Расчет элементов цельного сечения на центральное растяжение

2.2.1. Расскажите о предельном состоянии, и расчете центрально-растянутого деревянного элемента. Приведите примеры использования таких стержней в конструкциях зданий и сооружений

Центрально-растянутым (рис. 2.1) считается элемент, испы­тывающий действие растягивающей силы, создающей нормаль­ные напряжения, равномерно распределенные по всему его по­перечному сечению (не имеющему, ослаблений или ослабленно­му). Древесина работает на растяжение почти как упругий

Рис. 2.1 Центрально-растянутый элемент: а – не имеющий ослаблений; б – с ослаблениями в расчетном сечении

ма­териал и имеет достаточно высокую прочность. Для растяну­тых деревянных элементов характерно почти мгновенное раз­рушение от разрыва наименее прочных волокон, который про­исходит практически без проявления заметных дополнительных деформаций. Поэтому единственным условием при расчете центрально-растянутых стержней является обеспечение проч­ности, т. е. выполнение условия первой группы предельных со­стояний.

(2.9)

где N — растягивающая сила от расчетных нагрузок;

Fнт — площадь нетто поперечного сечения стержня;

Rр— расчетное сопротивление древесины растяжению.

Согласно требованию Норм, площадь нетто здесь определяется за вычетом площади всех ослаблений, находящихся на длине 20 см. Причину этого легко понять, если помнить о неоднородностях строения древесины и наличии допустимых поро­ков в реальных растянутых элементах — разрушение может произойти не точно по поперечному сечению, а уступами или зигзагами именно на такой примерно длине (рис. 2.1б). Это является особенностью расчета деревянного растянутого эле­мента. Другой особенностью является учет влияния концентра­ции напряжений в ослабленном сечении путем снижения вели­чины расчетного сопротивления на 20 %, что достигается введе­нием коэффициента условий работы то = 0,8.

В конструкциях центрально-растянутые элементы встреча­ются в виде нижних поясов или растянутых раскосов деревян­ных ферм, деревянных подвесок или других подобных стерж­ней.

Учитывая хрупкий характер разрушения и сильное влияние пороков на прочность растянутого элемента, их изготавливают, как правило, из наиболее прочной древесины первого сорта с нормативным сопротивлением Rн=20МПа и расчетным сопро­тивлением R =10 МПа. При отсутствии такого материала до­пускается применять древесину второго сорта с R=7,0 МПа. Рекомендуется наиболее ответственные растянутые элементы проектировать площадью не менее 50 см2.

По деформациям растянутые элементы не проверяются. При необходимости подобрать сечение растянутого элемента или определить наибольшее усилие, которое может выдержать растянутый элемент, пользуются формулой (2.9), решенной относительно Fтр или N.

2.2.2. Покажите на примере, как проверить прочность центрально-растянутого деревянного элемента при известных усилиях, размерах поперечного сечения и условиях его эксплуатации

Исходные данные: расчетное усилие N = 80кН; материал — лиственница европейская, второго сорта; растянутым элементом является раскос многоугольной металлодаревянной фермы, эксплуатируемой в помещении с t = 18°C при j = 60%; доля постоянных и временных длительных нагрузок, действующих на покрытие, составляет 70% от суммарной; коэффициент надежности по назначению gn = 0,95; расчетная схема и сечение раскоса приведены на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Центрально-растянутый элемент, ослабленный отверстиями под болты

Решение

Определяются класс условий эксплуа­тации (в дальнейшем КУЭ) конструкции по табл. 1 [1]. Согласно задания – КУЭ – 1, подкласс – 1.2.

Определяется величина расчетного сопротивления древеси­ны европейской лиственницы второго сорта на растяжение вдоль волокна с учетом коэффициентов условий работы. Со­гласно табл. 3 и п. 5.2 [1]

Определяется площадь нетто расчетного сечения раскоса. Поскольку отверстия расположены на расстоянии более 200 мм друг от друга, учитывается ослабление одним отверстием:

Проверяется прочность раскоса в ослабленном отверстием сечении с учетом назначения конструкций (здесь gn введен в усилия)

Вывод: Прочность раскоса обеспечена.

2.2.3. Расскажите о предельных состояниях центрально-сжатых деревянных элементов. Приведите примеры использования таких стержней в конструкциях. Что такое «короткий» и «длинный» стержень? На что и как это влияет?

На центральное сжатие могут работать деревянные колон­ны, стойки, подкосы, верхние пояса и отдельные стержни ферм. В сечениях сжатого стержня возникают нормальные напряже­ния, равномерно распределенные по всему поперечному сече­нию (рис. 2.3б). Сжатые деревянные стержни работают более надежно, чем растянутые, и разрушаются только после замет­ных деформаций. Это результат потери местной устойчивости стенок наиболее слабых клеток, выражается образованием ха­рактерной складки на поверхности элемента (рис. 2.3 в).

Рис. 2.3. Центрально-сжатые элементы: а–возможные варианты стержней и их ослаблений; б –характер разрушения от потери устойчивости сжатых и разрыва растянутых волокон: 1-без ослаблений; 2- площадь ослабления более 25% от всего сечения; 3- ослабления вышли на кромки сечения; 4- ослабление площадью менее 25% от всего сечения

Од­нако такой характер разрушения наблюдается лишь в случае, когда нормальные напряжения в стержне превышают величи­ну, соответствующую пределу упругой работы древесины, и пе­реходят в область упругопластической работы древесины. Это возможно только тогда, когда гибкость работающего стержня очень мала. При значительных гибкостях деревянные стержни разрушаются задолго до того, когда напряжения в них достиг­нут предела прочности (или расчетного сопротивления). Это происходит из-за общей потери устойчивости стержней. Поэто­му деревянные сжатые стержни принято делить на «корот­кие» — длиной менее 7 наименьших размеров попе

речного сечения, и «длинные» — большей длины. Первые достаточно про­верить лишь на прочность, а вторые требуют проверки как на прочность, так и на устойчивость.

Проверка на прочность осуществляется по формуле

(2.10) Проверка на устойчивость имеет вид . (2.11)

Здесь — коэффициент продольного изгиба; — расчетная площадь поперечного сечения, принимаемая равной либо Fбр, если ослаблений нет или их меньше 25% Fбр, либо 4/3 Fнт, если ослаблений более 25% Fбр, либо Fнт, если ослабления выходят на кромки симметрично.

На сжатие работают стойки, подкосы, верхние пояса и отдельные стержни ферм и др. сквозные конструкции. Древесина работает на сжатие более надёжно, чем на растяжение, но не вполне упруго. Здесь пластические свойства древесины проявляются значительно сильнее, чем при растяжении. В данном случае пороки реальной древесины меньше снижают прочность сжатых элементов, поскольку сами воспринимают часть сжимающих напряжений. В растянутых элементах пороки выключаются из работы моментально. Вследствие, этого сжатые элементы рекомендуется изготавливать, как правило, из более доступной древесины 2 сорта.

Расчёт центрально сжатых элементов на прочность следует производить по формуле: δс=N/Fнт≤Rс,

В основном расчёт на прочность необходим для коротких стержней, у которых длина ≤ 7 толщин. Более длинные элементы, не закреплённые в поперечном направлении связями следует рассчитывать продольный изгиб, который состоит в потере гибким центрально сжатым прямым стержнем своей прямолинейной формы, что называется потерей устойчивости. Потеря устойчивости происходит раньше, чем напряжение сжатия достигнет придела прочности. При потере устойчивости несущий элемент теряет несущую способность и выгибается в сторону. При дальнейшем выгибе на вогнутой стороне появляются складки, свидетельствующие о разрушении от сжатия, а их выпуклая разрушается от растяжения.

На устойчивость ведут расчёт по формуле: δс=N/(φ×Fрасч)≤Rс, δс=N/ Fрасч≤ φ×Rс,

Прочность стержня при сжатии и потери устойчивости зависят от площади Fрасч и формы его сечения, длины l и также закрепления концов стержня, что учитывается коэффициентом устойчивости или коэффициентом продольного изгиба (φ),

А) ослабление не выходит на кромку, т.е. располагаются в середине сечения. При отсутствии ослаблений или ослаблений в опасных сечениях не выходящих на кромку, если площадь ослабления не превышает 25% полного сечения Fбр, то Fрасч = Fбр,

Б)При ослаблении не выходящих на кромки, если площадь ослабления превышает 25% Fбр, то:

Fрасч = 4/3×Fнт ,

В) Симметричное ослабления, выходящие на кромки, то: Fрасч = Fнт .

Коэффициент продольного изгиба (φ)элемента определяется в зависимости от его расчётной длины l0, радиуса инерции r,таким образом зависит от гибкости элементов: λ= l0/r;

В общем случае коэф. продольного изгиба можно найти следующим образом: φ=δкр/Rврс;

Т.е устойчивость определяется критическим напряжением δкр.

δкр=Nкр/F , теоретическое значение критической нагрузки для абсолютно упругого стержня было определено Эйлером: Nкр =Π×Е×У/ l20 ;

l0- расчётная длина, которая учитывает влияние типа закрепления концов стержня на устойчивость.

Вообще критическая сила – это максимальная сила способная удержать стержень в искривлённом состоянии при котором может быть раздвоение оси стержня (1 критическая сила).

; ; следовательно , при λ>70.

то для древесины будет равно А=3000, для фанеры А=2500,

при λ>70

Формула Эйлера справедлива только в тех случаях, когда стержень теряет устойчивость при напряжении ≤ пределу пропорциональности, когда модуль упругости постоянен. Е=const и придел материала так же постоянен.

Если построить кривую Эйлера, то будет видно, что при малых гибкостях, когда критическое напряжение превышает предел пропорциональности, коэффициент продольного изгиба получается больше 1, чего по существу быть не может. Поэтому

при λ≤70 то

Эта формула получена опытным путём, соответствует работе стержня за пределом пропорциональности, когда меняется модуль упругости (Е≠const), а=0,8 – для древесины, а=1 – для фанеры.

Если l0/h≤7, то φ≈1,

Гибкость зависит от радиуса инерции сечения ; , для прямоугольного сечения

для круглого сечения ;

Гибкость λ сжатых элементов ограничивается с тем, чтобы они получились недопустимо неустойчивыми и недостаточно надёжными. Поэтому гибкость элемента ограничивают, например:

-отдельные стойки, верхние пояса ферм, опорные раскосы ферм λ≤[λ]=120

-прочие сжатые элементы основных несущих конструкций λ≤150

-сжатые элементы связей λ≤200

Как уже отмечалось, на работу древесины при растяжении существенно влияет наличие естественных пороков древесины (сучки, косослой и др.), поэтому для растянутых элементов рекомендуется применять древесину 1-го и 2-го сортов.

Расчет прочности центрально-растянутых деревянных элементов выполняется по формуле (5.1, в) (здесь и далее в расчетах центрально-растянутых деревянных элементов сохранены обозначения, принятые в СНиП 11-25-80):

где N — расчетная продольная сила; Fm — площадь поперечного сечения элемента нетто; Rp — расчетное сопротивление древесины растяжению вдоль волокон (принимается с коэффициентами условия работы тг значения которых определяются в соответствии с указаниями п. 3.2 СНиП И-25-80; так, при наличии ослаблений в расчетном сечении растянутых элементов следует учитывать коэффициент условия работы т0 = 0,8).

При определении площади нетто в растянутых деревянных конструкциях принимается во внимание, что при их разрушении линия разрыва может проходить через ослабления, расположенные не в одной плоскости. Поэтому ослабления, расположенные на длине 200 мм, суммируются (рис. 6.2).

Рис. 6.2. К определению площади нетто:

FHT — площадь сечения элемента нетто; Рослабл — площадь ослаблений

Нормы ограничивают гибкость центрально-растянутых деревянных элементов и отдельных ветвей. Предельные гибкости принимаются в соответствии с табл. 14СНиП П-25-80. Так, например, для растянутых элементов ферм в вертикальной плоскости предельная гибкость А,тах = 150, для прочих растянутых элементов ферм и других сквозных конструкций А,тах = 200.

Проверка гибкости выполняется по формуле (5.3, в):

где /0 — расчетная длина элемента; г — радиус инерции сечения; ^шах — предельная гибкость.

Порядок расчета центрально-растянутого деревянного элемента (тип 1)

• 1. Принимают древесину и ее сорт; определяют расчетное сопротивление растяжению вдоль волокон (для древесины сосны, ели) Rp (табл. 2.4); в случае если элемент выполнен из древесины других пород, расчетное сопротивление умножают на переходной коэффициент тп (табл. 2.5).
• 2. Определяют коэффициенты условия работы в соответствии с указаниями п. 3.2 СНиП И-25-80 (так, при наличии отверстий, врезок следует учитывать коэффициент условия работы т0 = 0,8).
• 3. Определяют требуемую площадь сечения нетто FTTpe6:

• • если элемент не имеет ослаблений (отверстий, врезок), площади сечения брутто и нетто равны, F- Fm;
• • если в элементе имеются ослабления, необходимо требуемую площадь сечения определять как сумму требуемой площади нетто и площади ослабления (величину ослабления назначают, предварительно задавшись толщиной элемента, впоследствии возможна корректировка принятых размеров).
• 4. По требуемой площади подбирают сечение элемента и определяют фактические значения площадей брутто, нетто, значения радиусов инерции сечения.
• 5. Выполняют проверку подобранного сечения:
  • • проверяют гибкость: X = — ?1макс;

г

N

• проверяют прочность: о = — ILm .

F у

1 нт

Задача 2-го типа — проверка прочности центрально-растянутого элемента является частью задачи 1-го типа (выполнение п. 5 порядка расчета).

Примеры расчета центрально-растянутых элементов

Пример 6.1. Подобрать сечение стальной подвески, выполненной из листовой стали (рис. 6.3). Подвеска центрально-растянута силой N= 200 кН; уп= 1,0.

Решение

1. Принимаем сталь С 245; устанавливаем расчетное сопротивление стали по пределу текучести Ry = 240 МПа = 24 кН/см2 (табл. 2.2).

Рис. 6.3. К примеру 6.1

• 2. Устанавливаем величину коэффициента условия работы: ус = = 0,9 (табл. 2.3).
• 3. Определяем требуемую площадь сечения нетто Ап:

4. Принимаем толщину листа, из которого выполняется подвеска, и определяем площадь ослабления:

5. Определяем требуемую площадь сечения с учетом площади, занятой ослаблением:

6. Определяем требуемую ширину подвески и назначаем ее сечение:

принимаем сечение подвески 8 х 160 мм.

7. Проверяем прочность; для этого предварительно определяем фактическое значение площади сечения нетто:

прочность сечения обеспечена; нормами гибкость подвески не ограничивается (см. табл. 20 СНиП 11-23-81*).

Вывод. Принимаем сечение подвески 8 х 160 мм из стали С245.

Рис. Б.4. К примеру 6.2. Крепление затяжки к поясу фермы

Пример 6.2. Проверить прочность и гибкость центрально-растянутой деревянной затяжки треугольной безраскосной фермы, выполненной из доски сечением 50 х 125 мм, которая прикреплена к верхнему поясу стропильной фермы болтом d = 12 мм и четырьмя гвоздями d= 5 мм, /=150 мм (рис. 6.4). Древесина — сосна, сорт 1. Усилие в затяжке N= 34,0 кН; уп = 0,95. Расчетная длина /0 = 2,5 м. Условия эксплуатации фермы Б2.

Решение

1. Находим усилие в затяжке с учетом коэффициента надежности по ответственности уп:

2. Определяем расчетное сопротивление древесины растяжению вдоль волокон:

3. Определяем коэффициенты условий работы:

4. Находим площадь сечения нетто:

5. Проверяем прочность затяжки:

прочность обеспечена.

6. Определяем радиусы инерции затяжки (табл. 5.2):

/

7. В соответствии с табл. 14 СНиП П-25-80 для прочих растянутых элементов ферм (к которым относится затяжка) предельная гибкость А,тах = 200. Проверяем гибкость затяжки:

Вывод. Прочность и гибкость затяжки отвечают требованиям норм.

Задачи для самостоятельной работы

Задача 6.1. Проверить прочность и гибкость стального центрально-растянутого стержня круглого сечения (рис. 6.5). Растягивающая сила N= 30 кН, уп = 0,9. Сталь С345; ус = 0,95. Расчетная длина стержня lef = 1000 мм. Предельная гибкость А,пред = 400.

Рис. 6.5. К задаче 6.1

Задача 6.2. Подобрать сечение центрально-растянутого нижнего пояса деревянной фермы. Материал: брус, сосна, сорт 2. Условия эксплуатации Б2 (тв = 1,0). В нижнем поясе имеется ослабление за счет врезки (т0 = 0,8) глубиной Авр = 4 см (рис. 6.6). На нижний пояс действует растягивающая сила 7V= 200 кН; уп = 0,95. Расчетная длина /0 = 3,0 м. СНиП Н-25-80 ограничивает предельную гибкость растянутых поясов в вертикальной плоскости А,тах = 150.

Рис. 6.6. К задаче 6.2