Расчеты на прочность при растяжении и кручении
Эта статья будет посвящена расчетам на прочность, которые выполняются в сопромате и не только. Расчеты на прочность бывают двух видов: проверочные и проектировочные (проектные).
Проверочные расчеты на прочность – это такие расчеты, в ходе которых проверятся прочность элемента заданной формы и размеров, под некоторой нагрузкой.
В ходе проектировочных расчетов на прочность определяются какие-то размеры элемента из условия прочности. Причем, очевидно, что для разных видов деформаций эти условия прочности различны. Также к проектным расчетам можно отнести расчеты на грузоподъемность, когда вычисляется максимальная нагрузка, которую может выдерживать конструкция, не разрушаясь. Рассмотрим более подробно, как проводится прочностные расчеты для разных случаев.
Расчеты на прочность при растяжении (сжатии)
Начнем, пожалуй, с самого простого вида деформации растяжения (сжатия). Напряжение при центральном растяжении (сжатии) можно получить, разделив продольную силу на площадь поперечного сечения, а условие прочности выглядит вот так:
где сигма в квадратных скобках – это допустимое напряжение. Которое можно получить, разделив предельное напряжения на коэффициент запаса прочности:
Причем, за предельное напряжение для разных материалов принимают разное значение. Для пластичных материалов, например, для малоуглеродистой стали (Ст2, Ст3) принимают предел текучести, а для хрупких (бетон, чугун) берут в качестве предельного напряжения – предел прочности (временное сопротивление). Эти характеристики получают при испытании образцов на растяжение или сжатие на специальных машинах, которые фиксируют характеристики в виде диаграммы.
Коэффициент запаса прочности выбирается конструктором исходя из своего личного опыта, назначения проектируемой детали и сферы применения. Обычно, он варьируется от 2 до 6.
В случае если необходимо подобрать размеры сечения, площадь выражают таким образом:
Таким образом, минимальная площадь поперечного сечения при центральном растяжении (сжатии) будет равна отношению продольно силы к допустимому напряжению.
Расчеты на прочность при кручении
При кручении расчеты на прочность в принципе схожи с теми, что проводятся при растяжении. Только здесь вместо нормальных напряжений появляются касательные напряжения.
На кручение работают, чаще всего, детали, которые называются валами. Их назначение заключается в передаче крутящего момента от одного элемента к другому. При этом вал по всей длине имеет круглое поперечное сечение. Условие прочности для круглого поперечного сечения можно записать так:
где Ip — полярный момент сопротивления, ρ — радиус круга. Причем по этой формуле можно определить касательное напряжение в любой точке сечения, варьируя значение ρ. Касательные напряжения распределены неравномерно по сечению, их максимальное значение находится в наиболее удаленных точках сечения:
Условие прочности, можно записать несколько проще, используя такую геометрическую характеристику как момент сопротивления:
То бишь максимальные касательные напряжения равны отношению крутящего момента к полярному моменту сопротивления и должны быть меньше либо равны допустимому напряжению. Геометрические характеристики для круга, упомянутые выше можно найти вот так:
Иногда в задачах встречаются и прямоугольные сечения, для которых момент сопротивления определяется несколько сложнее, но об этом я расскажу в другой статье.
Расчеты на прочность при изгибе
Источник
2.4. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ Основной задачей расчета конструкции на растяжение является обеспечение ее прочности в условиях эксплуатации. Условие прочности – оценка прочности элемента конструкции, сводящаяся к сравнению расчетных напряжений с допускаемыми: σ≤рσ[р ]; σ с ≤[ с],σ (2.9) где σр и σс – наибольшие расчетные растягивающие и сжимающие напряжения; [σр] и [σс] – допускаемые напряжения при растяжении и сжатии. Допускаемое напряжение – наибольшее напряжение, которое можно допустить в элементе конструкции при условии его безопасной, долговечной и надежной работы: Здесь σпред – предельное напряжение (состояние), при котором конструкция перестает удовлетворять эксплуатационным требованиям; им мо- гут быть предел текучести, предел прочности, предел выносливости, пре- дел ползучести и др. Для конструкций из пластичных материалов при определении допускаемых напряжений используют предел текучести σт (рис. 2.4, а). Это связано с тем, что в случае его превышения деформации резко возрастают при незначительном увеличении нагрузки и конструкция перестает удовлетворять условиям эксплуатации. Допускаемое напряжение в этом случае определяют как Для хрупких материалов (чугун, бетон, керамика) где σвр и σвс – пределы прочности при растяжении и сжатии (рис. 2.4, б). Здесь [n] – нормативный коэффициент запаса прочности. В зависимости от той предельной характеристики, с которой сравнивают расчетное напряжение σ, различают [nт] – нормативный коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести σт и [nв] – нормативный коэффициент запаса прочности по отношению к пределу прочности σв. Запас прочности – отношение предельно допустимой теоретической нагрузки к той нагрузке, при которой возможна безопасная работа конструкции с учетом случайных перегрузок, непредвиденных дефектов и недостоверности исходных данных для теоретических расчетов. Нормативные коэффициенты запаса прочности зависят: − от класса конструкции (капитальная, временная), − намечаемого срока эксплуатации, − условий эксплуатации (радиация, коррозия, загнивание), − вида нагружения (статическое, циклическое, ударные нагрузки) − неточности задания величины внешних нагрузок, − неточности расчетных схем и приближенности методов расчета − и других факторов. Нормативный коэффициент запаса прочности не может быть единым на все случаи жизни. В каждой отрасли машиностроения сложились свои подходы, методы проектирования и приемы технологии. В изделиях общего машиностроения принимают [nт] = 1,3 – 2,2; [nв] = 3 – 5. Вероятность выхода из строя приближенно можно оценить с помощью коэффициента запаса в условии прочности: n = 1 соответствует вероятности невыхода из строя 50 %; n = 1,2 соответствует вероятности невыхода из строя 90 %; n = 1,5 соответствует вероятности невыхода из строя 99 %; n = 2 соответствует вероятности невыхода из строя 99,9 %. Для неответственных деталей n = 2 много. Для ответственных – мало. Так для каната подъемного лифта это означает на 1000 подъемов одно падение. При расчете конструкций на прочность встречаются три вида задач, которые вытекают из условия прочности а) поверочный расчет (проверка прочности). Известны усилие N и площадь A. Вычисляют σ = N/A и, сравнивая его с предельным σт или σв (для пластичного и хрупкого материалов соответственно), находят фактический коэффициент запаса прочности который затем сопоставляют с нормативным [n]; б) проектный расчет (подбор сечения). Известны внутреннее усилие N и допускаемое напряжение [σ]. Определяют требуемую площадь поперечного сечения стержня в) определение грузоподъемности (несущей способности). Известны площадь А и допускаемое напряжение [σ]. Вычисляют внутреннее усилие N≤N[ ] = ⋅[σ]A, (2.15) а затем в соответствие со схемой нагружения – величину внешней нагрузки F ≤ [F].
Источник
Расчеты на прочность при кручении проводятся по допускаемым напряжениям на основе следующего условия прочности:
. (2.34)
Здесь — наибольшее расчетное касательное напряжение в опасном сечении вала.
Если сечения по длине вала не меняются, то опасными будут сечения на участке вала, где крутящий момент Мк максимален (определяется по эпюре Мк).
Для вала с различными сечениями по длине кроме эпюры крутящих моментов, вдоль оси строится эпюра наибольших напряжений, по которой определяется опасное сечение.
Wк – момент сопротивления сечения при кручении.
Для круглого и кольцевого сечений :
Wk = Wp – полярный момент сопротивления (см.2.15; 2.17).
Допускаемое напряжение при кручении ориентировочно принимают:
для сталей [ ,
для чугунов ,
где — допускаемое напряжение при растяжении.
Условие прочности позволяет решать три типа задач:
1. По известным внешним скручивающим моментам и размерам вала проверяется его прочность, делается поверочный расчет на прочность;
2. Подбор сечений (проектировочный расчет). Расчет ведется по формуле, получаемой из условия прочности (2.34):
. (2.35)
3. Определение грузоподьемности (определение допускаемых крутящих моментов). Расчетная формула имеет вид:
. (2.36)
При расчете на жесткость вала ограничение может быть наложено на величину относительного угла закручивания или полного угла закручивания .
В соответствии с этими требованиями, условие жесткости может быть записано в виде:
, (2.37)
или . (2.38) Здесь и — максимальные относительный и полный углы закручивания, для определения этих значений в сложных случаях необходимо строить эпюры или ;
G – модуль сдвига;
Jк – момент инерции сечения вала при кручении (см. параграфы 2.3 и 2.4).
Для круглого и кольцевого сечений:
JК = Jр ,
где Jр – полярный момент инерции (см.формулы 2.14 и 2.16);
и — допускаемые значения относительного и полного углов заручивания..
Расчет на жесткость так же как и расчет на прочность может быть в зависимости от условий задачи поверочным, проектировочным или по определению грузоподьемности вала.
Пример 2.1.Стальной вал круглого поперечного сечения передает крутящий момент Мк = 20 кНм. Определить диаметр вала, если допускаемое напряжение допускаемый относительный угол закручивания на один метр длины вала.
Решение.
Из условия прочности вала
находим полярный момент сопротивления
.
Полярный момент сопротивления выражается через диаметр по формуле: ,
отсюда находим
Из условия жесткости вала: ,
где
– полярный момент инерции сечения вала;
G = 0,8 1011 Па – модуль сдвига стали,
;
находим
= ,
.
Из двух найденных значений диаметра вала выбираем большее, т.е. d = 13см.
Ответ: .
Пример 2.2. Стальной вал передает мощность N = 50 кВт при частоте вращения n=200 об/мин. Подобрать сечение вала для случая сплошного сечения и кольцевого с отношением диаметров:
α= d / D = 0.8,
где d и D – внутренний и наружный диаметр сечения, если допускаемое напряжение [ ] = 80 мПа.
Решение.
Найдем крутящий момент передаваемый валом ,
где — угловая скорость вала.
Крутящий момент равен
Из условия прочности
найдем полярный момент сопротивления сечения вала .
Для сплошного круглого сечения
, отсюда
Для кольцевого сечения
отсюда = 6,4 см,
.
Сравним площади сплошного и кольцевого сечений, что определяет расход металла:
для сплошного сечения
для кольцевого сечения .
Таким образом, применение кольцевого сечения с отношением диаметров d/D= 0,8 вместо сплошного дает экономию металла примерно в два раза.
Пример 2.3. Стальной составной брус нагружен сосредоточенными скручивающими моментами (рис.2.16). Определить из расчетов на прочность и жесткость допустимые значения моментов М.
Принять а = 0,5м, b = 10см, d =5 см.
Модуль сдвига G=0.8 1011 Па, допускаемое напряжение [ ] = 90 МПа,
допускаемый относительный угол закручивания
[ ] = 0,01 рад/м.
Рис.2.16
Решение.
Решение задачи начинаем с определения внутренних силовых факторов (крутящих моментов). Заметим, что в данном случае для определения крутящего момента в сечении проще рассматривать часть бруса справа от сечения, что позволяет не определять реактивный момент в заделке.
В соответствии с правилом, изложенным в параграфе 2.1 находим:
в сечении 1-1 М1к =М,
в сечении 2-2 М2к = 2М.
Эпюра Мк построенная по полученным данным, показана на рис.2.16, б.
Выразим касательные напряжения через Мк.
Первый участок: ,
где Wp – полярный момент сопротивления.
Для круглого сечения на этом участке:
.
Второй участок:
где Wк – момент сопротивления сечения при кручении.
Для квадратного сечения:
Wк = 0,208 b3 = 0,208 103 см3 = 2,08 10-4 м3.
Подставив значения Wp и Wк в выражения для на первом и втором участках получим:
на 1-м участке = 4,08 104 М( Па),
на 2-м участке (Па).
Как видно из сравнения полученных результатов, опасными являются сечения на 1-ом участке, где касательные напряжения максимальны.
Условие прочности для этих сечений имеет вид:
.
Из условия прочности находим допустимое значение момента М :
.
Проведем расчет на жесткость.
Относительный угол закручивания на 1-м участке :
,
где Jp – полярный момент сечения
,
,
на 2-ом участке
,
где Jк — момент инерции сечения при кручении, который для квадратного сечения равен
Jк = 0,141 b4 = 0,141 104 см4 = 0,141 10-4 м4,
Таким образом, max = 1 = 0.2 10-4
Условие жесткости имеет вид
.
Из условия жесткости находим:
.
Из двух значений М, полученных из расчета на прочность и из расчета на жесткость, принимаем меньшее значение, т.е.
[М] = 0,5 кН м.
Источник
Сложное сопротивление – одновременное действие на брус нескольких простых видов деформаций: растяжения-сжатия, сдвига, кручения и изгиба. Например, совместное действие растяжения и кручения.
Косой изгиб.
Косой изгиб – это изгиб, при котором плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции сечения бруса.
В общем случае при косом изгибе в поперечных сечениях возникают четыре внутренних силовых фактора: поперечные силы Qx, Qy и изгибающие моменты Mx , My. Таким образом, косой изгиб можно рассматривать как сочетание двух плоских поперечных изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях. Влиянием поперечных сил на прочность и жесткость бруса обычно пренебрегают.
Нейтральная линия при косом изгибе всегда проходит через центр тяжести сечения.
Условие прочности при косом изгибе:
где ymax, xmax — координаты точки сечения, наиболее удаленной от нейтральной оси.
Для сечений, имеющих две оси симметрии, максимальные напряжения будут в угловых точках, а условие прочности:
где Wx , Wy – осевые моменты сопротивления сечения относительно соответствующих осей.
Если материал бруса не одинаково работает на растяжение и на сжатие, то проверку его прочности выполняют по допускаемым и растягивающим и сжимающим напряжениям.
Прогибы при косом изгибе определяют, используя принцип независимости действия сил, геометрическим суммированием прогибов вдоль направления главных осей:
Изгиб с растяжением (сжатием).
При таком виде сложного сопротивления внутренние силовые факторы приводятся к одновременному действию продольной силы N и изгибающего момента M.
Рассмотрим случай центрального растяжения бруса в сочетании с косым изгибом. На консольный брус действует сила F, составляющая некоторый угол с продольной осью бруса и не лежащая ни в одной из главных плоскостей сечения. Сила приложена в центре тяжести торцевого сечения бруса:
К расчёту на прочность бруса при изгибе с растяжением:
a — нагружение бруса; б — внутренние силовые факторы в поперечном сечении;
Разложим силу F на три составляющие. Тогда внутренние силовые факторы приобретут следующий вид:
Напряжение в произвольно выбранной точке Д, имеющей координаты (хд, уд), пренебрегая действием поперечных сил, будут определяться по формуле:
где А — площадь поперечного сечения.
Если сечение имеет две оси симметрии (двутавр, прямоугольник, круг), наибольшее напряжение определяют по формуле:
Условие прочночти имеет вид:
Также как и в случае косого изгиба, если материал бруса не одинаково работает на растяжение и на сжатие, то проверку прочности проводят по допускаемым растягивающим и сжимающим напряжениям.
Внецентренное растяжение или сжатие.
При таком виде сложного сопротивления продольная сила приложена не в центре тяжести поперечного сечения бруса.
К расчёту на прочность бруса при внецентренном растяжении
a — нагружение бруса; б — внутренние силовые факторы в поперечном сечении;
Приведём силу F к центру тяжести:
где уF , xF — координаты точки приложения силы F.
В произвольной точке Д, с координатами (хд, уд), нормальное напряжение определяется по фомуле:
Условие прочности для бруса, изготовленного из материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию, имеет вид:
Для бруса, который неодинаково работает на растяжение и на сжатие проверка прочности по допускаемым растягивающим и сжимающим напряжениям.
Кручение с изгибом.
Сочетание деформаций изгиба и кручения характерно для работы валов машин.
Напряжения в сечениях вала возникают от кручения и от изгиба. При изгибе появляются нормальные и касательные напряжения:
Эпюры напряжений в сечении бруса при кручении с изгибом
Нормальное напряжение достигает максимума на поверхности:
Касательное напряжение от крутящего момента Mz достигает максимума также на поверхности вала:
Из третьей и четвёртой теории прочности:
При кручении с изгибом условие прочности имеет вид:
Источник
Сечения элементов конструкции должны быть такими, чтобы в течение всего срока эксплуатации была исключена возможность разрушения и возникновения недопустимо больших деформаций конструкции при одновременном требовании экономии материала. Необходимые размеры сечений элементов конструкции определяются из расчетов на прочность, жесткость и устойчивость.
Расчет на прочность сводится к требованию, чтобы наибольшие напряжения в элементе конструкции (нормальные, касательные либо определенная комбинация этих напряжений) не превосходили некоторой допустимой для данного материала величины.
Расчет на жесткость сводится к требованию, чтобы наибольшие перемещения (удлинения стержней, прогибы, осадки опор) не превышали некоторых допустимых величин.
В этом параграфе ограничимся кратким изложением методов расчета на прочность. Расчеты на жесткость и устойчивость подробно рассматриваются в следующих главах.
Существуют три метода расчета на прочность:
- 1) метод допускаемых напряжений;
- 2) метод предельных состояний;
- 3) метод разрушающих нагрузок.
Рассмотрим все три метода.
1. Метод допускаемых напряжений. Этот метод применяется при расчете машиностроительных конструкций. До пускаемым называется наибольшее напряжение, при котором элемент конструкции будет работать длительное время без опасности его разрушения. Допускаемое напряжение [о] определяется делением опасного напряжения о0 на коэффициент запаса прочности п > 1:
Для элементов конструкций, изготовленных из материалов, обладающих свойствами пластичности, за опасное напряжение принимается предел текучести при растяжении или сжатии о^, так как при достижении этих напряжений могут возникнуть недопустимо большие остаточные деформации.
Для элементов конструкций, изготовленных из хрупких материалов, за опасные напряжения принимаются временное сопротивление (предел прочности) при растяжении или сжатии так как при достижении этих напряжений происходит разрушение. Таким образом, для пластичных материалов допускаемые напряжения при растяжении и сжатии определяются по формулам
где пт — коэффициент запаса по пределу текучести.
Для материалов с выраженными пластическими свойствами
и
Для хрупких материалов
где пв — коэффициент запаса по временному сопротивлению.
Необходимость введения коэффициента запаса обусловлена рядом обстоятельств: невозможностью точно определить величины и характер действующих нагрузок; разбросом свойств материалов (особенно неоднородных) и недостаточной точностью их определения; невозможностью учета всех неблагоприятных условий эксплуатации сооружения; неточностью изготовления и монтажа конструкции; неточностью методов расчета; назначением и степенью ответственности конструкции.
Величины коэффициентов запаса и допускаемых напряжений устанавливаются нормами проектирования и изменяются в пределах: пт = 1,5-5-2,5; пв = 2,5+5. Очевидно, что коэффициент запаса пв должен быть больше, чем /?т, так как появление в элементе конструкции напряжений, равных от, еще не приводит его к разрушению. Ориентировочные величины допускаемых напряжений для некоторых материалов, применяемых в машиностроении, приведены в табл. 3.4.
Таблица 3.4
Допускаемые напряжения, МПа | ||
Наименование материала | при растяжении tap] | при сжатии [°с] |
Сталь машиностроительная (конструкционная) углеродистая | 60-ь | 250 |
Сталь машиностроительная (конструкционная) легированная | 100+400 и выше | |
Медь | 30+ | 120 |
Бронза | 60+ | 120 |
Дюралюминий | 80+ | 150 |
Чугун серый в отливках | 28+80 | 120+160 |
Сосна вдоль волокон | 7+10 | 10+12 |
Сосна поперек волокон | — | 1,5+2,0 |
Текстолит | 30+40 | |
Гетинакс | 50^ | ь70 |
Условие прочности при расчете по методу допускаемых напряжений сводится к требованию, чтобы наибольшие растягивающие 6 и наибольшие по абсолютной величине сжимающие аснб напряжения в элементе конструкции не превышали допускаемых напряжений:
Если материал одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то производится проверка прочности по наибольшему по абсолютной величине напряжению:
В некоторых случаях, например для деталей машин, работающих на кручение, для элементов соединений, работающих на сдвиг (заклепки, сварные швы, деревянные шпонки и т.п.), решающее значение для прочности имеют касательные напряжения. Условие прочности по касательным напряжениям записывается в виде
где [т] — допускаемое касательное напряжение. Для пластичных материалов принимается [т] = 0,6 [а.
Сечение стержня, в котором действует наибольшее напряжение, называется опасным сечением.
При центральном растяжении и сжатии в опасных сечениях стержня должны выполняться условия прочности, которые с учетом формул (3.36) и (3.37) можно представить в виде
В этих формулах продольные силы принимаются по абсолютной величине.
2. Метод предельных состояний. Этот метод применяется при расчете строительных конструкций.
Предельным называется такое состояние конструкции, при котором становится невозможной ее дальнейшая нормальная эксплуатация.
В строительных нормах и правилах (СНиП) установлены три группы предельных состояний.
Первая группа предельных состояний определяется потерей несущей способности — прочности или устойчивости.
Вторая группа предельных состояний определяется возникновением чрезмерно больших деформаций или колебаний сооружения.
Третья группа предельных состояний определяется образованием и развитием трещин и других повреждений.
В этом параграфе рассматривается расчет на прочность по первой группе предельных состояний.
При расчете на прочность по допускаемым напряжениям вводится один общий коэффициент запаса. Расчет на прочность по первой группе предельных состояний отличается более гибким подходом к назначению необходимого запаса прочности. При этом вместо одного коэффициента запаса вводятся несколько коэффициентов.
Коэффициент надежности по нагрузке у^. С помощью этого коэффициента учитывается возможное увеличение нагрузки по сравнению с ее нормативным значением Рц, приведенным в СНиП. Расчет на прочность производится на действия расчетных нагрузок Рр, значения которых определяются по формуле
Для постоянных нагрузок (например, собственный вес) коэффициент jj. = 1,05+1,3. Для временных нагрузок у^ = 1,05+1,4. Например, для снеговой и ветровой нагрузок принимается ^ = 1,4.
Коэффициент надежности по материалу ут. С помощью этого коэффициента учитывается возможное уменьшение нормативного сопротивления RH материала конструкции по сравнению с данными испытаний на образцах. Для пластичных материалов за нормативное сопротивление принимается предел текучести RH = ат, для хрупких — временное сопротивление RH = ав. Для стальных конструкций величина ут принимается в пределах 1,025 + 1,15.
Величина
называется расчетным сопротивлением материала. Для строительных сталей эта величина определяется по формуле
и называется расчетным сопротивлением по пределу текучести.
Значения расчетных сопротивлений для некоторых материалов приведены в табл. 3.5. Более полные сведения приведены в соответствующих разделах СНиП.
При расчетах на прочность вводится также коэффициент условий работы у, зависящий от вида конструкции и особенностей ее работы. Величина ус изменяется в пределах 0,75+1,0.
Условия прочности при расчете по первой группе предельных состояний сводятся к требованию, чтобы наибольшие растягивающие напряжения о”6 и наибольшие по абсолютной величине сжимающие напряжения аснб от действия расчетных нагрузок не превышали величин расчетных сопротивлений при растяжении Rp и сжатии Rc, умноженных на коэффициент
условий работы у;.
Если материал одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то производится проверка прочности по наибольшему по абсолютной величине напряжению:
Условие прочности по касательным напряжениям записывается в виде
где Rs — расчетное сопротивление материала при сдвиге. Для пластичных материалов Rs ~ 0,6/?.
Таблица 3.5
Расчетное сопротивление, МПа | |||
Наименование материала | при растяжении Rp | при сжатии | при сдвиге |
Прокат стали марок: ВСтЗкп | 175ч | i-230 | 100+140 |
ВСтЗпс, ВСтЗсп | 230ч | г 280 | о о •1- о тг |
09Г2 (марганцовистая) | 290ч | ^360 | 180+215 |
10ХСНД (хромокремненикелевая) | 355 | 210 | |
12Г2СМФ (термически упрочненная легированная) | 515 | 310 | |
Алюминиевые сплавы, термически упрочненные | 125ч | i-200 | 75+120 |
Чугун серый марки СЧ | L/1 + О О | 160+250 | 40+75 |
Бетон | 0,26+1,68 | 2,14+33,6 | — |
Сосна, ель: вдоль волокон | 10 | 13 | 2,4 |
при изгибе | 13 | 13 | 2,4 |
При центральном растяжении и сжатии в опасных сечениях стержня должны выполняться условия прочности, которые по аналогии с (3.39) и (3.40) можно представить в виде
где, как и в формулах (3.39) и (3.40), продольные силы принимаются по абсолютной величине.
При расчете элементов конструкций, работающих на центральное растяжение и сжатие, решаются задачи трех типов: 1) проверка прочности; 2) подбор сечения; 3) определение несущей способности (грузоподъемности) стержня или стержневой системы.
Рассмотрим решение этих задач на простых примерах.
Решение первой задачи сводится к проверке выполнения условий прочности при заданных нагрузке, форме, размерах сечений и свойствах материала.
Проверим прочность чугунного стержня (рис. 3.29, а), центрально нагруженного двумя сосредоточенными силами Рх = 100 кН и Р2 = 600 кН. Нижняя часть стержня имеет постоянное по длине квадратное сечение 60 х 60 мм. Верхняя часть имеет форму усеченного конуса. Диаметр верхнего сечения d{ = 40 мм, нижнего — d2 = 50 мм. Допускаемые напряжения чугуна при растяжении [ор] = 80 МПа и сжатии [ос] = 150 МПа.
Рис. 3.29
На рис. 3.29, б приведена эпюра продольных сил. Для верхней части опасным является сечение 1 — 1, в котором действует растягивающая продольная сила 7Ур=100кН, а площадь сечения Fl = к • 22 = 12,56 см2. По первой из формул (3.39) проверяем прочность по растягивающим напряжениям:
В нижней, сжатой части продольная сила по абсолютной величине равна Nc = 500 кН и все сечения равноопасны; Р2 = 6 6 = 36 см2. По второй из формул (3.39) проверяем прочность по сжимающим напряжениям:
Таким образом, условия прочности выполняются.
Решение второй задачи сводится к определению размеров сечения заданной формы при заданных нагрузках и свойствах материала.
Балка АВ (рис. 3.30) шарнирно оперта в точке А и поддерживается стержнем CD, шарнирно прикрепленным к балке в точке D и к опоре в точке С. Балка нагружена на конце силой Р, нормативное значение которой Рц = 200 кН. Коэффициент надежности по нагрузке yf = 1,2, коэффициент условий работы ус = 0,9. Материал стержня — строительная сталь марки ВСтЗпс 6-1 с расчетным сопротивлением по пределу текучести R = 240 МПа. Требуется подобрать сечение стержня в виде двух равнобоких уголков.
Рис. 3.30
По формуле (3.41) определим
расчетное значение нагрузки:
Из уравнения равновесия X МА = Na — Рр2а = 0 находим усилие в стержне:
Из условия прочности по первой группе предельных состояний (3.48) определяем требуемую площадь сечения стержня:
По сортаменту прокатных профилей «Сталь прокатная угловая равнополочная» (по ГОСТ 8509 — 72) принимаем сечение 21_ 80 х 8. Площадь сечения двух уголков F= 2 ? 12,3 = 24,6 см2.
При решении третьей задачи по определению грузоподъемности стержня или стержневой системы находится нагрузка, при действии которой напряжения в опасном сечении в зависимости от метода расчета равны допускаемым напряжениям или расчетному сопротивлению материала, умноженному на коэффициент условий работы.
В качестве примера определим грузоподъемность статически неопределимой стержневой системы (см. рис. 3.9), рассмотренной в § 3.4, при следующих исходных данных: все три стержня выполнены из двух равнобоких уголков 21_ 80 х 8, имеющих площадь сечения F= 2 • 12,3 = 24,6 см2; материал — сталь с расчетным сопротивлением R = 210 МПа; коэффициент условий работы ус = 1; угол наклона крайних стержней к вертикали а = 30°.
Поделив найденные усилия N{, Nv N3 на площади поперечных сечений стержней, определим напряжения:
Из этих формул видно, что напряжения в среднем стержне больше, чем в крайних. Приравняв о(2) величине уcR, определим грузоподъемность стержневой системы:
3. Метод разрушающих нагрузок.