Растяжение графика в 3 раза

Анна Малкова

В этой статье мы расскажем об основных преобразованиях графиков функций. Что нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали. Как задать растяжение графика по горизонтали или вертикали. Как отразить график относительно оси Х или Y.

Очень жаль, что эта тема — полезная и очень интересная — выпадает из школьной программы. На нее не постоянно хватает времени. Из-за этого многим старшеклассникам не даются задачи с параметрами — которые на самом деле похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов. Хотя бы для того, чтобы решать задачи с параметрами, стоит научиться строить графики функций.

Но конечно, не только для того, чтобы сдать ЕГЭ. Первая лекция на первом курсе технического или экономического вуза посвящена функциям и графикам. Первые зачеты в курсе матанализа связаны с функциями и графиками.

Начнем со сдвигов графиков по Х и по Y.

Сдвиг по горизонтали.

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции сдвинут относительно исходной на а вправо. График функции сдвинут относительно исходной на а влево.

Растяжение графика в 3 раза

1. Сдвиг по вертикали.

Пусть функция задана формулой и С — некоторое положительное число. Тогда график функции сдвинут относительно исходного на С вверх. График функции сдвинут относительно исходного на С вниз.

Растяжение графика в 3 раза

Теперь растяжение графика. Или сжатие.

2. Растяжение (сжатие) по горизонтали.

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в k раз по горизонтали, если , и сжат относительно исходного в k раз по горизонтали, если

Растяжение графика в 3 раза

3. Растяжение (сжатие) по вертикали

Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в М раз по вертикали, если , и сжат относительно исходного в М раз по вертикали, если

Растяжение графика в 3 раза

И отражение по горизонтали.

4. Отражение по горизонтали

График функции симметричен графику функции относительно оси Y.

Растяжение графика в 3 раза

5. Отражение по вертикали.

График функции симметричен графику функции относительно оси Х.

Растяжение графика в 3 раза

Друзья, не возникло ли у вас ощущения, что вы все это где-то видели? Да, наверняка видели, если когда-либо редактировали изображения в графическом редакторе на компьютере. Изображение можно сдвинуть (по горизонтали или вертикали). Растянуть (по горизонтали или вертикали). Отразить. И все это мы делаем с графиками функций.

И еще два интересных преобразования. Здесь в формулах присутствует знак модуля. Если не помните, что такое модуль, — срочно повторите эту тему.

6. Графики функций и

На рисунке изображен график функции Она специально взята такая — несимметричная относительно нуля.

Растяжение графика в 3 раза

Построим график функции

Конечно же, мы пользуемся определением модуля.

Это мы и видим на графике. Для неотрицательных значений х график остался таким же, как был. А вместо каждого отрицательного х мы взяли противоположное ему положительное число. И поэтому вся та часть графика функции, что лежала слева от оси Х, заменилась на зеркально отраженную правую часть графика.

Растяжение графика в 3 раза

Теперь график функции Вы уже догадались, что будет. Вся часть графика, лежащая ниже оси Х, зеркально отражается в верхнюю полуплоскость. А верхняя часть графика, лежащая выше оси Х, остается на месте.

Растяжение графика в 3 раза

Как определить по формуле функции, будет график преобразован по горизонтали (по Х) или по вертикали (по Y)? Разница очевидна. Если сначала мы что-либо делаем с аргументом х (прибавляем к нему какое-либо число, умножаем на какое-либо число или берем модуль) — преобразование по Х. Если сначала мы нашли функцию, а затем уже к значению функции что-то прибавили, или на какое-нибудь число умножили, или взяли модуль, — преобразование по Y.

Вот самые простые задачи на преобразование графиков.

1. Построим график функции

Это квадратичная парабола, сдвинутая на 3 влево по x и на 1 вниз по y.

Вершина в точке

Растяжение графика в 3 раза

2. Построим график функции

Выделим полный квадрат в формуле.

График — квадратичная парабола, сдвинутая на 2 вправо по x и на 5 вниз по y.

Обратите внимание: график функции пересекает ось y в точке На нашем графике это точка

Растяжение графика в 3 раза

Продолжение — в статье «Построение графиков функций».

Источник

Преобразования
графиков функций – это линейные преобразования функции y
= f(x) или её аргумента х к виду

y
= af(kx
+ b) + m,

а так же
преобразование с использованием модуля.

Зная,
как строить графики функции y =
f(x), где

y
= kx + b,

y
= ax2,

y
= xn,

y
= k/x,

y
= ax,

y
= logax,

можно
построить график функции

y
= af(kx
+ b) + m.

ОБЩИЙ ВИД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУНКЦИИ

Параллельный
перенос графика вдоль оси абсцисс на |b| единиц.

y
= f(x–
b)

вправо,
если b ˃ 0;

влево,
если b < 0.

y
= f(x+
b)

влево,
если b ˃ 0;

вправо,
если b < 0.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
(х + 2)3.

Построим график функции у =
х3 и
параллельно перенесём его влево на 2 единицы вдоль оси х (так как 2 ˃ 0). Получим график
функции

у = (х + 2)3.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
(х – 3)2.

Построим график функции у =
х2 и
параллельно перенесём его вправо на 3 единицы вдоль оси х (так как –3 < 0). Получим график
функции

у =
(х – 3)2.

Параллельный
перенос графика вдоль оси ординат на |m| единиц.

y
= f(x) + m

вверх,
если m ˃ 0;

вниз,
если m < 0.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
х2 – 5.

Построим график функции у =
х2 и
параллельно перенесём его вниз на 5 единиц вдоль оси у (так как –5 < 0). получим график
функции

у =
х2 – 5.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
√͞͞͞͞͞х + 4.

Построим график функции у =
√͞͞͞͞͞х и параллельно перенесём его вверх на 4 единицы
вдоль оси у (так как
4 ˃ 0). Получим график функции

у =
√͞͞͞͞͞х + 4.

Отражение
графика.

y
= f(–x)

Симметричное
отражение графика относительно оси ординат.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
–х + 3.

Построим график функции у =
х + 3 и отобразим
полученный график симметрично относительно оси
у и получим график
функции

у =
–х + 3

y
= –f(x)

Симметричное
отражение графика относительно оси абсцисс.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
–(х – 3)2.

Построим график функции у =
х2 и
параллельно перенесём его вправо на 3 единицы вдоль оси х (так как –3 < 0). получим график
функции

у =
(х – 3)2.

отобразим полученный график симметрично относительно
оси х и получим
график функции

у =
–(х – 3)2.

Сжатие
и растяжение графика.

y
= f(kx)

При k ˃ 1 –
сжатие графика к оси ординат в k раз,

при 0 < k<
1 – растяжение графика от оси ординат в k раз,

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
(3х)2.

Построим график функции у =
х2. Выполним
сжатие графика функции в три раза до оси у и получим
график функции

у =
(3х)2.

ПРИМЕР:

Построить график функции

Построим график функции у =
√͞͞͞͞͞х. Выполним
растяжение графика функции в 1/3 от оси
у и получим график
функции

y
= kf(x)

При k ˃ 1 –
растяжение графика от оси абсцисс в k раз,

при 0 < k<
1 – сжатие графика к оси абсцисс в k раз.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
3√͞͞͞͞͞х.

Построим график функции у =
√͞͞͞͞͞х .
Выполним
растяжение графика функции в три раза относительно оси х и получим
график функции

у =
3√͞͞͞͞͞х.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
1/3 х3.

Построим график функции у =
х3. Выполним
сжатие графика функции у = х3 в три раза к оси х и получим
график функции

у =
1/3 х3.

Преобразования
графика с модулем.

у = |f(x)|

При f(x)
˃ 0 – график остаётся без изменений,

при f(x) <
0 – график симметрично отражается
относительно оси абсцисс.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
|х2 – 6|

Построим график функции у = х2. Параллельно переносимо график вниз на 6 единиц
вдоль оси у и получим график функции

у =
х2 – 6.

Отобразим симметрично относительно оси х ту
часть графика, которая находится под осью, и получим график функции

у =
|х2 – 6|

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
|х3|

у =f(|x|)

При x ≥ 0 – график остаётся без изменений,

при x < 0 – график симметрично отражается относительно оси ординат.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
(|x| – 1)2.

Построим график функции у =
х2 и
параллельно перенесём его вправо на 1 единицы вдоль оси х и получим график
функции

у =
(х – 1)2.

Оставляем ту часть графика, которая соответствует
неотрицательным значением х. Симметрично
отображаем относительно оси у часть полученного графика для неотрицательных
х и получаем график
функции

у
= (|x|
– 1)2.

ПРИМЕР:

Построить график функции

у =
5|x| – 3.

Построим график функции у =
5х и
параллельно перенесём его вниз на 3 единицы вдоль оси у и
получим график функции

у =
5x – 3.

Оставим ту часть графика, которая соответствует
неотрицательным значениям х.
Симметрично отобразим относительно оси у часть полученного графика для неотрицательных х и получим
график функции

у =
5|x| – 3.

Источник

3.1 Сжатие (растяжение) графика вдоль оси ординат

Рассмотрим
функцию вида y=A,
где A>0.
Нетрудно заметить, что при равных
значениях аргумента ординаты графика
этой функции будут в A
раз больше ординат графика функции
y=f(x)
при A>1
или в
раз меньше ординат графика функцииy=f(x)
при A<1.
Таким образом, получаем следующее
правило.

Для
построения графика функции y=A
следует построить график функции y=f(x)
и увеличить его ординаты в A
раз при A>1
(произвести растяжение графика вдоль
оси ординат) или уменьшить его ординаты
в
раз приA<1
(произвести сжатие графика вдоль оси
ординат). Полученный график является
графиком функции y=A.

Пример
13. Построить
график функции y=2cos
x.

Р
е ш е н и е: Строим график функции y=cos
x
(рис.16 – пунктирная кривая) и растяжением
этого графика вдоль оси ординат в 2
раза получаем график функции y=2cos
x
(сплошная кривая).

Пример
14. Построить
график функции y=x2.

Р
е ш е н и е: Строим график функции y=x2
и сжатием этого графика в 3 раза вдоль
оси ординат получаем график функции
y=x2
(рис.17).

Растяжение графика в 3 раза

Рис.16

Рис.17

3.2. Сжатие (растяжение) графика вдоль оси абсцисс

Пусть
требуется построить график функции
y=f(x),
где >0.
Рассмотрим функцию y=f(x),
которая в произвольной точке x=x1
принимает значение y1=f(x1).

Очевидно,
что функция y=f(x)
принимает такое же значение в точке
x=x2,
координата

к Растяжение графика в 3 раза оторой
определяется равенствомx1=x2,
или x2=,
причём это равенство справедливо для
совокупности всех значений x
из области определения функции.
Следовательно, график функции y=f(x)
оказывается сжатым (при >1)
или растянутым (при <1)
вдоль оси абсцисс относительно графика
функции y=f(x).
Таким образом, получаем следующее
правило.

Для
построения графика функции y=f(x)
следует построить график функции y=f(x)
и уменьшить его абсциссы в 
раз при >1
(произвести сжатие графика вдоль оси
абсцисс) или увеличить его абсциссы в
раз при<1
(произвести растяжение графика вдоль
оси абсцисс). Полученный график является
графиком функции y=f(x).

Рис. 18

ример 15.Построить
график функции
x.

Р Растяжение графика в 3 раза е ш е н и е: Строим график функции
x
(рис.18 – пунктирная кривая), и проводя
его сжатие в 
раз вдоль оси абсцисс, получаем график
функции
x
(сплошная кривая). Период этой функции
уже равен не 2,
а
=2.
График пересекает ось абсцисс в точкахx=0,…
.

Пример
16. Построить
график функции
.

Р
е ш е н и е: Строим график функции
и, растянув его вдоль оси абсцисс в 3
раза, получаем график функции.

4. Комбинация переноса, отражения и деформации

Рис.
19

Очень часто при построении графиков
функций применяют композицию приёмов,
изложенных в пунктах 1-3. Последовательное
применение ряда таких приёмов позволяет
существенно упростить построение
графика исходной функции и нередко
свести его в конце концов к построению
одной из простейших элементарных
функций.

Рассмотрим,
как с учётом изложенного следует,
например, построить
график функции вида y=Af(x+a)+b.
Запишем
исходную функцию в виде y=Af
[ 
( x+
) ] +b
и схему поэтапного её упрощения
(последовательность преобразований):

1 Растяжение графика в 3 раза .y=Af
[ 
( x+
) ] + b
; перенос оси абсцисс на b
единиц;

2 Растяжение графика в 3 раза .y=Af
[ 
( x+
) ]; перенос оси ординат на

единиц;

3. y=Af
[ 
x
]; отражение графика относительно оси
абсцисс

( Растяжение графика в 3 раза этап
выполняется только приA<0);

4 Растяжение графика в 3 раза .y=A·
f
(x); сжатие
или растяжение графика

вдоль оси ординат;

5. y=f
(x) отражение
графика относительно оси ординат

( Растяжение графика в 3 раза этап
выполняется только при<0);

6 Растяжение графика в 3 раза .y=f
(
x); сжатие
или растяжение вдоль оси абсцисс;

7. y=f
( x);

Проводя
построение графика шаг за шагом в
порядке, обратном порядку упрощения
вида функции с учётом всех указанных
правил, получим график исходной функции.

Пример 17. Построить
график функции y=.

Р Растяжение графика в 3 раза е ш е н и е: Схема построения графика :

y=
x0,
y=;
y=;
у=;
y=;

Итак,
построение графика исходной функции
следует начинать с построения графика
функции y=.
График (рис.20) пересекает ось ординат
в точке(из условияx=0),
а ось абсцисс в точках x=1
(из условия y=0,
т.е.=0).

Растяжение графика в 3 раза В
заключении отметим, что порядок упрощения
целесообразно проводить в следующей
последовательности.

Использование
чётности или нечётности функции.
Перенос осей.
Отражение и
деформация.

Построение
же графика, как обычно, выполняется в
обратной последовательности.

Рис.20

Задание для
самостоятельного выполнения

Ниже
приводятся тексты заданий для
самостоятельного выполнения. Вам
необходимо построить графики функций,
оформить работу отдельно от решений по
другим предметам и выслать в адрес
Хабаровской краевой заочной
физико-математической школы.

М.11.2.1 С
помощью элементарных преобразований
постройте графики следующих функций:

y=x2-2;
y=(x+1)2;
y=sinx;
y=-
3sin x;
y=tg;

М.11.2.2.
Написать последовательность преобразований
и построить графики следующих функций:

y=;
y=(x-1)3+2;
y=ln
(1-x);
y=tg(-);
y=cos(2x-1)-2.

Хабаровская краевая заочная
физико-математическая школа

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Если Вы знаете, как выглядят графики простейших элементарных функций, или умеете быстро строить их по характерным точкам, то сумеете также быстро построить на их основе графики более сложных функций того же класса. Для этого существуют правила преобразования графиков функций. Они легко запоминаются, но если Вы всё же не уверены в результате, проверьте его по одной-двум хорошим точкам. Эти правила, разумеется, общие для всех функций, а не только для тех, которые изучают в школе, поэтому известный график дальше будем называть заданным.

Пусть задан график функции y = f(x). Чтобы построить график функции

y = mf(x), где m > 0 и m ≠ 1, нужно ординаты точек заданного графика умножить на m. Такое преобразование называется растяжением от оси x c коэффициентом m, если m > 1, и сжатием к оси x, если 0 < m < 1.
y = −f(x) получается из графика функции f(x) преобразованием симметрии относительно оси x. (Преобразование симметрии — зеркальное отражение относительно прямой.)
y = f(x) + n, получается из графика функции f(x) параллельным переносом последнего вдоль оси ординат на n единиц вверх, если n > 0 и, соответственно на |n| единиц вниз, если n
y = f(kx), где k > 0 и k ≠ 1. Искомый график функции получается из заданного сжатием с коэффициентом k к оси y (если 0 < k < 1 указанное «сжатие» фактически является растяжением с коэффициентом 1/k)
y = f(−x) получается из графика функции f(x) преобразованием симметрии относительно оси y
y = f(x + l) получается из графика функции f(x) параллельным переносом последнего на l единиц влево, если l > 0 и, соответственно на |l| единиц вправо, если m < 0.

Например, пусть задан график функции y = √x_.

Растяжение графика в 3 раза

Чтобы построить графики других функций, содержащих аргумент (x) под знаком квадратного корня, воспользуемся перечисленными выше правилами. Заданный график повторим во вновь начерченных осях «карандашом бледно», требуемый график, который получится после преобразований, сделаем более интенсивным. В тетради лишнее можно будет удалить ластиком, останется только результат выполнения задания.

Пример 1a. Построить график функции y = 2√x_

Растяжение графика в 3 раза

Растянули в 2 раза от оси x. Ордината каждой точки увеличилась в 2 раза.

Пример 1b. Построить график функции y = √x_ /2

Растяжение графика в 3 раза

Сжали вдвое к оси x. Ордината каждой точки уменьшилась в 2 раза.

Пример 3a. Построить график функции y = √x_ + 2

Растяжение графика в 3 раза

Параллельно перенесли на 2 единицы вверх вдоль оси y. Ордината каждой точки увеличилась на 2.

Пример 3b. Построить график функции y = √x_ − 2

Растяжение графика в 3 раза

Параллельно перенесли на 2 единицы вниз вдоль оси y. Ордината каждой точки уменьшилась на 2 единицы.

Пример 4a. Построить график функции y = √2x__

Растяжение графика в 3 раза

Сжали вдвое к оси y. Абсцисса каждой точки уменьшилась в 2 раза.

Пример 4b. Построить график функции y = √x/2___

Растяжение графика в 3 раза

Растянули в 2 раза от оси y. Абсцисса каждой точки увеличилась в 2 раза.

Пример 6a. Построить график функции y = √x + 2____

Растяжение графика в 3 раза

Параллельно перенесли на 2 единицы влево вдоль оси x. Абсцисса каждой точки уменьшилась на 2 единицы.

Пример 6b. Построить график функции y = √x − 2____

Растяжение графика в 3 раза

Параллельно перенесли на 2 единицы вправо вдоль оси x. Абсцисса каждой точки увеличилась на 2 единицы.

Пример 2. Построить график функции y = −√x_

Растяжение графика в 3 раза

Применили преобразование симметрии – зеркально отразили относительно оси x.

Пример 5. Построить график функции y = √−x__

Растяжение графика в 3 раза

Применили преобразование симметрии – зеркально отразили относительно оси y.

Заметим, что параллельный перенос графика относительно одной из осей в какую-либо сторону равносилен переносу этой оси относительно графика в противоположную сторону. Поэтому 3-е и 6-е правила можно объединить следующим образом: чтобы построить график функции
y = f(x − m) + n
нужно выполнить параллельный перенос всей плоскости координат так, чтобы началом новой системы координат x‘y‘ была точка O‘(m;n). Очевидно, что вместо того, чтобы дважды перерисовывать график, проще перечертить оси.

Пример 7.
Задан график функции y = √x_. Построить график функции y = √x + 3____ − 1.

В этом случае m = −3, n = −1. Если есть затруднения в определении знаков m и n, то записывайте формулу функции так, чтобы она совпадала с правилом

y = f(x − m) + n; y = √x − m_____ + n; y = √x − (−3)_______ + (−1)

Построение выполняем так. Чертим оси нужной системы координат. Находим точку с координатами (−3;−1). Проводим через неё «бледно карандашом» прямые параллельные основным осям. Это вспомогательная система координат. В этой (карандашной) системе координат строим график y = √x_. Относительно основной системы координат, он является графиком функции y = √x + 3____ − 1. Т.е., если карандаш удалить ластиком, то останется график, который требовалось построить.

Если нужно скомбинировать только параллельные переносы, чтобы построить график функции, то всё равно в каком порядке их выполнять, и всё равно, что переносить — оси или кривые. Но если нужно построить график сложной функции, используя и перенос, и растяжение-сжатие, и отражения, то следует тщательно соблюдать порядок выполнения операций.

Последовательность преобразований при построении графиков.

Пусть задан график функции y = f(x) и нужно построить график функции y = m·f(kx + l) + n, где k, l, m, n — числа.

Записываем формулу функции в виде
y = m·f(k·(x + l/k)), т.е. выносим за скобки коэффициент при х в аргументе функции.
Производим сжатие с коэффициентом k вдоль оси Ох к оси Oy. (Если k Oy.)
Если k Oy.
Осуществляем параллельный перенос (сдвиг) полученного графика на l/k единиц влево или вправо (в зависимости от знака, для положительного числа влево).
Производим растяжение с коэффициентом m от оси Oх (вдоль оси Оy). (Если m Ox.)
Если m Ox.
Осуществляем параллельный перенос (сдвиг) полученного графика на n единиц вверх или вниз (в зависимости от знака, при n >0 вверх).

Пример 8.
Задан график функции y = √x_. Построить график функции y = −0,5√3x − 12______ + 2.

1. Записываем формулу функции в виде y = −0,5·√3·(x − 4)_______ + 2,
т.е. выносим за скобки коэффициент при х под знаком квадратного корня с учетом того, что 12/3 = 4.
2. Строим известный график функции. ——
3. Производим сжатие в 3 раза к оси Oy. ——

4. — (преобразование симметрии относительно оси Oy не требуется, т.к. k = 3 > 0).

5. Сдвигаем полученный график на 4 единицы вправо. ——
6. Производим сжатие в 2 раза (растяжение с коэффициентом 0,5) к оси Oх. ——
7. Симметрично отражаем график относительно оси Ox. ——
8. Сдвигаем последний на 2 единицы вверх. Получили требуемый график. ——

преобразование графика функции

Проверим результат по «удобным» точкам. Например, x1 = 4 и x2 = 16.
y1 = −0,5√3·4 − 12_____ + 2 = 2.
y2 = −0,5√3·16 − 12_____ + 2 = −1.
Точки с координатами (4;2) и (16;−1) действительно принадлежат последнему графику.

Источник