Расчет стержня на растяжение excel

где N — продольная растягивающая сила, действующая на стержень;

F — площадь поперечного сечения стержня;

σ — нормальные напряжения, возникающие в рассматриваемом поперечном сечении стержня в ответ на действие растягивающей продольной силы;

Rр — расчетное сопротивление материала стержня растяжению (для некоторых материалов расчетные сопротивления растяжению, сжатию, изгибу и т.п. могут различаться).

Визуально это может выглядеть так:

Рисунок 525.1. Нормальные напряжения при растяжении прямолинейного стержня.

На рисунке 525.1.а) мы видим прямолинейный стержень длиной l, показанный серым цветом, к которому приложена растягивающая сила N. При этом точка приложения силы находится на нейтральной оси стержня, совпадающей с осью х, показанной пунктирной линией.

Для упрощения расчетов заменяем опору А соответствующей опорной реакцией А (рис.525.1.б). Исходя из условий статического равновесия:

∑х = А + N = 0 (149.5.2)

А = — N (525.2)

Это означает, что опорная реакция A равна по значению растягивающей силе N, но направлена в противоположную сторону.

Если взглянуть на эту ситуацию под некоторым углом, то она будет выглядеть так, как показано на рисунке 525.1.в). На этом рисунке мы видим, что нормальные напряжения — это реакция материала на действие растягивающей силы и направлены эти напряжения в сторону, противоположную действию сил. Другими словами нормальные напряжения препятствуют деформации растяжения, и направлены на то, чтобы вернуть материалу исходную форму. Иногда для упрощения восприятия нормальные напряжения, возникающие при растяжении, принято изображать направленными от сечения, как показано на рисунке 525.1.г), а сжимающие напряжения — направленными к сечению. С точки зрения физики такая замена вполне допустима, так как нормальные напряжения (внутренние силы) можно рассматривать как плоскую нагрузку, распределенную по всей площади сечения (внешнюю силу). Как правило растягивающие нормальные напряжения рассматриваются как положительные, а сжимающие — как отрицательные.

Сечение стержня, показанное на рисунке 525.1.в) розовым цветом, является перпендикулярным нейтральной оси стержня и называется поперечным сечением.

Как следует из формулы (525.1) и из приведенного рисунка, длина стержня l на значение нормальных напряжений никак не влияет. А вот параметры поперечного сечения стержня: ширина сечения b и высота сечения h, если сечение прямоугольное, очень даже влияют, так как от этих параметров зависит площадь F поперечного сечения.

Примечание: конечно же поперечное сечение стержня далеко не всегда имеет прямоугольную форму, как показано на рисунке 525.1.в). Поперечное сечение может быть и круглым, и овальным, и ромбическим, и вообще иметь любую сколь угодно сложную форму, тем не менее форма поперечного сечения никак на значение нормальных напряжений не влияет (во всяком случае такое допущение принимается в теории сопротивления материалов), а влияет только площадь сечения, определить которую тем сложнее, чем более сложной является форма поперечного сечения.

Проверить данные постулаты теории сопротивления материалов очень легко и просто. Достаточно взять нитку и попробовать ее разорвать (вариант а)). Затем разорвать нитки с с той же катушки, но б) более короткую и в) более длинную, чем в первом случае. Во всех трех случаях усилие, которое необходимо приложить для разрыва нитки, будет примерно одинаковым.

Но если одну из ниток сложить вдвое и попробовать разорвать, то усилие, необходимое для разрыва нитки, увеличится в 2 раза. Все потому, что условная площадь сечения стержня, работающего на растяжение, увеличится при складывании нитки в 2 раза.

Таким образом известная пословица: «где тонко, там и рвется» в переводе на язык теории сопротивления материалов будет звучать примерно так: «при действии растягивающих нормальных напряжений разрушение материала, обладающего постоянным сопротивлением растяжению по всей длине, будет происходить в сечении с минимальной площадью». Это особенно актуально для стержней с изменяющейся по длине площадью сечения.

С учетом различных факторов формула (525.1) может иметь другой вид:

Nγn/Fn = σ ≤ Rрγs (512.1.2)

где γn — коэффициент надежности по нагрузке (как правило больше единицы), Fn — минимальная площадь сечения (с учетом возможных ослаблений отверстиями, пазами и т.п.), γs — коэффициент условий работы (как правило меньше единицы).

Т.е. теория сопротивления материалов допускает, что нормальные напряжения в стержне могут быть равны расчетному сопротивлению материала на растяжение, умноженному на коэффициент условий работы.

Пример расчета стержня на растяжение

Дано: На стальной стержень (см. рис.525.1.а)) с расчетным сопротивлением Rp = 2250 кг/см2 действует продольная растягивающая сила N = 30 тонн. Коэффициент надежности по нагрузке γn = 1.05, коэффициент условий работы γs = 0.9. Собственным весом стержня в виду его незначительности по сравнению с действующей нагрузкой для упрощения расчетов можно пренебречь. Предполагается, что нагрузка прикладывается по всей площади поперечного сечения стержня, т.е. возникающие нормальные напряжения будут равномерно распределенными по всей площади сечения.

Требуется: Подобрать диаметр стержня.

Решение:

1. Определяем требуемую площадь сечения стержня, преобразовав формулу (525.1.2)

F = Nγn/Rpγs = 30000·1.05/(2250·0.9) = 15.56 см2.

2. Определяем диаметр стержня

d = √4F/п = √4·15.56/3.14 = 4.45 см

Как видим сам расчет занимает гораздо меньше времени, чем описание физических характеристик используемых данных и даже формулировка условия задачи.