Расчет элементов цельного сечения на растяжение

2.2.1. Расскажите о предельном состоянии, и расчете центрально-растянутого деревянного элемента. Приведите примеры использования таких стержней в конструкциях зданий и сооружений

Центрально-растянутым (рис. 2.1) считается элемент, испы­тывающий действие растягивающей силы, создающей нормаль­ные напряжения, равномерно распределенные по всему его по­перечному сечению (не имеющему, ослаблений или ослабленно­му). Древесина работает на растяжение почти как упругий

Рис. 2.1 Центрально-растянутый элемент: а – не имеющий ослаблений; б – с ослаблениями в расчетном сечении

ма­териал и имеет достаточно высокую прочность. Для растяну­тых деревянных элементов характерно почти мгновенное раз­рушение от разрыва наименее прочных волокон, который про­исходит практически без проявления заметных дополнительных деформаций. Поэтому единственным условием при расчете центрально-растянутых стержней является обеспечение проч­ности, т. е. выполнение условия первой группы предельных со­стояний.

(2.9)

где N — растягивающая сила от расчетных нагрузок;

Fнт — площадь нетто поперечного сечения стержня;

Rр— расчетное сопротивление древесины растяжению.

Согласно требованию Норм, площадь нетто здесь определяется за вычетом площади всех ослаблений, находящихся на длине 20 см. Причину этого легко понять, если помнить о неоднородностях строения древесины и наличии допустимых поро­ков в реальных растянутых элементах — разрушение может произойти не точно по поперечному сечению, а уступами или зигзагами именно на такой примерно длине (рис. 2.1б). Это является особенностью расчета деревянного растянутого эле­мента. Другой особенностью является учет влияния концентра­ции напряжений в ослабленном сечении путем снижения вели­чины расчетного сопротивления на 20 %, что достигается введе­нием коэффициента условий работы то = 0,8.

В конструкциях центрально-растянутые элементы встреча­ются в виде нижних поясов или растянутых раскосов деревян­ных ферм, деревянных подвесок или других подобных стерж­ней.

Учитывая хрупкий характер разрушения и сильное влияние пороков на прочность растянутого элемента, их изготавливают, как правило, из наиболее прочной древесины первого сорта с нормативным сопротивлением Rн=20МПа и расчетным сопро­тивлением R =10 МПа. При отсутствии такого материала до­пускается применять древесину второго сорта с R=7,0 МПа. Рекомендуется наиболее ответственные растянутые элементы проектировать площадью не менее 50 см2.

По деформациям растянутые элементы не проверяются. При необходимости подобрать сечение растянутого элемента или определить наибольшее усилие, которое может выдержать растянутый элемент, пользуются формулой (2.9), решенной относительно Fтр или N.

2.2.2. Покажите на примере, как проверить прочность центрально-растянутого деревянного элемента при известных усилиях, размерах поперечного сечения и условиях его эксплуатации

Исходные данные: расчетное усилие N = 80кН; материал — лиственница европейская, второго сорта; растянутым элементом является раскос многоугольной металлодаревянной фермы, эксплуатируемой в помещении с t = 18°C при j = 60%; доля постоянных и временных длительных нагрузок, действующих на покрытие, составляет 70% от суммарной; коэффициент надежности по назначению gn = 0,95; расчетная схема и сечение раскоса приведены на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Центрально-растянутый элемент, ослабленный отверстиями под болты

Решение

Определяются класс условий эксплуа­тации (в дальнейшем КУЭ) конструкции по табл. 1 [1]. Согласно задания – КУЭ – 1, подкласс – 1.2.

Определяется величина расчетного сопротивления древеси­ны европейской лиственницы второго сорта на растяжение вдоль волокна с учетом коэффициентов условий работы. Со­гласно табл. 3 и п. 5.2 [1]

Определяется площадь нетто расчетного сечения раскоса. Поскольку отверстия расположены на расстоянии более 200 мм друг от друга, учитывается ослабление одним отверстием:

Проверяется прочность раскоса в ослабленном отверстием сечении с учетом назначения конструкций (здесь gn введен в усилия)

Вывод: Прочность раскоса обеспечена.

2.2.3. Расскажите о предельных состояниях центрально-сжатых деревянных элементов. Приведите примеры использования таких стержней в конструкциях. Что такое «короткий» и «длинный» стержень? На что и как это влияет?

На центральное сжатие могут работать деревянные колон­ны, стойки, подкосы, верхние пояса и отдельные стержни ферм. В сечениях сжатого стержня возникают нормальные напряже­ния, равномерно распределенные по всему поперечному сече­нию (рис. 2.3б). Сжатые деревянные стержни работают более надежно, чем растянутые, и разрушаются только после замет­ных деформаций. Это результат потери местной устойчивости стенок наиболее слабых клеток, выражается образованием ха­рактерной складки на поверхности элемента (рис. 2.3 в).

Рис. 2.3. Центрально-сжатые элементы: а–возможные варианты стержней и их ослаблений; б –характер разрушения от потери устойчивости сжатых и разрыва растянутых волокон: 1-без ослаблений; 2- площадь ослабления более 25% от всего сечения; 3- ослабления вышли на кромки сечения; 4- ослабление площадью менее 25% от всего сечения

Од­нако такой характер разрушения наблюдается лишь в случае, когда нормальные напряжения в стержне превышают величи­ну, соответствующую пределу упругой работы древесины, и пе­реходят в область упругопластической работы древесины. Это возможно только тогда, когда гибкость работающего стержня очень мала. При значительных гибкостях деревянные стержни разрушаются задолго до того, когда напряжения в них достиг­нут предела прочности (или расчетного сопротивления). Это происходит из-за общей потери устойчивости стержней. Поэто­му деревянные сжатые стержни принято делить на «корот­кие» — длиной менее 7 наименьших размеров попе

речного сечения, и «длинные» — большей длины. Первые достаточно про­верить лишь на прочность, а вторые требуют проверки как на прочность, так и на устойчивость.

Проверка на прочность осуществляется по формуле

(2.10) Проверка на устойчивость имеет вид . (2.11)

Здесь — коэффициент продольного изгиба; — расчетная площадь поперечного сечения, принимаемая равной либо Fбр, если ослаблений нет или их меньше 25% Fбр, либо 4/3 Fнт, если ослаблений более 25% Fбр, либо Fнт, если ослабления выходят на кромки симметрично.

На сжатие работают стойки, подкосы, верхние пояса и отдельные стержни ферм и др. сквозные конструкции. Древесина работает на сжатие более надёжно, чем на растяжение, но не вполне упруго. Здесь пластические свойства древесины проявляются значительно сильнее, чем при растяжении. В данном случае пороки реальной древесины меньше снижают прочность сжатых элементов, поскольку сами воспринимают часть сжимающих напряжений. В растянутых элементах пороки выключаются из работы моментально. Вследствие, этого сжатые элементы рекомендуется изготавливать, как правило, из более доступной древесины 2 сорта.

Расчёт центрально сжатых элементов на прочность следует производить по формуле: δс=N/Fнт≤Rс,

В основном расчёт на прочность необходим для коротких стержней, у которых длина ≤ 7 толщин. Более длинные элементы, не закреплённые в поперечном направлении связями следует рассчитывать продольный изгиб, который состоит в потере гибким центрально сжатым прямым стержнем своей прямолинейной формы, что называется потерей устойчивости. Потеря устойчивости происходит раньше, чем напряжение сжатия достигнет придела прочности. При потере устойчивости несущий элемент теряет несущую способность и выгибается в сторону. При дальнейшем выгибе на вогнутой стороне появляются складки, свидетельствующие о разрушении от сжатия, а их выпуклая разрушается от растяжения.

На устойчивость ведут расчёт по формуле: δс=N/(φ×Fрасч)≤Rс, δс=N/ Fрасч≤ φ×Rс,

Прочность стержня при сжатии и потери устойчивости зависят от площади Fрасч и формы его сечения, длины l и также закрепления концов стержня, что учитывается коэффициентом устойчивости или коэффициентом продольного изгиба (φ),

А) ослабление не выходит на кромку, т.е. располагаются в середине сечения. При отсутствии ослаблений или ослаблений в опасных сечениях не выходящих на кромку, если площадь ослабления не превышает 25% полного сечения Fбр, то Fрасч = Fбр,

Б)При ослаблении не выходящих на кромки, если площадь ослабления превышает 25% Fбр, то:

Fрасч = 4/3×Fнт ,

В) Симметричное ослабления, выходящие на кромки, то: Fрасч = Fнт .

Коэффициент продольного изгиба (φ)элемента определяется в зависимости от его расчётной длины l0, радиуса инерции r,таким образом зависит от гибкости элементов: λ= l0/r;

В общем случае коэф. продольного изгиба можно найти следующим образом: φ=δкр/Rврс;

Т.е устойчивость определяется критическим напряжением δкр.

δкр=Nкр/F , теоретическое значение критической нагрузки для абсолютно упругого стержня было определено Эйлером: Nкр =Π×Е×У/ l20 ;

l0- расчётная длина, которая учитывает влияние типа закрепления концов стержня на устойчивость.

Вообще критическая сила – это максимальная сила способная удержать стержень в искривлённом состоянии при котором может быть раздвоение оси стержня (1 критическая сила).

; ; следовательно , при λ>70.

то для древесины будет равно А=3000, для фанеры А=2500,

при λ>70

Формула Эйлера справедлива только в тех случаях, когда стержень теряет устойчивость при напряжении ≤ пределу пропорциональности, когда модуль упругости постоянен. Е=const и придел материала так же постоянен.

Если построить кривую Эйлера, то будет видно, что при малых гибкостях, когда критическое напряжение превышает предел пропорциональности, коэффициент продольного изгиба получается больше 1, чего по существу быть не может. Поэтому

при λ≤70 то

Эта формула получена опытным путём, соответствует работе стержня за пределом пропорциональности, когда меняется модуль упругости (Е≠const), а=0,8 – для древесины, а=1 – для фанеры.

Если l0/h≤7, то φ≈1,

Гибкость зависит от радиуса инерции сечения ; , для прямоугольного сечения

для круглого сечения ;

Гибкость λ сжатых элементов ограничивается с тем, чтобы они получились недопустимо неустойчивыми и недостаточно надёжными. Поэтому гибкость элемента ограничивают, например:

-отдельные стойки, верхние пояса ферм, опорные раскосы ферм λ≤[λ]=120

-прочие сжатые элементы основных несущих конструкций λ≤150

-сжатые элементы связей λ≤200

Расчет центрально-растянутых элементов следует производить по формуле

,

При определении Fнт ослабления, расположенные на участке длиной до 200 мм, следует принимать совмещенными в одном сечении. Древесина работает на растяжение как упругий материал и показывает высокую прочность. Разрушение происходит хрупко, в виде почти мгновенного разрыва наиболее слабых волокон по пилообразной поверхности. Прочность отдельных образцов достигает 100мпа, а расчетное сопротивление принимают 10мпа, т.к. влияние пороков на древесину значительно.

Расчет центрально-сжатых элементов постоянного цельного сечения следует производить по формулам:

а) на прочность ; б) на устойчивость ,

где Rс – расчетное сопротивление древесины сжатию вдоль волокон;

j – коэффициент продольного изгиба, определяемый согласно п. 4.3;

Fнт – площадь нетто поперечного сечения элемента;

Fрас – расчетная площадь поперечного сечения элемента, принимаемая равной:

Древесина работает на сжатие надежно, но не вполне упруго. Прочность на сжатие меньше почности на растяжение в 2-2,5 раза и составляет 40мпа. Разрушение происходит пластично , исп древесина 2 сорта.

Расчет изгибаемых элементов, обеспеченных от потери устойчивости плоской формы деформирования на прочность по нормальным напряжениям следует производить по формуле

, где М – расчетный изгибающий момент; Rи – расчетное сопротивление изгибу;

Wрас – расчетный момент сопротивления поперечного сечения элемента. Для цельных элементов Wрас = Wнт; для изгибаемых сост соединениях расчетный момент сопротивления следует принимать равным моменту сопротивления нетто Wнт, умноженному на коэффициент kw; значения kw для элементов, составленных из одинаковых слоев, приведены в табл. 13. При определении Wнт ослабления сечений, расположенные на участке элемента длиной до 200 мм, принимают совмещенными в одном сечении.

При поперечном изгибе значение предельной прочности образцов занимает промежуточное значение между пределами прочности при растяжении и сжатии и составляет в среднем 75мпа, а R=14мпа в зависимости от сорта древесины. В начальной стадии загружения древесина работает упруго и нормальные напряжения распределяются по высоте поперечного сечения по линейному закону. При увеличении нагрузки сжатая часть сечения начинает работать упруго-пластично, эпюра нормальных напряжений искривляется в сторону растянутых волокон. Разрушение оразца начинается с появления складок на крайних сжатых волокнах и завершается разрывом крайних.

4.17. Расчет на прочность внецентренно-сжатых и сжато-изгибаемых элементов следует производить по формуле

,

где Мд – изгибающий момент от действия поперечных и продольных нагрузок, определяемый из расчета по деформированной схеме. В криволинейных элементах и элементах нагруженных продольной силой, действующих эксцентрично относительно оси сечения, возникает изгиб с сжатием. Разрушение начинается с появления складок волокон в месте действия максимальных сжимающих напряжений и разрыв растянутых волокон.

Расчетное сопротивление древесины смятию под углом a к направлению волокон определяется по формуле

.

Общее смятие возникает при действии нагрузки на всю поверхность элемента. Местное смятие возникает при действии силы на часть поверхности. Прочность и деформативность элементов при смятии зависит от угла смятия между направлением действия силы и волокон. При α=0, вдоль волокон, древесина показывает такую же прочность, что и при сжатии. При α=90, поперек волокон, полые клетки древесины сплющиваются, что приводит к большим деформациям Общее смятие поперек волокон Rсм90=1,8мпа

3. Расчетное сопротивление древесины скалыванию под углом к направлению волокон определяется по формуле

. (3)

4. Скалывание-это разрушение древесины в результате сдвига одной части материала относительно другой. Напряжения скалывания очень неравномерно распределяется по длине площадки скалывания, поэтому теоретическое определение величин скалывающих напряжений затруднено. Расчетное сопротивление скалыванию вдоль волокон: при изгибе 1,8мпа-1сорт, для 2 и 3 сорта 1,6мпа. В лобовых врубках для максимального напряжения 2,4мпа, для 2 и 3 сорта 2,1мпа. Поперек волокон 1мпа, для 2сорта 0,8мпа, для 3-0,6мпа.