Проверить прочность стержня на растяжение
Содержание
| Задача № 1 Проверка прочности ступенчатого стержня при деформации растяжение и сжатие.……………………………………………………………………3 |
| Задача № 2 Расчет оптимального сечения ступенчатого стержня при деформации растяжение и сжатие……………………………………………..8 |
| Задача № 3 Расчет статически определимой стержневой системы, работающей на растяжение и сжатие………………………………………….12 |
| Задача № 4 Расчет вала на прочность и жесткость……………………………15 |
| Задача № 5 Расчет балки на прочность при плоском изгибе…………………20 |
| Задача №6 Расчет балки на прочность при плоском изгибе…………………23 |
| Задача № 7 Сравнение прочности балок различных сечений……………….27 |
| Задача № 8 Расчет сжатого стержня на устойчивость……………………….29 |
| Список литературы………………………………………………………………33 |
Задача № 2 Расчет оптимального сечения ступенчатого стержня при деформации растяжение и сжатие.
Задание:Определить оптимальный диаметр сечения круглого стержня на каждом участке по условию прочности. Определить продольные деформации, возникающие на каждом участке стержня. Стержень изготовлен из стали:
Е = 2*105 МПа; σТ = 240 МПа. Допускаемый коэффициент запаса статической прочности [n] выбрать самостоятельно ([n]= 1,2…1,8). Весом стержня пренебречь. Схема стержня приведена на рис. 2.
Исходные данные:F1=17 кН; F2=28 кН; F3=7кН; l1=130 см=1,3 м;
l2=140 см=1,4 м; l3=65 см=0,65 м.
Решение:Для определения продольной силы используем метод сечений.
Эпюру продольных сил необходимо строим, руководствуясь правилом: продольная сила в любом сечении стержня равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения на ось стержня. Продольная сила считается положительной, если она соответствует деформации растяжения (направлена от сечения) и отрицательной, если она вызывает сжатие (направлена к сечению).
1.Разобьем стержень на отдельные участки, начиная от свободного конца. Границы участков определяются точками приложения внешних сил. Всего по длине стержня в данной задаче будет три участка. Проведя сечения и отбрасывая левые части стержня, можно определить продольные силы в его поперечных сечениях без вычисления опорных реакций в заделке.
1 участок (сечение 1-1) : NI = -F3 = -7 кН.
на первом участке осуществляется деформация сжатия.
2 участок (сечение 2-2): N2 = -F3 +F2 = -7+28=21 кН.
на втором участке осуществляется деформация растяжения.
3 участок (сечение 3-3) N3 =-F3 +F2+F1 = -7+28+17=38 кН.
на третьем участке осуществляется деформация растяжения.
Таким образом, в заделке действует реакция равная N3 =38кН.
Эпюра продольных сил показана на рис.1. Эпюру продольных сил строим в масштабе = .
2. Допускаемое напряжение вычисляем по формуле: .
Допускаемые напряжения при сжатии и растяжении для пластичного материала, при условии, что коэффициент запаса n=1,8.
=240/1,8=133,3Мпа
3. Требуемая площадь сечения определяется из формулы условия прочности на растяжения.
Þ
Площадь круглого сечения А=
1 участок:
Принимаем d1=0,09м, А1=
2 участок:
Принимаем d2=0,015 м, А2=
3 участок:
Принимаем d1=0,02м, А3=
Удлинения (укорочения) части стержня определяем по формуле ,где – соответственно длина участка, внутреннее усилие, площадь поперечного сечения, Е–модуль упругости материала.
Укорочение 1 участка .
Удлинение 2 участка
Удлинение 3 участка .
В правом конце стержня заделка, перемещение в этом конце отсутствует. Поэтому построение эпюры смещения стержня необходимо строить, начиная с левого конца.
На третьем участке смещение изменяется от нуля до =7,87*10-4 м;
на втором участке: от =7,87*10-4м до
=16,17*10-4 м;
на первом участке: от 16,17*10-4 м
до 7,87*10-4 +8,3*10-4 -3,55*10-4=12,62*10-4 м.
Эпюры смещения строим в масштабе:
= .
Ответ: Полное удлинение стержня составило 12,62*10-4м.
Задача № 3 Расчет статически определимой стержневой системы,
Задача № 4 Расчет вала на прочность и жесткость.
Задание:Определить диаметры ступенчатого вала из условия прочности и жесткости на кручение. Определить угол закручивания вала.
Вал изготовлен из стали: [Θ] = 1,75 *10-2 рад/м, G = 8 *1010 Па
Схема вала приведена на рис. 4.
Исходные данные: а=1,4м; b=0,6м, c=0,6м, М1 =360Н*м; М2 = 400Н*м;
М3 = 400Н*м; М4 = 500Н*м; [t] = 55 Мпа.
Решение.
1. Определение внутренних крутящих моментов по участкам.
Для определения знака крутящего момента примем следующее правило: если смотреть на отсеченную часть бруса со стороны внешней нормали к сечению, то момент сечении будет положителен в том случае, когда сумма внешних скручивавших моментов поворачивает отсеченную часть бруса по часовой стрелке, и отрицателен при повороте части бруса в противоположном направлении.
Неизвестный момент М5 в заделке найдем из уравнения равновесия для всего вала. Условно примем направление момента М5 за отрицательное. Тогда уравнение равновесия принимает вид
-М1 +М2 +М3 -М4-М5 = 0
Из решения этого уравнения получим
М5 =-М1 +М2 +М3 -М4=-360+400+400-500= -60Н*м.
Для построения эпюры крутящих моментов применяем метод сечений к каждому участку вала в отдельности (следует заметить, что построение эпюры крутящих моментов совершенно аналогично построению эпюры продольных сил). Крутящие моменты в сечениях определяются как алгебраические суммы внешних моментов, приложенных по одну сторону от сечения.
Определим крутящие моменты на каждом участке, проведя последовательно
сечения на четырехучастках вала и рассмотрим равновесие соответствующих
оставшихся правых частей.
В сечении 1-1: .
В сечении 2-2: .
В сечении 3-3:
В сечении 4-4:
По полученным данным строим эпюру крутящих моментов, откладывая по вертикальной оси значения моментов. Отрицательные моменты откладываем вниз по осевой линии (рис. 4). Эпюру моментов строим в масштабе = .
2. По найденным значениям крутящих моментов из расчетов на прочность и жесткость в каждом сечении определим диаметры валов.
Расчет на прочность ведется по допускаемому напряжению при кручении
где –крутящий момент, действующий в сечении бруса;
–полярный момент сопротивления для круглого сечения, –диаметр вала. Из формулы выразим диаметр
По формуле определим диаметры для всех сечений.
Сечение 1-1: 0,0359м, принимаем d1=0,036м.
Сечение 2-2: 0,021м, принимаем d2=0,022м.
Сечение 3-3: 0,0303м, принимаем d1=0,032м.
Сечение 4-4: 0,0177м, принимаем d4=0,018м.
3. Расчет на жесткость ведется по допускаемому относительному углу закручиванию , где –полярный момент сопротивления круглого сечения.
В соответствии с формулой определим диаметр вала из условия жесткости
По формуле определим диаметры для всех участков.
Сечение 1-1: 0,0437м, принимаем d1=0,045м.
Сечение 2-2: 0,0292м, принимаем d2=0,03м.
Сечение 3-3: 0,0384м, принимаем d1=0,04м.
Сечение 4-4: 0,0257м, принимаем d4=0,026м.
4. В соответствии с расчетами на прочность и жесткость выбираем наибольшее значение диаметров для каждого участка. В результате получим следующие значения:
5. Абсолютные углы закручивания для каждого участка можно определить по формуле , где – длина участка.
Полярные моменты инерции для каждого сечения
Сечение 1-1: м4;
Сечение 2-2: м4.
Сечение 3-3: м4;
Сечение 4-4: м4.
Далее определим углы закручивания.
= -0,0218 рад – угол поворота сечения В относительно сечения А (или угол закручивания участка АВ).
= -0,0095 рад – угол поворота сечения С относительно сечения В (или угол закручивания участка ВС).
= 0,009 рад – угол поворота сечения D относительно сечения C (или угол закручивания участка CD).
=- 0,0233 рад – угол поворота сечения Е относительно сечения D (или угол закручивания участка DЕ).
Строим эпюру углов закручивания для всего вала (рис. 4). За начало координат выбран крайний левый конец бруса (сечение D). В пределах каждого из участков бруса эпюра линейна, поэтому достаточно знать углы поворота только для граничных сечений участков.
В сечении от Е до D полный угол закручивания вала равен
-0,0233 рад;
В сечении от Е до С полный угол закручивания вала равен
-0,0233+0,009=-0,0143 рад;
В сечении от Е до В полный угол закручивания вала равен
— 0,0233+0,009-0,0095=-0,0238 рад;
В сечении от Е до А полный угол закручивания вала равен
— 0,0233+0,009-0,0095-0,0218=-0,0456рад.
Ординаты этой эпюры дают значения углов поворота соответствующих поперечных сечений вала.
Эпюру углов поворота строим в масштабе
= .
Ответ: и полный угол закручивания -0,0456 рад.
Список литературы
1. Сопротивление материалов: учебное пособие для вузов/ Н.Н.Вассерман и др. — Пермь: Изд-ва ПНИПУ, 2011 – 364 с.
2. Прикладная механика: Учеб. Для вузов/ В.В.Джамай, Ю.Н.Дроздов, Е.А.Самойлов и др. – М. Дрофа, 2004. – 414 с.
3. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999 – 592 с.
Содержание
| Задача № 1 Проверка прочности ступенчатого стержня при деформации растяжение и сжатие.……………………………………………………………………3 |
| Задача № 2 Расчет оптимального сечения ступенчатого стержня при деформации растяжение и сжатие……………………………………………..8 |
| Задача № 3 Расчет статически определимой стержневой системы, работающей на растяжение и сжатие………………………………………….12 |
| Задача № 4 Расчет вала на прочность и жесткость……………………………15 |
| Задача № 5 Расчет балки на прочность при плоском изгибе…………………20 |
| Задача №6 Расчет балки на прочность при плоском изгибе…………………23 |
| Задача № 7 Сравнение прочности балок различных сечений……………….27 |
| Задача № 8 Расчет сжатого стержня на устойчивость……………………….29 |
| Список литературы………………………………………………………………33 |
Задача № 1 Проверка прочности ступенчатого стержня при деформации растяжение и сжатие.
Задание:Оценить прочность ступенчатого стержня из хрупкого материала. Определить его деформацию. Стержень изготовлен из чугуна: Е = 1,2*105 МПа; σвр= 113 МПа; σвсж= 490 МПа. Допускаемый коэффициент запаса статической прочности [n] выбрать самостоятельно (в данной задаче принимаем [n]= 1,2…1,8). Весом стержня пренебречь.
Схема стержня приведена на рис. 1.
Исходные данные: l1=0,5м; l2=0,2м; l3=0,4м; А=4*10-4м2; А1=А=
=4*10-4м2; А2=3А=12*10-4м2; А3=1,5А=6*10-4м2; F1=30кН; F2=60кН; F3=20кН.
Решение. Разобьем стержень на отдельные участки, начиная от свободного конца. Границы участков определяются точками приложения внешних сил или местами изменения размеров поперечного сечения. Всего по длине стержня в данной задаче будет три участка. Проведя сечения и отбрасывая левые части стержня, можно определить продольные силы в его поперечных сечениях без вычисления опорных реакций в заделке.
Для того, чтобы определить усилие NI, проводим сечения в пределах первого участка. Рассмотрим равновесие оставшейся правой части стержня.
Из уравнения равновесия оставшейся правой части выразим внутреннюю продольную силу NIчерез внешние силы, приложенные к оставленной части
NI =- F1 = -30 кН
Так как положительное направление совпадает с деформацией растяжения, то знак минус означает, что на первом участке осуществляется деформация сжатия.
Аналогично находим внутреннее усилие NII, действующее на втором
участке. Для этого проводим произвольное сечение на втором участке и рассматриваем равновесие оставшейся правой части стержня .
Уравнение равновесия в проекции на ось стержня для второго участка
-F1 + F2 -NII = 0
Решая это уравнение, получим
NII = -F1 -F2 = -30+60 = 30 кН.
на втором участке осуществляется деформация растяжения.
Для того, чтобы определить внутреннее усилие NIII, действующее на третьем участке рассмотрим равновесие оставшейся части стержня.
-F1 +F2 + F3 – NIII = 0.
Решая это уравнение, получим
NIII =-F1 + F2 +F3 = -30+60 +20=50 кН.
Таким образом, в заделке действует реакция равная NIII =50 кН.
на третьем участке осуществляется деформация растяжения.
Эпюра продольных сил показана на рис.1. Эпюру продольных сил строим в масштабе =
Чтобы определить напряжение в поперечных сечениях бруса, нужно разделить числовые значения продольных сил на площади этих сечений.
Для первого участка
.
Допускаемые напряжения при сжатии, при условии, что коэффициент запаса n=1,2
=490/1,2=408 Мпа.
Условие прочности для первого участка выполняется .
Недогруз конструкции на первом участке составил
*100%= = 81,7%, что выше допустимого (10%).
Для сечения 2-2: .
На втором участке деформация растяжения. Допускаемые напряжения при растяжении, при условии, что коэффициент запаса n=1,2
=113/1,2=94,2 Мпа.
Условие прочности для первого участка выполняется .
Недогруз конструкции на втором участке составил
*100%= = 73,4%, что выше допустимого (10%).
Для сечения 3-3: .
На третьем участке деформация растяжения. Допускаемые напряжения при растяжении =94,2 Мпа.
Условие прочности для третьего участка выполняется .
Недогруз конструкции на третьем участке составил
*100%= =11,6 %, что выше допустимого (10%).
Эпюра нормальных напряжений по длине бруса показана на рис. 1.
Эпюры нормальных напряжений строим в масштабе:
= .
укорочение участков бруса определяются по формуле
,
где – соответственно длина участка, внутреннее усилие, площадь поперечного сечения, напряжение в сечении. Е–модуль упругости материала.
укорочение первого участка
.
удлинение второго участка
удлинение третьего участка
.
В левом конце стержня заделка, перемещение в этом конце отсутствует. Поэтому построение эпюры деформации стержня необходимо строить, начиная с левого конца.
На третьем участке деформация изменяется от нуля до =27,78*10-5м;
на втором от =27,78*10-5м
до =31,95*10-5м;
на первом от 31,95*10-5м
до 27,78*10-5 +4,17*10-5-31,25*10-5=0,7*10-5м.
Эпюры смещения строим в масштабе:
= .
Ответ: Полное удлинение бруса составило 0,7*10-5м и прочность стержня по допускаемым напряжениям выполняется.
Источник
Задача. Определить напряжение в стальных стержнях, поддерживающих абсолютно жёсткую балку. Материал — сталь Ст3, α=60°, [σ]=160МПа.
- Схему вычерчиваем в масштабе. Нумеруем стержни.
В шарнирно-неподвижной опоре А возникают реакции RА и НА. В стержнях 1 и 2 возникают усилия N1 и N2. Применим метод сечений. Замкнутым разрезом вырежем среднюю часть системы. Жесткую балку покажем схематично — линией, усилия N1 и N2 направим от сечения.
Составляем уравнения равновесия
Количество неизвестных превышает количество уравнений статики на 1. Значит, система один раз статически неопределима, и для её решения потребуется одно дополнительное уравнение. Чтобы составить дополнительное уравнение, следует рассмотреть схему деформации системы. Шарнирно-неподвижная опора А остается на месте, а стержни деформируются под действием силы.
Схема деформаций
По схеме деформаций составим условие совместности деформаций из рассмотрения подобия треугольников АСС1и АВВ1. Из подобия треугольников АВВ1 и АСС1 запишем соотношение:
, где ВВ1=Δℓ1 (удлинение первого стержня)
Теперь выразим СС1 через деформацию второго стержня. Укрупним фрагмент схемы.
Из рисунка видно, что СС2 = СС1·cos (90º-α)= СС1·sinα.
Но СС2= Δℓ2 , тогда Δℓ2= СС1·sinα, откуда:
Превратим условие совместности деформации (4) в уравнение совместности деформации с помощью формулы Гука для деформаций. При этом обязательно учитываем характер деформаций (укорочение записываем со знаком «-», удлинение со знаком «+»).
Тогда уравнение совместности деформаций будет:
Сокращаем обе части на Е, подставляем числовые значения и выражаем N1 через N2
Подставим соотношение (6) в уравнение (3), откуда найдем:
N1 = 7,12кН (растянут),
N2 =-20,35кН (сжат).
Определим напряжения в стержнях.
Задача решена.
Расчет бруса с зазором. Для статически неопределимого стального ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений, перемещений. Проверить прочность бруса. До нагружения между верхним концом и опорой имел место зазор Δ=0,1 мм. Материал – сталь Ст 3, модуль продольной упругости Е=2·105 МПа, допускаемое напряжение [σ]=160МПа.
- После нагружения зазор закроется и реакции возникнут и в нижней, и в верхней опоре. Покажем их произвольно, это реакции RA и RВ. Составим уравнение статики.
∑у=0 RA — F1 + F2 — RВ=0
В уравнении 2 неизвестных, а уравнение одно, значит задача 1 раз статически неопределима, и для ее решения требуется 1 дополнительное уравнение.
Это уравнение совместности деформаций. В данном случае совместность деформаций участков бруса состоит в том, что изменение длины бруса (удлинение) не может превзойти величины зазора, т.е. Δℓ=Δ, это условие совместности деформации.
- Теперь разобьем брус на участки и проведем на них сечения – их 4 по количеству характерных участков. Каждое сечение рассматриваем отдельно, двигаясь в одном направлении – от нижней опоры вверх. В каждом сечении выражаем силу N через неизвестную реакцию. Направляем N от сечения.
Выпишем отдельно значения продольных сил в сечениях:
N1 = — RА
N2 = 120 — RА
N3 = 120 — RА
N4 = 30- RА
3. Вернемся к составлению условия совместности деформации. Имеем 4 участка, значит
Δℓ1+ Δℓ2+ Δℓ3+ Δℓ4= Δ (величина зазора).
Используя формулу Гука для определения абсолютной деформации 
составим уравнение совместности деформаций, — это именно то дополнительное уравнение, которое необходимо для решения задачи.
Попробуем упростить уравнение. Помним, что величина зазора Δ=0,1 мм = 0,1·10-3 м
Е – модуль упругости, Е=2·105МПа=2·108кПа.
Подставляем вместо N их значения, записанные через опорную реакцию RА.
4. Вычисляем N и строим эпюру продольных сил.
N1=- RА=-47,5кН
N2=120 — RА=72,5кН
N3=120 — RА=72,5кН
N4=30- RА=-17,5кН.
5. Определяем нормальные напряжения σ по формуле 
и строим их эпюры
Строим эпюру нормальных напряжений.
Проверяем прочность.
σmax= 90,63 МПа < [σ]=160МПа.
Прочность обеспечена.
- Вычисляем перемещения, используя формулу Гука для деформаций.
Идем от стены А к зазору.
Получили величину ω4, равную зазору ,это является проверкой правильности определения перемещений.
Строим эпюру перемещений.
Задача решена.
Для статически определимого стального ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Проверить прочность бруса. Материал – сталь Ст 3, модуль продольной упругости Е=2·105 МПа, допускаемое напряжение [σ]=160МПа.
- Произвольно направляем реакцию стены RAи определяем её из уравнения равновесия.
∑у=0 — RA+F3 — F2+ F1 =0
RA= F3 — F2+ F1 =60-25+10=45кН.
- Определяем продольные силы N методом сечений. Сечение расставляем на характерных участках (между изменениями). Подсказкой может служить размерная нитка – сколько отсечено отрезков, столько будет и участков с сечениями. В нашей задаче их 6.Каждое сечение рассматриваем отдельно с любой стороны на наше усмотрение. Силу N направляем от сечения.
Строим эпюру N. Все значения откладываем перпендикулярно от нулевой линии в выбранном нами масштабе.
Положительные значения условимся откладывать вправо от нулевой линии, отрицательные — влево.
- Определяем нормальные напряжения σ в сечениях по формуле . Внимательно смотрим, по какой площади проходит сечение.
Строим эпюру σ.
Проверим прочность по условию прочности 
|σmax|= 75 МПа < [σ]=160МПа.
Прочность обеспечена.
4. Определяем перемещение бруса.
Расчет ведется от стены, в которой перемещение равно нулю ωА= 0.
Формула Гука для определения абсолютной деформации участка
Определяем перемещения:
Строим эпюру перемещений ω.
Задача решена.
На стальной стержень действует продольная сила Р и собственный вес (γ = 78 кН/м3). Найти перемещение сечения 1 –1.
Дано: Е =2·105 МПа, А = 11 см2, а = 3,0 м, в = 3,0 м, с= 1,3 м, Р = 2 кН.
Учет собственного веса
Перемещение сечения 1 –1 будет складываться из перемещения от действия силы Р, от действия собственного веса выше сечения и от действия собственного веса ниже сечения. Перемещение от действия силы Р будет равно удлинению участка стержня длиной в+а ,расположенного выше сечения 1 –1. Нагрузка Р вызывает удлинение только участка а, так как только на нем имеется продольная сила от этой нагрузки. Согласно закону Гука удлинение от действия силы Р будет равно: 
Определим удлинение от собственного веса стержня ниже сечения 1 –1.
Обозначим его как 
. Оно будет вызываться собственным весом участка с и весом стержня на участке а+в
Определим удлинение от собственного веса стержня выше сечения 1 –1.
Обозначим его как
Оно будет вызываться собственным весом участка а+в
Тогда полное перемещение сечения 1-1:
Т.е, сечение 1-1 опустится на 0,022 мм.
Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стержням при помощи шарниров. Требуется: 1) найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q; 2) Найти допускаемую нагрузку Qдоп, приравняв большее из напряжений в двух стержнях к допускаемому напряжению 
; 3) найти предельную грузоподъемность системы , если предел текучести 
4) сравнить обе величины, полученные при расчете по допускаемым напряжениям и предельным нагрузкам. Размеры: а=2,1 м, в=3,0 м, с=1,8 м, площадь поперечного сечения А=20 см2
Данная система один раз статически неопределима. Для раскрытия статической неопределимости необходимо решить совместно уравнение равновесия и уравнение совместности деформаций стержней.
(1) -уравнение равновесия
Составим деформационную схему — см. рис. Тогда из схемы:
(2)
По закону Гука имеем:
