Потенциальная энергия стержня при растяжении
Считая процесс нагружения квазистатическим и учитывая линейную связь Al(N), для потенциальной энергии деформации имеем
Если брус неоднородный, то
Удельная потенциальная энергия деформации, соответственно, равна
Статически неопределимые системы. Перемещение систем в пространстве ограничено связями. Если число связей, наложенных на систему, больше, чем необходимое для ее решения число уравнений статики, то такие системы называют статически неопределимыми. Для их решения используют дополнительные уравнения совместности деформаций. Характерной особенностью статически неопределимых систем является возникновение в них температурных напряжений, образующихся без внешних усилий под воздействием температуры.
При испытании на растяжение обеспечивается однородность напряженного состояния всех точек образца на рабочей длине. Испытание на растяжение достаточно просто, а его результаты в меньшой степени зависят от формы и размеров образца, чем испытания других видов. Наконец, испытание на растяжение позволяет получить достоверные характеристики прочности, упругости и пластичности материала, которые можно также использовать в расчетах деталей, работающих в условиях сложного напряженного состояния.
Характерный вид диаграммы растяжения образца из пластичного материала представлен на рис. 14.3. На этой диаграмме можно выделить четыре основных участка (зоны).
Рис. 143. Диаграммы растяжения образцов
На участке ОЛ материал подчиняется закону Гука. Деформации образца очень малы и при разгрузке исчезают. Участок ОЛ называют зоной упругости. За пределами этого участка деформация образца складывается из упругой и пластической (остаточной) составляющих.
Участок ВС характеризуется нарастанием пластической деформации без увеличения осевой нагрузки (Р = Рт) и называется зоной общей текучести. При нагрузке Рт во всем объеме рабочей части образца происходят необратимые деформации сдвига между кристаллическими слоями. В результате текучести происходит перестройка кристаллической решетки, несущая способность образца увеличивается и для его дальнейшего деформирования требуется повышение нагрузки.
Участок CD называют зоной упрочнения. Здесь удлинение образца сопровождается возрастанием нагрузки, но гораздо более медленным, чем на участке ОЛ. В точке D диаграммы осевая растягивающая нагрузка достигает максимального значения (Р = Ртах). К этому моменту на образце наметилось место будущего разрыва — образовалось местное сужение, называемое шейкой (или пластический шарнир).
Дальнейший ход испытания связан с прогрессирующим утонением шейки и сосредоточением деформации образца в районе шейки. Участок DFдиаграммы носит название зоны местной текучести. Здесь нагрузка плавно уменьшается (Р тах) вплоть до разрушения образца в шейке.
Если образец нагрузить до точки L диаграммы, а затем плавно уменьшить нагрузку, то зависимость между силой и деформацией изобразится отрезком LM, параллельным прямой О А При полной разгрузке образца его удлинение уменьшится, но не исчезнет. Таким образом, полное удлинение образца в точке L складывается из двух составляющих — упругой А/у и остаточной — Д/(кт. При повторном нагружении такого образца материал будет деформироваться упруго до точки L (см. рис. 14.3, б). В результате предварительной вытяжки материал приобрел способность воспринимать без остаточных деформаций большие нагрузки. Исчезла площадка текучести, материал стал более хрупким. Подобное явление, называемое наклепом (или нагартовкой), широко используют в технике.
Параметры диаграммы растяжения в координатах А/—Р зависят не только от свойств материала образца, но и от его размеров. Чтобы получить характеристики материала, машинную диаграмму А/—Р перестраивают в координатах е —а (относительная деформация — напряжение). Связь между координатами определяется зависимостями
где А() — начальная площадь поперечного сечения образца; /() — начальная расчетная длина образца.
Поскольку А0 и /() — константы, диаграмма деформаций при растяжении имеет ту же форму (рис. 14.4, кривая 1). Обработка диаграммы деформаций позволяет определить следующие основные характеристики материала:
- • физический предел текучести от = Рт/Л();
- • предел прочности (временное сопротивление) овр = Ртах/Л0;
• относительное удлинение после разрыва
• относительное сужение после разрыва
Рис. 14.4. Диаграммы деформаций пластичного материала:
1 — условная для испытания на растяжение; 2 — истинная; 3 — условная для испытания
на сжатие
Первые две характеристики относятся к характеристикам прочности, две другие — к характеристикам пластичности. Здесь /к — конечная расчетная длина образца; Ак — площадь поперечного сечения образца в месте его разрыва.
По величине относительного удлинения после разрыва 5 материалы условно разделяют на следующие группы:
- • 8
- • 5%
- • 8 > 15% — пластичные материалы.
Более тщательная обработка диаграммы деформаций при растяжении позволяет определить дополнительные характеристики материала. Предел пропорциональности стм определяют как условное напряжение, при котором отступление от прямой пропорциональной зависимости между нагрузкой и удлинением составляет 50% (рис. 14.5). Для получения величины ап к кривой диаграммы деформаций проводится касательная под углом ап = = arctg(tga/l,5).
Под пределом упругости ау понимается наибольшее напряжение, до которого образец не получает остаточных деформаций. Поскольку определить это значение практически невозможно, условным пределом упругости называют то напряжение, при котором остаточная деформация составляет 0,01% (см. рис. 14.5, б). Для материалов без четко выраженной площадки текучести определяют условный предел текучести а0 2, который соответствует остаточной деформации 0,2% (рис. 14.5, в).
Рис. 14.5. Диаграммы a — е
Следует заметить, что рассмотренная диаграмма деформаций является условной, поскольку в процессе испытания площадь поперечного сечения образца А0 не остается постоянной, а постепенно уменьшается. Напряжение в шейке ак существенно отличается от рассчитанного но формуле a = = Р/А0 Продольная деформация в шейке ?к также значительно превосходит среднюю деформацию образца, характеризуемую величиной 8 (рис. 14.6). Диаграмма зависимости между напряжением и деформацией в шейке носит название истинной диаграммы деформаций (см. рис. 14.4, кривая 2). На участках упругости, текучести и упрочнения она практически совпадает с условной диаграммой деформаций. Последний участок истинной диаграммы деформаций строится как касательная к условной диаграмме,
Рис. 14.6. Характер деформации и эпюра остаточных деформаций в месте разрыва образца пластичного материала
проведенная из точки FK, координаты которой рассчитываются по формулам:
Рис. 14.7. Диаграммы деформации хрупкого материала:
- 1 — при растяжении:
- 2 — при сжатии
Диаграмма деформаций при растяжении образца хрупкого материала не имеет площадки текучести и зоны упрочнения (рис. 14.7). Разрушение образца происходит при наибольшей величине нагрузки (Р = РП1ах) и весьма малой остаточной деформации без образования шейки. Здесь определяется только одна характеристика предела прочности при растяжении ствр = PmJA0.
Испытание на сжатие применяется в основном для определения характеристик малопластичных и хрупких материалов. Его можно рассматривать как обратное испытанию на растяжение (растяжение с обратным знаком).
При малых деформациях пластичные материалы имеют весьма близкие характеристики растяжения и сжатия. Диаграммы деформаций при растяжении и сжатии (в последней напряжения и деформации условно считают положительными) практически совпадают на участках упругости, текучести и упрочнения. Однако по мере нарастания пластических деформаций при сжатии все больше сказывается влияние трения на торнах и увеличение размеров поперечного сечения образца. В результате нагрузка резко возрастает (см. рис. 14.4, кривая 3), а образец сжимается в тонкий диск (рис. 14.8). Пластичный образец довести до разрушения практически не удается — испытание ограничивается силовыми возможностями испытательной машины.
Диаграмма деформаций при сжатии хрупкого образца подобна диаграмме при растяжении (см. рис. 14.7, кривая 2), однако прочность хрупких материалов при сжатии выше, чем при растяжении. Отношение соответству-
Ж 3 и
Рис. 14.8. Испытание на сжатие:
а — сферическая опора нижнего захвата; 6, в — формы выточек на торцах образца; г—е — стадии деформирования пластичного образца; ж—и — характер разрушения хрупкого образца
ющих пределов прочности а]к./а1ф характеризует степень хрупкости материала и составляет:
- • 2,5—3 — для текстолита;
- • 3—5 — для чугунов;
- • 8—14 — для керамики;
- • 12—150 — для вакуумных стекол.
Испытание на сжатие имеет некоторые особенности по сравнению с испытанием на растяжение. Для устранения перекоса образца при непараллель- ности его торцов в одном из захватов испытательной машины предусмотрена установка сферической опоры (см. рис. 14.8, а). Силы трения между торцами образца и плоскими элементами испытательной машины сдерживают поперечную деформацию образца вблизи его торцов.
В результате образец приобретает характерную бочкообразную форму, в его объеме создается сложное неоднородное напряженное состояние, не соответствующее расчетной схеме. Для уменьшения влияния внешнего трения применяют смазки (вазелин, солидол), прокладки (бумага, пропитанная парафином, тефлон), цилиндрические или конические выточки на торцах (рис. 14.8, б, в). Разрушение хрупкого образца при испытании на сжатие происходит вследствие сколов по плоскостям, наклоненным под углом 45° к оси образца (рис. 14.8, ж, з). Если удается устранить влияние сил внешнего трения на образце, при его разрушении возникают продольные трещины (рис. 14.8, и).
Для испытания на растяжение чаще всего используют образцы с цилиндрической рабочей частью (рис. 14.9). Начальный диаметр d0 выбирается из стандартного ряда в пределах d{) = (3 — 25) мм. Начальное значение расчетной длины образца /() = 11,3~ 10d() («длинный» образец) или /() = 5,65~ ~ 5d0 («короткий» образец). Длина цилиндрического участка 1{ > 1,1 /0.
Концы образца оформляются в виде утолщений (головок), форма и размеры которых определяются захватными устройствами испытательной машин. Между рабочей частью и головками предусмотрены переходные уча-
Рис. 14.9. Стандартные образцы для испытания на растяжение:
а, б — цилиндрические; в — плоский
стки, которые служат для уменьшения концентрации напряжений. Для получения характеристик листового материала с толщиной менее 5 мм применяют плоские образцы (см. рис. 14.9, в). Размер s0 равен толщине листа, ширина Ь0 составляет КНЗО мм, расчетная длина /0 =11,3yjs0b0.
Испытание на сжатие проводят на образцах цилиндрической или кубической формы (рис. 14.10). Для предотвращения потери устойчивости цилиндрического образца во время испытания его высота ограничена: А0 = (1-^3)с70
Рис. 14.10. Образцы для испытания на сжатие:
а — цилиндрический; б — кубический
Источник
Работа внешних сил совершается на перемещениях, которые получают точки приложения сил к телу в результате деформации. Если деформации тела совершенно упруги, то после снятия нагрузки затраченная энергия возвращается телом в виде механической энергии.
Потенциальной энергией деформации называется энергия, которая накапливается в деформированном объеме в процессе наложения системы нагрузок.
Рассмотрим потенциальную энергию деформации в пределах действия закона Гука. В области упругих деформаций можно считать, что работа внешних сил полностью переходит в потенциальную энергию деформации, т. е. w = U, где w — работа внешней силы, U — потенциальная энергия деформации.
Приложим к стержню (рис. 18, а) растягивающую силу F, медленно возрастающую от нуля до конечного значения. До определенных пределов нагружения между приложенной внешней нагрузкой и вызванным ею удлинением стержня существует линейная зависимость (рис. 18, б).
Рис. 18. Схема к определению потенциальной энергии деформации: а) расчетная схема энергии деформации; б) линейный закон сопротивления
Сила F будет производить работу на перемещении ебм, произведенную текущей силой F на элементарном перемещении
Для определения полной работы, которую совершает переменная сила F на перемещении Д/, проинтегрируем выражение (26):
Исходя из геометрического смысла интеграла, можно сказать, что применительно к рассматриваемому случаю, работа силы F на перемещении, равном А/, будет численно равна площади заштрихованного треугольника и определится по формуле
Выразим перемещение 6- Д/ через внешнюю силу F:
Подставив это выражение в (27), получим
Для однородного стержня N-F, тогда
В некоторых задачах, для того чтобы исключить влияние размеров, вводят понятие удельной потенциальной энергии и. Под удельной потенциальной энергией понимается энергия, отнесенная к единице первоначального объема стержня: и = U/V0, где Уо — начальный объем стержня.
Подставив в последнюю формулу V0 = А I и выражение (28) для потенциальной энергии, получим
Единицей энергии в системе СИ является джоуль (Дж), единицей удельной энергии деформации будет джоуль на кубический метр (Дж/м3).
Потенциальная энергия деформации широко применяется в расчетной практике.
Рассмотрим примеры решения задач на растяжение — сжатие.
Пример 3. Стальная тяга длиной / = 8 м и площадью поперечного сечения А = 8 см2 под действием растягивающей нагрузки получила абсолютное удлинение Д/ = 5,7 мм. Определить величину нагрузки F и напряжения о, если известно, что модуль продольной упругости материала тяги Е= 2-106 МПа.
Решение
Находим относительное удлинение:
Пользуясь законом Гука, определим величину напряжения:
Определим величину нагрузки:
Пример 4. Определить напряжение, возникающее в поперечном сечении стального стержня, его абсолютное Д/ и относительное в удлинения, если диаметр d= 40 мм, длина / = 1,5 м, растягиваемая сила F = 100 кН, модуль упругости материала стержня Е- 2-106 МПа.
Решение
Вычислим напряжение:
Находим абсолютное удлинение:
Определяем относительное удлинение:
Пример 5. Проверить прочность заданного стального стержня (рис. 19, а) площадью поперечного сечения А= 5 см2 и определить перемещения сечений С-С и D-D если F = 70 кН, /*2= 120 кН, [а]= 150 МПа.
Рис. 19. Расчет на прочность консольного стержня: а) расчетная схема стержня; б) эпюра продольных сил
Решение
Стержень имеет два участка длинами 5а и 2а, в пределах каждого из которых продольная сила постоянна; границей участков служит место приложения силы F2.
Применяя метод сечений, определяем значение продольной силы A^i в пределах первого (правого) участка:
ЛГ,= F,=70 кН .
Этот участок испытывает растяжение, и величину считаем положительной.
В сечениях второго участка
Этот участок испытывает сжатие, и величину Mi при построении эпюры N считаем отрицательной. Эпюра продольных сил показана на рис. 19, б.
Определяем нормальные напряжения на первом и втором участках:
В пределах каждого из участков напряжения постоянны.
Так как в нашем случае сечение стержня постоянно по всей длине, то эпюра а будет подобна эпюре N и будет отличаться от нее только масштабом, поэтому в данном случае имеет смысл построить лишь одну эпюру N.
Для расчета на прочность интерес представляет то сечение, в котором возникают наибольшие напряжения, это сечение и подлежит проверке на прочность:
Таким образом, прочность данного стержня достаточная.
Теперь приступим к определению перемещений указанных сечений. Известно, что перемещение в заделке сечения В-В Д/В-в = 0. Перемещение какого-либо поперечного сечения стержня равно изменению длины (удлинению или укорочению) части стержня, заключенной между рассматриваемым сечением и заделкой. Так, в частности, перемещение сечения С-С относительно неподвижного сечения В-В равно укорочению участка стержня длиной 2а и сечение С-С, очевидно, переместится влево на величину
Для определения перемещения сечения D-D относительно неподвижного сечения В-В надо алгебраически просуммировать изменения длин первого и второго участков стержня. Условно примем перемещения вправо, соответствующие удлинению,
положительными, тогда
Перемещение сечения D-D, очевидно, равно полному изменению длины стержня. Таким образом стержень удлиняется, и сечение D-D перемещается вправо на 0,5 мм.
Источник
ГЛАВА 9. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ, ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ, ОБЩИЕ СВОЙСТВА УПРУГИХ СИСТЕМ
Ранее для анализа распределения напряжений и деформаций применялись дифференциальные методы, основанные на геометрических, статических и физических соотношениях, описывающих поведение частицы материала или элемента конструкции. В результате получались дифференциальные уравнения, характеризующие «условия жизни» малого элемента. Интегрирование указанных уравнений давало описание работы всей конструкции, т. е. учитывало совместную работу всех сопряженных элементов. Краевые условия при интегрировании дифференциальных уравнений отражали особенности поведения элементов, примыкающих к границам тела. Однако существуют и другие методы анализа, которые могут быть названы вариационными. Эти методы основаны на изучении общих количественных характеристик конструкции (функционалов), таких как энергия деформации, работа внешних сил при деформации конструкции и т. п. Условие того, что функционал для всей конструкции должен приобретать минимальное значение, накладывает определенные ограничения на поведение каждого элемента. Эти ограничения или условия оказываются как раз теми дифференциальными уравнениями, которые изучались ранее. Таким образом, дифференциальные и вариационные методы не противоречат, а взаимно дополняют друг друга. Общность анализа, возможность использования приближенных методов, удобных для численной реализации на ЭВМ, делают вариационные или энергетические методы весьма важными для прочностного анализа конструкции.
Вариационные методы связаны с понятием функционала. Функционалом называется скалярная величина (число), зависящая от поведения функции или нескольких функций в определенной области. Например, длина кривой, соединяющей две заданные точки пространства, является функционалом; он имеет минимальные значения для линейной функции (прямой).
Вариационные методы приложимы для различных моделей материала, на в дальнейшем ограничимся рассмотрением работы конструкций в упругой области.
35. Потенциальная энергия деформации
Предварительное замечание.
При деформации упругое тело накапливает энергию деформации за счет работы внешних сил. Сжатая пружина может возвратить затраченную на ее сжатие работу, так как обладает потенциальной энергией деформации. Это явление используется в ряде технических устройств (заводные пружины часов, пружины воздушных тормозов железнодорожных вагонов и т. п.). Ближайшая задача состоит в получении общих формул для определения потенциальной энергии деформации, но начнем с рассмотрения простейшего случая — растяжения стержня.
Потенциальная энергия деформации при растяжении и сжатии стержней.
Рассмотрим растяжение стержня усилием N (рис. 9.1, а). Усилие возрастает медленно от 0 до N и по закону упругости: пропорционально силе увеличивается удлинение стержня.
Пренебрегая кинетической энергией частиц стержня и изменением их тепловой энергии в процессе нагружения, считаем по закону сохранения энергии, что потенциальная энергия деформации равна работе внешней силы:
где — значения усилия и удлинения в промежуточный момент нагружения.
По физическому смыслу интеграл (1) равен площади на рис. 9.1, б:
При растяжении стержней
где Е — модуль упругости; F — площадь поперечного сечения (изменением F в процессе деформации пренебрегают как малой величиной); l — первоначальная длина стержня.
Рис. 9.1. Зависимость N и удлинения при растяжении стержня: а — этапы нагружения; б — изменение усилия и удлинения в процессе нагружения
Множитель 1/2 в формуле (2) появился потому, что в процессе нагружения усилие было переменным (от 0 до N). Из равенств (2) и (3) получаем два эквивалентных выражения:
Введем понятие удельной потенциальной энергии деформации или потенциальной энергии деформации, приходящейся на единицу объема. Тогда
где V — объем тела.
При растяжении стержня силой N величина одинакова для всех элвхментов стержня, и потому
где — объем стержня.
Из соотношения (4) находим
где напряжения и деформации в стержне.
Важное для дальнейшего рассмотрения равенство (6) можно получить непосредственно из уравнения (1). Введем замену переменных, обозначая
где — деформация в данный момент нагружения (новая переменная). Тогда из равенства (1) получаем
и удельная энергия деформации равна
Принимая соотношение упругости
найдем
что совпадает с равенством (6).
Другой вывод формулы для потенциальной энергии деформации при растяжении и сжатии стержней.
При действии внешней (растягивающей) нагрузки в сечениях стержпя возникают внутренние силы упругости. Так как стержень деформируется, то внутренние силы упругости совершают работу.
Рис. 9.2. Вычисление потенциальной энергии деформации как работы внутренних сил упругости: а — работа внутренних сил упругости с учетом перемещений сечений стержня; б — работа внутренних сил упругости как работа при деформации элемента
Рассмотрим элемент стержня (рис. 9.2, а). В сечении стержня действуют напряжения , которые прикладывались статически. Работа внутренних сил упругости при деформации элемента стержня может быть вычислена так:
где — перемещение сечения стержня, — деформация материала стержня.
Работа внутренних сил упругости во всем объеме стержня
где — объем стержня.
По закону сохранения энергии работа внутренних сил равна работе внешних сил и одновременно потенциальной энергии деформации:
Удельная потенциальная энергия равна
что совпадает с равенством (6).
Наконец, равенство (9) можно получить еще одним способом, рассматривая работу при деформации элемента (рис. 9.2, б).
Сечения элемента при деформации получат относительное смещение . Работа сил упругости при деформации элемента
удельная потенциальная энергия деформации
что снова приводит к прежним результатам.
Источник