Расчет цилиндра на растяжение
В тонкостенных цилиндрических резервуарах, подвергнутых внутреннему давлению, вполне возможно при вычислениях считать напряжения равномерно распределенными по толщине стенки. Это допущение мало отзывается на точности расчета.
В цилиндрах, у которых толщина стенок не мала по сравнению с радиусом, подобное предположение повело бы к большим погрешностям. Расчет таких цилиндров дан Ляме и Гадолиным в 1852 1854 гг. Работы русского академика А. В. Гадолина в области расчета кривых стержней в применении к расчету прочности артиллерийских орудий создали ему мировую известность. Отечественные артиллерийские заводы (и многие зарубежные) до сих пор проектируют и изготовляют орудия, пользуясь исследованиями Гадолина.
На Рис.1 изображено поперечное сечение толстостенного цилиндра с наружным радиусом , внутренним ; цилиндр подвергнут наружному и внутреннему давлению .
Рис.1. Расчетная схема толстостенного цилиндра.
Рассмотрим очень узкое кольцо материала радиусом внутри стенки цилиндра. Толщину кольца обозначим . Пусть АВ изображает небольшую часть этого кольца, соответствующую центральному углу .
Размер выделенного элемента, перпендикулярный к плоскости чертежа, возьмем равным единице. Пусть и будут напряжения, действующие по внутренней и наружной поверхностям элемента АВ, a напряжения по его боковым граням. По симметрии сечения цилиндра и действующей нагрузки элемент АВ перекашиваться не будет, и касательные напряжения по его граням будут отсутствовать. По граням элемента AB, совпадающим с плоскостью чертежа, будет действовать третье главное напряжение , вызванное давлением на днище цилиндра. Это напряжение можно считать постоянным по всем точкам поперечного сечения цилиндра.
На элемент AB действуют в плоскости чертежа две силы coставляющие между собой угол , и радиальная сила, равная
Эта сила направлена в сторону наружной поверхности. Уравновешиваясь, эти три силы составляют замкнутый треугольник abc (Рис.2).
Рис.2. Условия равновесия элемента кольца
Из него следует, что радиальная сила, изображаемая отрезком ab, связана с силой (отрезок са) соотношением
или
;
пренебрегая малыми высшего порядка, получаем:
;
отсюда
(1) |
Условие равновесия дало только одно уравнение для нахождения двух неизвестных напряжений. Задача статически неопределима, и необходимо обратиться к рассмотрению деформаций. Деформация цилиндра будет заключаться в его удлинении и в радиальном, перемещении всех точек его поперечных сечений. Назовем радиальное перемещение точек внутренней поверхности рассматриваемого элемента через u (Рис.3). Точки наружной поверхности переместятся по радиусу на другую величину ; таким образом, толщина dr выделенного элемента увеличится на du, и относительное удлинение материала в радиальном направлении будет
Рис.3. Геометрическая модель деформации элемента кольца
В направлении напряжений относительное удлинение будет равно относительному удлинению дуги ab, занявшей положение cd; так как относительное удлинение дуги таково же, как относительное удлинение радиуса r, то . По закону Гука
(2) |
Так как и определяются одной и той же функцией и то они связаны условием совместности. Дифференцируем по r:
(3) |
Это и будет условие совместности деформаций; заменяя в нем значения и по (2), получим второе уравнение, связывающее и :
или
(4) |
Подставляя в это уравнение значение разности из (32.1), находим:
или
(5) |
Для совместного решения уравнений (1) и (5) продифференцируем первое по и подставим в него значение из второго; получим:
отсюда дифференциальное уравнение задачи:
(6) |
Интеграл этого уравнения будет
(7) |
что можно проверить подстановкой.
Постоянные А и В определятся из условий на внутренней и наружной поверхностях цилиндра:
(8) |
Знак минус в правых частях этих формул поставлен потому, что положительными мы приняли растягивающие напряжения (Рис.1).
Из условий (8) получаем:
Пользуясь этими значениями и уравнением (7), получаем окончательные формулы для и :
(9) |
Как видно из этих формул, сумма ( не зависит от r, т. е. относительная деформация вдоль оси цилиндра во всех точках сечения одинакова (так как и одинаково), и сечение остается плоским
Представляет очень большой практический интерес случай когда имеет место только одно внутреннее давление ; тогда
(10) |
График, изображающий распределение напряжений по толщине цилиндра в случае , дан на Рис.3. Так как по абсолютной величине продольное растягивающее напряжение обычно значительно меньше и то прочность цилиндра определяется этими последними. Применяя третью теорию прочности (наибольших касательных напряжений), получаем, что наибольшая разность главных напряжений, равная (для случая )
(11) |
Рис.3. Распределение напряжений по толщине цилиндра при
будет иметь место в точках внутренней поверхности цилиндра и всегда будет по абсолютной величине значительно больше внутреннего давления.
Таким образом, остаточные деформации появятся прежде всего у внутренней поверхности цилиндра, когда будет равно пределу текучести материала; борьба с их появлением путем увеличения наружного радиуса практически безнадежна, с увеличением растут и числитель, и знаменатель формулы (11); поэтому разность главных напряжений хотя и убывает, но очень медленно. Однако момент появления пластических деформаций у внутренней поверхности цилиндра далеко не соответствует исчерпанию грузоподъемности конструкции; для правильной оценки прочности цилиндра необходимо перейти к расчету по допускаемым нагрузкам.
Рис.4. Динамика зоны текучести по толщине цилиндра
Полное исчерпание грузоподъемности произойдет тогда, когда кольцевая пластическая зона, распространяясь от внутренней поверхности цилиндра, дойдет до наружной; состояние разрушения наступит тогда, когда материал у наружной поверхности достигнет состояния, при котором произойдет разрыв. На фиг. 544 показано отношение внутреннего давления , при котором пластическая зона охватывает все сечение, к давлению, соответствующему началу пластических деформаций . Оказывается, что действительная грузоподъемность значительно выше получаемой при обычном методе расчета.
Упругая грузоподъемность толстостенных цилиндров может быть поднята путем создания начальных напряжений. Для этого необходимо изготовить цилиндр, составленный из двух цилиндров, вставленных один в другой; наружный диаметр внутреннего цилиндра делается несколько больше внутреннего диаметра наружного цилиндра; после одевания наружного цилиндра в нагретом состоянии на внутренний и его остывания по поверхности соприкасания возникнут реакция, сжимающие внутренний и растягивающие внешний цилиндры. Наличие этих начальных напряжений улучшает работу составного цилиндра при внутреннем давлении, как видно из приведенного ниже расчета.
На Рис.5 изображен составной цилиндр после остывания. Напряжения в тангенциальном направлении будут равны: для наружного цилиндра (растяжение)
для внутреннего цилиндра (сжатие)
Рис.5. модель составного цилиндра после остывания.
Установим, какую разницу в радиусах надо дать, чтобы осуществить желательное начальное усилие ; это начальный наружный радиус внутреннего цилиндра, а начальный внутренний радиус наружного цилиндра.
При остывании наружной трубы происходит выравнивание этих радиусов за счет уменьшения на , и увеличения на ; сумма абсолютных величин этих деформаций должна быть равна :
Относительное тангенциальное удлинение материала на внутренней поверхности наружного цилиндра равно
в эту формулу вместо подставлена величина общего для обоих цилиндров радиуса , так как малая величина и такая замена вводит очень небольшую погрешность. Относительное увеличение радиуса будет тоже ; поэтому
Относительное тангенциальное сжатие материала на наружной поверхности внутренней трубы равно:
укорочение радиуса будет равно:
Сумма абсолютных величин и равна по предыдущему
Таким образом, чтобы обеспечить наличие = принятого нами начального усилия необходимо дать разницу диаметров , равную
Минимальная температура , до которой надо нагреть наружный цилиндр при надевании его на внутренний, определяется уравнением
(при наших числовых данных : ).
Напряжения в сферических толстостенных сосудах.
На фиг. 547 изображен элемент, вырезанный из толщи стенки толстостенного сферического сосуда; внутренний радиус этого элемента равен r, а наружный ; напряжения, действующие на этот элемент, изображены на чертеже.
Рис.6. фрагмент сферического толстостенного сосуда.
Составляя уравнения равновесия и совместности, получаем для и значения:
Постоянные А и В могут быть определены из условий на внутренней и внешней поверхностях сосуда при
и
соответственно, где и наружный и внутренний радиусы.
Так, при действии внешнего и внутреннего давлений А и В определяются из условий:
на внутренней поверхности,
на внешней поверхности
Отсюда
Тогда
Дальше…
Источник
К толстостенным цилиндрам относятся стволы огнестрельных орудий, гидроцилиндры высокого давления, трубы, соединяющие насос и форсунку дизеля, ступицы зубчатых колес, головки шатунов, проушины, внутренние обоймы подшипников и т. п.
Толстостенным называется цилиндр, для которого выполняется соотношение
где И — толщина стенки цилиндра; de — средний диаметр цилиндра.
Расчет таких цилиндров дан Ламе и Гадолиным в 1852— 1854 гг. Работы русского академика А.В. Гадолина в области расчета кривых стержней в применении к расчету прочности артиллерийских орудий создали ему мировую известность. Отечественные артиллерийские заводы (и многие зарубежные) до сих пор проектируют и изготавливают орудия, пользуясь исследованиями Гадолина.
В результате исследования вопроса определения напряжений и деформаций в толстостенном цилиндре получили, что безмоментная теория, справедливая для тонкостенных оболочек, неприменима для толстостенных цилиндров.
На рис. 76 приведен толстостенный цилиндр 1 с внутренним радиусом а и внешним радиусом в, подверженный действию постоянного внутреннегора и внешнего рь давлений.
В окрестностях точки К стенки цилиндра (рис. 76, а, 6) выделим элемент двумя осевыми, двумя поперечными и двумя цилиндрическими сечениями (рис. 76, в). Приведя рассуждения, аналогичные тем, что приводились при рассмотрении элемента тонкостенной оболочки, можно доказать, что грани выделенного нами элемента толстостенного цилиндра являются главными, на них действуют только нормальные напряжения: а, — окружное (тангенциальное) напряжение; о, — радиальное напряжение, действующее вдоль радиуса, и о2- осевое напряжение.
Рис. 76. Определение напряжений в толстостенном цилиндре: а) расчетная схема толстостенного цилиндра; б) действующая на цилиндр нагрузка; в) выделенный элемент
Для определения напряжений в точках цилиндрической поверхности радиуса г используют формулы Ламе:
Формулу (104) используют как для открытых, так и закрытых, т. е. имеющих днища 2 (см. рис. 76), цилиндров. В них индексу t соответствует знак «плюс», а индексу г — знак «минус». Из формулы (104) следует, что с изменением г напряжения су, и изменяются по гиперболическому закону.
Формула (105) используется только для закрытых цилиндров, так как аг = 0. Напряжение г распределено равномерно, как по оси, так и по радиусу цилиндра. Это допущение справедливо для поперечных сечений, удаленных от днищ на расстояние, большее пяти толщин стенки цилиндра.
Определив напряжения ег„ о> и ег, по формулам (104) и (105) и обозначив большее из них через сг,, среднее — через oj, а меньшее — через сг3, можно найти ofe, соответствующее различным теориям прочности, а по нему проверить прочность цилиндра, используя условие прочности
Рассмотрим частные случаи
1. Цилиндр нагружен внутренним давлением р (рис. 77, а). В этом случае ра = р,рь- 0, тогда
Рис. 77. Распределение напряжений по толщине цилиндра: а) при действии внутреннего давления;
6) при действии внешнего давления
Эпюры изменения напряжений по толщине цилиндра приведены на рис. 77, а. У внутренней поверхности (г = а) окружное напряжение достигает наибольшего значения:
Эквивалентное напряжение и соответственно условие прочности для опасной точки по третьей теории прочности можно записать:
2. Цилиндр нагружен внешним давлением р (рис. 77, б). В этом случае рь — ра~ 0.
Эпюры изменения напряжений по толщине цилиндра приведены на рис. 77, 6.
Согласно формуле Ламе
Эквивалентное напряжение и соответственно условие прочности для опасной точки запишем следующим образом:
Пример 24. Стальной трубопровод находится под внутренним давлением. Определить необходимую толщину стенки трубопровода, если внутренний диаметр равен 4 мм, р = 25 МПа, [а] = 120 МПа (рис. 78, а).
Рис. 78. К расчету стального трубопровода: а) распределение напряжений по толщине цилиндра; б) напряженное состояние опасной точки А
Анализ
1. Опасная точка А расположена на внутренней поверхности цилиндра:
2. Напряженное состояние опасной точки А — плоское (рис. 78, б).
3. Необходимая толщина стенки трубопровода находится из условия прочности
Решение
1. Приняв г = а из формулы (107), получаем:
2. Таким образом: а = а„ 2 = 0, 3 = а,.
„ Р(Ь2+а2) 2 РЬ2
3. 3=———-+/>=——т-
b -а b -а
4. Необходимая толщина стенки трубопровода:
- 1. Какая оболочечная конструкция считается тонкостенной и какая толстостенной?
- 2. Почему теорию расчета тонкостенной оболочки называют безмоментной?
- 3. Какие напряжения называются меридианальными и какие — окружными?
- 4. Какие уравнения используют для определения меридиа- нальных и окружных напряжений?
- 5. Где находятся опасные точки в сечении толстостенного цилиндра, находящегося под действием внутреннего давления?
- 6. Где находятся опасные точки в сечении толстостенного цилиндра, находящегося под действием внешнего давления?
Источник
Расчет толстостенных цилиндров
Многие ответственные элементы технических устройств могут рассматриваться как полые цилиндры, работающие при действии внутреннего или внешнего давления (толстостенные трубы, цилиндрические сосуды высокого давления, валы и втулки при наличии прессовых посадок и т.д.). Цилиндр следует считать толстостенным, если средний радиус цилиндра составляет менее 5—10 толщин его стенки. Цилиндр, удовлетворяющий такому условию, принято называть толстостенным, в отличие от тонкостенного цилиндра, называемого также цилиндрической оболочкой. Здесь, как и в ряде других случаев анализа конструкций, граница между понятиями «толстостенный» и «тонкостенный» носит размытый, приближенный характер и определяется субъективно в зависимости от точности, предъявляемой к результатам расчета.
Задачу расчета толстостенных цилиндров называют задачей Ламе{ но имени французского ученого, впервые решившего эту задачу.
Рассмотрим толстостенный круговой цилиндр при осесимметричном и постоянном но длине нагружении при постоянной температуре (рис. 12.1).
Внутренний радиус равен г,, наружный — г2. Длина цилиндра / существенно больше его радиусов. Цилиндр подвержен действию внутреннего давления р{9 наружного давления р2 и растягивается вдоль оси постоянной силой F.
Рис. 12.1. Толстостенный цилиндр, нагруженный давлением
1 Габриель Ламе (Gabriel Lame, 1795—1870) — французский математик, механик, физик и инженер. Известен своими трудами по математической физике и теории упругости.
При расчетах сделаем допущение, что поперечные сечения цилиндра остаются плоскими, а искажения, которые могут возникнуть возле торцов цилиндра, занимают по принципу Сен-Венана небольшие области, и ими в рассматриваемой модели можно пренебречь. Вследствие осевой симметрии цилиндра и нагрузок напряжения и деформации также симметричны относительно его оси.
Выделим элемент цилиндра двумя поперечными сечениями, отстоящими друг от друга на расстояние dz, двумя цилиндрическими поверхностями радиусов г и г + dr и, наконец, двумя меридиональными плоскостями, составляющими угол «Лр (рис. 12.2).
Рис. 12.2. К выводу соотношений для расчета толстостенного цилиндра
По граням элемента действуют радиальное а,, окружное а, и осевое «^напряжения (рис. 12.2, а). В силу осевой симметрии п постоянства нагрузки вдоль оси эти напряжения будут главными, т.е. касательные напряжения в указанных гранях отсутствуют. Для определения деформации в радиальном направлении рассмотрим отрезок АВ длиной dr. В деформированном состоянии длина отрезка изменится на величину du (рис. 12.2, б). Величина деформации в радиальном направлении будет равна
Для определения деформации в окружном направлении рассмотрим изменение длины дуги АС. Тогда
Формулы (12.1) и (12.2) выражают деформации в полярной системе координат (г, ф) при осесимметричном нагружении. Выражение для осевой деформации е2 имеет такой же вид, как и при одноосном растяжении-сжатии:
где w — перемещение в направлении оси z. Поскольку поперечное сечение и нагрузка постоянны по длине трубы, величина осевой деформации также является постоянной величиной.
Исключив из равенств (12.1) и (12.2) перемещение и, получим уравнение совместности деформаций
Уравнения равновесия элемента цилиндра. На рис. 12.3 представлены элемент цилиндра и действующие на него усилия. По граням элемента приложены напряжения сг,, а, и ст2, зависящие от радиуса г. По координатам ср и 2 эти напряжения постоянны. Окружное напряжение а, одинаково на двух противоположных гранях, составляющих угол ййр, так как оно не зависит от угла (р. Постоянным на гранях элемента оказывается и напряжение стг, так как напряжения не изменяются по координате г. Различными по величине могут быть только радиальные напряжения.
Рис. 12.3. Элемент цилиндра и действующие на него усилия
Рассмотрим уравнение равновесия сил в радиальном направлении. На рис. 12.3, б показана проекция элемента на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра z. Проецируя все силы на ось г, проходящую через центр тяжести элемента, пренебрегая величинами высшего порядка малости и учитывая приближенное равенство
получаем
После несложных преобразований получаем дифференциальное уравнение равновесия для бесконечно малого элемента цилиндра
Отметим, что два других уравнения равновесия, а именно уравнения проекций сил на направление, перпендикулярное г, и на ось 2, выполняются тождественно в силу условий симметрии задачи.
Физические соотношения. В случае изотропного линейно-упругого материала, подчиняющегося закону Гука, справедливы соотношения упругости. Дополним систему уравнений (12.4) и (12.5) физическими уравнениями (10.38):
Напряжение а, может быть вычислено независимо из условий равновесия на ось z:
Перепишем уравнение (12.4), используя выражения для деформаций (12.6):
Складывая правые и левые части уравнений (12.5) и (12.8), получим
Производя интегрирование, приходим к выводу о постоянстве суммы радиального и окружного напряжений:
Здесь 2С, — константа интегрирования.
Исключая су, и подставляя полученный результат в уравнение (12.8), получаем
Полученное уравнение удобно представить в следующем эквивалентном виде:
После интегрирования получаем выражение для нормального напряжения в радиальном направлении:
Используя этот результат и формулу (12.9), находим выражение для нормального напряжения в окружном направлении:
Соотношения (12.11) и (12.12) удобно записывать в виде единой формулы
где знак «минус» соответствует нормальному радиальному напряжению, а знак «плюс» — нормальному окружному напряжению.
Радиальное перемещение произвольной точки цилиндра можно определить, используя соотношение (12.2):
или с учетом формулы (12.13)
Содержащиеся в формулах (12.9)—(12.16) постоянные интегрирования С, и С., определяются из граничных условий.
Для рассматриваемого случая (см. рис. 12.1) граничные условия запишутся в следующем виде: 1) при г = г, а,= -р{ 2) при г = г2 а,.= -р2.
Подставляя граничные условия в выражение (12.13), получаем систему уравнений
решая которую, находим
После подстановки постоянных в формулу (12.13) получаем
Выражение для радиального перемещения (12.15) получает вид
Формулы (12.18) и (12.19) известны как формулы Ламе.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся случаи нагружения толстостенных цилиндров.
Источник