При осевом растяжении бруса возникает
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник
Напряжения и деформации. Коэффициент Пуассона. Закон Гука
Осевое растяжение (рис. 2.1, а) и сжатие (рис. 2.1, б) возникают под действием сил, направленных вдоль оси бруса (стержня). При растяжении (сжатии) в поперечном сечении бруса возникает только одно внутреннее усилие — продольная сила N. На растяжение (сжатие) работают канаты, стержни ферм и т.п. Растяжение (сжатие) могут вызвать сосредоточенные силы и продольная распределенная нагрузка (рис. 2.2). Здесь q — интенсивность продольной распределенной нагрузки, сила, приходящаяся на единицу длины, Н/м, кН/м.
Рис. 2.1. Осевое растяжение (а) и сжатие (б)
Рис. 2.2. Элемент, работающий на растяжение
Изобразим стержень, который подвергается центральному растяжению (рис. 2.3). Для определения внутренних сил применим метод сечений. В произвольном сечении стержня покажем внутренние усилия, которые при данном виде нагружения будут совпадать с направлением нормальных напряжений.
Рис. 2.3. Дефрмации при осевом растяжении (а) и равнодействующая внутренних сил (б): / — исходное состояние; 2 — деформационное состояние
Равнодействующая внутренних усилий будет состоять только из продольной составляющей:
Она будет приложена в центре тяжести сечения стержня, который совпадает с продольной осью.
При расчетах по методу сечений будем всегда продольную силу направлять наружу. Если N > 0, то она направлена верно, а если получается, что jV
Составим уравнение равновесия отсеченной части:
Из гипотезы плоских сечений, высказанной голландским ученым Д. Бернулли, следует, что в пределах действия закона Гука плоские поперечные сечения стержня смещаются при растяжении параллельно начальным положениям, оставаясь плоскими (рис. 2.3, б). Это возможно лишь в случае, если нормальные напряжения во всех точках сечения одинаковы, т.е. О = const. Отсюда следует:
Под действием осевых растягивающих сил стержень постоянного сечения площадью А удлиняется на величину
где /j и /0 — длины стержня в деформированном и начальном состояниях;
А/ — абсолютное или полное удлинение.
Относительное удлинение
При растяжении и сжатии возникает также и поперечная деформация стержня
где и а — ширина стержня в деформированном и первоначальном состояниях; А а — абсолютная поперечная деформация.
Относительная поперечная деформация
Знак (-) показывает, что при растяжении поперечные размеры стержня уменьшаются.
Коэффициент Пуассона. Отношение поперечной деформации к продольной при растяжении (сжатии), взятое по абсолютной величине, называют коэффициентом Пуассона:
Значение V для всех материалов находится в пределах 0
Закон Гука. Для подавляющего большинства конструкционных материалов с достаточной для практики точностью можно считать, что в известных пределах нагружения между продольной деформацией и соответствующим (действующим в ее направлении) нормальным напряжением существует пропорциональная (линейная) зависимость. Эта зависимость носит название закона Гука и записывается в виде
где Е — коэффициент пропорциональности, именуемый модулем упругости первого рода (модуль Юнга).
По физическому смыслу модуль упругости — напряжение, которое вызывает деформацию ? = 1 (удлинение стержня, равное первоначальной длине).
Для статей по данным экспериментов Е = (2…2,2)105 МПа для ста-
N А/
леи. Учитывая, что О = —, ? = —, закон Гука для растянутого стержня можно записать
где X] =— — коэффициент податливости стержня, показывающий уд-
is • А
линение (укорочение) стержня, вызываемое растягивающей силой F= 1 Н.
Произведение ЕА называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии). Для стержней переменного (ступенчатого) сечения удлинения определяют по участкам (ступеням) и результаты суммируют алгебраически:
где i — номер участка (i = 1, 2,…,«).
При расчете упругих перемещений стержня от нескольких сил часто применяют принцип независимости действия сил: перемещение стержня от действия группы сил может быть получено как сумма перемещений от действия каждой силы в отдельности.
Пример 2.1. Определить полное удлинение стержня (рис. 2.4).
Решение
Рис. 2.4. Определение внутренних сил и построение их эпюры
Определим с помощью метода сечений значения продольной силы на каждом участке. Для этого сделаем три сечения. Рассмотрим равновесие отсеченных частей:
Изобразим графически распределение продольных сил по длине стержня. График изменения продольных сил по длине стержня называется эпюрой. Каждая ордината эпюры равна значению N в данном сечении. Эпюру строят на линии, проведенной параллельно оси стержня. Подставив найденные значения N, N2, N3 в формулу, определим общее удлинение стержня
Пример 2.2. Определить величину напряжения О. возникающего в поперечном сечении, абсолютное удлинение Д/ и относительное укорочение ? стального стержня диаметром d = 40 мм, длиной / = 1,5 м, растягиваемого силой F = 100 кН, если Е = 2,1 • 105 Н/мм2 (рис. 2.5).
Рис. 2.5. К примеру 2.2
Решение
Площадь сечения
Напряжение
Абсолютное удлинение
Относительное удлинение
Пример 2.3. Стальная штанга длиной / = 8 м и площадью сечения А = 8 см2 под действием растягивающей нагрузки получила абсолютное удлинение А/ = 5,7 мм. Определить величину нагрузки F и напряжения G, если известно, что модуль упругости материала тяги Е = 2,МО5 МПа (рис. 2.6).
Решение
Относительное удлинение
Величина напряжения
Величина нагрузки
Рис. 2.6. К примеру 2.3
Источник
ПРОДОЛЬНАЯ СИЛА
Осевым (центральным) растяжением (сжатием) называется такой вид деформации бруса, при котором внутренние силы в его поперечных сечениях приводятся к одной равнодействующей силе N, направленной вдоль оси z (см. рис. 1.16, г). Эта сила, как указывалось в параграфе 1.5, называется продольной, или нормальной, поскольку она перпендикулярна (нормальна) поперечному сечению.
Осевое растяжение и сжатие часто встречаются в строительной практике. Растяжение, например, возникает в тросе любого подъемника (рис. 2.1, а), на сжатие под действием собственного веса при отсутствии ветровой нагрузки работают сооружения башенного типа (рис. 2.1, б).
Рис. 2.1
Тонкий и длинный прямой брус, работающий на растяжение или сжатие, обычно называют стержнем‘. Вертикально стоящий брус, предназначенный для восприятия сжимающей нагрузки [1]
от вышележащих конструкций, называется колонной, или стойкой (рис. 2.2).
Рис. 2.2
Продольную силу определяют методом сечений. Брус рассекают воображаемой плоскостью, перпендикулярной его оси, мысленно отбрасывают одну из образовавшихся частей, а ее действие на оставшуюся часть заменяют неизвестной силой N (рис. 2.3). После этого составляют единственное уравнение равновесия оставшейся части ^Z = 0, из которого и определяют значение N.
Рис. 2.3
Правило знаков. Силу N принято считать положительной при растяжении, т.е. когда она направлена от сечения (см. рис. 2.3). При сжатии, наоборот, продольная сила отрицательна и направлена к сечению.
Если направление продольной силы неизвестно, то во избежание ошибки в знаке ее условно принимают положительной, полагая, что брус растянут. Знак «плюс» при решении уравнения равновесия подтвердит сделанное предположение, знак «минус» укажет на ошибочность выбранного направления, и в действительности брус не растянут, а сжат.
В тех случаях, когда значения продольной силы в различных сечениях бруса неодинаковы, строят эпюру продольной силы, которая представляет собой график изменения силы N по длине бруса. Эпюра необходима для расчета бруса на прочность. Она позволяет быстро находить опасные сечения, т.е. сечения, где продольная сила достигает наибольших абсолютных значений. Рассмотрим порядок построения такой эпюры.
Пример 2.1. Определить значения продольной силы на всех участках бруса, нагруженного силами Fx — 60 кН, F2 — 40 кН, = 90 кН (рис. 2.4, а), и построить эпюру продольной силы.
Решение. Брус имеет три участка. Их границами являются сечения, где приложены внешние силы. Расчет защемленного бруса целесообразно начинать со свободного конца, так как при этом отпадает необходимость в предварительном определении реакции заделки. Пользуясь методом сечений, мысленно разрежем брус по сечению 1—1 верхнего участка и отбросим нижнюю часть, заменяя ее действие на оставшуюся верхнюю неизвестной продольной силой N (рис. 2.4, б).
Рис. 2.4
Следуя рекомендации, предположим, что эта сила направлена от сечения (рассматриваемый участок растянут), и, руководствуясь правилом знаков статики, составим уравнение равновесия верхней части:
откуда
Продольная сила получилась отрицательной, следовательно, ее первоначальное направление выбрано неправильно и участок работает не на растяжение, а на сжатие. Заметим, что полученное значение продольной силы справедливо на всем протяжении верхнего участка, поскольку в любом его поперечном сечении удовлетворяется записанное уравнение равновесия.
Путем аналогичных рассуждений в сечении 2—2 (рис. 2.4, в) получим:
т.е. средний участок тоже сжат.
Далее формально следовало бы составить уравнение равновесия и для третьего участка, но, анализируя выражения усилий 7V, и N2, замечаем, что продольная сила в поперечном сечении прямого бруса численно равна алгебраической сумме проекций на его ось всех внешних сил, приложенных с одной стороны (в данном случае — сверху) от рассматриваемого сечения.
Сформулированный вывод имеет большое практическое значение. Он позволяет определять продольную силу, не прибегая каждый раз к изображению отсеченной части бруса и составлению уравнений равновесия. При этом необходимо руководствоваться введенным выше правилом знаков силы N («плюс» — при растяжении, «минус» — при сжатии).
С учетом изложенного в сечении 3—3 (рис. 2.4, г):
или
Сила положительна, поэтому нижний участок растянут.
Вычислив значения продольной силы на каждом участке, покажем ее графическое изменение по длине бруса. Для этого проведем параллельно оси бруса так называемую базисную линию (ось эпюры) и отложим перпендикулярно ей в выбранном масштабе найденные числовые значения силы ЛЧрис. 2.4, д): положительные — вправо, отрицательные — влево (для горизонтально расположенного бруса соответственно вверх и вниз). Соединим полученные точки прямыми, параллельными базисной линии, и укажем алгебраические знаки. Построенную таким образом эпюру заштрихуем линиями, перпендикулярными оси. По этим линиям можно судить о значении продольной силы в соответствующих поперечных сечениях бруса.
Графическое оформление эпюры должно отвечать требованиям Р 50- 77—88 и ГОСТ 2.303—68*. Ось эпюры следует выполнять сплошной основной линией толщиной s — 0,5—1,4 мм, саму эпюру — сплошной линией толщиной 2s. Линии штриховки и выносные должны быть тонкими, ТОЛЩИНОЙ ОТ 5/3 ДО 5/2.
При рассмотрении построенной эпюры видно, что в сечениях, где приложены сосредоточенные внешние силы (на границах участков), внутренняя сила меняется скачкообразно, причем размер скачка равен соответствующей внешней силе. Так, скачок на уровне заделки характеризует значение реакции (V— 70 кН). Положительный знак на нижнем участке эпюры свидетельствует о том, что реакция направлена вниз (от опорного сечения).
Пример 2.2. Исследовать, как влияет на работу бруса перенос внешней силы по линии ее действия.
Решение. На рис. 2.5, а внешняя сила приложена к свободному концу и растягивает весь брус: в любом поперечном сечении возникает продольная сила N — /»(рис. 2.5, б). Если перенести силу Fпо оси в точку К (рис. 2.5, в), то равновесие бруса не нарушится, реакция заделки не изменится, но растянутой окажется только верхняя часть (рис. 2.5, г). Если внешнюю силу приложить к закрепленному концу бруса, то она не вызовет растяжения вообще (рис. 2.5, д).
Рис. 2.5
Таким образом, перенос силы по линии ее действия существенно меняет характер работы бруса. Следовательно, понятие точки приложения силы, которое не имеет конкретного смысла для абсолютно твердого тела (в статике), при определении внутренних сил в деформируемом теле приобретает первостепенное значение.
Источник