Расчет на кручение с растяжением

Касательные напряжения τ в поперечном сечении бруса при чистом кручении могут быть разложены на две составляющие τх и τу (рис. 34).

Крутящий момент в сечении определяется, очевидно, следующим выражением:

Показать, что независимо от формы сечения справедливы формулы

Решение. Рассмотрим условия равновесия элемента dx dy dz (рис. 210, а).

Равенство нулю суммы проекций всех сил на ось z дает

 (1)

На контуре (рис. 210, б) имеем граничное условие

или

 (2)

Теперь рассмотрим указанные в условии интегралы

Интегрируя по частям первое выражение по dx, а второе — по dy, получаем:

что приводит к выражениям:

Согласно граничному условию (2) получаем

а согласно условию равновесия (1) имеем

Следовательно, приходим к равенству

Но так как

то окончательно получаем

Цилиндрический стержень закручивается равномерно распределенными по поверхности моментами  m, уравновешен­ными моментом М на торце (рис. 33, а).

При таком нагру­жении в стержне, кроме обыч­ных напряжений τ, действующих в поперечных сечениях, возни­кают еще и касательные напря­жения t в цилиндрических и осевых сечениях (рис. 33, б).

Определите, как распреде­лены эти напряжения по объему стержня. Дайте сравнительную оценку величин τ и t.

Двумя цилиндрическими поверхностями радиуса r и r + dr  и двумя поперечными сечениями выделяем из стержня элементарное кольцо толщиной dz (рис. 208).

Приравняв нулю сумму моментов относительно оси z, по­лучим:

откуда

 (1)

Обозначим через v перемещение по направлению каса­тельной к дуге круга (рис. 209).

Угол сдвига в цилиндриче­ской поверхности, как обычно,

, а напряжение  (2)

Угол сдвига в плоскости поперечного сечения γ2 равен отношению отрезков ВС/АВ (рис. 209). Но

следовательно,

,

а соответствующее напряжение

 (3)

Подставляя τ и t в уравнение равновесия (1), получим:

 (4)

Естественно предположить, что перемещение v в зависи­мости от z меняется, как и при обычном кручении, по квад­ратичному закону, т. е.

где  v ,  vl ,  v2 зависят только от r. Уравнение (4) после под­становки v распадается на три следующих:

     (5)

откуда

Наконец, подставляя v2 в правую часть первого из уравне­ний (5), получим:

Так как на оси стержня перемещения равны нулю, необхо­димо положить В0 = В1  = В2 = 0. Тогда

, а согласно выражениям (2) и (3)

На левом торце, т. е. при z= 0, касательные напряжения равны нулю. Следовательно, А1 = 0.

На поверхности цилиндра ( при  )    , поэтому , и в итоге по­лучаем:

Таким образом, напряжения τ распределены по r и z ли­нейно, что следует и из обычной теории кручения. Напря­жения t распределены вдоль радиуса по квадратичному закону. Отношение наибольших значений τ и t будет:

Следовательно, для длинного цилиндра напряжение tmaх много меньше, чем τmax.

При кручении узкой прямоугольной полосы в попе­речных сечениях образуются, как известно, вторичные нор­мальные напряжения. У краев полосы возникают растягивающие, а у середины — сжимающие напряжения (рис. 32).

От каких характеристик и как зависят эти напряжения в случае произвольной формы тонкостенного профиля?

На рис. 206 показан тонкостенный профиль, глав­ными центральными осями которого являются х, у.

Положим, что при кручении сечение поворачивается на угол φ относи­тельно некоторой точки С, имеющей координаты хс, ус. Образующая АВ (рис. 206) повернется при этом на угол .

В результате возникнет продольное удлинение

Одновременно с поворотом относительно продольной оси возможны взаимный поворот сечений относительно осей х и у и взаимное осевое смещение. Это приведет к тому, что в выражении ε появится дополнительная составляющая, линейно зависящая от х и у, т. е. будем иметь