Примеры решения задач на растяжение с изгибом

Задача. Построить эпюры Q и M для статически неопределимой балки.Вычислим степень статической неопределимости балки по формуле:

n= ΣR — Ш — 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Балка один раз статически неопределима, значит одна из реакций является «лишней» неизвестной. За «лишнюю» неизвестную примем реакцию опоры В — RВ.

Будем считать, что заданная балка (а) получилась из статически определимой балки, с защемленным концом А, к которой поставили добавочную опору В.

Статически определимая балка, которая получается из заданной путем удаления «лишней» связи называется основной системой (б).

Теперь эту систему следует представить эквивалентной заданной. Для этого загружаем основную систему заданной нагрузкой, а в точке В приложим «лишнюю» реакцию RВ (рис.в).

Однако для эквивалентности этого недостаточно, поскольку в такой балке точка В может перемещаться по вертикали, а в заданной балке (рис.а) такого произойти не может. Поэтому добавляем условие, что прогиб т. В в основной системе должен быть равен 0. Прогиб т. В складывается из прогиба от действующей нагрузки ΔF и от прогиба от «лишней» реакции ΔR.

Тогда составляем условие совместности перемещений:

ΔF + ΔR=0                          (1)

Теперь остается вычислить эти перемещения (прогибы).

Загружаем основную систему заданной нагрузкой (рис.г) и построим грузовую эпюру МF   (рис. д).

В т.В приложим  и построим эп.  (рис.е,ж).

По формуле Симпсона определим прогиб от действующей нагрузки.

Теперь определим прогиб от действия «лишней» реакции RВ, для этого загружаем основную систему RВ (рис.з) и строим эпюру моментов от ее действия МR (рис. и).

Составляем и решаем уравнение (1):

Статическая неопределимость раскрыта.

Построим эп. Q и М (рис. к,л).

Задача решена.

Задача. Расчет рамы.  Для рамы построить эпюры продольных сил  N, поперечных сил Q и изгибающих моментов М.

1. Определим опорные реакции

Нанесем значения опорных реакций на расчетную схему.

2. Строим эпюру продольных сил N методом сечений. Имеем три характерных участка и три сечения на них.

Правило знаков продольных сил – продольная сила считается положительной, если сила растягивает стержень, и отрицательной, если сила сжимает стержень. Положительные значения откладываем влево от стойки и вверх от ригеля.

Строим эпюру продольных сил.

3. Строим эпюру поперечных сил Q методом сечений. Правило знаков – если сила относительно сечения направлена по часовой стрелке, то поперечная сила считается положительной и наоборот. Положительные значения откладываются влево от стоек и вверх от ригеля.

Строим эпюру поперечных сил

4. Строим эпюру изгибающих моментов М методом характерных точек. Расставляем точки: А – опора, В,С, — узлы рамы, D – свободный конец, К – середина равномерно распределенной нагрузки (точки экстремума при построении эп.Q не обнаружено). Эпюру М строим на сжатых волокнах (для машиностроительных специальностей), знак не ставим.

Строим эпюру моментов.

5. Вырезаем узлы С и В и проверяем их равновесие.

Узлы находятся в равновесии, значит эпюры построены верно.

Для балки с жесткой заделкой построить эпюры Q и М. 

Расставляем сечения от свободного конца балки — в этом случае можно построить эпюры, не определяя опорных реакций. Рассматривать в каждом случае будем правую часть — справа от сечения. Сечения расставляем на характерных участках (между изменениями). По размерной нитке – 2 участка, 2 сечения.

Сечение 2-2 проходит по участку с равномерно распределенной нагрузкой, отмечаем размер z2 вправо от сечения до начала участка. Определяем поперечные силы в сечениях. Правило знаков см. — здесь.

Строим эпюру Q.

Построим эпюру М методом характерных точек. Расставляем точки на балке — это точки начала и конца балки (D,A), сосредоточенного момента (B), а также отметим в качестве характерной точки середину равномерно распределенной нагрузки (K) — это дополнительная точка для построения параболической кривой.

Определяем изгибающие моменты в точках. Правило знаков см. — здесь.

Момент в т. В будем определять следующим образом. Сначала определим:

Теперь:

Точку К возьмем в середине участка с равномерно распределенной нагрузкой.

Строим эпюру M. Участок АВ – параболическая кривая (правило «зонтика»), участок ВD – прямая наклонная линия.

Для балки определить  опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов (М) и поперечных сил (Q).

1. Обозначаем опоры буквами А и В и направляем опорные реакции RА и RВ.

Составляем уравнения равновесия.

Проверка

Записываем значения RА и RВ на расчетную схему.

2. Построение эпюры поперечных сил методом сечений. Сечения расставляем на характерных участках (между изменениями). По размерной нитке – 4 участка, 4 сечения.

сеч. 1-1   ход слева.

Сечение проходит по участку с равномерно распределенной нагрузкой, отмечаем размер z1 влево от сечения до начала участка. Длина участка 2 м. Правило знаков для Q — см. здесь.

Строим по найденным значением эпюру Q.

сеч. 2-2   ход справа.

Сечение вновь проходит по участку равномерно распределенной нагрузкой, отмечаем размер z2  вправо от сечения до начала участка. Длина участка 6 м.

Строим эпюру Q.

сеч. 3-3   ход справа.

сеч. 4-4   ход справа.

Строим эпюру Q.

3. Построение эпюры М методом характерных точек.

Характерная точка – точка, сколь-либо заметная на балке. Это точки А, В, С, D, а также точка К, в которой Q=0 и изгибающий момент имеет экстремум. Также в середине консоли поставим дополнительную точку Е, поскольку на этом участке под равномерно распределенной нагрузкой эпюра М описывается кривой линией, а она строится, как минимум, по 3 точкам.

Итак, точки расставлены, приступаем к определению в них  значений изгибающих моментов. Правило знаков — см. здесь.

Участки NA, AD – параболическая кривая (правило «зонтика» у механических специальностей или «правило паруса» у строительных ), участки DС, СВ – прямые наклонные линии.

Момент в точке D следует определять как слева, так и справа от точки D. Сам момент в эти выражения не входит. В точке D получим два значения с разницей на величину m – скачок на его величину.

Теперь следует определить момент в точке К (Q=0). Однако сначала определим положение точки К, обозначив расстояние от нее до начала участка неизвестным х.

Т. К принадлежит второму характерному участку, его уравнение для поперечной силы (см. выше)

Но поперечная сила в т. К равна , а z2 равняется неизвестному х.

Получаем уравнение:

Теперь, зная х, определим  момент в точке К с правой стороны.

Строим эпюру М. Построение выполним для механических специальностей, откладывая положительные значения вверх от нулевой линии и используя правило «зонтика».

Для заданной схемы консольной балки   требуется построить эпюры поперечной силы  Q и изгибающего момента M, выполнить проектировочный расчет, подобрав круглое сечение.

Материал — дерево, расчетное сопротивление материала R=10МПа, М=14кН·м,q=8кН/м

Строить эпюры в консольной балке с жесткой заделкой можно двумя способами — обычным, предварительно определив опорные реакции, и без определения опорных реакций, если рассматривать участки, идя от свободного конца балки и отбрасывая левую часть с заделкой. Построим эпюры обычным способом.

1. Определим опорные реакции.

Равномерно распределенную нагрузку q заменим условной силой Q= q·0,84=6,72 кН

В жесткой заделке три опорные реакции — вертикальная, горизонтальная и момент, в нашем случае горизонтальная реакция равна 0.

Найдем вертикальную реакцию опоры RA  и опорный момент МA из уравнений равновесия.

2. Строим эпюру поперечных сил.

На первых двух участках справа поперечная сила отсутствует. В начале участка с равномерно распределенной нагрузкой (справа) Q=0, в заделеке — величине реакции RA.3. Для построения эпюры изгибающих моментов M составим выражения для их определения на участках. Эпюру моментов построим на растянутых волокнах, т.е. вниз.

4.Проектировочный расчет, то есть подбор размеров поперечного сечения.

Максимальный изгибающий момент с эпюры М=14 кН·м. Определим осевой момент сопротивления сечения

Таким образом, подбираем сечение с диаметром 25 см.

Статически неопределимая балка. Построить эпюры Q и M для статически неопределимой балки

Определим степень статической неопределимости n= Соп  — Ш — 3= 1.

Балка 1 раз статически неопределима, значит для её решения требуется 1 дополнительное уравнение.

Одна из реакций является «лишней». Для раскрытия статической неопределимости сделаем следующее: за «лишнюю» неизвестную реакцию примем реакцию опоры В. Это реакция Rb. Выбираем основную систему (ОС)  путём отбрасывания нагрузок и «лишней» связи (опоры В).  Основная система – статически определимая.

Теперь основную систему нужно превратить в систему, эквивалентную (равнозначную) заданной, для этого: 1) загрузим основную систему заданной нагрузкой, 2) в точке В приложим «лишнюю» реакцию  Rb. Но  этого недостаточно, поскольку в заданной системе т.В неподвижна (это опора), а в эквивалентной системе – может получать перемещения. Составим условие, по которому прогиб точки В от действия заданной нагрузки и от действия «лишней» неизвестной должен быть равен 0. Это  и будет дополнительное уравнение совместности деформаций.

Обозначим прогиб от заданной нагрузки ΔF  , а прогиб от «лишней» реакции ΔRb  .

 Тогда составим уравнение  ΔF  + ΔRb  =0   (1)

Вот теперь система стала эквивалентной заданной.

Решим уравнение (1).

Чтобы определить перемещение от заданной нагрузки ΔF   :

1)      Загружаем основную систему заданной нагрузкой.

2)      Строим грузовую эпюру  .

3)  Снимаем все нагрузки и в точке В, где требуется определить перемещение прикладываем единичную силу. Строим эпюру единичных сил  .

4) Определим  по формуле Симпсона перемещение от заданной нагрузки .

Построение грузовой эпюры :

Определим перемещение 

Чтобы определить перемещение от действия «лишней» неизвестной :

1)      Загружаем основную систему «лишней» реакцией 

2)      Строим эпюру моментов 

3)      Определяем прогиб от реакции  по формуле Симпсона,

   (эпюра единичных моментов уже была построена ранее)

Решаем уравнение (1), сокращаем на EI

Статическая неопределимость раскрыта, значение «лишней» реакции найдено. Можно приступать к построению эпюр Q и M для статически неопределимой балки… Зарисовываем заданную схему балки и указываем величину реакции Rb. В данной балке реакции в заделке можно не определять, если идти ходом справа.

Построение эпюры Q для статически неопределимой балки

Строим эпюру Q.

Построение эпюры М

Определим М в точке экстремума – в точке К. Сначала определим её положение. Обозначим расстояние до неё как неизвестное «х». Тогда

Тогда  

Строим эпюру М.

Задача решена.

Определение касательных напряжений в двутавровом сечении. Рассмотрим сечение двутавра. Sx=96,9 см3; Yх=2030 см4; Q=200 кН

Для определения касательного напряжения применяется формула Д.И. Журавского ,где Q — поперечная сила в сечении, Sx0 – статический момент части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от слоя, в котором определяются касательные напряжения, Ix – момент инерции всего поперечного сечения, b – ширина сечения в том месте, где определяется касательное напряжение

Вычислим максимальное касательное напряжение:

Вычислим статический момент для верхней полки:

Теперь вычислим касательные напряжения:

Строим эпюру касательных напряжений:

Проектный и проверочный расчеты. Для балки с построенными эпюрами внутренних усилий  подобрать сечение в виде двух швеллеров из условия прочности по нормальным напряжениям. Проверить прочность  балки, используя условие прочности по касательным напряжениям и энергетический критерий прочности. Дано:

Покажем балку с построенными эпюрами Q и М

Согласно эпюре изгибающих моментов опасным является сечение С, в котором МС=Мmax=48,3кНм.

Условие прочности по нормальным напряжениям для данной балки имеет вид σmax=MC/WX≤σadm. Требуется подобрать сечение из двух швеллеров.

Определим необходимое расчетное значение осевого момента сопротивления сечения:

Для сечения в виде двух швеллеров согласно сортаменту прокатной стали принимаем два швеллера №20а, момент инерции каждого швеллера Ix=1670см4, тогда осевой момент сопротивления всего сечения: