При деформации растяжения модуль юнга

Все твердые тела, как кристаллические, так и аморфные, имеют свойство изменять свою форму под воздействие приложенной к ним силы. Другими словами, они подвергаются деформации. Если тело возвращается к исходным размерам и форме после того, как внешнее усилие прекращает свое воздействие, то его называют упругим, а его деформацию считают упругой. Для любого тела существует предел приложенного усилия, после которого деформация перестает быть упругой, тело не возвращается в исходную форму и к исходным размерам, а остается в деформированном состоянии или разрушается. Теория упругих деформаций тел была создана в конце 17 века британским ученым Р. Гуком и развита в трудах его соотечественника Томаса Юнга. В их честь Гука и Юнга были названы соответственно закон и коэффициент, определяющий степень упругости тел. Он активно применяется в инженерном деле в ходе расчетов прочности конструкций и изделий.

Основные сведения

Модуль Юнга, (называемый также модулем продольной упругости и модулем упругости первого рода) это важная механическая характеристика вещества. Он является мерой сопротивляемости продольным деформациям и определяет степень жесткости. Он обозначается как E; измеряется н/м2 или в Па.

Это важный коэффициент применяют при расчетах жесткости заготовок, узлов и конструкций, в определении их устойчивости к продольным деформациям. Вещества, применяемые для изготовления промышленных и строительных конструкций, имеют, как правило, весьма большие значения E. И поэтому на практике значения Е для них приводят в гигаПаскалях (1012Па)

Величину E для стержней поддается расчету, у более сложных конструкций она измеряется в ходе опытов.

Приближенные величины E возможно узнать из графика, построенного в ходе тестов на растяжение.

E- это частное от деления нормальных напряжений σ на относительное удлинение ε.

E=α/ε

Закон Гука также можно сформулировать и с использованием модуля Юнга.

Физический смысл модуля Юнга

Во время принудительного изменения формы предметов внутри них порождаются силы, сопротивляющиеся такому изменению, и стремящиеся к восстановлению исходной формы и размеров упругих тел.

Если же тело не оказывает сопротивления изменению формы и по окончании воздействия остается в деформированном виде, то такое тело называют абсолютно неупругим, или пластичным. Характерным примером пластичного тела является брусок пластилина.

Р. Гук исследовал удлинение стрежней из различных веществ, под воздействием подвешенных к свободному концу гирь. Количественным выражением степени изменения формы считают относительное удлинение, равное отношению абсолютного удлинения и исходной длины.

В результате серии опытов было установлено, что абсолютное удлинение пропорционально с коэффициентом упругости исходной длине стрежня  и деформирующей силе F и обратно пропорционально площади сечения этого стержня S:

Δl = α * (lF) / S

Величину, обратную α, и называют модулем Юнга:

1/α = E

Относительная деформация:

ε = (Δl) / l = α * (F/S)

Отношение растягивающей силы F к S называют упругим напряжением σ:

ε=α σ

Закон Гука, записанный с использованием модуля Юнга, выглядит так:

σ = ε/α = E ε

Теперь можно сформулировать физический смысл модуля Юнга: он соответствует напряжению, вызываемому растягиванием стержнеобразного образца вдвое, при условии сохранения целостности.

В реальности подавляющее большинство образцов разрушаются до того, как растянутся вдвое от первоначальной длины. Значение E вычисляют с помощью косвенного метода на малых деформациях.

Коэффициент жёсткости при упругой деформации стержня вдоль его оси k = (ES) / l

Модуль Юнга определяет величину потенциальной энергии тел или сред, подвергшихся упругой деформации.

Значения модуля юнга для некоторых материалов

В таблице показаны значения E ряда распространенных веществ.

Модуль продольной упругости стали вдвое больше модуля Юнга меди или чугуна. Модуль Юнга широко применяется в формулах прочностных расчетов элементов конструкций и изделий в целом.

Предел прочности материала

Это предел возникающего напряжения, после которого образец начинает разрушаться.

Статический предел прочности измеряется при продолжительном приложении деформирующего усилия, динамический — при кратковременном, ударном характере такого усилия. Для большинства веществ динамический предел больше, чем статический.

Кроме того, существуют пределы прочности на сжатие материала и на растяжение. Они определяются на испытательных стенда опытным путем, при растягивании или сжатии образцов мощными гидравлическим машинами, снабженными точными динамометрами и измерителями давления. В случае невозможности достижения требуемого давления гидравлическим способом иногда применяют направленный взрыв в герметичной капсуле.

Допускаемое механическое напряжение в некоторых материалах при растяжении

Из жизненного опыта известно, что разные материалы по-разному сопротивляются изменению формы. Прочностные характеристики кристаллических и других твердых тел определяются силами межатомного взаимодействия. По мере роста межатомных расстояний возрастают и силы, притягивающие атомы друг к другу. Эти силы достигают максимума при определенной величине напряжения, равной приблизительно одной десятой от модуля Юнга.

Эту величину называют теоретической прочностью, при ее превышении начинается разрушение материала. В реальности разрушение начинается при меньших значениях, поскольку строение реальных образцов неоднородно. Это вызывает неравномерное распределение напряжений, и разрушение начинается с тех участков, где напряжения максимальны.

Значения σраст в МПа:

Эти цифры учитываются конструкторами при выборе материала деталей будущего изделия. С их использованием также проводятся прочностные расчеты. Так, например, тросы, используемые для подъемно- транспортных работ, должны иметь десятикратный запас по прочности. Периодически их проверяют, подвешивая груз в десять раз больше, чем паспортная грузоподъемность троса.

Запасы прочности, закладываемые в ответственные конструкции, также многократны.

Коэффициент запаса прочности

Для количественного выражения запаса прочности при конструировании применяют коэффициент запаса прочности. Он характеризует способность изделия к перегрузкам выше номинальных. Для бытовых изделий он невелик, но для ответственных узлов и деталей, могущих при разрушении представлять опасность для жизни и здоровья человека, его делают многократным.

Точный расчет прочностных характеристик позволяет создать достаточный для безопасности запас прочности и одновременно не перетяжелить конструкцию, ухудшая ее эксплуатационные характеристики. Для таких расчетов используются сложные математические методы и совершенное программное обеспечение. Наиболее важные конструкции обсчитывают на суперкомпьютерах.

Связь с другими модулями упругости

Модуль Юнга связан с модулем сдвига, определяющим способность образца к сопротивлению против деформации сдвига, следующим соотношением:

E связан также и с модулем объёмной упругости, определяющим способность образца к сопротивлению против одновременного сжатия со всех сторон.

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 10 января 2018; проверки требуют 8 правок.

При действии сил на тело изменяется его форма, т. е. говорят что тело деформируется. Деформации возникают всегда при действии силы, однако, в одних случаях они не значительны и малозаметны, в других – их величина имеет большое значение. Различают деформации кручения, сдвига, растяжения, сжатия и изгиба. Во многих задачах механики необходимо знать законы, связывающие различные деформации с вызывающими их силами. Однако, законы, связывающие силы и деформации, в общем случае очень сложны и не являются предметом нашего рассмотрения. Рассмотрим простейший случай – деформации в упругом теле, или деформацию растяжения одного стержня длиной ℓ0 (рис. 1).

Рис.1

Пусть верхний конец стержня закреплен на опоре, а к нижнему – приложена сила F. Стержень деформируется, т. е. растянется на величину Δℓ0. Относительно удлинения стержня будет Оно будет зависеть от величины растягивающей силы F. Под действием силы в стержне нарушается равновесие внутренних сил (межатомных, межмолекулярных). В каждом сечении стержня появляются отличные от нуля результирующие внутренних сил, направленные против внешней силы F. В момент уравновешивания внешних сил внутренними деформациями тела достигает определенной величины и больше не изменяются. Следовательно, в условиях равновесия величина внутренних упругих сил может быть измерена величиной внешних сил, приложенных к телу.

Внешняя сила, действующая на единицу площади поперечного сечения тела, называется напряжением и обозначается . Напряжение в растягиваемом стержне будет равно:

,

где S – площадь поперечного сечения стержня.

Опыт показывает, что относительная деформация определяется напряжением. Связь между деформацией и напряжением можно изобразить графически (рис. 2). Как видно из рисунка линейная зависимость от выполняется в узком диапазоне приложенных напряжений (до точки П). Предельное значение напряжений, при котором еще соблюдается линейная зависимость напряжения от деформации, называется пределом пропорциональности. Область деформации, соответствующих участку кривой, начинающемуся от точки У, называется областью пластической деформации. После точки Р. кривая спадает и обрывается, что соответствует разрушению образца, т. е. пределу прочности тела.

рис.2

В данной работе нас будет интересовать только упругие деформации. Из рисунка видно, что до точки П кривая представляет собой прямую линию, т. е. зависимость между напряжением и деформацией можно представить простым законом:

или

Это соотношение выражается законом Гука: относительное удлинение прямо пропорционально приложенному напряжению (т. е. растягивающему усилию на единицу площади ).

Коэффициент Е носит название модуля Юнга. Для стали величина Е.=2*106кг/см2 – 2*1011Н/м2, а для алюминия Е.=7*1010Н/м2.

Из формулы один следует физический смысл модуля Юнга E.

При Δ модуль Юнга E= F/S = , т.е. модуль Юнга равен напряжению, которое возникало бы в образце при увеличении его длины в 2 раза, если бы при столь большой деформации был бы справедлив закон Гука. В реальных случаях разрушение образца наступает значительно быстрее, чем будет достигнуто удлинение Δ 0= 0т.е. относительные увеличения тел при деформациях как правило, очень малы.

ЗАДАНИЕ 1 : Определение модуля Юнга из растяжения.

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ : прибор Лермонтова, проволока из исследуемого материала, измерительный микроскоп МИР-2, набор грузов, микрометр, измерительная линейка / рулетки /.

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРЕМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ.

Для определения модуля Юнга в данной работе используется прибор Лермонтова /рис.3/. Исследуемая проволока своим верхним концом крепится к кронштейну 1, а нижним – соединена со стержнем площадки 2, на которую можно перекладывать грузы с площадки 3, и тем самым изменять напряжение проволоки. Такая система позволяет в течение всего опыта поддерживать на верхнем кронштейне 1 постоянную нагрузку, равную суммарному весу грузов на площадках 2 и 3. В результате этого исключается влияние деформации кронштейна 1 на точность измерений. На конце кронштейна 4 крепится измерительный микроскоп МИР-2 для отсчета величины удлинения проволоки по шкале 6, которая закрепляется на конце испытуемой проволоки.

При проведении эксперимента следует иметь в виду, что растяжение проволоки рассчитано на строго определенный груз, который в исходном состоянии сосредоточен на площадке 3, т.е. площадка 2 должна быть разгружена. Увеличивать нагрузку на площадке 2 более предусмотренного в работе опасно, так как при этом можно выйти из области применимости закона Гука.