Пример построения эпюр на растяжение

Пример решения задачи на растяжение и сжатие

.

Условие задачи на растяжение и сжатие

Стальной стержень (модуль Юнга кН/см2) с размерами см; см, см и площадью поперечного сечения нижнего участка см2, а верхнего – см2 нагружен внешними осевыми силами кН и кН. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений . Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) кН/см2, а допускаемый коэффициент запаса . Найти удлинение стержня .

Расчетная схема для задачи на растяжение и сжатие

рис 3.2

Решение пример задачи на растяжение и сжатие

Определяем значение опорной реакции , возникающей в заделке

Учитывая, что , направим опорную реакцию вниз. Тогда из уравнения равновесия находим:

кН.

Строим эпюру продольных сил

Разбиваем длину стержня на три участка. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы и (или) изменяется размер поперечного сечения стержня.

Воспользуемся методом сечений. Делаем по одному сечению в произвольном месте каждого из трех участков стержня.

Cечение 1 – 1. Отбросим (или закроем листком бумаги) верхнюю часть стержня (рис. 3.2, б). Само сечение 1 – 1 мысленно считаем неподвижным. Мы видим, что внешняя сила растягивает рассматриваемую нижнюю часть стержня. Отброшенная нами верхняя часть стержня противодействует этому растяжению. Это противодействие мы заменим внутренней продольной силой , направленной от сечения и соответствующей растяжению. Разрушения стержня не произойдет только в том случае, если возникающая в сечении 1 – 1 внутренняя продольная сила уравновесит внешнюю силу . Поэтому очевидно, что

кН.

Сечение 2 – 2. Внешняя сила растягивает рассматриваемую нами нижнюю часть стержня, а сила ее сжимает (напомним, что 2 – 2 мы мысленно считаем неподвижным). Причем, согласно условию задачи, . Чтобы уравновесить эти две силы, в сечении 2 – 2 должна возникнуть внутренняя сила , противодействующая сжатию, то есть направленная к сечению. Она равна:

кН.

Сечение 3 – 3. Отбросим теперь часть стержня, расположенную ниже этого сечения. Внутренняя продольная сила должна уравновесить внешнюю (реактивную) сжимающую силу . Поэтому она направлена к сечению и равна:

кН.

Легко убедиться в том, что полученный результат не изменится, если мы отбросим не нижнюю, а верхнюю часть стержня. В этом случае продольная сила также противодействует сжатию. Она равна:

кН.

При построении эпюры продольных сил будем пользоваться следующим правилом знаков: внутренняя продольная сила, возникающая в поперечном сечении стержня, считается положительной, если она противодействует растяжению стержня, и отрицательной, если она противодействует его сжатию. Оно вводится для того, чтобы можно было наглядно видеть, какая часть стержня испытывает деформацию растяжения, а какая часть – деформацию сжатия. Это обстоятельство может оказаться крайне важным, в частности для стержней из хрупкого материала, которые имеют разные допускаемые напряжения на растяжение и на сжатие.

Таким образом, мы установили, что в любом сечении нижнего участка стержня внутренняя продольная сила противодействует растяжению и равна кН. В любом сечении среднего и верхнего участков стержня имеет место деформация сжатия, поэтому кН.

Для построения эпюры продольных сил проводим тонкой линией ось, параллельную оси стержня z (рис. 3.2, д). Вычисленные значения продольных сил в выбранном масштабе и с учетом их знака откладываем от этой вертикальной оси. В пределах каждого из участков стержня продольная сила остается постоянной, поэтому мы как бы «заштриховываем» горизонтальными линиями соответствующий участок.

Отметим, что каждая линия «штриховки» (то есть ордината эпюры) в принятом масштабе дает значение продольной силы в соответствующем поперечном сечении стержня.

Полученную эпюру обводим жирной линией.

Анализируя полученную эпюру, мы видим, что в местах приложения внешних сил на эпюре имеет место скачкообразное изменение продольной силы на величину, равную значению соответствующей внешней силы. Причем изменение поперечного размера стержня, как это видно из рис. 3.2, д, никак не сказывается на характере эпюры .

Строим эпюру нормальных напряжений

Нормальное напряжение, возникающее в k–м поперечном сечении стержня при растяжении (сжатии), вычисляется по следующей формуле

,

где и – продольная сила и площадь k–го поперечного сечения стержня соответственно.

В первом поперечном сечении стержня нормальное напряжение равно

кН/см2,

во втором –

кН/см2,

в третьем –

кН/см2.

Строим по вычисленным значениям эпюру (рис. 3.2, е). В пределах каждого из участков стержня напряжения постоянны, то есть эпюра напряжений параллельна оси. Заметим, что в отличие от эпюры N, на эпюре «скачок» имеет место не только в местах приложения внешних сил, но и там, где происходит изменение размеров поперечного сечения стержня.

Оцениваем прочность стержня

Сопоставляем наибольшее (по модулю) нормальное напряжение , которое в нашем примере возникает во втором сечении стержня, с допускаемым напряжением . Напомним, что допускаемое напряжение представляет собой долю от предельного напряжения , то есть от напряжения, при котором начинается разрушение материала. Разрушение стали, как пластичного материала, начинается при появлении значительных остаточных деформаций. Поэтому для стали предельное напряжение равно пределу текучести: . Тогда

кН/см2.

Условие прочности имеет вид . В нашем случае

кН/см2 > кН/см2,

следовательно, прочность стержня на втором участке не обеспечена.

Таким образом, площадь поперечного сечения стержня на втором участке, равную см2, нам необходимо увеличить.

Несложный анализ показывает, что на других участках стержня условие прочности выполняется.

Из условия прочности определяем требуемую площадь поперечного сечения стержня на втором участке:

см2.

Принимаем на втором участке см2.

Вычисляем удлинение всего стержня

При переменных по длине стержня значениях продольной силы и площади поперечного сечения удлинение вычисляется по формуле

,

где E – модуль Юнга, а – длина соответствующего участка стержня.

Тогда

см.

Таким образом, длина стержня уменьшается на мм.

Задача по сопромату на растяжение и сжатие для самостоятельного решения

Условие задачи на растяжение и сжатие

Стальной стержень (модуль Юнга кН/см2) находится под действием внешних осевых сил и (рис. 3.1). Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений . Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) кН/см2, а допускаемый коэффициент запаса . Найти удлинение стержня .

Схемы для задачи на растяжение и сжатие

Исходные данные к задаче на растяжение и сжатие

1. На рисунке проводиться ось ОХ, совпадающая с продольной осью стержня.

2. Под рисунком стержня проводятся две базовые нулевые линии, параллельно продольной оси стержня. Одна для эпюры продольной силы Nz

Вторая базовая нулевая линия для эпюры нормальных напряжений (Мпа).

3. Стержень разбивается на участки. Для границ участков проводятся вертикальные линии в точках приложения нагрузки и изменения площади поперечного сечения вниз до пересечения с базовыми нулевыми линиями. Нумерация участков начинается со свободной стороны стержня для задачи статически определимой. Если задача статически неопределимая, то нумерация выполняется слева направо.

4. Для определения значения продольной силы используется метод сечений. В середине участка проводится сечение. Указывается направление продольной силы. Положительным считается направление продольной силы, направленной от сечения (растягивает). Значение продольной силы Nz определяется из условия равновесия отсечённой части (сумма проекций на ось ох всех действующих сил равна нулю 0).

5. Вычисляем значение нормальных напряжений.

6. Положительные значения продольной силы и нормального напряжения откладываем вверх от базовой нулевой линии, отрицательные вниз.

7. Проверяем правильность решения задачи по эпюре продольной силы. В точках, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре должен быть скачок равный значению продольной силы.

8. Условие прочности проверяем по эпюре нормальных напряжений. Максимальные напряжения, возникающие в конструкции, не должны превышать допускаемых.

Пример №1: Построить эпюры продольной силы N и нормального напряжения σ, проверить на прочность стальной стержень, закрепленный с одной стороны (статически определимая задача). Р1 = 10кН Р2 = 15кН

Р3 =15кН

=100 Мпа; А1 = F; А2 = 2F; F = 100 мм2

Решение:

Параллельно продольной оси стержня проводим две базовые нулевые линии для продольной силы и нормального напряжения.

Разбиваем стержень на участки, начиная со свободной стороны. Проводим вниз вертикальные линии в точках приложения сил и изменения площади поперечного сечения до пересечения с нулевыми линиями. Нумерация участков начинается со свободной стороны стержня.

1 участок:

— на первом участке проводим сечение, перпендикулярное продольной оси, мысленно отбрасываем большую часть и рассматриваем меньшую часть стержня. Заменяем действие отброшенной части на оставленную продольной силой N1. Положительным считается действие от сечения (растягивает).

Рассматриваем равновесие оставленной части, проецируя действующие силы на ось ОХ:

Определяем продольную силу на первом участке:

-N1+ Р1=0 следовательно N1 = Р1=10 кН

Определяем нормальное напряжение на первом участке

2 участок:

-N2+ Р1 — Р2=0 следовательно N2 = Р1-Р2 =10-15= -5 кН

3 участок:

-N3+ Р1 — Р2=0 следовательно N3 = Р1-Р2 =10-15= -5 кН

4 участок:

-N4+ Р1 — Р2+Р3=0 следовательно N4 = Р1-Р2+Р3=10-15+15= 10 кН

Рис. 10.

Метод сечений для определения продольной силы.

Для построения эпюр продольной силы и нормального напряжения задаёмся произвольным масштабом (например: одна клеточка -5 кН и -25 мегапаскалей). Строим эпюры продольной силы и нормального напряжения, откладывая положительные значения вверх от базовой нулевой линии, отрицательные вниз.

Проверяем правильность решения задачи по эпюре продольной силы, в точке приложения сосредоточенной силы на эпюре должен быть скачок, равный действующей силе.

По эпюре нормального напряжения проверяем условие прочности максимальные напряжения должны быть меньше или равны допустимым, значит прочность обеспечена.

Рис.11.

Эпюры продольной силы N и нормального напряжения σ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Рубашкин А.Г. Лабораторные работы по сопротивлению материалов.- М.: Высшая школа, 1961.-159с.

2. Афанасьев A.M., Марьин В.А. Лабораторный практикум по сопротивлению материалов.- М.: Наука, 1975.-284с.

3. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов.- М.: Наука, 1979.-559с.

4. Писаренко Г.С. Сопротивление материалов.- Киев.: Высшая школа, 1973.-667с.

Рассмотрим подробно порядок построения эпюр внутренних силовых факторов в раме.

Задача
Построить эпюры внутренних продольных и поперечных усилий и изгибающих моментов для плоской П-образной рамы, нагруженной силой, моментом и распределенной нагрузкой:

Рис. 1

Решение

Рама состоит из трех частей (левая и правая вертикальные стойки соединенные горизонтальным ригелем), но при этом имеет четыре силовых участка – AC, CD, BE и DE, на каждом из которых нам потребуется определить величину и направление внутренних усилий.

Для заданной расчетной схемы рамы ранее мы уже определили опорные реакции.

Рис. 2

Расчет значений

Обозначим силовые участки римскими цифрами.

Рис. 3

Для расчета значений, необходимых для построения эпюр, будем пользоваться методом сечений и соответствующими правилами знаков.

Начинаем с первого силового участка AC.

Мысленно рассекаем его в любом месте между крайними точками участка.

Рис. 4

Это сечение делит раму на две части:

1. нижнюю часть стойки до точки A
2. всю остальную часть, включая верхнюю от сечения часть левой стойки, ригель CD и правую стойку BD.

Наш видеоурок построения эпюр внутренних силовых факторов для балки:

Можно рассмотреть любую из них, но для упрощения расчетов рекомендуется выбирать менее нагруженную часть конструкции.

Очевидно, что в данном случае проще рассматривать нижнюю часть стойки.

Расстояние от границы участка до сечения обозначим переменной y1, возможные значения которой находятся в пределах от нуля до длины участка.

Рис. 5

Действие отброшенной части рамы заменим внутренними усилиями NI, QI и MI.

Рис. 6

Рассчитаем их:

В выражении для MI переменная y1 в первой степени, а значит, эпюра на этом участке будет изображаться прямой. Для ее построения необходимы значения в двух точках.
Рассчитаем их на границах участка, в точках A и C:

В записанных выражениях:
NI – по правилу знаков для внутренних продольных сил – отрицательна, т.к. на участке имеет место сжатие;
QI – отрицательна, т.к. стремится повернуть рассматриваемую часть рамы против хода часовой стрелки;
Для изгибающих моментов M будем отмечать то, какие слои они стремятся сжать. В данном случае момент MI сжимает правую сторону стойки.

Расчет значений внутренних силовых факторов для остальных участков рамы выполняется аналогично.

Рис. 7

На втором участке, проведя сечение (рис. 7), выберем для рассмотрения левую часть рамы (левая часть ригеля со стойкой AC).

Рис. 8

Продольную силу NII здесь вызывает горизонтальная реакция HA, которая сжимает ригель.
Поперечную силу QII в сечении дают реакция RA и распределенная нагрузка q.
Изгибающий момент MII создается всеми нагрузками расположенными слева от рассматриваемого сечения.
Опорные реакции RA и HA создают момент силы. Для момента создаваемого силой HAплечо одинаково для любого положения сечения, и равно длине стойки AC, для момента реакции RA плечо переменное (y2).
О том, как рассчитать момент, создаваемый распределенной нагрузкой q можно прочитать здесь.

Записываем выражения:

это уравнение прямой, поэтому рассчитаем значения на границах участка:

Сразу следует обратить внимание, что значения на границах участка имеют противоположные знаки, т.е. эпюра Q на данном участке пересекает базовую (нулевую) линию, следовательно, на эпюре моментов MII в этом сечении будет экстремум (эпюры Q и M дифференциально зависимы).

Запишем выражение для изгибающих моментов:

получили уравнение параболы, для построения которой требуется минимум три точки.

Двумя из них будут граничные значения момента:

Третьей станет значение экстремума эпюры M на участке.

Короткое видео про расчёт экстремума эпюры изгибающих моментов:

Рассчитаем его:
Выражение для QII приравниваем к нулю

откуда находим координату сечения рамы, где Q пересекает базовую линию.

подставляем ее в выражение для MII и находим значение экстремума.

Для третьего участка рамы выбираем нижнюю часть (рис. 7):

Рис. 9

Записываем выражения:

Здесь имеется только продольная сжимающая сила.

На четвертом участке (рис. 7) тоже рассмотрим нижнюю часть стойки

Рис. 10

Граничные значения изгибающего момента

Расчет значений окончен, переходим к графическим построениям.

Построение эпюр

Для горизонтальных и вертикальных участков рамы положительные значения эпюр продольных N и поперечных сил Q будем откладывать соответственно вверх и вправо.

Как строить эпюры по рассчитанным значениям показано в нашем видео:

Эпюра внутренних продольных сил N:
Эпюра внутренних продольных сил N рамы

Рис. 11

Эпюра внутренних поперечных сил Q:
Эпюра внутренних поперечных сил Q рамы

Рис. 12

Эпюра изгибающих моментов M строится на сжатых волокнах рамы:
Эпюра внутренних изгибающих моментов M рамы

Рис. 13

Здесь следует обратить внимание на линию эпюры второго участка.
При расчете значений, граничные моменты получились отрицательными (-20 и -30кНм), т.е. они должны располагаться по одну сторону от базовой линии.
Экстремум момента положителен, следовательно, его следует откладывать по другую сторону базовой линии.

Эпюры внутренних силовых факторов для рамы построены.
Теперь необходимо выполнить их проверку.

Другие примеры решения задач >
Лекции по сопромату >