Расчет стержня на растяжение и изгиб

Изгиб с растяжением – частный случай сложного сопротивления, при котором на брус действуют продольные и поперечные нагрузки, пересекающие ось бруса. В общем случае в поперечных сечениях возникают пять внутренних усилий: действующие в двух плоскостях изгибающие моменты Mz, My, поперечные силы Qz, Qy, а также продольная сила N. Возникает сложный изгиб с растяжением или сжатием. Пренебрегая касательными напряжениями от поперечных сил Qz, Qy (для длинных балок с отношением ℓ/h > 10 их влияние незначительно), можно считать напряженное состояние в опасных точках линейным. Внецентренное растяжение или сжатие Внецентренное растяжение – частный случай изгиба с растяжением, при котором брус растягивается силами, параллельными оси бруса так, что их равнодействующая не совпадает с осью бруса, а проходит через точку Р, называемую полюсом силы. Внутренние усилия и напряжения В произвольном сечении х бруса (рис.8.7, а) методом сечений определяем внутренние усилия Рис. 8.6. Примеры деталей и узлов, работающих при внецентренном нагружении: а – болт-костыль; б – пружина сцепления; в – сварное соединение Отличны от нуля три внутренних усилия (рис. 8.7, б), от которых возникают нормальные напряжения, действующие по одной из трех пар граней (рис. 8.7, в); две другие пары граней свободны от напряжений. Имеет место линейное напряженное состояние. Напряжения в произвольной точке являются суммой трех слагаемых Учитывая, что отношение i = – радиус инерции сечения, получим О правиле знаков внутренних усилий. Формула (8.10) выведена для случая положительной растягивающей силы N и изгибающих моментов Mz, My, вызывающих растягивающие напряжения в точке, принадлежащей первой четверти осей координат (где x > 0 и y > 0). Поэтому оси координат поперечного сечения бруса следует направлять так, чтобы полюс P (точка приложения силы) находился в первом квадранте. Если сила, приложенная к брусу, сжимающая, то ее числовое значение будет со знаком минус. Анализ формулы (8.10) 1. Отсутствие координаты х свидетельствует о неизменности напряжений вдоль оси бруса. 2. В случае приложения силы в центр тяжести сечения (zP = 0, yP = 0) напряжения в любой точке сечения постоянны и равны σ = F/A, то есть центральное растяжение является частным случаем внецентренного. Рис. 8.7. Схема к определению внутренних усилий и напряжений при внецентренном приложении силы 3. Независимо от значений координат полюса Р напряжение в центре тяжести сечения (yцт =0, zцт = 0), σцт = F/A. 4. Переменные z и y в первой степени, следовательно, формула (8.10) является уравнением прямой и нормальные напряжения распределяются по линейному закону, значит должна быть нейтральная линия, на которой напряжения равны нулю. Уравнение нейтральной линии при внецентренном растяжении Нейтральная линия (нейтральная ось) – геометрическое место точек, в которых нормальное напряжение в поперечном сечении равно нулю. Приравняем нулю уравнение (8.10). Поскольку F/A ≠ 0, то выражение в скобках равно нулю Переменные z, y в первой степени, следовательно, нормальные напряжения в сечении распределяются по линейной зависимости. Полученное выражение приведем к виду уравнения прямой в отрезках, где a и b – отрезки, отсекаемые линией на осях координат. В нашем случае уравнение нейтральной линии будет записано как Свободный член полученного уравнения не равен нулю, следовательно, нейтральная линия через начало координат не проходит. Отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях y и z, соответственно равны: По найденным значениям отрезков проводят нейтральную линию и находят точки В и С, наиболее удаленные от нее (рис. 8.9). Выполняют это простым геометрическим построением, проводя касательные к сечению, параллельные нейтральной оси. Найденные точки – опасные, поскольку напряжения в них наибольшие по величине. Рис. 8.8. Уравнение прямой в отрезках и график прямой линии, известные из школьного курса Уравнения (8.12), связывающие координаты полюса Р – точки приложения внешней нагрузки с положением нейтральной линии, являются гиперболической функцией. Чем ближе полюс Р к центру тяжести сечения (значения yP, zP уменьшаются), тем нейтральная линия проходит дальше и в пределе стремится к бесконечности. И, наоборот, по мере отдаления точки приложения силы от центра тяжести нейтральная линия асимптотически приближается к нему. Однако пересечь центр тяжести сечения нейтральная линия не может (см. анализ формулы (8.10)). В центре тяжести σцт = F/A (рис. 8.9), поскольку yцт = 0 и zцт = 0 (подставьте в (8.10)). Нейтральная линия может разделять поперечное сечение на области, в которых действуют напряжения разных знаков. Некоторые материалы (чугун, силумин, керамика, кирпичная кладка…) хорошо сопротивляются сжатию и плохо – растяжению. Поэтому необходимо уметь определять такую область приложения нагрузки, в которой не возникают напряжения разных знаков. Ядро сечения Ядро сечения – область вокруг центра тяжести сечения, при приложении нагрузки внутри которой, напряжения во всем сечении будут одного знака. Контур ядра сечения строят путем окатывания нейтральной линией контура поперечного сечения, то есть решают задачу обратную той, в которой определяли положение нейтральной линии: куда следует прикладывать силу, чтобы нейтральная линия не пересекала контур сечения, а только касалась его. Задают несколько положений нейтральной линии, касательной к сечению (например, н.л.1, н.л.2, н.л.3), определяют координаты точек пересечения этих линий с осями координат (например, zн.л.1, yн.л.1). Затем, преобразуя уравнение (11), находят Рис. 8.10. Определение координат отрезков нейтральной линии для построения ядра сечения Рис. 8.9. Эпюра напряжений в поперечном сечении Нейтральная линия соответствующие им координаты точек ядра сечения (точки 1, 2, 3): Так как при переходе нейтральной линии с одной стороны на другую (например, от н.л 3 к н.л 4) она поворачивается вокруг угловой точки сечения, то точка приложения силы перемещается по прямой (на рис. 8.10 отрезок 3 – 4), образуя контур ядра. Пример 8.4. Построить ядро сечения для круга диаметром d. Решение. Квадрат радиуса инерции круга: Задаем положение нейтральной линии 1–1, касательной к окружности. Ее координаты: Координаты точки ядра сечения: Из симметрии сечения относительно его центра тяжести следует, что при других положениях нейтральной линии на окружности диаметром d точки ядра сечения образуют концентрический с ней круг диаметром d/4. Пример 8.5. Построить ядро сечения для прямоугольника с размером сторон bЧh. Решение. Квадраты радиусов инерции: Задаем положение нейтральной линии 1-1, касательной к верхней грани прямоугольника. Ее ко- ординаты: zн.л 1 = ∞; yн.л1 = h/2. Координаты соответствующей точки ядра сечения: Аналогично для нейтральной линии 2-2: zн.л 2 = b/2; yн.л 2 = ∞. Учитывая симметрию прямоугольного сечения относительно осей z и y, задаем положения нейтральных линий на противоположных сторонах прямоугольника и получаем еще две точки. Соединяя все точки, получаем ядро сечения в виде ромба с диагоналями, равными h/3 и b/3. Пример 8.6. Построить ядро сечения для швеллера № 20. Решение. Из таблицы сортамента выпишем исходные данные и выполним рисунок швеллера. Последовательно задаем положение нейтральной линии (I-I, II-II, III-III, IV-IV), касающейся контура сечения, и вычисляем координаты точек ядра сечения. Расчеты представлены в табличном виде. Ядро сечения имеет вид четырехугольника, асимметричного относительно оси ординат. Положение ядра сечения зависит лишь от формы и размеров поперечного сечения, но не зависит от величины приложенной силы. Расчет на прочность при внецентренном нагружении Поверочный расчет выполняют, используя условие прочности Проектный расчет обладает особенностью, связанной с тем, что геометрические характеристики, входящие в условие прочности содержат искомый размер поперечного сечения в разной степени. Площадь А измеряется в м2, а моменты сопротивления W в м3. Попытка выразить искомый yн.л. = h/2 = 20/2 = 10 см; zн.л. = ∞; размер из условия прочности приводит к трансцендентной функции, то есть аналитической функции, не являющейся алгебраической. Проектный расчет выполняют методом итераций 1 [от лат. iteratio – повторение]. В первом приближении, пренебрегая одним из внутренних усилий, – продольной силой N – подбирают размер сечения только из условия прочности при изгибе. Полученный размер подставляют в исходное уравнение и выполняют следующую пробу. Процесс повторяют до тех пор, пока невязка – разность размеров последующей и предыдущей проб, не достигнет заданной наперед малости. Пример 8.7. (Винокуров А. И. Сборник задач … 5.35). Подобрать диаметр стержня выпускного клапана. При расчете использовать усилие F в момент открывания клапана в конце рабочего хода поршня. Решение. Сила давления газов на тарелку клапана 533441Н Внутренние усилия в сечении 1-1 стержня клапана (по модулю): N = F; M = F•e. Условие прочности: По обе стороны от знака неравенства искомый диаметр – имеем трансцендентное уравнение, которое решаем методом приближений: Метод последовательных приближений, при котором каждое новое приближение вычисляют исходя из предыдущего; начальное приближение выбирается в достаточной степени произвольно. Дано: p = 1,5 МПа; e = 12 мм; D = 35 мм; [σ] = 210 МПа Разность между последним и предпоследним приближениями Процесс подбора прекращаем, принимаем d = 10 мм. Проверка: Напряжения изгиба больше напряжений растяжения в 6,9 раза Пример 8.8. (Винокуров А. И. Сборник задач … 5.38.). Из расчета на прочность определить размер h скобы струбцины. Решение. Условие прочности при внецентренном растяжении плоской фигуры σ=+≤[σ] где A = b•h; W = b•h2/6; M = F(a+h/2). Условие прочности: Требуемый размер скобы: Размер h в обеих части неравенства. Полученное уравнение – трансцендентное. Решаем его методом последовательных приближений. В первом приближении принимаем h в скобках под корнем равным нулю: h0 = 0. Тогда Невязка подбора 100 25,4 % Следующее приближение 101,58 мм. Невязка подбора 100 4,5 % Следующее приближение 102,54 мм. Невязка подбора 100 0,95 % невязка менее 1 %, поэтому выходим из цикла подбора. Принимаем h = 103 мм. Проверка: Сопоставим вклады от изгиба и растяжения в общее напряжение: Напряжения от изгиба в 8,24 раза превышают напряжения от растяжения. Полученное соотношение можно сделать более благоприятным снизив долю растягивающих напряжений от изгиба за счет уменьшения плеча е изгибающего момента. На практике применяют тавровое и двутавровое сечения, смещая центр тяжести с ближе к линии действия силы и располагая больше материала в области растягивающих напряжений, к которым хрупкие материалы более чувствительны. Рис. 8.11. Примеры выполнения поперечного сечения бруса, подверженного действию внецентренного растяжения

В инженерной практике часто имеют место случаи одновременного действия на стержень поперечных и продольных нагрузок, причем последние могут быть приложены внецентренно. Такой случай показан на рис. 11.26. При этом внутренние усилия в заделке равны:

Рис. 11.26

Рис. 11.27

В общем случае растяжения или сжатия с изгибом внутренние усилия определяются раздельно от действия всех составляющих нагрузок. Нормальные напряжения в поперечных сечениях определяются по общей формуле

Приравняв это выражение нулю, получим уравнение нулевой линии

Положив в этом уравнении последовательно у = 0 и z = О, получим формулы для определения отрезков, отсекаемых нулевой линией на осях координат:

Как и во всех рассмотренных выше случаях сложного сопротивления, наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения действуют в точках сечения, наиболее удаленных от нулевой линии. Для сечений типа прямоугольника и двутавра это противоположные угловые точки сечения. Значения наибольших и наименьших напряжений в угловых точках можно определить по формулам:

где величины изгибающих моментов Mz и Му надо взять по абсолютной величине.

Напомним, что во всех предыдущих решениях использовался принцип независимости действия сил, позволяющий определять внутренние усилия для недеформированного состояния стержня. Строго говоря, это возможно только при малых деформациях. В противном случае принцип независимости действия сил использовать нельзя.

Рассмотрим, например, консольный стержень в условиях сжатия с изгибом (рис. 11.27). Если стержень обладает значительной гибкостью и прогибы от поперечной нагрузки достаточно велики, то сила Р вызывает дополнительный изгиб, а изгибающий момент в заделке от ее действия равен М = PvB. Для негибких стержней этот момент незначителен и его можно не учитывать. Для гибких стержней необходимо проводить расчет по так называемой деформированной схеме с учетом влияния продольных сил на изгиб. Подобные задачи будут рассмотрены в гл. 13.

Пример 11.7. Для короткого консольного деревянного стержня круглого сечения, находящегося в условиях центрального сжатия и изгиба в плоскости Oxz (рис. 11.28), построим эпюру о в опасном сечении.

Рис. 11.28

Определяем геометрические характеристики сечения:

Строим эпюры внутренних усилий N и Му (рис. 11.28, а). Изгибающий момент Му вызывает растяжение волокон левой половины стержня и имеет наибольшее значение в заделке: Му = — 4 • 1,2 • 0,6 = —2,88 кНм. Изгибающий момент Mz равен нулю. Определяем значения наибольших нормальных напряжений в точках А и В в сечении вблизи заделки:

Напряжения во всех точках сечения стержня являются сжимающими. Эпюры о в опасном сечении от действия N и М и суммарная эпюра с приведены на рис. 11.28, б.

Пример 11.8. Для стального стержня, состоящего из двух неравнобоких уголков L 160x100x10, находящегося в условиях центрального растяжения и изгиба в плоскости Оху (рис. 11.29, а), определим расчетное значение силы Р из условия прочности и построим эпюру о в опасном сечении. Совместная работа уголков обеспечена соединениями, показанными пунктиром. В расчетах примем R= 210 МПа = 21 кН/см2, ус = 0,9.

Рис. 11.29

Определяем геометрические характеристики сечения:

Строим эпюры N w Mz (рис. 11.29, а). Опасным является сечение в середине стержня, где Mz имеет наибольшее значение. В нижних волокнах стержня нормальные напряжения от действия N и Mz имеют одинаковый знак и являются растягивающими. Из условия прочности по наибольшим растягивающим напряжениям в точке А

находим Р 29,4 кН. При действии силы Р = 29,4 кН напряжения в точках А и В равны:

Эпюры о в опасном сечении от действия N w Mzw суммарная эпюра а приведены на рис. 11.29, б.

Пример 11.9. Для стального консольного стержня составного сечения, находящегося в условиях внецентренного растяжения и изгиба (рис. 11.30, а), выполним проверку прочности и построим эпюру а в опасном сечении. В расчетах примем /? = 210 МПа, ус — 0,9.

Построим эпюры N, Mz, Му. Изгибающий момент Mz вызывает растяжение верхних волокон стержня и в заделке равен Mz = —10 • 3,6 — 15 • 1,8 = —63 кНм, а момент М вызывает растяжение волокон левой части сечения (при взгляде от положительного направления оси Ох) и имеет постоянное значение Му = —300 • 0,0625 = —18,75 кНм. Продольная сила является растягивающей и также имеет постоянное значение N = 300 кН.

Наибольшие нормальные напряжения действуют в сечении вблизи заделки (опасное сечение).

Рис. 11.30

Определяем геометрические характеристики сечения. Учитывая, что для двутавра 124 Fx = 34,8 см2, J = 3460 см4, Jy = = 198 см4, b = 11,5 см, И = 24 см, находим:

Наибольшие напряжения действуют в противоположных угловых точках опасного сечения. Определяем по формулам (11.17) отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат. Учитывая, что в первой четверти сечения моменты Mz и Му вызывают сжатие и имеют отрицательный знак, находим:

Отложив у0 и Zq на осях координат, проводим нулевую линию. На прямой, перпендикулярной нулевой линии, строим эпюру о (рис. 11.30, б), которая является разнозначной. Наибольшие растягивающие напряжения возникают в точке Л . Напряжения в точках Л и В равны:

Поскольку оА = 123,7 МПа ycR = 189 МПа, прочность стержня обеспечена. Эпюра с в опасном сечении приведена на рис. 11.30, б.