Расчет балки при изгибе и растяжении

• Расчет балки на изгиб
• Прочность и жесткость балки при изгибе и построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил
• Задачи на изгиб с решением и построением эпюр
• Последовательность расчета балки на изгиб
• Метод сечений при построении эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.

Такие вопросы мы сегодня рассмотрим на этой страничке. Здесь есть видео урок на эту тему и описание к ней. Итак, поехали!

Гипотезы и определения при изгибе

Прежде всего начнем с определений:

Что такое балка? Балка — это стержень, длина которого значительно больше чем ширина и высота. При этом он испытывает деформацию изгиба.

балка — длина значительно больше ширины и высоты

правило знаков при изгибе

На рисунке выше изображена схема для вывода формулы напряжений и демонстрация напряжений, которые возникают при чистом изгибе. Этот термин придется изложить в другой статье. А пока продолжим.

Эпюра — это график изменения величины, для которой он построен. Так эпюра изгибающего момента — это график изменения внутреннего усилия — изгибающего момента по длине балки. Используя этот график, построенный в масштабе, можно с помощь простых операций определить значение изгибающего момента в любой точке по длине балки. Эпюра поперечной силы — аналогично, график ее изменения внутреннего усилия поперечная сила по длине балки.

Построение эпюр при изгибе

Приступим к построению эпюр при изгибе.

Для простоты, возьмем балку защемленную с одной стороны и свободным краем балки с другой стороны (про виды опор и опорные реакции видео урок, а текст напишу чуть позже). Почему так проще? Потому, что при таком способе закрепления не придется определять опорные реакции. Не будет такой необходимости. Дальше будет понятно почему.

консольная балка при расчете на изгиб

На рисунке изображена одна продольная ось, а поперечное сечение не изображается. Что эта за ось? Это та ось, на которой не будет деформаций (нейтральный слой, выше на рисунке). Для сечений, которые простой формы, типа круг, квадрат, прямоугольник, двутавр или сложных составных форм — эта линия всегда проходит через главные центральные оси (опять же пока видео урок «моменты инерции«, а позже статью напишу). Чтобы построить эпюры достаточно и этого.

для примера расчета балки на изгиб берем консольную балку

Итак, со схемой для расчета определились теперь перейдем непосредственно к самому расчету.

Метод сечений при изгибе

Покажем сечение на балке и дадим к нему некоторые пояснения:

балка, сила на консоли и проведено сечение на расстоянии x

Обычно эта схема рисуется одним цветом, но чтобы в тексте было проще описывать — я разделил на три цвета.

Начало координат оси x берем под силой F. Т.е. под этой силой  x =0. Положительное направление оси здесь удобно брать влево, в сторону где расположена остальная часть балки. Соответственно x изменяется от нуля до полной длины балки. Только в этих пределах балка существует.

Сечение, которое обозначено на схеме «ядовито зеленым цветом» ???? — может перемещаться, т.к. расстояние до него равно x .

Поэтому x сечения может быть в начале координат, а может быть в конце ну и в промежутке тоже. Нам нужно это понимать, чтобы зависимость для внутренних усилий построить с учетом этого перемещения. Не для конкретного положения сечения, а для любого положения по всей длине балки.

Отсеченную часть рассмотрим отдельно. Запишем условия равновесия для нее. В этом и заключается метод сечений — отсечь, посмотреть на внутренние усилия и найти их из условий равновесия.

сечение балки без внутренних усилий

На рисунке мы видим отсеченную часть. При этом сам x меняется слева на право от нуля до l.

0 ≤ x ≤ l

При таком приложении нагрузки, если других сил на эту часть, кроме силы F, действовать не будет — то этот кусочек балки будет падать вниз, при этом вращаться и перемещаться поступательно. Т.е. совершать плоскопараллельное движение.

плоскопараллельное перемещение сечения балки, при отсутствии внутренних усилий

Логично предположить, что в реальной конструкции, по сравнению с отсеченной частью что-то эту часть балки «держит», не позволяет «падать». Это и есть силы взаимодействия на межатомном уровне и если их интегрально представлять — внутренние усилия. Значит одно должно удерживать поступательное перемещение вниз, а второе должно удерживать вращательное движение. Поступательное движение вызывает, а значит и может «остановить» — сила, а вращательное — момент. Вот эти усилия нас и интересуют. Внутренние усилия изгибающий момент M(x) и поперечная сила Q(x).

Изобразим их в нашем сечении:

Внутренние усилия на отсеченной части балки

Направление внутренних усилий на рисунке выбрано в соответствии с правилом знаков.

Правило знаков для внутренних усилий при изгибе

правило знаков изгибающих моментов и поперечных сил для построения эпюр

А теперь нарисуем, что получилось, немного упростив

правило знаков для изгибающего момента: положительный изгибающего момент — растянутые волокна снизу

Неправда ли, похож на улыбающийся смайлик — это правило знаков для положительного направления изгибающего момента для расчета балки на изгиб. Т.е. любое усилие, вызывающее изгиб балки таким образом, что балка изгибается выпуклостью вниз (веселый смайлик), т.е. растянутые волокна находятся внизу — это будет положительный момент.

Если же смайлик, под действием внешних сил, окажется грустным, как здесь, ниже:

правило знаков для момента: отрицательный изгибающий момент — растянутые волокна сверху

Такие внешние усилия вызывают деформацию изгиба так, что растянутые волокна вверху — это будут изгибающие моменты со знаком минус.

Но пойдем дальше. Ведь наша цель расчет на прочность балки, а не правило знаков при изгибе.

Нами было получено сечение, в котором действуют как внешние, так и внутренние усилия, которые определяют прочность.

Запись аналитических выражений для эпюр внутренних усилий Q(x) и M(x)

Осталось записать внутренние усилия в виде зависимости изгибающего момента М(x) и поперечной силы Q(x). Рисунок, на котором видны эти внутренние усилия мы уже приводили:

Q(x) и M(x) слева от сечения, это внутренние усилия

Для определения поперечной силы будем использовать сумму проекций на вертикальную ось, а для определения момента возьмем момент относительно точки С.

Так будем всегда поступать при определении изгибающего момента при расчете балки на изгиб. Таким образом мы исключим из этого уравнения момент от Q(x). Связано это с тем, что плечо от Q(x) до точки C равно нулю, потому и момент будет ноль от этой силы.

расположение осей, точек сечения и плечей момента при определении внутренних усилий при изгибе

сумма проекций на вертикальную ось:

0 ≤ x ≤ l

Σ Oy: Q(x) — F = 0; ⇒ Q(x) = F;

сумма моментов относительно точки С:

Σ МС: -F · x — M(x) = 0; ⇒ M(x) = -F · x ;

Как видно из окончательных выражений мы получили уравнения для двух прямых линий.

Так как координат x в уравнение поперечной силы вообще не входит — то это уравнение прямой линии параллельной оси x . Т.е. при любом x поперечная сила равна F.

Так как в уравнении моментов координата x входит в первой степени — то это уравнение прямой линии наклоненной к оси x под углом.

Потому первая линия в школе записывалась в виде уравнения:

y = a

А вторая записывалась:

y = k x

На графике же это выглядит так:

график для прямых линий с уравнениями y = a и y = k x

Таким образом для построения прямых линий достаточно найти на координатных осях две точки и провести прямые линии под линейку. При построении эпюр моментов и поперечных сил принято брать крайние точки, т.е. точки начала и конца участка этих линий.

Поэтому подставляем из пределов существования 0 ≤ x ≤ l сначала 0, а затем l .

Q(x=0) = F; ⇒ Q(x= l ) = F;

M(x = 0) = -F · 0 = 0 ; ⇒ M(x = l ) = -F · l ;

Построение эпюр изгибающего момента и поперечной силы при изгибе

Полученные значения изгибающего момента и поперечной силы в двух сечениях (при положении x=0 и x=l) откладываем соответствующие ординаты, т.е. буквально строим графики обеих функций.

Что мы видим из построенных эпюр, какие выводы мы можем сделать:

• из эпюры поперечной силы видно, что она не меняется по всей длине и равна внешней силе F
• так как в начале координат x (т.е. справа) мы видим на эпюре «скачок» на величину этой силы, то в конце, в заделке скачок говорит о том, что реакция в заделке равна силе F
• на эпюре моментов график выходит из нуля координаты x (справа на балке) и момент тоже равен нулю
• по мере удаления сечения от силы влево момент растет и достигает своей наибольшей величины в заделке, где наблюдается такой же скачок как и на эпюре поперечной силы и равен (- F x). Это говорит о том, что момент в заделке равен именно этому значению

Что такое «скачок» на эпюре

Когда график начинается не из нуля или не из значения полученного на предыдущем участке, а имеет в одном и том же сечении x два разных значения — такой разрыв функции называется скачок. Т.е. если рассматривать график бесконечно близко слева и бесконечно близко справа мы получаем два разных значения как поперечной силы, так и момента. И этот скачок для поперечной силы должен равняться приложенной сосредоточенной силе, а для момента приложенному сосредоточенному моменту.

Вот и все секреты построения эпюр для моментов и поперечных сил. Конечно дальше немного усложняется сам процесс, но принцип остается тот же.