пусть функция задана формулой и С — некоторое положительное число. Тогда график функции сдвинут относительно исходного на С вверх. График функции сдвинут относительно исходного на С вниз.
Теперь растяжение графика. Или сжатие.
2. Растяжение (сжатие) по горизонтали.
Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в k раз по горизонтали, если , и сжат относительно исходного в k раз по горизонтали, если
3. Растяжение (сжатие) по вертикали
Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в М раз по вертикали, если , и сжат относительно исходного в М раз по вертикали, если
И отражение по горизонтали.
4. Отражение по горизонтали
График функции симметричен графику функции относительно оси Y.
5. Отражение по вертикали.
График функции симметричен графику функции относительно оси Х.
Друзья, не возникло ли у вас ощущения, что вы все это где-то видели? Да, наверняка видели, если когда-либо редактировали изображения в графическом редакторе на компьютере. Изображение можно сдвинуть (по горизонтали или вертикали). Растянуть (по горизонтали или вертикали). Отразить. И все это мы делаем с графиками функций.
И еще два интересных преобразования. Здесь в формулах присутствует знак модуля. Если не помните, что такое модуль, — срочно повторите эту тему.
6. Графики функций и
На рисунке изображен график функции Она специально взята такая — несимметричная относительно нуля.
Построим график функции
Конечно же, мы пользуемся определением модуля.
Это мы и видим на графике. Для неотрицательных значений х график остался таким же, как был. А вместо каждого отрицательного х мы взяли противоположное ему положительное число. И поэтому вся та часть графика функции, что лежала слева от оси Х, заменилась на зеркально отраженную правую часть графика.
Теперь график функции Вы уже догадались, что будет. Вся часть графика, лежащая ниже оси Х, зеркально отражается в верхнюю полуплоскость. А верхняя часть графика, лежащая выше оси Х, остается на месте.
Как определить по формуле функции, будет график преобразован по горизонтали (по Х) или по вертикали (по Y)? Разница очевидна. Если сначала мы что-либо делаем с аргументом х (прибавляем к нему какое-либо число, умножаем на какое-либо число или берем модуль) — преобразование по Х. Если сначала мы нашли функцию, а затем уже к значению функции что-то прибавили, или на какое-нибудь число умножили, или взяли модуль, — преобразование по Y.
Вот самые простые задачи на преобразование графиков.
1. Построим график функции
Это квадратичная парабола, сдвинутая на 3 влево по x и на 1 вниз по y.
Вершина в точке
2. Построим график функции
Выделим полный квадрат в формуле.
График — квадратичная парабола, сдвинутая на 2 вправо по x и на 5 вниз по y.
Обратите внимание: график функции пересекает ось y в точке На нашем графике это точка
Продолжение — в статье «Построение графиков функций».
Источник
(сжатия) графика функции от оси с коэффициентом и последующим преобразованием симметрии относительно оси задачи 1 и 2).
На рисунке 53, а изображены графики функций
На рисунке 53, б изображены графики функций
111. Графики функции …
Графиком функции является парабола, Чтобы построить график функции нужно осуществить растяжение (сжатие) параболы от оси с коэффициентом при этом если то график функции нужно еще подвергнуть преобразованию симметрии относительно оси х (см. п. 110).
На рисуике 54, а изображены графики функции для с, равного Все эти графики называют параболами. При 0 ветви параболы, служащей графиком функции направлены вверх, а при вниз.
Аналогично, зная график функция можно построить график функции вида . На рисунке 54, б изображены эти графики для случаев с, равного 1; —1; 3.
112. Построение графика функции …
Пусть известен график функции а построить нужно график функции
Положим . Тогда формулу или, что то же самое, можно переписать в виде . Таким образом, график функции — построенный в координатной плоскости совпадает с графиком функции , построенным в координатной плоскости
Формулы или, что то же самое, надают параллельный перенос, при котором любая точка переходит в точку и, в частности, начало координат переходит в точку .
Чтобы построить график функции нужно:
1) выполнить параллельный перенос плоскости, выбрав началом новой системы координат точку
2) в плоскости построить график фушщии
(см. п. 113), Для ее построения на практике используются три способа.
Первый способ — отыскание координат вершины параболы по формулам.
Пример 1. Построить график функции Решение. Здесь . Значит, Итак, (1; —1) — вершина параболы. Для построения графика надо знать координаты еще нескольких точек:
Отметив вершину параболы, полученные точки и точки, симметричные им относительно оси параболы, строим требуемый график (рис. 59, а). Заметим, что запоминать формулы координат вершины параболы не следует. Достаточно воспользоваться тем, что если абсцисса вершины параболы, то в этой точке (см. п. 217). На уравнения находим абсцисса вершины параболы.
Второй способ — построение параболы по точкам с ординатой, равной свободному члену квадратного трехчлена .
Пример 2. Построить график функции .
Решение, Найдем точки графика, имеющие ординату, равную свободному члену квадратного трехчлена, т. е. равную пяти. Для этого решим уравнение Имеем:
Итак, мы нашли две точки графика и . Отметим их на координатной плоскости (рис. 59, б). Мы знаем, что графиком является парабола. Точки А и В лежат на этой параболе и имеют одинаковую ординату. Значит, точки симметричны относительно оси симметрии параболы, а потому ось симметрии параболы проходит перпендикулярно отрезку АВ через его середину. Так как абсцисса точки А равна нулю, а абсцисса точки В равна четырем, то уравнение оси параболы: Подставив значение формулу получим Значит, вершина С параболы, т. е. единственная точка параболы, лежащая на ее оси симметрии, имеет координаты Отметив на координатной плоскости точку построим параболу, проходящую через три точки
А, В, С. Это и будет график функции (рис. 59, б). (Для более точного построения можно найти координаты еще нескольких точек и построить их.)
Третий способ — построение параболы по корням квадратного трехчлена.
Пусть корни квадратного трехчлена решении уравнения см. п. 137). Тогда парабола, служащая графиком функции пересекает ось абсцисс в точках , а ось симметрии параболы проходит перпендикулярно отрезку АВ через его середину. Зная абсциссу вершины С параболы (точка С лежит на оси симметрии параболы, поэтому , найдем по формуле ординату, а затем построим параболу по трем точкам А, В, С.
Пример 3. Построить график функции
Решение. Из уравнения находим Значит, мы знаем две точки искомой параболы: Уравнение оси симметрии параболы таково: Подставив значение 3 вместо в формулу находим Значит, вершиной параболы служит точка По трем точкам строим параболу — график функции ).
115. Построение графика функции y=f(kx).
Решим несколько задач.
Задача 1. Построить график функции где если задан график функции
полученного графика от оси с коэффициентом 3, а затем преобразование симметрии относительно оси . В результате мы получим график функции . На рисунке 64, а показана одна полуволна графика, а на рисунке 64, б — весь график.
117. График гармонического колебания.
Тригонометрические функции используются для описания колебательных процессов. Один из наиболее важных процессов такого рода описывается формулой
Эта формула называется формулой гармонических или синусоидальных колебаний. Величина А называется амплитудой колебания, она характеризует размах колебания. Величина называется частотой колебания. Чем больше , тем больше число колебаний за единицу времени (число колебаний за единицу времени равно Наконец, а называется начальной фазой колебания. 21
Если, например, груз, висящий на пружине, вывести из положения равновесия, то он начнет совершать вертикальные колебания. Закон движения выражается формулой (1), где у — отклонение груза от положения равновесия, время. Тот же закон встречается в теории переменного электрического тока. При вращении прямоугольной рамки, сделанной из проводящего электрический ток материала, в магнитном поле по ней идет переменный ток. Если рамка вращается равномерно, величина тока меняется по закону гармонических колебаний (1).
Построим график функции Прежде всего преобразуем функцию к виду Построение графика этой функции выполним в несколько этапов.
1) Осуществим параллельный перенос системы координат, поместив начало новой системы в точку .
2) В системе построим график функции этом можно ограничиться одной полуволной).
3) Осуществив сжатие построенного графика к оси у с коэффициентом 6), получим график
Осуществив растяжение последнего графика от оси с коэффициентом А, получим требуемый график.
Пример 1. Построить график функции
Решение. Имеем Построение графика выполним в несколько этапов.
1) Осуществим параллельный перенос системы координат, выбрав началом новой системы точку .
В системе нам нужно построить график функции
2) Строим график функции
3) Выполним сжатие графика к оси у с коэффициентом т. е. растяжение с коэффициентом 3), получим график функции
4) Осуществим растяжение последнего графика от оси с коэффициентом 2. Полученный график является графиком функции (рис. 65).
На практике вместо сжатия, растяжения и параллельного переноса часто поступают иначе: отыскивают значения при которых заданная функция обращается в нуль, и значения, при которых она принимает наибольшее наименьшее значения. Далее строят график по точкам.
Пример 2. Построить график гармонического колебания
Решение. Решим сначала уравнение
Имеем (см. п. 154) . Дадим
Источник
Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия
В чистом виде основные элементарные функции встречаются, к сожалению, не так часто. Гораздо чаще приходится иметь дело с элементарными функциями, полученными из основных элементарных при помощи добавления констант и коэффициентов. Графики таких функций можно строить, применяя геометрические преобразования к графикам соответствующих основных элементарных функций (или переходить к новой системе координат).
С помощью геометрических преобразований графика функции f(x) может быть построен график любой функции вида ( pm {k_1} cdot f( pm {k_2} cdot (x + a)) + b,) где ({k_1},{k_2} > 0) — коэффициенты сжатия или растяжения (в зависимости от их значений) вдоль осей oy и ox соответственно. Знаки «минус» перед коэффициентами указывают на симметричное отображение графика относительно координатных осей, а и b определяют сдвиг относительно осей абсцисс и ординат соответственно.
Таким образом, различают три вида геометрических преобразований графика функции:
1. Первый вид — масштабирование (сжатие или растяжение) вдоль осей абсцисс и ординат.
На необходимость масштабирования указывают коэффициенты k1 и k2, отличные от единицы, если (0 < {k_1} < 1,0 < {k_2} < 1) , то происходит сжатие графика относительно oy и растяжение относительно ox , если ({k_1},{k_2} > 1) , то производим растяжение вдоль оси ординат и сжатие вдоль оси абсцисс.
2. Второй вид — симметричное (зеркальное) отображение относительно координатных осей.
На необходимость этого преобразования указывают знаки «минус» перед коэффициентами k1 (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси ox ) и k2 (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси oy). Если знаков «минус» нет, то этот шаг пропускается.
3. Третий вид — параллельный перенос (сдвиг) вдоль осей ox и oy.
Это преобразование производится в последнюю очередь при наличии коэффициентов a и b, отличных от нуля. При положительном а график сдвигается влево на |а| единиц, при отрицательных а — вправо на |а| единиц. При положительном b график функции параллельно переносим вверх на |b| единиц, при отрицательном b — вниз на |b| единиц.
Рассмотрим примеры
Пример1
Построить графики функции (y = {x^2} — 10) и (y = {x^2} + 10) в одной координатной плоскости.
Построим для начала график функции (y = {x^2}) , это парабола с вершиной в точке (0;0) и ветвями вверх.
Для построения искомого графика функции (y = {x^2} — 10) необходимо параболу параллельно перенести в отрицательном направлении по У, т.е. вниз. Для построения искомого графика функции (y = {x^2} + 10) необходимо параболу параллельно перенести в положительном направлении по У, т.е. вверх.
Пример2
Построить графики функций (y = {left( {x + 2} right)^2}) и (y = {left( {x — 2} right)^2}) .
За основу возьмем тот же график параболы, но параллельный перенос будем осуществлять вдоль оси Ох. По правилу переноса график сдвинется влево на 2 единицы для функции (y = {left( {x + 2} right)^2}) . А для функции (y = {left( {x — 2} right)^2}) сдвиг произойдет вправо.
Пример3
Построить график функции (y = — {x^2}) .
За основу возьмем тот же график параболы. Производимое изменение графика носит название -отображение. Картинка получится симметричной исходной параболе, симметрия относительно Ох.
Пример4
Построить графики функций (y = left( {3{x^2}} right)) и (y = left( {frac{1}{3}{x^2}} right)) .
Для построения этих графиков произведем сжатие графика (y = {x^2}) для первой функции и растяжение – для второй.
Источник