При внецентренном сжатии растяжении эксцентриситет это
Вторым практически важным случаем сложения деформаций от изгиба и от продольных сил является так называемое внецентренное сжатие или растяжение, вызываемое одними продольными силами. Этот вид деформации получается при действии на стержень двух равных и прямопротивоположных сил Р, направленных по прямой АА, параллельной оси стержня (Рис.3 а). Расстояние точки А от центра тяжести сечения ОА=е называется эксцентриситетом.
Рассмотрим сначала случай внецентренного сжатия, как имеющий большее практическое значение.
Нашей задачей явится нахождение наибольших напряжений, материале стержня и проверка прочности. Для решения этой задачи приложим в точках О по две равные и противоположные силы Р (Рис.3 б). Это не нарушит равновесия стержня в целом и не изменит напряжений в его сечениях.
Силы Р, зачеркнутые один раз, вызовут осевое сжатие, а пары сил Р, зачеркнутые дважды, вызовут чистый изгиб моментами . Расчетная схема стержня показана на Рис.3 в. Так как плоскость действия изгибающих пар ОА может не совпадать ни с одной из главных плоскостей инерции стержня, то в общем случае имеет место комбинация продольного сжатия и чистого косого изгиба.
Так как при осевом сжатии и чистом изгибе напряжения во всех сечениях одинаковы, то проверку прочности можно произвести для любого сечения, хотя бы С—С (Рис.3 б, в).
Отбросим верхнюю часть стержня и оставим нижнюю (Рис.3 г). Пусть оси Оу и Oz будут главными осями инерции сечения.
Рис.3. а) расчетная схема б) преобразование нагрузок в)приведенная расчетная схема г) механизм исследования напряжений
Координаты точки А, — точки пересечения линии действия сил Р с плоскостью сечения, — пусть будут и . Условимся выбирать положительные направления осей Оу и Oz таким образом, чтобы точка А оказалась в первом квадранте. Тогда и будут положительны.
Для того чтобы отыскать наиболее опасную точку в выбранном сечении, найдем нормальное напряжение в любой точке В с координатами z и у. Напряжения в сечении С — С будут складываться из напряжений осевого сжатия силой Р и напряжений от чистого косого изгиба парами с моментом Ре, где . Сжимающие напряжения от осевых сил Р в любой точке равны , где — площадь поперечного сечения стержня; что касается косого изгиба, то заменим его действием изгибающих моментов в главных плоскостях. Изгиб в плоскости х Оу вокруг нейтральной оси Oz будет вызываться моментом и даст в точке В нормальное сжимающее напряжение
Точно так же нормальное напряжение в точке В от изгиба в главной плоскости х Oz, вызванное моментом , будет сжимающим и выразится формулой.
Суммируя напряжения от осевого сжатия и двух плоских изгибов и считая сжимающие напряжения отрицательными, получаем такую формулу для напряжения в точке В:
| (1) |
Эта формула годится для вычисления напряжений в любой точке любого сечения стержня, стоит только вместо у и z подставить координаты точки относительно главных осей с их знаками.
В случае внецентренного растяжения знаки всех составляющих нормального напряжения в точке В изменятся на обратные. Поэтому для того, чтобы получать правильный знак напряжений как при внецентренном сжатии, так и при внецентренном растяжении, нужно, кроме знаков координат у и z, учитывать также и знак силы Р; при растяжении перед выражением
должен стоять знак плюс, при сжатии — минус.
Полученной формуле можно придать несколько иной вид; вынесем за скобку множитель ; получим:
| (2) |
Здесь и — радиусы инерции сечения относительно главных осей (вспомним, что и ).
Для отыскания точек с наибольшими напряжениями следует так выбирать у и z, чтобы достигло наибольшей величины. Переменными в формулах (1) и (2) являются два последних слагаемых, отражающих влияние изгиба. А так как при изгибе наибольшие напряжения получаются в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, то здесь, как и при косом изгибе, надо отыскать положение нейтральной оси.
Обозначим координаты точек этой линии через и ; так как в точках нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю, то после подстановки в формулу (2) значений и получаем:
или
| (3) |
Это и будет уравнение нейтральной оси. Очевидно, мы получили уравнение прямой, не проходящей через центр тяжести сечения.
Чтобы построить эту прямую, проще всего вычислить отрезки, отсекаемые ею на осях координат. Обозначим эти отрезки и . Чтобы найти отрезок , отсекаемый на оси Оу, надо в уравнении (3) положить
;
тогда мы получаем:
подобным же образом, полагая
;
получаем:
| (5) |
Если величины и положительны, то отрезки и будут отрицательны, т. е. нейтральная ось будет расположена по другую сторону центра тяжести сечения, чем точка А (Рис.3 г).
Нейтральная ось делит сечение на две части — сжатую и растянутую; на Рис.3 г растянутая часть сечения заштрихована. Проводя к контуру сечения касательные, параллельные нейтральной оси, получаем две точки и , в которых будут наибольшие сжимающие и растягивающие напряжения.
Измеряя координаты у и z этих точек и подставляя их значения в формулу (1), вычисляем величины наибольших напряжений в точках и :
Если материал стержня одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то условие прочности получает такой вид:
Для поперечных сечений с выступающими углами, у которых обе главные оси инерции являются осями симметрии (прямоугольник, двутавр и др.) и Поэтому формула упрощается, и мы имеем
Если же материал стержня неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то необходимо проверить прочность стержня как в растянутой, так и в сжатой зонах.
Однако может случиться, что и для таких материалов будет достаточно одной проверки прочности. Из формул (4) и (5) видно, что положение точки А приложения силы и положение нейтральной оси связаны: чем ближе подходит точка А к центру сечения, тем меньше величины и и тем больше отрезки и . Таким образом, с приближением точки А к центру тяжести сечения нейтральная ось удаляется от него, и наоборот. Поэтому при некоторых положениях точки А нейтральная ось будет проходить вне сечения и все сечение будет работать на напряжения одного знака. Очевидно в этом случае всегда достаточно проверить прочность материала в точке .
Разберем практически важный случай, когда к стержню прямоугольного сечения (Рис. 4) приложена внецентренно сила Р в точке А, лежащей на главной оси сечения Оу. Эксцентриситет ОА равен е, размеры сечения b и d. Применяя полученные выше формулы, имеем:
Рис.4. Расчетная схема бруса прямоугольного сечения.
Напряжение в любой точке В равно
так как
Напряжения во всех точках линии, параллельной оси Oz, одинаковы. Положение нейтральной оси определяется отрезками
Нейтральная ось параллельна оси Oz; точки с наибольшими растягивающими и сжимающими напряжениями расположены на сторонах 1—1 и 3—3.
Значения и получатся, если подставить вместо у его значения . Тогда
Лекция № 28. Ядро сечения при внецентренном сжатии
При конструировании стержней из материалов, плохо сопротивляющихся растяжению (бетон), весьма желательно добиться того, чтобы все сечение работало лишь на сжатие. Этого можно достигнуть, не давая точке приложения силы Р слишком далеко отходить от центра тяжести сечения, ограничивая величину эксцентриситета.
Конструктору желательно заранее знать, какой эксцентриситет при выбранном типе сечения можно допустить, не рискуя вызвать в сечениях стержня напряжений разных знаков. Здесь вводится понятие о так называемом ядре сечения. Этим термином обозначается некоторая область вокруг центра тяжести сечения, внутри которой можно располагать точку приложения силы Р, не вызывая в сечении напряжений разного знака.
Пока точка А располагается внутри ядра, нейтральная ось не пересекает контура сечения, все оно лежит по одну сторону от нейтральной оси и, стало быть, работает лишь на сжатие. При удалении точки А от центра тяжести сечения нейтральная ось будет приближаться к контуру; граница ядра определится тем, что при расположении точки А на этой границе нейтральная ось подойдет вплотную к сечению, коснется его.
Рис.1. Комбинации положения сжимающей силы и нейтральной линии
Таким образом, если мы будем перемещать точку А так, чтобы нейтральная ось катилась по контуру сечения, не пересекая его, то точка А обойдет по границе ядра сечения. Если контур сечения имеет «впадины», то нейтральная ось будет катиться по огибающей контура.
Чтобы получить очертание ядра, необходимо дать нейтральной оси несколько положений, касательных к контуру сечения, определить для этих положений отрезки и и вычислить координаты и точки приложения силы по формулам, вытекающим из известных зависимостей:
это и будут координаты точек контура ядра и .
При многоугольной форме контура сечения (Рис.2), совмещая последовательно нейтральную ось с каждой из сторон многоугольника, мы по отрезкам и определим координаты и точек границы ядра, соответствующих этим сторонам.
При переходе от одной стороны контура сечения к другой нейтральная ось будет вращаться вокруг вершины, разделяющей эти стороны; точка приложения силы будет перемещаться по границе ядра между полученными уже точками. Установим, как должна перемещаться сила Р, чтобы нейтральная ось проходила все время через одну и ту же точку В (,) — вращалась бы около нее. Подставляя координаты этой точки нейтральной оси в известное уравнение нейтральной оси (линии), получим:
Рис.2. Ядро сечения для многоугольной формы поперечного сечения
Таким образом координаты и точки приложения силы Р связаны линейно. При вращении нейтральной оси около постоянной точки В точка А приложения силы движется по прямой. Обратно, перемещение силы Р по прямой связано с вращением нейтральной оси около постоянной точки.
На Рис.3 изображены три положения точки приложения силы на этой прямой и соответственно три положения нейтральной оси. Таким образом, при многоугольной форме контура сечения очертание ядра между точками, соответствующими сторонам многоугольника, будет состоять из отрезков прямых линий.
Рис.3. Динамика построения ядра сечения
Если контур сечения целиком или частично ограничен кривыми линиями, то построение границы ядра можно вести по точкам. Рассмотрим несколько простых примеров построения ядра сечения.
При выполнении этого построения для прямоугольного поперечного сечения воспользуемся полученными формулами.
Для определения границ ядра сечения при движении точки А по оси Оу найдем то значение , при котором нейтральная ось займет положение Н1О1. Имеем:
откуда
Таким образом, границы ядра по оси Оу будут отстоять от центра сечения на 1/6 величины b (Рис.4, точки 1 и 3); по оси Oz границы ядра определятся расстояниями (точки 2 и 4).
Для получения очертания ядра целиком изобразим положения нейтральной оси и , соответствующие граничным точкам 1 и 2.
При перемещении силы из точки 1 в точку 2 по границе ядра нейтральная ось должна перейти из положения в положение , все время касаясь сечения, т. е. поворачиваясь вокруг точки D.
Рис.4. построение ядра для прямоугольного сечения.
Для этого сила должна двигаться по прямой 1 — 2. Точно так же можно доказать, что остальными границами ядра будут линии 2—3, 3—4 и 4—1.
Таким образом, для прямоугольного сечения ядро будет ромбом с диагоналями, равными одной трети соответствующей стороны сечения. Поэтому прямоугольное сечение при расположении силы по главной оси работает на напряжения одного знака, если точка приложения силы не выходит за пределы средней трети стороны сечения.
Рис.5. Динамика изменения напряжений при изменении эксцентриситета.
Эпюры распределения нормальных напряжений по прямоугольному сечению при эксцентриситете, равном нулю, меньшем, равном и большем одной шестой ширины сечения, изображены на Рис.5.
Отметим, что при всех положениях силы Р напряжение в центре тяжести сечения (точка О) одинаково и равно и что сила Р не имеет эксцентриситета по второй главной оси.
Для круглого сечения радиуса r очертание ядра будет по симметрии кругом радиуса . Возьмем какое-либо положение нейтральной оси, касательное к контуру. Ось Оу расположим перпендикулярно к этой касательной. Тогда
Рис.6. Ядро сечения для двутавра — а) и швеллера — б)
Таким образом, ядро представляет собой круг с радиусом, вчетверо меньшим, чем радиус сечения.
Для двутавра нейтральная ось при обходе контура не будет пересекать площади поперечного сечения, если будет касаться прямоугольного контура ABCD, описанного около двутавра (Рис.6а). Следовательно, очертание ядра для двутавра имеет форму ромба, как и для прямоугольника, но с другими размерами.
Для швеллера, как и для двутавра, точки 1, 2, 3, 4 контура ядра (Рис.6 б) соответствуют совпадению нейтральной оси со сторонами прямоугольника ABCD.
Лекция № 29. Совместные действия изгиба и кручения призматического стержня
Исследуем этот вид деформации стержня на примере расчета вала кругового (кольцевого) поперечного сечения на совместное действие изгиба и кручения (рис. 1).
Рис.1. Расчетная схема изогнутого и скрученного вала
Источник
Многие элементы строительных конструкций (колонны, стойки, опоры) находятся под воздействием сжимающих сил, приложенных не в центре тяжести сечения. Рассмотрим, например, колонну, на которую опирается балка перекрытия (рис. 11.11). Поскольку сила Р, характеризующая передачу нагрузки от балки на колонну, действует по отношению к ее оси с эксцентриситетом е, колонна испытывает сжатие с изгибом. При этом в поперечных сечениях колонны наряду с продольной силой N = —Р возникает изгибающий момент, величина которого равна М = Ре.
Таким образом, внецентренное растяжение и сжатие стержня имеют место в случае, когда нагрузки действуют вдоль прямой, параллельной оси стержня. Будем рассматривать в основном задачи внецентренного сжатия, наиболее характерные для элементов строительных конструкций. При внецентренном растяжении во всех приводимых ниже формулах надо изменить знак перед силой Р на противоположный.
Рассмотрим стержень, нагруженный на торце внецентренно приложенной в точке К сжимающей силой Р, направленной параллельно оси Ох (рис. 11.12, а). Обозначим координаты точки приложения силы через ур и zp- Перенесем силу в центр тяжести сечения и согласно правилам статики добавим два момента Mz=—Pyp и Му = —Pzp (рис. 11.12, б). При этом внутренние усилия в произвольном поперечном сечении стержня будут равны:
Рис. 11.11
Рис. 11.12
Согласно принятому правилу знаков внутренние усилия являются отрицательными, поскольку в точках первой четверти сечения они вызывают сжатие. Отметим также, что величины внутренних усилий не изменяются по длине стержня и, таким образом, распределение нормальных напряжений в сечениях, достаточно удаленных от места приложения нагрузки, будет одинаковым.
Подставив (11.11) в (11.1), получим формулу для определения нормальных напряжений при внецентренном сжатии:
Эту формулу можно преобразовать к виду
где iy, iz — главные радиусы инерции сечения, определяемые по формулам:
Приравняв выражение (11.12) к нулю, получим уравнение нулевой линии
Полагая в этом уравнении последовательно у = 0 и z — 0, получим формулы для определения отрезков, отсекаемых нулевой линией на осях координат:
Отложив эти отрезки на осях, проведем нулевую линию (рис. 11.13), в каждой точке которой о = 0. Отметим, что при внецентренном сжатии (растяжении) нулевая линия не проходит через центр тяжести сечения, а ее положение не зависит от величины силы Р.
Поскольку знаки величин ^и^ противоположны знакам соответственно zp и у , нулевая линия проходит через те четверти системы координат, которые не содержат точки приложения силы (рис. 11.13).
Рис. 11.13
Рис. 11.14
Положение нулевой линии зависит от геометрических характеристик сечения и от координат точки приложения силы. При этом величины Zq, zp и у0, ^являются обратно пропорциональными по отношению друг к другу.
Исследуем изменение положения нулевой линии при перемещении точки приложения силы вдоль прямой, проходящей через центр тяжести сечения. Из формул (11.14) следует, что все нулевые линии будут при этом параллельными, причем при приближении точки приложения силы к центру тяжести сечения величины zp и у уменьшаются и нулевая линия удаляется от него, и наоборот (рис. 11.14).
Нетрудно доказать также следующее положение. Если точка приложения силы перемещается вдоль прямой, не проходящей через центр тяжести сечения, то нулевая линия поворачивается относительно некоторой точки (рис. 11.15). Справедливо и обратное утверждение. Это свойство используется при построении особой фигуры — ядра сечения.
Рис. 11.16
Рис. 11.15
Нормальные напряжения в сечении изменяются по линейному закону, увеличиваясь по абсолютной величине по мере удаления от нулевой линии. Эпюра о строится на прямой, перпендикулярной к нулевой линии. При этом она может быть разнозначной или однозначной (см. рис. 11.14). Последнее имеет место в случае, если точка приложения силы Р расположена вблизи центра тяжести сечения. Напомним, что при центральном сжатии или растяжении нормальные напряжения являются одинаковыми по величине, а эпюра с представляет собой прямоугольник.
В точках прямой, проходящей через центр тяжести сечения и параллельной нулевой линии, нормальные напряжения равны °о =—P/F.
Рассмотрим случай разнозначной эпюры с (рис. 11.14, а). Так же как и при косом изгибе, наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения действуют в точках сечения, наиболее удаленных от нулевой линии (угловые точки А и В на рис. 11.14). Для произвольного сечения эти точки и их координаты устанавливаются с помощью касательных к сечению, параллельных нулевой линии (например, точка А на рис. 11.16). В общем случае онбф |онм|.
Если материал стержня неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то необходимо обеспечить выполнение двух условий прочности по наибольшим растягивающим и наибольшим сжимающим напряжениям в точках А и В:
где Rp и Rc — расчетные сопротивления материала при растяжении и сжатии; zA, УА и zB, У в ~ координаты наиболее напряженных точек сечения.
Из условий прочности (11.15) можно определить величину предельной расчетной силы.
Для стержней из материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию (R^ = Rc = R), а также в случае однозначной эпюры о (рис. 11.14, б) достаточно обеспечить выполнение одного условия прочности по точке с наибольшими по абсолютной величине напряжениями.
В инженерной практике чаще имеет место случай внецент- ренного сжатия (или растяжения), когда точка приложения силы Р расположена на одной из главных осей (рис. 11.17, а). При этом согласно формулам (11.14) нулевая линия параллельна другой главной оси (рис. 11.17, б). Нормальные напряжения определяются по двухчленной формуле. Например, для случая, показанного на рис. 11.17, имеем
Рис. 11.17
Многие строительные материалы (бетон, кирпичная кладка, чугун и др.) плохо сопротивляются растяжению. Поэтому в элементах конструкций из таких материалов, работающих на вне- центренное сжатие, нежелательно появление растягивающих нормальных напряжений. Это условие будет выполнено, если точка приложения силы расположена внутри или на границе некоторой области вокруг центра тяжести, которая называется ядром сечения.
Граница или контур ядра строится с помощью нулевых линий, которые являются касательными к сечению. При этом координаты точек контура ядра определяются с помощью формул
(11.14):
Здесь у0, Zq — координаты точек пересечения нулевых линий, касательных к контуру сечения, с осями координат; ур, zp — координаты точек контура ядра, соответствующие положению данной касательной.
Таким образом, если точка приложения силы расположена на контуре ядра, то нулевые линии являются касательными к сечению, а эпюра с представляет собой треугольник. При приложении силы внутри ядра нулевая линия проходит вне сечения (условная нулевая линия) и эпюра о является трапецией.
Ядро сечения содержит центр тяжести и является выпуклой фигурой, поскольку соответствующие границе ядра нулевые линии должны касаться огибающей контура сечения и не пересекать его.
При построении контура ядра его точки надо соединить соответствующими линиями. Если нулевые линии, касательные к сечению, перемещаются при переходе от одного положения к другому путем поворота вокруг угловых точек, то на основании изложенного выше положения линии контура ядра являются прямыми.
Рис. 11.18
Рис. 11.19
Рис. 11.20
Построим ядро сечения для некоторых фигур. Для прямоугольника достаточно провести две нулевые линии, являющиеся касательными к сечению (рис. 11.18). Для касательной 1 — 1 имеем у() = И/2 и Zq= °°. Учитывая, что
определяем координаты точки 1 контура ядра сечения:
Аналогично для касательной 2—2 находим координаты точки 2: zp = — b/6, ур = 0. Точки 3 и 4 расположены симметрично по отношению к точкам 1 и 2. Ядро сечения представляет собой ромб с длинами диагоналей h/З и Ь/3 (рис. 11.18).
Ядро сечения для двутавра также представляет собой ромб, значительно вытянутый вдоль оси Оу (рис. 11.19), поскольку J. » Jy. Ядро сечения для швеллера является четырехугольником, симметричным относительно оси Oz (рис. 11.20).
При построении ядра сечения для круга достаточно провести одну касательную 1—1 (рис. 11.21), для которой у0 = R, Zq = °°.
Рис. 11.21
Рис. 11.22
Учитывая, что для круга
находим координаты точки 1:
Очевидно, что ядро сечения для круга представляет собой также круг с радиусом г = R/4. Такой же вид имеет ядро для кольцевого сечения (рис. 11.22), однако радиус ядра значительно больше, чем для сплошного круга. Нетрудно показать, что при 5 « R2 радиус ядра сечения приближенно равен Rq/2, где Rq — средний радиус кольца.
Рис. 11.23
При построения ядра сечения, показанного на рис. 11.23, достаточно провести четыре касательные к сечению и определить координаты четырех точек контура ядра. Точки 1, 2 и 3 надо соединить прямыми линиями. Контур ядра между точками 3, 4 является криволинейным. Точки 5 и 6 симметричны по отношению к точкам 3 и 2.
Пример 11.5. Для короткого чугунного стержня коробчатого сечения, испытывающего внецентренное сжатие (рис. 11.24, а), определим расчетную величину силы Р из условий прочности. Построим эпюру о и ядро сечения. В расчетах примем Rp = = 50 МПа = 5 кН/см2, Rc = 150 МПа = 15 кН/см2 и ус = 1,0.
Рис. 11.24
Определяем необходимые геометрические характеристики сечения (рис. 11.24, б):
Координаты точки приложения силы Р равны: ур = 6 см, zp — = —4,5 см. Определяем по формулам (11.14) величины отрезков, отсекаемых нулевой линией на осях координат:
Отложив эти отрезки на осях, проводим нулевую линию, которая пересекает сечение и делит его на зоны растяжения и сжатия. Эпюра с является разнозначной (рис. 11.24, б). Наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения действуют в угловых точках Ли В, наиболее удаленных от нулевой линии. Координаты этих точек равны: уА = —6 см, zA = 4,5 см, ув= 6 см, zB = —4,5 см.
Из условий прочности при растяжении и сжатии находим два значения расчетной силы Р:
Для обеспечения прочности стержня в зонах растяжения и сжатия принимаем с округлением меньшую силу Р = 100 кН. При этом напряжения в точках Ли В равны:
Прочность стержня обеспечена. Эпюра о приведена на рис. 11.24, б.
Для построения ядра сечения достаточно провести две нулевые линии, касательные к контуру сечения, и определить координаты двух точек контура ядра.
Касательная 1—1:
Касательная 2—2:
Проведенные касательные соответствуют точкам 1 и 2 контура ядра сечения. Симметрично расположены точки 3 и 4. Поскольку касательные переходят из одного положения в другое путем поворота вокруг угловых точек сечения, все линии контура ядра являются прямыми. Ядро сечения представляет собой ромб (рис. 11.24, б). Так как точка приложения силы принадлежит одновременно касательным 1—1 и 2—2 , нулевая линия проходит по линии контура ядра 1—2.
Пример 11.6. Для короткого стального стержня составного сечения, находящегося в условиях внецентренного сжатия (рис. 11.25, а), определим величину расчетной силы Риз условия прочности. В расчетах примем Р = 210МПа = 21 кН/см2 и ус = 0,9. Построим эпюру о и ядро сечения.
Поскольку zp = 0, данная задача относится к частному случаю внецентренного сжатия. Определяем необходимые геометрические характеристики сечения:
Определяем положение нулевой линии:
Рис. 11.25
Нулевая линия параллельна оси Oz и не пересекает сечение. Эпюра а является однозначной (рис. 11.25, б). Наибольшие сжимающие напряжения действуют в крайних верхних точках сечения (у = ув = —11 см). Из условия прочности определяем расчетное значение силы Р:
При действии силы Р = 744 кН наибольшие сжимающие напряжения в крайних верхних точках сечения по абсолютной величине равны уCR = 189 МПа. Определяем напряжения в крайних нижних точках сечения (у = уА= 11 см):
Напряжения в поперечных сечениях стержня являются сжимающими. Эпюра а приведена на рис. 11.25, б.
Ядро сечения представляет собой ромб, координаты вершин которого определяем с помощью двух касательных к сечению. Касательная 1—1:
Касательная 2—2:
Точка приложения силы расположена внутри ядра сечения (рис. 11.25, б).
Источник