Работа при растяжении пружины

• Авторы
• Резюме
• Файлы

Показано, что работа растяжения пружины A>kxm2 , где k — жесткость пружины, xm — максимальное растяжение. При вычислении работы  надо использовать значения x и dx, полученные из решения уравнения движения.

It is shown, that work of a stretching of a spring A>kxm2  , where k — rigidity of a spring, xm — the maximal stretching. At calculation of work  it is necessary to use values x and dx, the equations of movement received from the decision.

Рассмотрим спиральную пружину, один конец которой закреплен (рис. 1а), а к другому прикреплен груз массой m. Если пружину растянуть или сжать, то возникает сила F, стремящаяся вернуть тело в положение равновесия. При небольших растяжениях x справедлив закон Гука — сила пропорциональна растяжению пружины: F = -kx. Постоянная k называется коэффициентом упругости, или жесткостью пружины. Знак минус означает, что сила F направлена в сторону, противоположную смещению x, т.е. к положению равновесия x = 0. Геометрически (рис. 1b) , k = tgβ, xm — максимальное (амплитудное) растяжение пружины.

В курсах физики утверждается, что работа при растяжении от x = 0 до xm будет равна

                  (1)

и эта работа равна потенциальной энергии пружины, растянутой (или сжатой) на величину xm и обладающей жесткостью k. Однако это одно из заблуждений классической механики. Растягивающей силой, равной F = kx, нельзя растянуть пружину даже на долю микрона. Чтобы растянуть пружину, надо приложить растягивающую силу в виде (F1 + k1x ), где F1 >0 (рис. 2а). Уравнение движения (II закон Ньютона) запишем в следующем виде:

                       (2)

Решение при нулевых начальных условиях (при t = 0, x =0 и V =0) имеет вид

Из решения следует, что если F1 =0, то растяжения пружины не происходит. Амплитудные значения (при x = xm):

Работу вычисляем по формуле , где F = F1 — (k — k1)x, а x и dx определяются из выражений (3) и (4). Работа, совершаемая растягивающей силой

      (5)

Работа, совершаемая силой упругости пружины

            (6)

Из соотношения (5) следует, что работа, совершаемая растягивающей силой, не зависит от величин F1 и k1 и равна работе

          (5а)

совершаемой постоянной силой F0, при этом работа, совершаемая силой упругости пружины A-0 = -kxm2 разность работ ΔA0 = kxm2 / 2 , конечная скорость при  x = xm На рис. 3 даны графики зависимостей Vm / V0 и ΔA = kxm2 от величины отношения K1 / K. ΔA — кинетическая энергия груза.

Рассмотрим случай растягивающей силы FP > F0 (рис.2b) FP = F2 + k2x  = F2 — b2x , где b2 = -k2 = tgα. Дифференциальное уравнение движения имеет вид:

                    (7)

Его решение при нулевых начальных условиях имеет вид:

 ;                 (8)

            (9)

Амплитудные значения (при x = xm): xm = F2 / mω2; ; .

Работа, совершаемая растягивающей силой

            (10)

Работа, совершаемая силой упругости пружины

                  (11)

Кинетическая энергия груза при x = xm

                 (12)

На рис. 4 даны графики изменения безразмерных комплексов ΔA / kxm2 и Vm / V0 в зависимости от величины отношения k2 / k.

Рассмотрим третий способ растяжения пружины с грузом (рис. 2с). Прикладываем растягивающую силу Fa >>F0  для растяжения пружины на некоторое расстояние xa, затем сила Fa отключается, а оставшийся отрезок пути, равный xm — xa, груз проходит по инерции, используя запас кинетической энергии Ka, приобретенный в точке xa. Для первого участка пути дифференциальное уравнение имеет вид

             (13)

Его решение при нулевых начальных условиях:

;                 (14)

                    (15)

Время движения до x = xa

               (16)

Работу вычисляем по формуле , где F(x) = Fa — kx, а x и dx определяются выражениями (14) и (15). Работа растяжения на участке до x = x0

                                     (17)

Работа, совершаемая силой упругости пружины на этом же участке

            (18)

Кинетическая энергия, приобретенная грузом:

              (19)

Для второго участка уравнение движения имеет вид

                (20)

Начальные условия для этого уравнения примем в виде: при t = 0 координата x = xa, скорость Va определяется выражением (15) при t = ta. Решение будет иметь вид:

                   (21)

           (21a)

Работа силы упругости пружины на участке от x = xa до xm определится интегралом , где x и dx определяются выражениями (21) и (21а):

        (22)

где tm ─ время движения груза от x=xa до x = xm. Условием достижения этой точки является равенство начальной кинетической энергии Ka работе силы упругости пружины A2. Это равенство сводится к трансцендентному уравнению

             (23)

где a = kxa2 / 2; b = Ka — a; c = kxaVa / 2ω; φ = ωtm.

Приведем численный пример. Груз массой m = 1 кг, прикрепленный к пружине с жесткостью k = 400 Н/м, растягивается силой F0 = 80 Н на расстояние xm = 0,2. Работа силы растяжения  Дж, работа силы упругости пружины  Дж, время t = 0,0785 с.

Проведем растяжение силой Fa по схеме, показанной на рис. 2с. Расчет сведем в таблицу 1.

Таблица 1.

Таким образом, только в случае растяжения пружины с грузом по схеме, показанной на рис.2с, можно затратить работу на растяжение A+, близкую к потенциальной энергии растянутой пружины П = kxm2 / 2.

Библиографическая ссылка

Иванов Е.М. РАБОТА ДЕФОРМАЦИИ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА // Современные наукоемкие технологии. – 2007. – № 3. – С. 15-19;
URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=24676 (дата обращения: 16.07.2020).

Источник

Источник

Источник