Расчет на прочность при внецентренном растяжении
Внецентренным растяжением или сжатием называется такой вид деформации, когда в поперечном сечении бруса одновременно действуют продольная (растягивающая или сжимающая) сила и. изгибающий момент; в этом сечении может действовать и поперечная сила.
Внецентренно растянутый или сжатый брус, при расчете которого можно не учитывать дополнительные изгибающие моменты, равные произведениям продольных внешних сил Р на прогибы , называется жестким, а брус, при расчете которого их следует учитывать, — гибким.
Жесткими являются внецентренно сжатые и растянутые брусья, изображенные на рис. 10.9, а, г, д, если наибольшие их прогибы малы по сравнению с расстояниями сил Р от осей брусьев, и брусья, изображенные на рис. 10.9, б, в, в тех случаях, когда произведения малы по сравнению с внешними моментами
Рассмотрим расчет жестких брусьев; метод расчета гибких брусьев изложен ниже в § 5.13.
На рис. 11.9, а изображен жесткий брус; в его верхнем поперечном сечении одновременно действуют продольная сила N и изгибающий момент М, составляющие которого относительно главных осей и у инерции сечения равны Нормальное напряжение в произвольной точке С сечения с координатами у и равно сумме напряжений от продольной силы N и изгибающих моментов , т. е.
Продольная сила N и моменты могут рассматриваться как результат воздействия на брус внецентренно приложенной силы
Именно поэтому случай одновременного действия в поперечном сечении продольной силы и изгибающего момента называют внецентренным растяжением (при растягивающей продольной силе) или сжатием (при сжимающей).
Рис. 10.9
Координаты точки А приложения силы Р называются эксцентриситетами этой силы относительно главных осей инерции и у, соответственно:
Точку А приложения силы Р называют центром давления или полюсом.
Подставим в формулу (10.9) выражения [на основании формул (11.9) и рис. 1.9, б]:
Знаки плюс перед всеми членами этой формулы поставлены потому, что положительная продольная сила а также изгибающие моменты (при положительных эксцентриситетах ) вызывают в точках поперечного сечения с положительными координатами у и z растягивающие (положительные) напряжения.
В формулу (12.9) величина растягивающей силы Р подставляется со знаком плюс, а сжимающей — со знаком минус; координаты у и z в эту формулу подставляются со своими знаками. Знак нормальных напряжений, возникающих в какой-либо точке сечения от изгибающего момента вызванного эксцентрично (внецентренно) приложенной силой Р, можно установить также, представив поперечное сечение в виде пластинки, закрепленной на валу, ось которого совпадает с осью ; пластинка опирается на жесткое основание через систему пружин (рис. 12.9).
Момент от силы Р, показанной, например, на рис. 12.9, вызывает поворот пластинки вокруг оси z, в результате чего пружины, расположенные под заштрихованной частью пластинки, оказываются сжатыми; следовательно, в этой части сечения бруса от момента возникают сжимающие напряжения. Аналогично, для того чтобы установить знак напряжений от момента надо пластинку представить закрепленной на валу, ось которого совпадает с осью у.
Формула (12.9) служит для определения нормальных напряжений в любой точке поперечного сечения при внецентренном растяжении и сжатии.
Рис. 11.9
Формулу (12.9) можно представить в следующем виде:
ИЛИ
где — радиусы инерции поперечного сечения бруса относительно главных центральных осей инерции гну соответственно.
Следует иметь в виду, что в формулах (10.9)-(14.9) оси у и z являются главными центральными осями инерции поперечного сечения бруса.
Формулы (12.9)-(14.9) удобно использовать, когда известны равнодействующая внутренних усилий в поперечном сечении бруса (т. е. сила Р) и координаты точки ее приложения (полюса). Формулу же (10.9) удобно применять, когда известны внутренние усилия действующие в поперечном сечении.
Варианты эпюр нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении бруса при внецентренном сжатии (т. е. при отрицательной силе Р), изображены в аксонометрии на рис. 13.9.
Они ограничены с одной стороны плоскостью поперечного сечения 1-2-3-4, а с другой — плоскостью 1-2-3-4. Ординаты эпюр в центре тяжести сечения (при y = z = 0) равны
Рис. 12.9
Все ординаты эпюры, показанной на рис. 13.9, а, отрицательны, так как плоскость ограничивающая их, не пересекает плоскость 1-2-3-4 в пределах поперечного сечения бруса. Ординаты же эпюры, изображенной на рис. 13.9, б, по одну сторону от прямой отрицательны, а по другую — положительны.
Рис. 13.9
Прямая пп представляет собой линию пересечения плоскости 1-2-3-4 с плоскостью поперечного сечения бруса. Во всех точках, расположенных на прямой пп, напряжения а равны нулю, и, следовательно, эта прямая является нейтральной осью (нулевой линией).
Определим положение нейтральной оси (рис. 14.9). Для этого приравняем нулю правую часть выражения (14.9):
Так как , то
Выражение (15.9) является уравнением прямой (так как координаты у и входят в него в первой степени) и представляет собой уравнение нейтральной оси. Для определения положения нейтральной оси найдем ординату точки В ее пересечения с осью у (рис. 14.9); абсцисса этой точки а потому на основании выражения (15.9)
откуда
Рис. 14.9
Абсцисса точки С пересечения нейтральной оси с осью равна (рис. 14.9), а ордината этой точки Подставляя значения в выражение (15.9), находим
откуда
Итак, величины отрезков, отсекаемых нейтральной осью (нулевой линией) на осях координат, определяются выражениями:
Из этих выражений следует:
1) положение нулевой линии не зависит от величины и знака силы Р;
2) нулевая линия и полюс лежат по разные стороны от начала координат;
3) чем дальше от начала координат расположен полюс (т. е. чем больше по абсолютной величине координаты ), тем ближе к центру сечения проходит нейтральная ось (т. е. тем меньше отрезки ), и наоборот;
4) если полюс расположен на одной из главных центральных осей инерции, то нулевая линия перпендикулярна этой оси; например, когда полюс расположен на оси , то т. е. нейтральная ось параллельна оси у.
При внецентренном растяжении и сжатии нормальные напряжения в каждой точке поперечного сечения бруса, как и при изгибе, прямо пропорциональны расстоянию от этой точки до нейтральной оси. Наибольшие напряжения возникают в точках поперечного сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси.
Эпюра нормальных напряжений, значения которых отложены от линии, перпендикулярной нейтральной оси, показана на рис. 14.9.
Каждая ордината этой эпюры определяет величину нормальных напряжений, возникающих в точках поперечного сечения, расположенных на прямой DD, проходящей через эту ординату параллельно нейтральной оси. Для построения этой эпюры достаточно определить положение нейтральной оси и вычислить нормальные напряжения в одной из точек поперечного сечения (не расположенной на этой оси), например в центре тяжести сечения. С помощью такой эпюры наиболее просто определяются значения нормальных напряжений в любых точках поперечного сечения.
Расчет на прочность стержня, сжатого или растянутого внецентренно приложенными продольными внешними силами (т. е. при отсутствии поперечных сил), производится наиболее просто, так как в таком случае внутренние усилия одинаковы во всех поперечных сечениях каждого участка стержня. Это исключает необходимость определения опасного поперечного сечения, так как при стержне с постоянными поперечными размерами в пределах каждого участка все сечения одного участка являются равноопасными. При стержне же с переменными поперечными размерами опасным в пределах каждого участка является сечение наименьшего размера.
При наличии в поперечных сечениях стержня поперечных сил изгибающие моменты непрерывно изменяются по длине стержня, а потому определение опасного сечения становится более сложным. Обычно в таких случаях проводят проверку прочности, определяя нормальные напряжения в ряде сечений (которые предположительно могут оказаться опасными) и сопоставляя их с допускаемыми напряжениями.
Для определения положения опасных точек в сечении следует параллельно нейтральной оси провести линии, касающиеся контура сечения. Таким путем находят точки сечения, расположенные по обе стороны от нейтральной оси и наиболее удаленные от нее, которые и могут быть опасными.
При пластичном материале для проверки прочности достаточно определить напряжения в одной точке сечения в точке с наибольшим по абсолютной величине нормальным напряжением. При хрупком материале необходимо определить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжения, т. е. найти напряжения в двух точках (за исключением тех случаев, когда в сечении действуют напряжения одного знака).
Поперечная сила вызывает в поперечном сечении бруса касательные напряжения, которые определяются по формуле Журавского (см. § 8.7).
Рассмотрим частный случай внецентренного сжатия или растяжения, когда полюс А расположен на одной из главных осей инерции, например на оси у, т. е. случай, когда Для этого случая формула (10.9) принимает вид
и, следовательно,
При прямоугольном поперечном сечении, основание которого b параллельно оси , а высота h параллельна оси у (рис. 15.9), получаем
или
Нейтральная ось при этом перпендикулярна оси у.
Рис. 15.9
Рис. 16.9
Формула (19.9) позволяет легко установить зависимость между видом эпюры нормальных напряжений и величиной эксцентриситета продольной силы (рис. 15.9). При
и, следовательно, эпюра напряжений а имеет вид прямоугольника (рис. 16.9, а).
При напряжения имеют одинаковые знаки и, следовательно, эпюра а имеет вид трапеции (рис. 16.9, б).
Источник
Расчет напряжений
При внецентренном растяжении (сжатии)
Внецентренным растяжением называется такой вид нагружения бруса, при котором внешние силы действуют вдоль продольной оси бруса, но не совпадают с ней (рис. 8.4). Определение напряжений производится с помощью принципа независимости действия сил. Внецентренное растяжение представляет сочетание осевого растяжения и косого (в частных случаях – плоского) изгиба. Формула для нормальных напряжений может быть получена как алгебраическая сумма нормальных напряжений, возникающих от каждого вида нагружения:
, (8.4)
где ; ;
yF, zF– координаты точки приложения силы F.
Для определения опасных точек сечения необходимо найти положение нейтральной линии (н.л.) как геометрического места точек, в которых напряжения равны нулю.
.
Уравнение н.л. может быть записано как уравнение прямой в отрезках:
,
где и – отрезки, отсекаемые н.л. на осях координат,
, – главные радиусы инерции сечения.
Нейтральная линия разделяет поперечное сечение на зоны с растягивающими и сжимающими напряжениями. Эпюра нормальных напряжений представлена на рис. 8.4.
Если сечение симметрично относительно главных осей, то условие прочности записывается для пластичных материалов, у которых [sc] = [sp] = [s], в виде
. (8.5)
Для хрупких материалов, у которых [sc]¹[sp], условие прочности следует записывать отдельно для опасной точки сечения в растянутой зоне:
и для опасной точки сечения в сжатой зоне:
,
где z1, y1 и z2, y2 – координаты наиболее удаленных от нейтральной линии точек сечения в растянутой 1 и сжатой 2зонах сечения (рис. 8.4).
Свойства нулевой линии
1. Нулевая линия делит все сечение на две зоны – растяжения и сжатия.
2. Нулевая линия прямая, так как координаты х и у в первой степени.
3. Нулевая линия не проходит через начало координат (рис. 8.4).
4. Если точка приложения силы лежит на главной центральной инерции сечения, то соответствующая ей нулевая линия перпендикулярна этой оси и проходит с другой стороны от начала координат (рис. 8.5).
5. Если точка приложения силы движется по лучу, выходящему из начала координат, то соответствующая ему нулевая линия движется за ним (рис. 8.6):
н.л
н.л
°
Рис. 8.5 Рис. 8.6
а) при движении точки приложения силы по лучу, исходящему из начала координат от нуля в бесконечность (yF ®∞, zF ®∞), ау ®0; аz ®0. Предельное состояние этого случая: нулевая линия пройдет через начало координат (изгиб);
б) при движении точки приложения силы (т. К) по лучу, исходящему из начала координат от бесконечности к нулю (yF ® 0 и zF ® 0), ау ®∞; аz ®∞. Предельное состояние этого случая: нулевая линия удаляется в бесконечность, а тело будет испытывать простое растяжение (сжатие).
6. Если точка приложения силы (т. К) движется по прямой, пересекающей координатные оси, то в этом случае нулевая линия будет вращаться вокруг некоторого центра, расположенного в противоположном от точки К квадранте.
8.2.3. Ядро сечения
Некоторые материалы (бетон, кирпичная кладка) могут воспринимать весьма незначительные растягивающие напряжения, а другие (например, грунт) не могут вовсе сопротивляться растяжению. Такие материалы используются для изготовления элементов конструкций, в которых не возникают растягивающие напряжения, и не применяются для изготовления элементов инструкций, испытывающих изгиб, кручение, центральное и внецентренное растяжения.
Из указанных материалов можно изготавливать только центрально сжатые элементы, в которых растягивающие напряжения не возникают, а также внецентренно сжатые элементы, если в них не образуются растягивающие напряжения. Это происходит в том случае, когда точка приложения сжимающей силы расположена внутри или на границе некоторой центральной области поперечного сечения, называемой ядром сечения.
Ядром сечения бруса называется его некоторая центральная область, обладающая тем свойством, что сила, приложенная в любой ее точке, вызывает во всех точках поперечного сечения бруса напряжения одного знака, т.е. нулевая линия не проходит через сечение бруса.
Если точка приложения сжимающей силы расположена за пределами ядра сечения, то в поперечном сечении возникают сжимающие и растягивающие напряжения. В этом случае нулевая линия пересекает поперечное сечение бруса.
Если сила приложена на границе ядра сечения, то нулевая линия касается контура сечения (в точке или по линии); в месте касания нормальные напряжения равны нулю.
При расчете внецентренно сжатых стержней, изготовляемых из материала, плохо воспринимающего растягивающие напряжения, важно знать форму и размеры ядра сечения. Это позволяет, не вычисляя напряжений, установить, возникают ли в поперечном сечении бруса растягивающие напряжения (рис. 8.7).
Из определения следует, что ядро сечения есть некоторая область, которая находится внутри самого сечения.
Для хрупких материалов сжимающую нагрузку следует прикладывать в ядре сечения, чтобы исключить в сечении зоны растяжения (рис. 8.7).
Для построения ядра сечения необходимо последовательно совмещать нулевую линию с контуром поперечного сечения так, чтобы нулевая линия не пе-ресекала сечение, и одновременно рассчитывать соответствующую ей точку
приложения сжимающей силы К с коор-
Рис. 8.7 динатами yF и zF по формулам:
; .
Полученные точки приложения силы с координатами yF, zF необходимо соединить отрезками прямых. Область, ограниченная полученной ломаной линией, и будет являться ядром сечения.
Последовательность построения ядра сечения
1. Определить положение центра тяжести поперечного сечения и главных центральных осей инерции у и z, а также значения квадратов радиусов инерции iy, iz .
2. Показать все возможные положения н.л., касающиеся контура сечения.
3. Для каждого положения н.л. определить отрезки ay и az, отсекаемые ею от главных центральных осей инерции у и z.
4. Для каждого положения н.л. установить координаты центра давления yF, и zF .
5. Полученные центры давлений соединить отрезками прямых, внутри которых будет расположено ядро сечения.
Кручение с изгибом
Вид нагружения, при котором брус подвергается одновременно действию скручивающих и изгибающих моментов, называется изгибом с кручением.
При расчете воспользуемся принципом независимости действия сил. Определим напряжения по отдельности при изгибе и кручении (рис. 8.8).
При изгибе в поперечном сечении возникают нормальные напряжения, достигающие максимального значения в крайних волокнах
.
При кручении в поперечном сечении возникают касательные напряжения, достигающие наибольшего значения в точках сечения у поверхности вала
.
Нормальные и касательные напряжения одновременно достигают наибольшего значения в точках С и В сечения вала (рис. 8.9). Рассмотрим напряженное состояние в точке С (рис. 8.10). Видно, что элементарный параллелепипед, выделенный вокруг точки С, находится при плоском напряженном состоянии.
Поэтому для проверки прочности применим одну из гипотез прочности.
Условие прочности по третьей гипотезе прочности (гипотезе наибольших касательных напряжений)
.
Учитывая, что , , получим условие прочности вала
. (8.6)
Если изгиб вала происходит в двух плоскостях, то условие прочности будет
.
Используя четвертую (энергетическую) гипотезу прочности
,
после подстановки s и t получим
. (8.7)
Вопросы для самопроверки
1. Какой изгиб называется косым?
2. Сочетанием каких видов изгиба является косой изгиб?
3. По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях балки при косом изгибе?
4. Как находится положение нейтральной оси при косом изгибе?
5. Как определяются опасные точки в сечении при косом изгибе?
6. Как определяются перемещения точек оси балки при косом изгибе?
7. Какой вид сложного сопротивления называется внецентренным растяжением (или сжатием)?
8. По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня при внецентренном растяжении и сжатии? Какой вид имеет эпюра этих напряжений?
9. Как определяется положение нейтральной оси при внецентренном растяжении и сжатии? Запишите соответствующие формулы.
10. Какие напряжения возникают в поперечном сечении бруса при изгибе с кручением?
11. Как находятся опасные сечения бруса круглого сечения при изгибе с кручением?
12. Какие точки круглого поперечного сечения являются опасными при изгибе с кручением?
13. Какое напряженное состояние возникает в этих точках?
Источник
Многие элементы строительных конструкций (колонны, стойки, опоры) находятся под воздействием сжимающих сил, приложенных не в центре тяжести сечения. Рассмотрим, например, колонну, на которую опирается балка перекрытия (рис. 11.11). Поскольку сила Р, характеризующая передачу нагрузки от балки на колонну, действует по отношению к ее оси с эксцентриситетом е, колонна испытывает сжатие с изгибом. При этом в поперечных сечениях колонны наряду с продольной силой N = —Р возникает изгибающий момент, величина которого равна М = Ре.
Таким образом, внецентренное растяжение и сжатие стержня имеют место в случае, когда нагрузки действуют вдоль прямой, параллельной оси стержня. Будем рассматривать в основном задачи внецентренного сжатия, наиболее характерные для элементов строительных конструкций. При внецентренном растяжении во всех приводимых ниже формулах надо изменить знак перед силой Р на противоположный.
Рассмотрим стержень, нагруженный на торце внецентренно приложенной в точке К сжимающей силой Р, направленной параллельно оси Ох (рис. 11.12, а). Обозначим координаты точки приложения силы через ур и zp- Перенесем силу в центр тяжести сечения и согласно правилам статики добавим два момента Mz=—Pyp и Му = —Pzp (рис. 11.12, б). При этом внутренние усилия в произвольном поперечном сечении стержня будут равны:
Рис. 11.11
Рис. 11.12
Согласно принятому правилу знаков внутренние усилия являются отрицательными, поскольку в точках первой четверти сечения они вызывают сжатие. Отметим также, что величины внутренних усилий не изменяются по длине стержня и, таким образом, распределение нормальных напряжений в сечениях, достаточно удаленных от места приложения нагрузки, будет одинаковым.
Подставив (11.11) в (11.1), получим формулу для определения нормальных напряжений при внецентренном сжатии:
Эту формулу можно преобразовать к виду
где iy, iz — главные радиусы инерции сечения, определяемые по формулам:
Приравняв выражение (11.12) к нулю, получим уравнение нулевой линии
Полагая в этом уравнении последовательно у = 0 и z — 0, получим формулы для определения отрезков, отсекаемых нулевой линией на осях координат:
Отложив эти отрезки на осях, проведем нулевую линию (рис. 11.13), в каждой точке которой о = 0. Отметим, что при внецентренном сжатии (растяжении) нулевая линия не проходит через центр тяжести сечения, а ее положение не зависит от величины силы Р.
Поскольку знаки величин ^и^ противоположны знакам соответственно zp и у , нулевая линия проходит через те четверти системы координат, которые не содержат точки приложения силы (рис. 11.13).
Рис. 11.13
Рис. 11.14
Положение нулевой линии зависит от геометрических характеристик сечения и от координат точки приложения силы. При этом величины Zq, zp и у0, ^являются обратно пропорциональными по отношению друг к другу.
Исследуем изменение положения нулевой линии при перемещении точки приложения силы вдоль прямой, проходящей через центр тяжести сечения. Из формул (11.14) следует, что все нулевые линии будут при этом параллельными, причем при приближении точки приложения силы к центру тяжести сечения величины zp и у уменьшаются и нулевая линия удаляется от него, и наоборот (рис. 11.14).
Нетрудно доказать также следующее положение. Если точка приложения силы перемещается вдоль прямой, не проходящей через центр тяжести сечения, то нулевая линия поворачивается относительно некоторой точки (рис. 11.15). Справедливо и обратное утверждение. Это свойство используется при построении особой фигуры — ядра сечения.
Рис. 11.16
Рис. 11.15
Нормальные напряжения в сечении изменяются по линейному закону, увеличиваясь по абсолютной величине по мере удаления от нулевой линии. Эпюра о строится на прямой, перпендикулярной к нулевой линии. При этом она может быть разнозначной или однозначной (см. рис. 11.14). Последнее имеет место в случае, если точка приложения силы Р расположена вблизи центра тяжести сечения. Напомним, что при центральном сжатии или растяжении нормальные напряжения являются одинаковыми по величине, а эпюра с представляет собой прямоугольник.
В точках прямой, проходящей через центр тяжести сечения и параллельной нулевой линии, нормальные напряжения равны °о =—P/F.
Рассмотрим случай разнозначной эпюры с (рис. 11.14, а). Так же как и при косом изгибе, наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения действуют в точках сечения, наиболее удаленных от нулевой линии (угловые точки А и В на рис. 11.14). Для произвольного сечения эти точки и их координаты устанавливаются с помощью касательных к сечению, параллельных нулевой линии (например, точка А на рис. 11.16). В общем случае онбф |онм|.
Если материал стержня неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то необходимо обеспечить выполнение двух условий прочности по наибольшим растягивающим и наибольшим сжимающим напряжениям в точках А и В:
где Rp и Rc — расчетные сопротивления материала при растяжении и сжатии; zA, УА и zB, У в ~ координаты наиболее напряженных точек сечения.
Из условий прочности (11.15) можно определить величину предельной расчетной силы.
Для стержней из материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию (R^ = Rc = R), а также в случае однозначной эпюры о (рис. 11.14, б) достаточно обеспечить выполнение одного условия прочности по точке с наибольшими по абсолютной величине напряжениями.
В инженерной практике чаще имеет место случай внецент- ренного сжатия (или растяжения), когда точка приложения силы Р расположена на одной из главных осей (рис. 11.17, а). При этом согласно формулам (11.14) нулевая линия параллельна другой главной оси (рис. 11.17, б). Нормальные напряжения определяются по двухчленной формуле. Например, для случая, показанного на рис. 11.17, имеем
Рис. 11.17
Многие строительные материалы (бетон, кирпичная кладка, чугун и др.) плохо сопротивляются растяжению. Поэтому в элементах конструкций из таких материалов, работающих на вне- центренное сжатие, нежелательно появление растягивающих нормальных напряжений. Это условие будет выполнено, если точка приложения силы расположена внутри или на границе некоторой области вокруг центра тяжести, которая называется ядром сечения.
Граница или контур ядра строится с помощью нулевых линий, которые являются касательными к сечению. При этом координаты точек контура ядра определяются с помощью формул
(11.14):
Здесь у0, Zq — координаты точек пересечения нулевых линий, касательных к контуру сечения, с осями координат; ур, zp — координаты точек контура ядра, соответствующие положению данной касательной.
Таким образом, если точка приложения силы расположена на контуре ядра, то нулевые линии являются касательными к сечению, а эпюра с представляет собой треугольник. При приложении силы внутри ядра нулевая линия проходит вне сечения (условная нулевая линия) и эпюра о является трапецией.
Ядро сечения содержит центр тяжести и является выпуклой фигурой, поскольку соответствующие границе ядра нулевые линии должны касаться огибающей контура сечения и не пересекать его.
При построении контура ядра его точки надо соединить соответствующими линиями. Если нулевые линии, касательные к сечению, перемещаются при переходе от одного положения к другому путем поворота вокруг угловых точек, то на основании изложенного выше положения линии контура ядра являются прямыми.
Рис. 11.18
Рис. 11.19
Рис. 11.20
Построим ядро сечения для некоторых фигур. Для прямоугольника достаточно провести две нулевые линии, являющиеся касательными к сечению (рис. 11.18). Для касательной 1 — 1 имеем у() = И/2 и Zq= °°. Учитывая, что
определяем координаты точки 1 контура ядра сечения:
Аналогично для касательной 2—2 находим координаты точки 2: zp = — b/6, ур = 0. Точки 3 и 4 расположены симметрично по отношению к точкам 1 и 2. Ядро сечения представляет собой ромб с длинами диагоналей h/З и Ь/3 (рис. 11.18).
Ядро сечения для двутавра также представляет собой ромб, значительно вытянутый вдоль оси Оу (рис. 11.19), поскольку J. » Jy. Ядро сечения для швеллера является четырехугольником, симметричным относительно оси Oz (рис. 11.20).
При построении ядра сечения для круга достаточно провести одну касательную 1—1 (рис. 11.21), для которой у0 = R, Zq = °°.
Рис. 11.21
Рис. 11.22
Учитывая, что для круга
находим координаты точки 1:
Очевидно, что ядро сечения для круга представляет собой также круг с радиусом г = R/4. Такой же вид имеет ядро для кольцевого сечения (рис. 11.22), однако радиус ядра значительно больше, чем для сплошного круга. Нетрудно показать, что при 5 « R2 радиус ядра сечения приближенно равен Rq/2, где Rq — средний радиус кольца.
Рис. 11.23
При построения ядра сечения, показанного на рис. 11.23, достаточно провести четыре касательные к сечению и определить координаты четырех точек контура ядра. Точки 1, 2 и 3 надо соединить прямыми линиями. Контур ядра между точками 3, 4 является криволинейным. Точки 5 и 6 симметричны по отношению к точкам 3 и 2.
Пример 11.5. Для короткого чугунного стержня коробчатого сечения, испытывающего внецентренное сжатие (рис. 11.24, а), определим расчетную величину силы Р из условий прочности. Построим эпюру о и ядро сечения. В расчетах примем Rp = = 50 МПа = 5 кН/см2, Rc = 150 МПа = 15 кН/см2 и ус = 1,0.
Рис. 11.24
Определяем необходимые геометрические характеристики сечения (рис. 11.24, б):
Координаты точки приложения силы Р равны: ур = 6 см, zp — = —4,5 см. Определяем по формулам (11.14) величины отрезков, отсекаемых нулевой линией на осях координат:
Отложив эти отрезки на осях, проводим нулевую линию, которая пересекает сечение и делит его на зоны растяжения и сжатия. Эпюра с является разнозначной (рис. 11.24, б). Наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения действуют в угловых точках Ли В, наиболее удаленных от нулевой линии. Координаты этих точек равны: уА = —6 см, zA = 4,5 см, ув= 6 см, zB = —4,5 см.
Из условий прочности при растяжении и сжатии находим два значения расчетной силы Р:
Для обеспечения прочности стержня в зонах растяжения и сжатия принимаем с округлением меньшую силу Р = 100 кН. При этом напряжения в точках Ли В равны:
Прочность стержня обеспечена. Эпюра о приведена на рис. 11.24, б.
Для построения ядра сечения достаточно провести две нулевые линии, касательные к контуру сечения, и определить координаты двух точек контура ядра.
Касательная 1—1:
Касательная 2—2:
Проведенные касательные соответствуют точкам 1 и 2 контура ядра сечения. Симметрично расположены точки 3 и 4. Поскольку касательные переходят из одного положения в другое путем поворота вокруг угловых точек сечения, все линии контура ядра являются прямыми. Ядро сечения представляет собой ромб (рис. 11.24, б). Так как точка приложения силы принадлежит одновременно касательным 1—1 и 2—2 , нулевая линия проходит по линии контура ядра 1—2.
Пример 11.6. Для короткого стального стержня составного сечения, находящегося в условиях внецентренного сжатия (рис. 11.25, а), определим величину расчетной силы Риз условия прочности. В расчетах примем Р = 210МПа = 21 кН/см2 и ус = 0,9. Построим эпюру о и ядро сечения.
Поскольку zp = 0, данная задача относится к частному случаю внецентренного сжатия. Определяем необходимые геометрические характеристики сечения:
Определяем положение нулевой линии:
Рис. 11.25
Нулевая линия параллельна оси Oz и не пересекает сечение. Эпюра а является однозначной (рис. 11.25, б). Наибольшие сжимающие напряжения действуют в крайних верхних точках сечения (у = ув = —11 см). Из условия прочности определяем расчетное значение силы Р:
При действии силы Р = 744 кН наибольшие сжимающие напряжения в крайних верхних точках сечения по абсолютной величине равны уCR = 189 МПа. Определяем напряжения в крайних нижних точках сечения (у = уА= 11 см):
Напряжения в поперечных сечениях стержня являются сжимающими. Эпюра а приведена на рис. 11.25, б.
Ядро сечения представляет собой ромб, координаты вершин которого определяем с помощью двух касательных к сечению. Касательная 1—1:
Касательная 2—2:
Точка приложения силы расположена внутри ядра сечения (рис. 11.25, б).
Источник