Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и кручении
Расчеты на прочность при кручении проводятся по допускаемым напряжениям на основе следующего условия прочности:
. (2.34)
Здесь — наибольшее расчетное касательное напряжение в опасном сечении вала.
Если сечения по длине вала не меняются, то опасными будут сечения на участке вала, где крутящий момент Мк максимален (определяется по эпюре Мк).
Для вала с различными сечениями по длине кроме эпюры крутящих моментов, вдоль оси строится эпюра наибольших напряжений, по которой определяется опасное сечение.
Wк – момент сопротивления сечения при кручении.
Для круглого и кольцевого сечений :
Wk = Wp – полярный момент сопротивления (см.2.15; 2.17).
Допускаемое напряжение при кручении ориентировочно принимают:
для сталей [ ,
для чугунов ,
где — допускаемое напряжение при растяжении.
Условие прочности позволяет решать три типа задач:
1. По известным внешним скручивающим моментам и размерам вала проверяется его прочность, делается поверочный расчет на прочность;
2. Подбор сечений (проектировочный расчет). Расчет ведется по формуле, получаемой из условия прочности (2.34):
. (2.35)
3. Определение грузоподьемности (определение допускаемых крутящих моментов). Расчетная формула имеет вид:
. (2.36)
При расчете на жесткость вала ограничение может быть наложено на величину относительного угла закручивания или полного угла закручивания .
В соответствии с этими требованиями, условие жесткости может быть записано в виде:
, (2.37)
или . (2.38) Здесь и — максимальные относительный и полный углы закручивания, для определения этих значений в сложных случаях необходимо строить эпюры или ;
G – модуль сдвига;
Jк – момент инерции сечения вала при кручении (см. параграфы 2.3 и 2.4).
Для круглого и кольцевого сечений:
JК = Jр ,
где Jр – полярный момент инерции (см.формулы 2.14 и 2.16);
и — допускаемые значения относительного и полного углов заручивания..
Расчет на жесткость так же как и расчет на прочность может быть в зависимости от условий задачи поверочным, проектировочным или по определению грузоподьемности вала.
Пример 2.1.Стальной вал круглого поперечного сечения передает крутящий момент Мк = 20 кНм. Определить диаметр вала, если допускаемое напряжение допускаемый относительный угол закручивания на один метр длины вала.
Решение.
Из условия прочности вала
находим полярный момент сопротивления
.
Полярный момент сопротивления выражается через диаметр по формуле: ,
отсюда находим
Из условия жесткости вала: ,
где
– полярный момент инерции сечения вала;
G = 0,8 1011 Па – модуль сдвига стали,
;
находим
= ,
.
Из двух найденных значений диаметра вала выбираем большее, т.е. d = 13см.
Ответ: .
Пример 2.2. Стальной вал передает мощность N = 50 кВт при частоте вращения n=200 об/мин. Подобрать сечение вала для случая сплошного сечения и кольцевого с отношением диаметров:
α= d / D = 0.8,
где d и D – внутренний и наружный диаметр сечения, если допускаемое напряжение [ ] = 80 мПа.
Решение.
Найдем крутящий момент передаваемый валом ,
где — угловая скорость вала.
Крутящий момент равен
Из условия прочности
найдем полярный момент сопротивления сечения вала .
Для сплошного круглого сечения
, отсюда
Для кольцевого сечения
отсюда = 6,4 см,
.
Сравним площади сплошного и кольцевого сечений, что определяет расход металла:
для сплошного сечения
для кольцевого сечения .
Таким образом, применение кольцевого сечения с отношением диаметров d/D= 0,8 вместо сплошного дает экономию металла примерно в два раза.
Пример 2.3. Стальной составной брус нагружен сосредоточенными скручивающими моментами (рис.2.16). Определить из расчетов на прочность и жесткость допустимые значения моментов М.
Принять а = 0,5м, b = 10см, d =5 см.
Модуль сдвига G=0.8 1011 Па, допускаемое напряжение [ ] = 90 МПа,
допускаемый относительный угол закручивания
[ ] = 0,01 рад/м.
Рис.2.16
Решение.
Решение задачи начинаем с определения внутренних силовых факторов (крутящих моментов). Заметим, что в данном случае для определения крутящего момента в сечении проще рассматривать часть бруса справа от сечения, что позволяет не определять реактивный момент в заделке.
В соответствии с правилом, изложенным в параграфе 2.1 находим:
в сечении 1-1 М1к =М,
в сечении 2-2 М2к = 2М.
Эпюра Мк построенная по полученным данным, показана на рис.2.16, б.
Выразим касательные напряжения через Мк.
Первый участок: ,
где Wp – полярный момент сопротивления.
Для круглого сечения на этом участке:
.
Второй участок:
где Wк – момент сопротивления сечения при кручении.
Для квадратного сечения:
Wк = 0,208 b3 = 0,208 103 см3 = 2,08 10-4 м3.
Подставив значения Wp и Wк в выражения для на первом и втором участках получим:
на 1-м участке = 4,08 104 М( Па),
на 2-м участке (Па).
Как видно из сравнения полученных результатов, опасными являются сечения на 1-ом участке, где касательные напряжения максимальны.
Условие прочности для этих сечений имеет вид:
.
Из условия прочности находим допустимое значение момента М :
.
Проведем расчет на жесткость.
Относительный угол закручивания на 1-м участке :
,
где Jp – полярный момент сечения
,
,
на 2-ом участке
,
где Jк — момент инерции сечения при кручении, который для квадратного сечения равен
Jк = 0,141 b4 = 0,141 104 см4 = 0,141 10-4 м4,
Таким образом, max = 1 = 0.2 10-4
Условие жесткости имеет вид
.
Из условия жесткости находим:
.
Из двух значений М, полученных из расчета на прочность и из расчета на жесткость, принимаем меньшее значение, т.е.
[М] = 0,5 кН м.
Источник
Сопротивление материалов
Деформация кручения
Расчеты на прочность и жесткость при кручении
Условие прочности бруса при кручении заключается в том, что наибольшее касательное напряжение, возникающее в нем, не должно превышать предельно допустимое. При этом расчетная формула на прочность имеет вид:
τmax = Мкр / Wr≤ [τкр],
где [τкр] — предельное допускаемое напряжение.
При практических расчетах, определяя предельные допускаемые напряжения для различных материалов, используют зависимость между напряжениями при растяжении и напряжениями при кручении, которая для стали и чугуна имеет вид:
для стали — [τкр] = 0,55….0,6 [σр]
для чугуна — [τкр] = 1,0….1,2 [σр])
(здесь [σр] — справочная или определяемая экспериментально величина, (предельное допустимое напряжение растяжения) характеризующая материал бруса (вала).
Кроме требования прочности к валам предъявляются требования жесткости, которое заключается в том, что угол закручивания участка вала длиной 1 м не должен превышать предельной величины, определяемой требованиями конструкции.
Допускаемый угол закручивания 1 м длины вала задается в градусах и обозначается [φ0°].
Расчетная формула на жесткость при кручении имеет вид:
φ0° = 180 Мкр / (пGIr) ≤ [φ0°]
В реальных механизмах обычно допускаются углы закручивания валов в пределах [φ0°] = 0,25…1 градус/м.
Пример решения задачи на кручение
Определить минимальный допустимый диаметр вала d, передающего крутящий момент Мкр = 464 Нм, если допускаемое напряжение кручения [τкр] = 30 МПа.
Решение
По известному передаваемому крутящему моменту можно определить момент сопротивления кручению:
Wr = Мкр / [τкр] = 464 / 30 х 106 = 15,6 х 10-6 м3.
Из зависимости между моментом сопротивления кручению и диаметром вала Wr ≈ 0,2D3 находим минимальный допустимый диаметр:
D ≈ 3√(Wr / 0,02) ≈ 43 мм (здесь и далее √ — знак корня).
Округляя найденное значение диаметра до стандартной величины (в большую сторону), принимаем D = 45 мм.
***
Потенциальная энергия деформации при кручении
Представим себе круглый цилиндрический брус (вал) постоянного сечения, жестко защемленный одним концом и нагруженный на другом конце моментом, приложенным статически, т. е. медленно возрастающим от нуля до какого-либо значения Т.
Полагаем, что момент остается в пределах, когда нагрузка и деформация пропорциональны, т. е. справедлив закон Гука.
Момент Т вызывает в брусе деформацию кручения и при этом совершает работу W, которая аккумулируется в виде потенциальной энергии деформации U, причем пренебрегая незначительными потерями энергии (например, на нагрев бруса), можно считать, что W = U.
Работа в случае статического нагружения равна: W = Т φ / 2, где φ — полный угол закручивания бруса.
Так как Т = Мкр, то справедливо равенство:
U = W = Т φ / 2 = Мкр2 l / (2Glr).
При одновременном действии нескольких моментов или ступенчатом изменении размеров поперечного сечения брус разбивают на однородные участки и потенциальную энергию деформации всего бруса определяют как сумму потенциальных энергий этих участков.
***
Материалы раздела «Деформация кручения»:
- Понятие о кручении цилиндрического бруса (вала)
- Построение эпюр крутящих моментов
- Деформации и напряжения, возникающие при кручении
- Расчеты на прочность и жесткость при кручении
- Расчет цилиндрических винтовых пружин
Деформация среза
Источник
Эта статья будет посвящена расчетам на прочность, которые выполняются в сопромате и не только. Расчеты на прочность бывают двух видов: проверочные и проектировочные (проектные).
Проверочные расчеты на прочность – это такие расчеты, в ходе которых проверятся прочность элемента заданной формы и размеров, под некоторой нагрузкой.
В ходе проектировочных расчетов на прочность определяются какие-то размеры элемента из условия прочности. Причем, очевидно, что для разных видов деформаций эти условия прочности различны. Также к проектным расчетам можно отнести расчеты на грузоподъемность, когда вычисляется максимальная нагрузка, которую может выдерживать конструкция, не разрушаясь. Рассмотрим более подробно, как проводится прочностные расчеты для разных случаев.
Расчеты на прочность при растяжении (сжатии)
Начнем, пожалуй, с самого простого вида деформации растяжения (сжатия). Напряжение при центральном растяжении (сжатии) можно получить, разделив продольную силу на площадь поперечного сечения, а условие прочности выглядит вот так:
где сигма в квадратных скобках – это допустимое напряжение. Которое можно получить, разделив предельное напряжения на коэффициент запаса прочности:
Причем, за предельное напряжение для разных материалов принимают разное значение. Для пластичных материалов, например, для малоуглеродистой стали (Ст2, Ст3) принимают предел текучести, а для хрупких (бетон, чугун) берут в качестве предельного напряжения – предел прочности (временное сопротивление). Эти характеристики получают при испытании образцов на растяжение или сжатие на специальных машинах, которые фиксируют характеристики в виде диаграммы.
Коэффициент запаса прочности выбирается конструктором исходя из своего личного опыта, назначения проектируемой детали и сферы применения. Обычно, он варьируется от 2 до 6.
В случае если необходимо подобрать размеры сечения, площадь выражают таким образом:
Таким образом, минимальная площадь поперечного сечения при центральном растяжении (сжатии) будет равна отношению продольно силы к допустимому напряжению.
Расчеты на прочность при кручении
При кручении расчеты на прочность в принципе схожи с теми, что проводятся при растяжении. Только здесь вместо нормальных напряжений появляются касательные напряжения.
На кручение работают, чаще всего, детали, которые называются валами. Их назначение заключается в передаче крутящего момента от одного элемента к другому. При этом вал по всей длине имеет круглое поперечное сечение. Условие прочности для круглого поперечного сечения можно записать так:
где Ip — полярный момент сопротивления, ρ — радиус круга. Причем по этой формуле можно определить касательное напряжение в любой точке сечения, варьируя значение ρ. Касательные напряжения распределены неравномерно по сечению, их максимальное значение находится в наиболее удаленных точках сечения:
Условие прочности, можно записать несколько проще, используя такую геометрическую характеристику как момент сопротивления:
То бишь максимальные касательные напряжения равны отношению крутящего момента к полярному моменту сопротивления и должны быть меньше либо равны допустимому напряжению. Геометрические характеристики для круга, упомянутые выше можно найти вот так:
Иногда в задачах встречаются и прямоугольные сечения, для которых момент сопротивления определяется несколько сложнее, но об этом я расскажу в другой статье.
Расчеты на прочность при изгибе
Источник
2.5. РАСЧЕТЫ НА ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ Иногда наряду с условиями прочности добавляют ограничения на перемещение некоторых элементов конструкции, то есть вводят условие жесткости δmax ≤ [δ], где [δ] – величина допускаемого перемещения (изменение положения в пространстве) некоторого контролируемого сечения. Деформацию растягиваемого или сжимаемого элемента вычисляют по формуле (2. 4) закона Гука. Пример 2.1. Выполнить поверочный и проектный расчеты ступенчатого бруса. По результатам проектного расчета построить эпюру перемещения сечений. Исходные данные представлены в таблице: Решение Разбиваем брус на участки. Границей участка считают: а) точку приложения силового фактора; б) изменение размеров или формы поперечного сечения; в) изменение материала бруса. Брус одним концом защемлен, и в опоре возникает реакция R (рис. 2.5, а). Для нахождения внутренних усилий при подходе слева направо, придется определять опорную реакцию R. Указанную процедуру можно избежать при подходе справа налево, то есть со свободного конца. 1. Поверочный расчет А. Определение внутренних усилий. Применяем метод сечений. Рассекаем брус на две части в произвольном сечении участка I. Отбрасываем одну из частей (левую). Заменяем действие отброшенной части внутренним усилием NI. Внутреннее усилие всегда принимаем положительным, растягивающим; его вектор направлен от сечения (рис. 2.5, б). Уравнение равновесия составляем проецируя все силы на продольную ось x бруса Знак минус указывает на то, что усилие является сжимающим. Аналогично находим внутренние усилия на втором и третьем участках (рис. 2.5, в и г): Строим эпюру внутренних усилий – график, изображающий закон изменения внутренних усилий по длине бруса. Параллельно оси бруса проводим базисную линию (абсциссу графика) и по нормали к ней откладываем найденные выше значения внутренних усилий (ординаты графика) в выбранном масштабе с учетом знака. Положительные значения откладываем выше базисной линии, отрицательные – ниже (рис. 2.5, д). Поскольку в пределах каждого из участков внутренние усилия неизменны, высоты ординат графика – постоянны и огибающие линии (жирные) – горизонтальны. Б. Определение напряжений на каждом из участков: Строим эпюру напряжений. В. Коэффициенты запаса прочности по отношению к пределу текучести: Вывод: недогружен участок I, перегружен участок III. Для этих участков выполняем проектный расчет. 2. Проектный расчет Из условия прочности при растяжении σ = ≤ [σ] выполняем подбор размеров поперечных сечений I и III участков, предварительно назначив допускаемое напряжение Нормативный коэффициент запаса прочности выбрали из рекомендуемого диапазона значений [nт] = 1,3–2,2. 3. Определение перемещений сечений А. Удлинения каждого из участков Б. Перемещения сечений. За начало отсчета принимаем сечение d. Оно защемлено, его перемещение равно нулю δd = 0. Строим эпюру перемещений. Выводы 1. Выполнен поверочный расчет ступенчатого бруса. Прочность одного из элементов обеспечена; другого – избыточна; третьего – не- достаточна. 2. Из условия прочности при растяжении подобраны площади попе- речных сечений двух элементов конструкции. 3. По результатам проектного расчета вычислены деформации каждого элемента конструкции. Крайнее сечение переместится относительно защемления на 217 мкм в сторону от защемления. Пример 2.2. К стальному брусу постоянного сечения вдоль его оси приложены две силы. По условиям эксплуатации введено ограничение на величину перемещения [δ] концевого сечения С. Из условий прочности и жесткости подобрать размер поперечного сечения. Решение 1. Определение внутренних усилий Покажем возникающую в опоре реакцию R; определение внутренних усилий методом сечений начнем вести со свободного конца. Ось х – про- дольная ось бруса (на рисунке не показана). I участок: ∑ x = 0; − NI + F1 = 0; ⇒ NI = F1 = 40кН. II участок: ∑ x = 0; − NII + F1 − F2 = 0; ⇒ NII = F1 − F2 = 40 − 60 = −20кН . F1 = 40 кН; F2 = 60 кН; a = 0,5 м; [σ] = 180 МПа; [δ] = 1 мм. Строим эпюру внутренних усилий. Опасным является участок I, на котором действует Nmax = – 40 кН (пластичные материалы одинаково сопротивляются деформации растяжения и сжатия). 2. Проектный расчет из условия прочности Из условия прочности при растяжении находим требуемую площадь поперечного сечения стержня 3. Проектный расчет из условия жесткости Перемещение сечения С является суммой двух слагаемых: откуда требуемая площадь поперечного сечения стержня Сравнивая результаты проектных расчетов из условия прочности и жесткости, назначаем большее из двух значений площади поперечного сечения: 2,22 и 1,5 см2, удовлетворяющее обоим условиям: А ≥ 2,22 см2. Пример 2.3. Жесткая балка (ее деформацией пренебречь) подперта стальным стержнем (подкосом). Проверить прочность стержня. Определить допускаемую нагрузку F для заданного размера поперечного сечения стержня. Выполнить проектный расчет из условия прочности и жесткости ([δF] – допускаемая величина перемещения балки в точке приложения силы). Решение 1. Поверочный расчет А. Определение внутреннего усилия в стержне Рассекаем стержень на две части (рис. а). Отбрасываем одну из частей и показываем внешнюю нагрузку F, внутреннее усилие N и две составляющих опорной реакции R (рис. б). Составляем такое уравнение равновесия, в которое не вошли бы опорные реакции. Усилие в стержне сжимающее. Б. Определение напряжения В. Коэффициент запаса прочности Фактический коэффициент запаса 1,06 не входит в рекомендуемый (нормативный) диапазон значений [nт]=1,3−2,3. Вывод: прочность недостаточна. 2. Определение допускаемой нагрузки на конструкцию для заданного размера поперечного сечения стержня Из условия прочности при растяжении σ = ≤ [σ] находим допускаемую нагрузку на стержень [N]≤ A⋅[σ]= 15⋅10−4 ⋅170⋅106 = 255 кН. Здесь допускаемое Нормативный коэффициент запаса по текучести назначили из рекомендуемого диапазона n[ т]=1,3−2,3. Из условия равновесия (см. этап 1) находим связь между допускаемой внешней нагрузкой [F] на конструкцию и внутренним усилием [N] в стержне: 3. Проектный расчет из условия прочности Требуемое значение площади поперечного сечения из условия прочности при растяжении: 4. Проектный расчет из условия жесткости Под действием внешней нагрузки стержень деформируется; сечения балки изменяют свое положение в пространстве. Установим связь между внутренним усилием, деформацией стержня и перемещением заданного сечения конструкции. Покажем схему в исходном и деформированном (пунктирные линии) состояниях (рис. в). Контролируемое перемещение сечения балки в точке D приложения силы δF связано с перемещением узла С точки прикрепления стержня к балке соотношением: Вследствие перемещения узла С стержень укорачивается на Δ = CC′⋅sinα. Деформацию стержня определяем по закону Гука: Здесь ℓ – длина стержня, определяется из схемы нагружения (рис. а). Тогда из условия жесткости конструкции: Сравнивая результаты проектных расчетов из условия прочности и жесткости, назначаем большее из двух значений: 28,2 и 33,3 см2, удовлетворяющее обоим условиям, то есть А ≥ 33,3 см2. Выводы 1. Выполнен поверочный расчет стержня. Прочность элемента конструкции недостаточна. 2. Для заданного размера поперечного сечения нагрузка F, приложенная к конструкции, не должна превышать 42,5 кН. 3. Из условий прочности и жесткости при растяжении найдено значение площади поперечного сечения элемента конструкции, удовлетворяющее обоим условиям: 33,3 см2.
Источник