Расчет вала на прочность при растяжении

Расчет на прочность при растяжении
Расчет вала на прочность при растяжении

2.4. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ Основной задачей расчета конструкции на растяжение является обеспечение ее прочности в условиях эксплуатации. Условие прочности – оценка прочности элемента конструкции, сводящаяся к сравнению расчетных напряжений с допускаемыми: σ≤рσ[р ]; σ с ≤[ с],σ (2.9) где σр и σс – наибольшие расчетные растягивающие и сжимающие напряжения; [σр] и [σс] – допускаемые напряжения при растяжении и сжатии. Допускаемое напряжение – наибольшее напряжение, которое можно допустить в элементе конструкции при условии его безопасной, долговечной и надежной работы: Здесь σпред – предельное напряжение (состояние), при котором конструкция перестает удовлетворять эксплуатационным требованиям; им мо- гут быть предел текучести, предел прочности, предел выносливости, пре- дел ползучести и др. Для конструкций из пластичных материалов при определении допускаемых напряжений используют предел текучести σт (рис. 2.4, а). Это связано с тем, что в случае его превышения деформации резко возрастают при незначительном увеличении нагрузки и конструкция перестает удовлетворять условиям эксплуатации. Допускаемое напряжение в этом случае определяют как Для хрупких материалов (чугун, бетон, керамика) где σвр и σвс – пределы прочности при растяжении и сжатии (рис. 2.4, б). Здесь [n] – нормативный коэффициент запаса прочности. В зависимости от той предельной характеристики, с которой сравнивают расчетное напряжение σ, различают [nт] – нормативный коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести σт и [nв] – нормативный коэффициент запаса прочности по отношению к пределу прочности σв. Запас прочности – отношение предельно допустимой теоретической нагрузки к той нагрузке, при которой возможна безопасная работа конструкции с учетом случайных перегрузок, непредвиденных дефектов и недостоверности исходных данных для теоретических расчетов. Нормативные коэффициенты запаса прочности зависят: − от класса конструкции (капитальная, временная), − намечаемого срока эксплуатации, − условий эксплуатации (радиация, коррозия, загнивание), − вида нагружения (статическое, циклическое, ударные нагрузки) − неточности задания величины внешних нагрузок, − неточности расчетных схем и приближенности методов расчета − и других факторов. Нормативный коэффициент запаса прочности не может быть единым на все случаи жизни. В каждой отрасли машиностроения сложились свои подходы, методы проектирования и приемы технологии. В изделиях общего машиностроения принимают [nт] = 1,3 – 2,2; [nв] = 3 – 5. Вероятность выхода из строя приближенно можно оценить с помощью коэффициента запаса в условии прочности: n = 1 соответствует вероятности невыхода из строя 50 %; n = 1,2 соответствует вероятности невыхода из строя 90 %; n = 1,5 соответствует вероятности невыхода из строя 99 %; n = 2 соответствует вероятности невыхода из строя 99,9 %. Для неответственных деталей n = 2 много. Для ответственных – мало. Так для каната подъемного лифта это означает на 1000 подъемов одно падение. При расчете конструкций на прочность встречаются три вида задач, которые вытекают из условия прочности а) поверочный расчет (проверка прочности). Известны усилие N и площадь A. Вычисляют σ = N/A и, сравнивая его с предельным σт или σв (для пластичного и хрупкого материалов соответственно), находят фактический коэффициент запаса прочности который затем сопоставляют с нормативным [n]; б) проектный расчет (подбор сечения). Известны внутреннее усилие N и допускаемое напряжение [σ]. Определяют требуемую площадь поперечного сечения стержня в) определение грузоподъемности (несущей способности). Известны площадь А и допускаемое напряжение [σ]. Вычисляют внутреннее усилие N≤N[ ] = ⋅[σ]A, (2.15) а затем в соответствие со схемой нагружения – величину внешней нагрузки F ≤ [F].

Источник

Эта статья будет посвящена расчетам на прочность, которые выполняются в сопромате и не только. Расчеты на прочность бывают двух видов: проверочные и проектировочные (проектные).

Проверочные расчеты на прочность – это такие расчеты, в ходе которых проверятся прочность элемента заданной формы и размеров, под некоторой нагрузкой.

В ходе проектировочных расчетов на прочность определяются какие-то размеры элемента из условия прочности. Причем, очевидно, что для разных видов деформаций эти условия прочности различны. Также к проектным расчетам можно отнести расчеты на грузоподъемность, когда вычисляется максимальная нагрузка, которую может выдерживать конструкция, не разрушаясь. Рассмотрим более подробно, как проводится прочностные расчеты для разных случаев.

Расчеты на прочность при растяжении (сжатии)

Начнем, пожалуй, с самого простого вида деформации растяжения (сжатия). Напряжение при центральном растяжении (сжатии) можно получить, разделив продольную силу на площадь поперечного сечения, а условие прочности выглядит вот так:

uslovie-prochnosti-pri-rastyazhenii-szhatii

где сигма в квадратных скобках – это допустимое напряжение. Которое можно получить, разделив предельное напряжения на коэффициент запаса прочности:

dopustimoe-napryazhenie

Причем, за предельное напряжение для разных материалов принимают разное значение. Для пластичных материалов, например, для малоуглеродистой стали (Ст2, Ст3) принимают предел текучести, а для хрупких (бетон, чугун) берут в качестве предельного напряжения – предел прочности (временное сопротивление). Эти характеристики получают при испытании образцов на растяжение или сжатие на специальных машинах, которые фиксируют характеристики в виде диаграммы.

dlya-plastichnyih-i-dlya-hrupkih

Коэффициент запаса прочности выбирается конструктором исходя из своего личного опыта, назначения проектируемой детали и сферы применения. Обычно, он варьируется от 2 до 6.

В случае если необходимо подобрать размеры сечения, площадь выражают таким образом:

ploshhad

Таким образом, минимальная площадь поперечного сечения при центральном растяжении (сжатии) будет равна отношению продольно силы к допустимому напряжению.

Расчеты на прочность при кручении

При кручении расчеты на прочность в принципе схожи с теми, что проводятся при растяжении. Только здесь вместо нормальных напряжений появляются касательные напряжения.

На кручение работают, чаще всего, детали, которые называются валами. Их назначение заключается в передаче крутящего момента от одного элемента к другому. При этом вал по всей длине имеет круглое поперечное сечение. Условие прочности для круглого поперечного сечения можно записать так:

uslovie-prochnosti-pri-kruchnii

где Ip — полярный момент сопротивления, ρ — радиус круга. Причем по этой формуле можно определить касательное напряжение в любой точке сечения, варьируя значение ρ. Касательные напряжения распределены неравномерно по сечению, их максимальное значение находится в наиболее удаленных точках сечения:

raspredelenie-kasatelnyih-napryazheniy

Условие прочности, можно записать несколько проще, используя такую геометрическую характеристику как момент сопротивления:

uslovie-prochnosti

То бишь максимальные касательные напряжения равны отношению крутящего момента к полярному моменту сопротивления и должны быть меньше либо равны допустимому напряжению. Геометрические характеристики для круга, упомянутые выше можно найти вот так:

geometricheskie-xarakteristiki

Иногда в задачах встречаются и прямоугольные сечения, для которых момент сопротивления определяется несколько сложнее, но об этом я расскажу в другой статье.

Расчеты на прочность при изгибе

Источник

Рассмотрим расчет осей. Оси нагружены только изгибающими нагрузками и соответственно их рассчитывают на изгиб. После составления расчетной схемы и определения всех сил, действующих на ось, строят эпюру изгибающих моментов и по максимальному изгибающему моменту рассчитывают ось.

Расчет осей на статическую прочность при изгибе:
проверочный

$sigma_и=M/{0.1d^3}<=delim {[}{sigma_и}{]}$
проектировочный
$d=root{3}{{10M}/delim {[}{sigma_и}{]}}$

где σи — расчетное напряжение изгиба в опасном сечении оси;
М — изгибающий момент в опасном сечении оси;
0,1d3 — момент сопротивления изгибу сечения оси;
d — диаметр оси;
[σи] — допускаемое напряжение на изгиб. Для вращающихся осей [σи] можно принимать из табл. Для невращающихся осей значения [σи] следует повысить на 75%.

Вал перед расчетом на прочность

Рассмотрим расчет валов, работающих только на кручение:
проверочный

$tau_k=T/{0.2d^3}<=delim {[}{tau_k}{]}$
проектировочный
$d=root{3}{{5T}/delim {[}{tau_k}{]}}$

где τk — расчетное напряжение кручения в опасном сечении вала;
Т — крутящий момент в опасном сечении вала;
d — диаметр вала;
0,2d3 — полярный момент сопротивления поперечного сечения вала;
[τk] — допускаемое напряжение на кручение для вала:
$delim {[}{tau_k}{]}=0.5delim {[}{sigma_и}{]}$

где [σи] — допускаемое напряжение на изгиб для вала (см. табл.).

Расчетом валов на кручение пользуются иногда как предварительным, после которого вал окончательно рассчитывают на статическую прочность — совместное действие изгиба и кручения или на сопротивление усталости.

При предварительном условном расчете валов только на кручение [τk] для учета изгиба принимают пониженным. Для стальных валов можно принять [τk]=20 МПа.

Рассмотрим расчет валов на совместное действие изгиба и кручения. В большинстве случаев валы работают одновременно на изгиб и кручение. Некоторые валы, например вал, на котором насажено коническое зубчатое колесо или червячное колесо, могут дополнительно работать на растяжение или сжатие. Напряжения растяжения (сжатия) в валах невелики по сравнению с напряжениями изгиба, и влияние растягивающих или сжимающих сил обычно не учитывают, т. е. рассчитывают валы на совместное действие изгиба и кручения. Порядок расчета валов в этом случае следующий.

Для определения диаметра вала необходимо знать значения изгибающих моментов в опасных сечениях. А для этого нужно знать не только значения сил, действующих на вал, но и расположение сечений вала, в которых действуют эти силы. Это, в свою очередь, вызывает необходимость знать конструкцию вала. Но конструкция вала определяется в основном в зависимости от его диаметра. Поэтому если конструкция вала не задана, то обычно предварительно определяют диаметр вала из расчета на кручение по пониженным допускаемым напряжениям, В некоторых случаях для предварительного определения диаметра вала пользуются эмпирическими зависимостями. Так, например, диаметр конца входного вала редуктора, соединяемого непосредственно с электродвигателем, принимают в пределах 0,8… 1,2 от диаметра вала электродвигателя; диаметр ведомого вала каждой ступени цилиндрического зубчатого редуктора принимают 0,3…0,35 от межосевого расстояния ступени. По предварительно принятому или вычисленному по формуле

$d=root{3}{{5T}/delim {[}{tau_k}{]}}$

диаметру вала устанавливают его конструкцию и намечают местоположение опор. Затем составляют расчетную схему вала, определяют все силы, действующие на вал, строят эпюры изгибающих и крутящих моментов и затем производят расчет вала. Если силы, действующие на вал, расположены не в одной плоскости, то их необходимо разложить по двум взаимно перпендикулярным плоскостям и определить в этих плоскостях опорные реакции и изгибающие моменты, а затем геометрически суммировать реакции и моменты. Если угол между плоскостями действия сил ≤30°, можно считать, что все силы действуют в одной плоскости. При отклонении сил от координатных плоскостей на угол ≤15° эти силы можно совмещать с данными плоскостями.

Вал после расчета на прочность

Результирующие опорная реакция F и изгибающий момент М в соответствующем сечении вала:

$F=sqrt{F^2_x +F^2_y}$
$M=sqrt{M^2_x +M^2_y}$

где Fx, Fy, Mx и Му — соответственно опорные реакции и изгибающие моменты во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Приведенный или эквивалентный момент вычисляют по третьей теории прочности:

$M_{э к в}=sqrt{M^2 +T^2}$

Расчет вала на совместное действие изгиба и кручения:
проверочный

$sigma_{э к в}=M_{э к в}/{0.1d^3}<=delim {[}{sigma_и}{]}$
проектировочный
$d=root{3}{{10M_{э к в}}/delim {[}{sigma_и}{]}}$

где σэкв — приведенное (эквивалентное) напряжение для расчетного сечения вала;
d — диаметр вала;
0,1d3 — момент сопротивления сечения вала при изгибе;
[σи] — допускаемое напряжение на изгиб (см. табл.).

Источник

Задача 1

В некотором сечении балки прямоугольного сечения 20×30см М=28 кНм, Q=19 кН.

Требуется:

а) определить нормальное и касательное напряжения в заданной точке К, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 11 см,

б) проверить прочность деревянной балки, если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа.

2014-09-15 23-00-10 Скриншот экрана

Решение

а) Для определения σ(К), τ(К) и maxσ,maxτ потребуется знать величины осевого момента инерции всего сечения IН.О., осевого момента сопротивления WН.О., статического момента отсечённой части и статического момента половины сечения Smax:

2014-09-15 23-03-51 Скриншот экрана

Тогда:

2014-09-15 23-04-37 Скриншот экрана

б) Проверка прочности:

— по условию прочности нормальных напряжений:

2014-09-15 23-06-19 Скриншот экрана

— по условию прочности касательных напряжений:

2014-09-15 23-07-03 Скриншот экрана

Задача 2

В некотором сечении балки М=10кНм, Q=40кН. Поперечное сечение – треугольное. Найти нормальное и касательное напряжения в точке, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 15 см.

2014-09-15 23-08-51 Скриншот экрана

2014-09-15 23-09-59 Скриншот экрана где 2014-09-15 23-10-43 Скриншот экрана

Тогда

2014-09-15 23-11-50 Скриншот экрана где:

2014-09-15 23-12-50 Скриншот экрана Тогда

2014-09-15 23-14-19 Скриншот экрана

Задача 3

Подобрать сечение деревянной балки в двух вариантах: круглое и прямоугольное (при h/b=2), если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа, и сравнить их по расходу материала.

2014-09-15 23-15-57 Скриншот экрана

Задаёмся направлениями опорных реакций А и В и составляем уравнения статики:

(1) ∑М(В) = F·8 – М – А·6 + (q·6)·3 =0,

откуда 2014-09-15 23-17-43 Скриншот экрана

(2) ∑М(А) = F·2 – М + В·6 — (q·6)·3 =0,

откуда 2014-09-15 23-18-54 Скриншот экрана

Iучасток

2014-09-15 23-20-01 Скриншот экрана

∑М(С) = М(z1) +F·z1=0,

ММ(z1) = —F·z1= — 30 ·z1 —

– уравнение прямой.

При z1 = 0: М = 0,

z1 = 2: М =- 60 кНм.

∑у= — F — Q(z1) = 0,

Q(z1) = — F = -30 кН – постоянная функция.

II участок

2014-09-15 23-22-35 Скриншот экрана

откуда 2014-09-15 23-24-24 Скриншот экрана

— уравнение параболы.

При z2=0: М = 0,

z2=3м: М = 30 · 3 – 5 · 32 = 90 — 45 = 45кНм,

z2=6м: М = 30 · 6 – 5 · 62 = 180 — 180 = 0.

∑у= Q(z2) — q·z2 + B= 0,

Q(z2) = q·z2 — B= 10·z2 – 30 – уравнение прямой,

при z2 = 0: Q = -30,

z2 = 6м: Q = 10·6 – 30 = 30.

Определение аналитического максимума изгибающего момента второго участка:

из условиянаходим :

2014-09-15 23-28-30 Скриншот экрана И тогда

Заметим, что скачок в эп.М расположен там, где приложен сосредоточенный момент М = 60кНм и равен этому моменту, а скачок в эп.Q – под сосредоточенной силой А = 60 кН.

Подбор сечения балок производится из условия прочности по нормальным напряжениям, куда следует подставлять наибольший по абсолютной величине изгибающий момент из эпюры М.

В данном случае максимальный момент по модулю М = 60кНм

2014-09-15 23-32-18 Скриншот экрана откуда: :

2014-09-15 23-33-29 Скриншот экрана

а) сечение круглой формы d=?

2014-09-15 23-34-43 Скриншот экрана

б) сечение прямоугольной формы при h/b = 2:

2014-09-15 23-35-58 Скриншот экрана тогда

2014-09-15 23-36-42 Скриншот экрана

Размеры сечения, определенные из условия прочности по нормальным напряжениям, должны удовлетворять также условию прочности по касательным напряжениям:

Для простых форм сечений известны компактные выражения наибольшего касательного напряжения:

— для круглого сечения 2014-09-15 23-38-43 Скриншот экрана

— для прямоугольного сечения 2014-09-15 23-39-29 Скриншот экрана

Воспользуемся этими формулами. Тогда

— для балки круглого сечения при :

2014-09-15 23-41-42 Скриншот экрана

— для балки прямоугольного сечения

2014-09-15 23-42-47 Скриншот экрана

Чтобы выяснить, какое сечение требует меньшего расхода материала, достаточно сравнить величины площадей поперечных сечений:

Апрямоугольного = 865,3см2 < Акруглого = 1218,6см2, следовательно, балка прямоугольного сечения в этом смысле выгоднее, чем круглого.

Задача 4

Подобрать двутавровое сечение стальной балки, если [σ]=160МПа, [τ]=80МПа.

2014-09-16 23-34-51 Скриншот экрана

Задаёмся направлениями опорных реакций А и В и составляем два уравнения статики для их определения:

(1) ∑М(А) = – М1– F ·2 — (q·8)·4 + М2 + В·6 =0,

откуда 2014-09-16 23-36-10 Скриншот экрана

(2) ∑М(В) = – М1– А · 6 + F · 4 + (q·8)·2 + М2 =0,

откуда 2014-09-16 23-36-10 Скриншот экрана

Проверка:

∑у = А – F – q · 8 + В = 104 – 80 – 20 · 8 +136 = 240 – 240 ≡ 0.

2014-09-16 23-38-31 Скриншот экрана

∑М(С) = М(z1) — М1=0,

М(z1) = М1= 40 кНм – постоянная функция.

∑у= — Q(z1) = 0,

Q(z1) = 0.

II участок

2014-09-16 23-40-27 Скриншот экрана — парабола.

Приz2=0: М = 40 кНм,

z2=1м: М = 40 + 104 – 10=134кНм,

z2=2м: М = 40+ 104 · 2 – 10 · 22 = 208 кНм.

∑у=А — q·z2 — Q(z2) = 0,

Q(z2) =А— q·z2 = 104 – 20·z2 – уравнение прямой,

при z2 = 0: Q = 104кН,

z2 = 6м: Q = 104 – 40 = 64кН.

III участок

2014-09-16 23-42-45 Скриншот экрана — парабола.

Приz3=0: М = 24+40=-16 кНм,

z3=2м: М = 24 + 136·2 — 10 (2+2)2 = 24 + 272 – 160 = 136кНм,

z3=4м: М = 24 + 136·4 – 10 (2+4)2 = 24 + 544 – 360 = 208 кНм.

∑у=В — q(2+z3 ) + Q(z3) = 0,

Q(z3) =- В + q(2+z3 ) = -136 + 20 (2+z3 ) – уравнение прямой,

при z3 = 0: Q = -136 + 40 = — 94кН,

z3 = 4м: Q = — 136 + 20 (2+4) = — 136 + 120 = — 16кН.

IV участок

2014-09-16 23-59-29 Скриншот экрана — парабола.

z4=0: М = 0кНм,

z4=1м: М = – 10кНм,

z4=2м: М = — 40кНм.

∑у=- q·z4 + Q(z4) = 0,

Q(z4) =q·z4 = 20·z4 – уравнение прямой.

Приz4 = 0: Q = 0,

z4 = 2м: Q = 40кН.

Проверяем скачки в эпюрах:

а) В эпюре М скачок на правой опоре величиной 24кНм (от 16 до 40) равен сосредоточенному моменту М2=24, приложенному в этом месте.

б) В эпюре Q три скачка:

первый из них на левой опоре соответствует сосредоточенной реакции А=104кН,

второй – под силой F=80кН и равен ей (64+16=80кН),

третий – на правой опоре и соответствует правой опорной реакции 136кН (94+40=136 кН)

Наконец, проектируем двутавровое сечение.

Подбор его размеров производится из условия прочности по нормальным напряжениям :

В сортаменте двутавровых профилей профиля с точно таким моментом сопротивления Wх нет. Есть № 40а с Wх=1190 см3 и № 45а с Wх=1430 см3

Попробуем меньший из них. Если принять двутавр № 40а, у которого Wх=1190 см3 , то наибольшее напряжение в опасном сечении будет:

2014-09-17 00-03-07 Скриншот экрана и перенапряжение составит 2014-09-17 00-04-00 Скриншот экрана что превышает рекомендуемую величину отклонения, равную 5%.

Поэтому приходится принимать ближайший больший размер двутавра, а именно №45а, у которого Wх=1430 см3. В этом случае балка будет работать с недонапряжением:

2014-09-17 00-07-06 Скриншот экрана что меньше [σ]=160МПа на 2014-09-17 00-08-04 Скриншот экрана

Итак, принимается двутавр №45а, у которого: Wх=1430 см3, Iх=32240см4, Iх: Sх=38,6см, d=11,5мм.

Далее необходима проверка прочности по касательным напряжениям с помощью условия прочности :

2014-09-17 00-09-31 Скриншот экрана

Это условие прочности выполняется, даже с избыточным запасом.

Задача 5

Подобрать сечение балки, рассмотрев шесть вариантов форм и три вида материалов (древесина, чугун, сталь).

Решение

2014-09-17 22-31-27 Скриншот экрана

1.Определение опорных реакций

∑М(А) = F · 2 + М1 — М2— q·6·7 + В · 8 =0, 2014-09-17 22-32-56 Скриншот экрана ∑М(В) = F · 10 + М1— М2 – А · 8 + q·6·1 =0, 2014-09-17 22-33-50 Скриншот экрана Проверка: