Построить эпюры перемещения сопромат сжатие растяжение

Построить эпюры перемещения сопромат сжатие растяжение thumbnail

1. На рисунке проводиться ось ОХ, совпадающая с продольной осью стержня.

2. Под рисунком стержня проводятся две базовые нулевые линии, параллельно продольной оси стержня. Одна для эпюры продольной силы Nz

Вторая базовая нулевая линия для эпюры нормальных напряжений (Мпа).

3. Стержень разбивается на участки. Для границ участков проводятся вертикальные линии в точках приложения нагрузки и изменения площади поперечного сечения вниз до пересечения с базовыми нулевыми линиями. Нумерация участков начинается со свободной стороны стержня для задачи статически определимой. Если задача статически неопределимая, то нумерация выполняется слева направо.

4. Для определения значения продольной силы используется метод сечений. В середине участка проводится сечение. Указывается направление продольной силы. Положительным считается направление продольной силы, направленной от сечения (растягивает). Значение продольной силы Nz определяется из условия равновесия отсечённой части (сумма проекций на ось ох всех действующих сил равна нулю 0).

5. Вычисляем значение нормальных напряжений.

6. Положительные значения продольной силы и нормального напряжения откладываем вверх от базовой нулевой линии, отрицательные вниз.

7. Проверяем правильность решения задачи по эпюре продольной силы. В точках, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре должен быть скачок равный значению продольной силы.

8. Условие прочности проверяем по эпюре нормальных напряжений. Максимальные напряжения, возникающие в конструкции, не должны превышать допускаемых.

Пример №1: Построить эпюры продольной силы N и нормального напряжения σ, проверить на прочность стальной стержень, закрепленный с одной стороны (статически определимая задача). Р1 = 10кН Р2 = 15кН

Р3 =15кН

=100 Мпа; А1 = F; А2 = 2F; F = 100 мм2

Решение:

Параллельно продольной оси стержня проводим две базовые нулевые линии для продольной силы и нормального напряжения.

Разбиваем стержень на участки, начиная со свободной стороны. Проводим вниз вертикальные линии в точках приложения сил и изменения площади поперечного сечения до пересечения с нулевыми линиями. Нумерация участков начинается со свободной стороны стержня.

1 участок:

— на первом участке проводим сечение, перпендикулярное продольной оси, мысленно отбрасываем большую часть и рассматриваем меньшую часть стержня. Заменяем действие отброшенной части на оставленную продольной силой N1. Положительным считается действие от сечения (растягивает).

Рассматриваем равновесие оставленной части, проецируя действующие силы на ось ОХ:

Определяем продольную силу на первом участке:

-N1+ Р1=0 следовательно N1 = Р1=10 кН

Определяем нормальное напряжение на первом участке

2 участок:

-N2+ Р1 — Р2=0 следовательно N2 = Р1-Р2 =10-15= -5 кН

3 участок:

-N3+ Р1 — Р2=0 следовательно N3 = Р1-Р2 =10-15= -5 кН

4 участок:

-N4+ Р1 — Р2+Р3=0 следовательно N4 = Р1-Р2+Р3=10-15+15= 10 кН

Рис. 10.

Метод сечений для определения продольной силы.

Для построения эпюр продольной силы и нормального напряжения задаёмся произвольным масштабом (например: одна клеточка -5 кН и -25 мегапаскалей). Строим эпюры продольной силы и нормального напряжения, откладывая положительные значения вверх от базовой нулевой линии, отрицательные вниз.

Проверяем правильность решения задачи по эпюре продольной силы, в точке приложения сосредоточенной силы на эпюре должен быть скачок, равный действующей силе.

По эпюре нормального напряжения проверяем условие прочности максимальные напряжения должны быть меньше или равны допустимым, значит прочность обеспечена.

Рис.11.

Эпюры продольной силы N и нормального напряжения σ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Рубашкин А.Г. Лабораторные работы по сопротивлению материалов.- М.: Высшая школа, 1961.-159с.

2. Афанасьев A.M., Марьин В.А. Лабораторный практикум по сопротивлению материалов.- М.: Наука, 1975.-284с.

3. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов.- М.: Наука, 1979.-559с.

4. Писаренко Г.С. Сопротивление материалов.- Киев.: Высшая школа, 1973.-667с.

Источник

Растяжение  (сжатие) – это такой   вид нагружения стержня, при котором в его поперечном сечении возникает внутренняя продольная сила Ν, действующая вдоль центральной оси z.

Продольная сила Ν – это равнодействующая всех внутренних нормальных сил в сечении. Для вычисления продольной силы применяется метод сечений.

2014-09-07 19-04-45 Скриншот экрана

Продольная сила Ν численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения,  на продольную ось бруса.

Правило знаков для продольной силы Ν: при растяжении продольная сила положительна, при сжатии – отрицательна.

2014-09-07 19-09-39 Скриншот экрана

График изменения продольных сил по длине стержня называется эпюрой. Эпюра N строится методом сечений на характерных участках бруса. Строится эпюра для использования ее при расчете бруса на прочность. Она дает возможность найти наибольшие значения продольных сил и положение сечений, в которых они возникают.

Читайте также:  Формула расчета на растяжение

При растяжении (сжатии) возникают только нормальные напряжения. Согласно гипотезе Я. Бернулли (или гипотеза плоских сечений) в поперечных сечениях, удаленных от места приложения нагрузок, нормальные напряжения распределяются по сечению практически равномерно, а сами сечения, перпендикулярные к оси стержня z, остаются плоскими в процессе нагружения.

Нормальные напряжения в сечении при  растяжении (сжатии) вычисляются по формуле

2014-09-01 21-40-08 Скриншот экрана

где Аплощадь поперечного сечения.

Правило знаков для σ совпадает с правилом знаков для N.

В наклонном сечении, нормаль к которому составляет угол α с осью стержня z,

2014-09-01 21-43-41 Скриншот экрана

При растяжении в продольном направлении стержень удлиняется, а его поперечные размеры уменьшаются, при сжатии, напротив, в продольном направлении стержень укорачивается, а его поперечные размеры увеличиваются; Δℓ — абсолютное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, Δbабсолютная поперечная деформация.

Относительное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, называемое линейной деформацией, определяется следующим образом

ε=Δℓ/ℓ.

Экспериментально установлено, что в определенной области нагрузок при упругом поведении материала между нормальными напряжениями и линейными деформациями существует линейная зависимость (закон Гука для напряжений)

σ=εЕ,

где Е – модуль продольной упругости или модуль Юнга, это физическая const. Для каждого из материалов величина модуля упругости имеет свое значение:

сталь, Е = 2.105 МПа,

медь, Е = 1.105 МПа,

алюминий, Е = 0,7.105 МПа.

Значение модуля упругости устанавливается экспериментально.

Согласно закону Гука (данную запись называют законом Гука для деформаций)

Δℓ=Νℓ/ЕА

Произведение ЕА – называется жесткостью стержня при растяжении – сжатии.

Перемещение произвольного сечения ступенчатого стержня

w=∑Δℓi

Относительная поперечная деформация:

ε′=Δb/b

где b – поперечный размер стержня.

Эксперименты также показывают, что в упругой стадии деформирования между продольной и поперечной деформациями существует взаимосвязь

μ  =│ε′⁄ε│ — const,

где   μ —  коэффициент Пуассона, берется по модулю ,поскольку у продольной и поперечной деформации разные знаки (при растяжении продольные волокна увеличиваются, а поперечные уменьшаются в размере).

Для твердых материалов имеет значения коэффициент Пуассона

0≤μ ≤0,5

Изменение температуры стержня вызывает его удлинение (при нагревании) или укорочение (при охлаждении)

2014-09-01 22-02-54 Скриншот экрана

где — a- коэффициент линейного температурного расширения; Δtº=(tºк-tºн) — изменение температуры между значениями начальным (tºн) и конечным (tºк).

Статически неопределимыми называют системы, имеющие лишние связи – внешние или внутренние.

Для определения внутренних усилий в таких системах недостаточно рассматривать только уравнения равновесия.

В этом случае требуются дополнительные уравнения, число которых равно количеству лишних связей. Дополнительные уравнения составляются на основе анализа картины деформирования системы и использования законов деформирования ее элементов.

Алгоритм решения подобных задач включает следующее:

1)   Статическая часть. Составляются уравнения равновесия с включением неизвестных усилий, действующих по направлению лишних связей.

2)    Геометрическая часть. Составляются уравнения, описывающие взаимосвязь перемещений характерных точек, удлинений и укорочений отдельных стержней между собой.

3)   Физическая связь. Записываются законы деформирования отдельных стержней системы.

Порядок расчета статически неопределимых брусьев

  1.  Задаться направлениями возможных опорных реакций и составить уравнение      статики для всей системы в целом.
  2. Определить степень статической неопределимости и использовать метод сечений с целью выразить неизвестные усилия через неизвестные опорные реакции. При этом неизвестные продольные силы (N) следует предполагать положительными и поэтому направлять «от сечения».
  3. Сформулировать условие совместности деформаций участков бруса.
  4. В процессе превращения условия совместности в уравнение совместности деформаций различий в характере деформаций участков не учитывать.

Порядок расчета статически неопределимых шарнирно-стержневых систем

  1. Задаться направлениями опорных реакций, но уравнений равновесия для всей системы не составлять, а сразу использовать метод сечений и составить уравнения статики для выделенной части системы.
  2. Определить степень статической неопределимости как разницу между количеством всех неизвестных, оказавшихся в уравнениях статики, и числом самих этих уравнений.
  3. Рассмотреть (изобразить) любую возможную картину деформаций системы и из ее анализа сформулировать условия совместности деформаций стержней системы (столько, какова степень статической неопределимости).
  4. В процессе преобразования условий совместности в уравнения совместности деформаций обязательно учитывать различие в характере деформаций стержней (т.е. вводить удлинение со знаком «плюс», а укорочение со знаком «минус») в соответствии с той картиной деформации, которую мы рассматриваем.
Читайте также:  Растяжение мышц на грудине

Источник

+- мdA
площадь сечения стержняZB м м м м м м м м м м м м м м м м м м м м м м м м м м м м мL=2(м)N[кН]
Продольная сила N,кН0σ [МПа]
Напряжения ,МПа0δ [мм]
Перемещения характерных сечений ,мм0

Модуль упругости E=
ГПа (сталь)
Выбрать из таблицы

Длина стержня l=
м.

Площадь A= = 0.0004 м2

Выбрать тип сечения исходя из условий задачи

Круг

Квадрат

Прямоугольник
Шестигранник

Кольцевое сечение (труба)

Площадь сечения в см2:
A = π · d2/4
= 3.14·(d·0.1)2/4 =
[см2]
Масса 1 м профиля, [кг]:
m = ρ·A·L =
7850· A ·1/10000 = [кг]

ДСТУ 4738:2007/ГОСТ 2590-2006 Прокат сортовой стальной горячекатаный круглый.
(При вычислении массы 1 м проката плотность стали принята равной 7850 кг/м3)
Выбрать диаметр из сортамента:

Диаметр d, мм
55.566.36.5789101112131415161718192021
2223242526272829303132333435363738394041
4243444546474850525354555658606263656768
70727375788082858790929597100105110115120125130
135140145150155160165170175180185190195200210220230240250260
270

ДСТУ ГОСТ 1535:2007/ГОСТ 1535-2006 Прутки медные
(При вычислении массы 1 м проката плотность меди принята равной 8900 кг/м3)
Выбрать диаметр из сортамента:

Диаметры тянутых прутков

Номинальный диаметр d, мм
33.544.555.5678910111213141516171819
202122242527283032333536384041454650
Диаметры прессованных прутков

Номинальный диаметр d, мм
2022252830323538404245485055606570758085
9095100110120130140150160170180

ДСТУ ГОСТ 2060:2007/ГОСТ 2060-2006 Прутки латунные
(При вычислении массы 1 м проката плотность латуни принята равной 8500 кг/м3)
Выбрать диаметр из сортамента:

Диаметры тянутых и прессованных прутков

Номинальный диаметр d, мм
33.544.555.566.577.588.599.5101112131415
1617181920212223242526272830323536384041
4245464850556065707580859095100110120130140150
160170180

ГОСТ 21488-97 Прутки прессованные из алюминия и алюминиевых сплавов
(При вычислении массы 1 м проката плотность алюминия принята равной 2700 кг/м3)
Выбрать диаметр из сортамента:

Номинальный диаметр d, мм
810121416182025303540455055606570758090
100110120130140150160180200250300350400

ГОСТ 26492-85 Прутки катаные из титана и титановых сплавов
(При вычислении массы 1 м проката плотность титана принята равной 4500 кг/м3)
Выбрать диаметр из сортамента:

Номинальный диаметр d, мм
1012141618202225283032353840424548505255
60657075808590100110120130140150

ТУ 48-19-39-85 Прутки вольфрамовые
(При вычислении массы 1 м проката плотность титана принята равной 19300 кг/м3)
Выбрать диаметр из сортамента:

Номинальный диаметр d, мм
33.544.555.566.577.588.599.51010.51111.51213
1415161718

ТУ 48-19-247-87 Прутки молибденовые диаметром от 16 до 125 мм
(При вычислении массы 1 м проката плотность молибдена принята равной 10188 кг/м3)
Выбрать диаметр из сортамента:

Номинальный диаметр d, мм
1617181920222426283032343638404244464850
525456586065707580859095100105110115120125
Читайте также:  Операция голеностопа растяжение связки

ГОСТ 13083-2016 Прутки из никеля и кремнистого никеля
(При вычислении массы 1 м проката плотность никеля принята равной 8900 кг/м3)
Выбрать диаметр из сортамента:

Диаметры тянутых прутков

Номинальный диаметр d, мм
55.566.577.588.599.510111213141516171819
202122232425262728303234363840
Диаметры горячекатаных прутков

Номинальный диаметр d, мм
424548505560708090

a

Площадь сечения в см2:
A = a2 = (a·0.1)2 =
[см2]
Масса 1 м профиля, [кг]:
m = ρ·A·L =
7850· A ·1/10000 = [кг]
(При вычислении массы 1 м проката плотность стали принята равной 7850 кг/м3)

ДСТУ 4746:2007/ГОСТ 2591-2006 Прокат сортовой стальной горячекатаный квадратный.
Выбрать размер из сортамента:

DAs

D=s/2 + (2A)/(πs)

Толщина стенки трубы s=
мм

Нормальные линейные размеры (диаметры, длины, высоты и др.) должны выбираться в соответствии с таблицей
(размеры в мм)
    Выбрать размер из таблицы:

Ra5
0,10,40,631,01,62,54,06,310,016,025406310016025040063010001600
Ra10
0,10,20,40,50,630,81,01,21,62,02,53,24,05,06,38,010121620253240506380100125160200
2503204005006308001000125016002000
Ra20
0,10,20,40,50,630,710,80,91,01,21,41,61,82,02,22,52,83,23,64,04,55,05,66,37,18,09,0101112
14162022252832364045505663718090100110125140160180200220250280320360400450
5005606307108009001000112012501400160018002000
Ra40
0,10,20,30,40,50,630,710,80,91,01,21,31,41,51,61,71,81,92,02,12,22,42,52,62,83,03,23,43,63,8
4,04,24,54,85,05,35,66,06,36,77,17,58,08,59,09,510,010,511,011,512131415161718192021
2224252628303234363840424548505356606367717580859095100105110120
125130140150160170180190200210220240250260280300320340360380400420450480500530560600630670
710750800850900950100010601120118012501320140015001600170018002000
Дополнительные размеры
2,32,72,93,13,33,53,73,94,14,44,64,95,25,55,86,26,57,07,37,88,28,89,29,810,210,811,211,812,5
13,514,515,516,517,518,519,520,521,52327293133353739415255586570737882889298
102108112115118135145155165175185195205215230270290310315330350370390410440460490515545
580615650690730775825875925975103010901150122012801360145015501650175018501950

1) При выборе размеров предпочтение должно отдаваться рядам с более крупной градацией
(ряд Ra5 – ряду Ra10, ряд Ra10 – ряду Ra20, ряд Ra20 – ряду Ra40).
2) Дополнительные размеры допускается применять лишь в отдельных, технически обоснованных случаях.


Кол-во сил F, действующих на стержень:

Длина — расстояние прилагаемой нагрузки от заделки:

Источник