Построение эпюры продольной силы при растяжении

Растяжением или сжатием называется такой вид деформаций, при котором в любом поперечном сечений бруса возникают только продольная сила . Брусья с примолинейной осью называют стержнями (рис.1).

Рис. 35.

Примой брус постоянного поперечного сечения , длиной , жестко защемленный одним концом и нагруженный на другом конце растягивающей силой F (рис.35). Под действием этой силы, брус удлинится на некоторою величину которую назовем абсолютным удлинением. Отношение абсолютного удлинения к первоначальной длине назовем относительным удлинением и обозначим .

При расчете, мы будем считать, что растяжение и сжатие бруса связано только с приложенными внешними силами, то есть учитываем только напряжения, действующие на стержень, температуру и время действий сил не будем учитывать.

При растяжении и сжатии продольные силы определяется методом сечении. Правило знаков будем определять следующим образом: растягивающие, то есть, направленные от сечения, продольные силы будем считать положительными, сжимающие, то есть направленные к сечению, будем считать отрицательными.

Для наглядного изображения распределения вдоль оси бруса продольных сил и нормальных напряжений строят графики, называемые эпюрами, причем для нормальных напряжений применяется то же правило знаков, что и для продольных сил.

При растяжении и сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные напряжения, равномерно распределенные по сечению и вычисляемые по формуле:

площать поперечного сечения бруса,

Очевидно, что при растяжении и сжатии форма сечения на напряжения не влияет.

Условие прочности бруса при растяжении и сжатии определяется следующим образом:

Здесь называют допускаемым напряжением, максимальная продольная сила.

Напряжения и деформаций при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Гоберта Гука. Закон Гука при растяжении и сжатии справедлив лишь в определенных пределах нагружения и формируется так: нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению или укорочению бруса.

Математически закон Гука можно вписать в виде равенства:

Коэффициент пропорциональности Е характеризует жесткость материала и называется модулем продольной упругости. Модуль упругости и напряжения выражаются в одинаковых единицах.

Если в формулу закона Гука поставим выражения и то получим:

Контрольные вопросы

1. Что такое растяжение-сжатие?

____

2. По какому методу определяется нормальные силы?

__

3. По какой формуле определяется относительное удлинение или укорочение?

____

4. Какое напряжение появляется при растяжении-сжатии, и по какой формуле определяется?

____

5. Как пишется условие прочности при растяжении-сжатии?

____

6. Что такое модуль упругости, и в чем измеряется?

____

7. От чего зависит модуль упругости?

__

8. По какой формуле определяется абсолютное удлинение или укорочение бруса при растяжении-сжатии?

____

Пример 4.1.

Для данного ступенчатого бруса (рис.36.) построить эпюру продольных сил, эпюру нормальных напряжений и определить перемещение свободного конца, если .

Рис.36.

1. Разбиваем брус на участки как показоно на рис. 37а.

Рис.37.

2. По методу сечения определяем ординаты эпюр и каждого сечения.

4. Строим эпюру (рис. 37б.)

5. Определяем перемещение свободного конца бруса.

Пример 4.2.

Для данного ступенчатого бруса (рис.38.) построить эпюру продольных сил, эпюру нормальных напряжений и определить перемещение свободного конца, если .

Рис. 38.

1. Разбиваем брус на участки как показоно на рис. 39а.

2. По методу сечения определяем ординаты эпюр и каждого сечения.

Рис. 39.

3. Строим эпюру (рис. 37б.)

4. Определяем перемещение свободного конца бруса.

Для решения первой задачи контрольной работы 2 следует выполнить следующие действия:

1) Изучить темы 7,8,9.

2) Ответить на контрольные вопросы по темам 7,8,9.

2) Выполнить самостоятельно пример 2.2.

Данные для своего варианта первой задачи контрольной работы 2 посмотрите в таблице 4. Расчетную схему надо посмотреть в рис.40.

Таблица 4 (для первой задачи контрольной работы 2)

Рис. 40.

1. На рисунке проводиться ось ОХ, совпадающая с продольной осью стержня.

2. Под рисунком стержня проводятся две базовые нулевые линии, параллельно продольной оси стержня. Одна для эпюры продольной силы Nz

Вторая базовая нулевая линия для эпюры нормальных напряжений (Мпа).

3. Стержень разбивается на участки. Для границ участков проводятся вертикальные линии в точках приложения нагрузки и изменения площади поперечного сечения вниз до пересечения с базовыми нулевыми линиями. Нумерация участков начинается со свободной стороны стержня для задачи статически определимой. Если задача статически неопределимая, то нумерация выполняется слева направо.

4. Для определения значения продольной силы используется метод сечений. В середине участка проводится сечение. Указывается направление продольной силы. Положительным считается направление продольной силы, направленной от сечения (растягивает). Значение продольной силы Nz определяется из условия равновесия отсечённой части (сумма проекций на ось ох всех действующих сил равна нулю 0).

5. Вычисляем значение нормальных напряжений.

6. Положительные значения продольной силы и нормального напряжения откладываем вверх от базовой нулевой линии, отрицательные вниз.

7. Проверяем правильность решения задачи по эпюре продольной силы. В точках, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре должен быть скачок равный значению продольной силы.

8. Условие прочности проверяем по эпюре нормальных напряжений. Максимальные напряжения, возникающие в конструкции, не должны превышать допускаемых.

Пример №1: Построить эпюры продольной силы N и нормального напряжения σ, проверить на прочность стальной стержень, закрепленный с одной стороны (статически определимая задача). Р1 = 10кН Р2 = 15кН

Р3 =15кН

=100 Мпа; А1 = F; А2 = 2F; F = 100 мм2

Решение:

Параллельно продольной оси стержня проводим две базовые нулевые линии для продольной силы и нормального напряжения.

Разбиваем стержень на участки, начиная со свободной стороны. Проводим вниз вертикальные линии в точках приложения сил и изменения площади поперечного сечения до пересечения с нулевыми линиями. Нумерация участков начинается со свободной стороны стержня.

1 участок:

— на первом участке проводим сечение, перпендикулярное продольной оси, мысленно отбрасываем большую часть и рассматриваем меньшую часть стержня. Заменяем действие отброшенной части на оставленную продольной силой N1. Положительным считается действие от сечения (растягивает).

Рассматриваем равновесие оставленной части, проецируя действующие силы на ось ОХ:

Определяем продольную силу на первом участке:

-N1+ Р1=0 следовательно N1 = Р1=10 кН

Определяем нормальное напряжение на первом участке

2 участок:

-N2+ Р1 — Р2=0 следовательно N2 = Р1-Р2 =10-15= -5 кН

3 участок:

-N3+ Р1 — Р2=0 следовательно N3 = Р1-Р2 =10-15= -5 кН

4 участок:

-N4+ Р1 — Р2+Р3=0 следовательно N4 = Р1-Р2+Р3=10-15+15= 10 кН

Рис. 10.

Метод сечений для определения продольной силы.

Для построения эпюр продольной силы и нормального напряжения задаёмся произвольным масштабом (например: одна клеточка -5 кН и -25 мегапаскалей). Строим эпюры продольной силы и нормального напряжения, откладывая положительные значения вверх от базовой нулевой линии, отрицательные вниз.

Проверяем правильность решения задачи по эпюре продольной силы, в точке приложения сосредоточенной силы на эпюре должен быть скачок, равный действующей силе.

По эпюре нормального напряжения проверяем условие прочности максимальные напряжения должны быть меньше или равны допустимым, значит прочность обеспечена.

Рис.11.

Эпюры продольной силы N и нормального напряжения σ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Рубашкин А.Г. Лабораторные работы по сопротивлению материалов.- М.: Высшая школа, 1961.-159с.

2. Афанасьев A.M., Марьин В.А. Лабораторный практикум по сопротивлению материалов.- М.: Наука, 1975.-284с.

3. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов.- М.: Наука, 1979.-559с.

4. Писаренко Г.С. Сопротивление материалов.- Киев.: Высшая школа, 1973.-667с.

Эпюра продольных сил N — это график, показывающий, как изменяется продольная сила по длине бруса.

Пример 1. Построить эпюру продольных сил для бруса, нагруженного осевыми силами (рис. 2.2.5).

Для построения эпюры продольных сил проводим прямую, параллельную продольной оси бруса (базовая линия). Значение нормальных сил откладывают в выбранном масштабе и с учетом знаков (положительные силы откладываем вправо от базовой линии, а отрицательные — влево) на уровне соответствующего участка. Участком считается расстояние от силы до силы, т.е. границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы. В нашем примере у бруса три участка: АВ, ВС и CD.

Штриховка эпюр означает величину продольной силы в любом сечении бруса, проводится перпендикулярно продольной оси стержня.

Рис. 2.2.5

Построение эпюр начинаем от свободного конца.

Применяя метод сечений, мысленно рассекаем брус на участке АВ (сечение I—I) и отбрасываем его верхнюю часть. Рассмотрим равновесие оставшейся нижней части: ‘ZFz = F] — У, = 0;

Nx = Fv Поскольку Fx направлена от сечения, то N{ = Fx = 25 Н. На всем участке АВ продольная сила положительна (так как участок растягивается). Откладываем ее в масштабе вправо от базовой линии. Далее проводим сечение II—II на участке ВС, мысленно отбрасываем верхнюю часть бруса и рассматриваем равновесие нижней части:

Продольная сила N2 отрицательная и направлена к сечению. Аналогично определяем значение продольной силы в сечении III—III на участке CD:

Продольная сила N3 направлена от сечения, т.е. является растягивающей. Итак, продольная сила А в любом сечении равна алгебраической сумме продольных сил, действующих по одну сторону от сечения.

Пример 2. Для бруса со ступенчато-переменным сечением построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений (рис. 2.2.6).

Эпюра нормальных напряжений а — это график, показывающий, как изменяется напряжение по длине стержня. Правило знаков такое же, как у продольной силы: напряжение положительное — растяжение, напряжение отрицательное — сжатие.

Вопрос об определении нормальных напряжений связан с расчетом бруса на прочность.

При построении эпюры продольных сил участка считается расстояние от силы до силы (в нашем примере четыре участка: АВ, BD, DK, KL).

гг „ (

При построении эпюры нормальных напряжении I с = — I

участком является либо расстояние между силами, либо расстояние между силами и тем местом, где изменяется площадь поперечного сечения (в нашем примере шесть участков: АВ, ВС, CD, DE, ЕК, KL).

Для построения эпюры продольных сил мысленно рассекаем участок АВ по сечению I—I. Верхнюю часть отбрасываем и рассматриваем равновесие нижней части:

F{ и Nx направлены к сечению, т.е. участок АВ сжимается.

Рис. 2.2.6

На участке ВС в сечении II—II продольная сила N2 равна алгебраической сумме внешних продольных сил, лежащих ниже этого сечения, N2 = — F{ + F2 = —10 + 15 = 5 Н. На участке CD для эпюры продольных сил никаких изменений не произошло: алгебраическая сумма сил осталась та же: N3 = N2 = 5 Н.

Рассекаем участок DE. Продольная сила N4 равна алгебраической сумме сил —Fx + F2 — F3 = —10 + 15 — 30 = -25 Н. На участке ЕК продольная сила N будет такая же, как на участке DE, т.е. существует только перепад сечения, а сила не приложена, N5 = N4 = — 5 Н.

На участке KL в сечении VI—VI продольная сила 7^ = —10+15 — — 30 + 45 = 20 Н.

Все значения продольных сил Nоткладываем на эпюре.

Скачок на эпюре N находится в том сечении, где приложена сосредоточенная сила, и происходит на величину и в направлении этой силы. Так, в сечении, где приложена сила F{, — скачок от нуля на 10 Н в отрицательную сторону. В том сечении, где действует сила Е2 — скачок в положительную сторону на 15 Н, в результате получим N2 = 5 Н. В сечении, где приложена сила Fv — скачок в отрицательную сторону на величину силы Е3 = —30 Н, в результате на участках DE и ЕК имеем N = —25 Н. Последний скачок в сечении, где действует сила Е4, в положительную сторону на 45 Н, и jV6 = 20 Н. При построении эпюры нормальных напряжений надо учитывать, на какой площади поперечного сечения действует данная продольная сила.

Тогда:

По полученным данным строим эпюру нормальных напряжений а.

Пример 3. Стержень стоит на плоскости (рис. 2.2.7). Построить для данного стержня эпюры продольных сил N и нормальных напряжений а.

1. Рассчитаем сначала числовые значения продольных сил.

2. Определим направление этих сил.

Если продольная сила в сечении направлена к сечению, то происходит сжатие, если от сечения — растяжение. Разбиваем стержень на четыре участка: А В, ВС, CD, DE. Эпюру продольных сил N начинаем строить с участка АВ. Мысленно рассекаем этот участок сечением I—I, отбросив нижнюю часть, и рассматриваем равновесие верхней, оставшейся части. Внешняя сила F{ направлена к сечению (сжимающая), внутренняя сила N направлена

Рис. 2.2.7

также к сечению (сжимающая). Из условия равновесия XjF = О, —Fx + Nx = 0 определим Nx = F], откуда следует, что направление силы N{ выбрано верно, т.е. N] — отрицательная. Продольная сила на участке ВС в сечении II—II N2 = —F{, так как до этого сечения действует только сжимающая сила Fv Участок CD мысленно рассекаем сечением III—III и видим, что по одну сторону от сечения (выше этого сечения) действуют две силы: —F{ + F2 = N3, сила N3 растягивающая. На участке DE N4 = N3, так как по одну сторону от сечения IV—IV действуют эти же две силы — Fx + F2 = = N4, N4 = N3. По полученным данным строим эпюру продольных сил N.

Рассчитаем теперь значение нормальных напряжений:

По полученным данным строим эпюру нормальных напряжений о.