Построение эпюр всф сжатие растяжение

В различных сечениях одного и того же бруса внутренние силовые факторы различны. Для расчета конструкций на прочность весьма важно знать как величину внутренних силовых факторов, так и характер их изменения по длине бруса, что устанавливается по эпюрам ВСФ.

Эпюрой называется график, характеризующий закон изменения какого-либо параметра (например, ВСФ, напряжения, перемещения, температуры и др.) по длине или высоте составной части конструкции. Эпюра позволяет установить местоположение опасного сечения, где вероятнее всего произойдет разрушение конструкции.

При построении эпюр необходимо придерживаться следующих общих правил и порядка.

Правила построения эпюр ВСФ:

— ось, или база, эпюры выбирается рядом с исходной расчетной схемой;

— ординаты эпюры откладываются от оси в некотором масштабе с учетом знака;

— поле эпюры подвергается штриховке (штриховые линии должны быть перпендикулярны к оси эпюры), внутри него указывается знак и обозначаются характерные ординаты эпюры;

— выше или рядом с эпюрой дается ее название и указывается размерность, если эпюра построена в числовом виде.

Порядок построения эпюр ВСФ:

— расчетная схема заданного бруса разбивается на силовые участки, то есть участки, в пределах которых закон изменения заданного фактора является одним и тем же, т.е. неизменным. Границами силовых участков являются сечения, в пределах которых действуют внешние нагрузки (M, F, q) или изменяются направление оси и поперечные размеры бруса;

— для каждого силового участка применяется метод сечений (правило “РОЗУ”) и составляется общее уравнение искомого ВСФ в виде функции переменной абсциссы z ;

Рисунок 2.6- Пример построения эпюр ВСФ
 

— по полученным уравнениям определяются характерные ординаты эпюры и выполняется их построение в соответствии с вышерассмотренными правилами (рисунок

При построении эпюр ВСФ предварительно устанавливаются правила знаков, которые являются условными для каждого ВСФ

22) Состояние растяжение-сжатие. Определение напряжений в поперечном сечении (без учета и с учетом собственного веса).

Под растяжением (сжатием) понимают такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только продольные силы , а прочие силовые факторы равны нулю.

Рассмотрим однородный прямолинейный стержень длиной и площадью поперечного сечения А, на двух концах которого прило­жены две равные по величине и противоположно направленные центральные продольные силы Р (рис. 2.2, а).

Продольная сила – внутреннее усилие, равное сумме проекций всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, на ось стержня. Примем следующее правило знаков для продольной силы: растягивающая продольная сила положительна, сжимающая – отрицательна (рис. 2.1).

Рис.2.1

Поместим начало плоской системы координат yz в центре тяжести левого сечения, а ось направим вдоль продольной оси стержня.

Для определения величин внутренних усилий воспользуемся методом сечений. Задавая некоторое сечение на расстояние z ( ) от начала системы координат и рассматривая равновесие левой относительно заданного сечения части стержня (рис. 2.2, б), приходим к следующему уравнению:

,

откуда следует, что

.

Следовательно, продольная сила в сечении численно равна сумме проекций на ось стержня всех сил, расположенных по одну сторону сечения

(2.1)

Рис. 2.2

Для наглядного представления о характере распределения продольных сил по длине стержня строится эпюра продольных сил . Осью абсцисс служит ось стержня. Каждая ордината графика – продольная сила (в масштабе сил) в данном сечении стержня.

Эпюра позволяет определить, в каком сечении действует максимальное внутреннее усилие (например, найти Nmax при растяжении-сжатии). Сечение, где действует максимальное усилие будем называть опасным.

Отсутствует пример расчета. Его я не нашел к сожалению.

23) Определение деформации при растяжении-сжатии.

Oпыты показывают, что при растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры уменьшаются, при сжатии — наоборот (рис.2.7).

Абсолютная продольная и поперечная деформации равны

; .

Относительная продольная деформация e и относительная поперечная деформация e‘ равны

; .

В пределах малых удлинений для большинства материалов справедлив закон Гука — нормальные напряжения в поперечном сечении прямо пропорциональны относительной линейной деформацииe

. (2.2)

Коэффициент пропорциональности E — модуль продольной упругости, его величина постоянна для каждого материала. Он характеризует жесткость материала, т.е. способность сопротивляться деформированию под действием внешней нагрузки.

Средние значения E и m для некоторых материалов даны в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Значения модуля упругости Е и коэффициента Пуассона n

Так как , а , то подставляя в закон Гука (2.2) можно получить формулу для определения абсолютного удлинения (укорочения) стержня

.

Эта зависимость также выражает закон Гука.

Знаменатель EF называется жесткостью при растяжении — сжатии или продольной жесткостью.

Отношение относительной поперечной деформации e’ к относительной продольной деформации e, взятое по модулю, называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона

.

Эта величина является постоянной для каждого материала и определяется экспериментально.

Значения n для различных материалов изменяются в пределах (n = 0 у пробки, n = 0,5 у резины). Для большинства конструкционных материалов n =0,25…0,33 (табл. 1.1).

E и n являются основными характеристиками упругости изотропного материала.

24) Закон Гука при растяжении-сжатии и сдвиге.

Растяжение сжатие:

Закон Гука выражает прямо пропорциональную зависимость между нормальным напряжением и относительной деформацией: или, если представить в другом виде: где Е — модуль продольной упругости. Это физическая постоянная материапа, характеризующая его способность сопротивпяться упругому деформированию.

Закон Гука при сдвиге: g = t/G или t = G×g .

G — модуль сдвига или модуль упругости второго рода [МПа] — постоянная материала, характеризующая способность сопротивляться деформациям при сдвиге. (Е — модуль упругости, m— коэффициент Пуассона).

Потенциальная энергия при сдвиге: .

Удельная потенциальная энергия деформации при сдвиге: ,

где V=а×F — объем элемента. Учитывая закон Гука, .

Вся потенциальная энергия при чистом сдвиге расходуется только на изменение формы, изменение объема при деформации сдвига равно нулю.

Закон Пуассона.

вероятность возникновения случайного события n раз за время t. l — интенсивность случайного события.

Свойства:

1) МО числа событий за время t: М = l*t.

2) среднеквадратическое отклонение числа событий , для данного распределения М = D.

Распределение Пуассона получается из биноминального, если число испытаний m неограниченно возрастает, а МО числа событий остается постоянным.

Закон Пуассона используется в том случае когда необходимо определить вероятность того что за данное время произойдет 1,2,3…отказов.

1. На рисунке проводится ось ОХ, совпадающая с продольной осью стержня.

2. Под рисунком стержня проводятся две базовые нулевые линии, параллельно продольной оси стержня. Одна — для эпюры продольной силы Nz

Вторая базовая нулевая линия — для эпюры нормальных напряжений (МПа).

3. Стержень разбивается на участки. Для границ участков проводятся вертикальные линии в точках приложения нагрузки и изменения площади поперечного сечения вниз до пересечения с базовыми нулевыми линиями. Нумерация участков начинается со свободной стороны стержня для задачи статически определимой. Если задача статически неопределимая, то нумерация выполняется слева направо.

4. Для определения значения продольной силы используется метод сечений. В середине участка проводится сечение. Указывается направление продольной силы. Положительным считается направление продольной силы, направленной от сечения (растягивает). Значение продольной силы Nz определяется из условия равновесия отсечённой части (сумма проекций на ось ох всех действующих сил равна нулю 0).

5. Вычисляем значение нормальных напряжений.

6. Положительные значения продольной силы и нормального напряжения откладываем вверх от базовой нулевой линии, отрицательные вниз.

7. Проверяем правильность решения задачи по эпюре продольной силы. В точках, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре должен быть скачок равный значению продольной силы.

8. Условие прочности проверяем по эпюре нормальных напряжений. Максимальные напряжения, возникающие в конструкции, не должны превышать допускаемых.

Пример №1: Построить эпюры продольной силы N и нормального напряжения σ, проверить на прочность стальной стержень, закрепленный с одной стороны (статически определимая задача). Р1 =10кН, Р2 =15кН,

Р3 =15кН

=100 МПа; А1 =F; А2 =2F; F =100 мм2

Решение:

Параллельно продольной оси стержня проводим две базовые нулевые линии для продольной силы и нормального напряжения.

Разбиваем стержень на участки, начиная со свободной стороны. Проводим вниз вертикальные линии в точках приложения сил и изменения площади поперечного сечения до пересечения с нулевыми линиями. Нумерация участков начинается со свободной стороны стержня.

1 участок:

на первом участке проводим сечение, перпендикулярное продольной оси, мысленно отбрасываем бóльшую часть и рассматриваем меньшую часть стержня. Заменяем действие отброшенной части на оставленную продольной силой N1. Положительным считается действие «от сечения» (растягивает).

Рассматриваем равновесие оставленной части, проецируя действующие силы на ось ОХ:

Определяем продольную силу на первом участке

-N1+ Р1=0 следовательно N1 = Р1=10 кН

Определяем нормальное напряжение на первом участке

2 участок:

-N2+ Р1 — Р2=0 следовательно N2 = Р1-Р2 =10-15= -5 кН

3 участок:

-N3+ Р1 — Р2=0 следовательно N3 = Р1-Р2 =10-15= -5 кН

4 участок:

-N4+ Р1 — Р2+Р3=0 следовательно N4 = Р1-Р2+Р3=10-15+15= 10 кН

Рис. 10.

Метод сечений для определения продольной силы.

Для построения эпюр продольной силы и нормального напряжения задаёмся произвольным масштабом (например: одна клеточка соответствует 5 кН и 25 мегапаскалей). Строим эпюры продольной силы и нормального напряжения, откладывая положительные значения вверх от базовой нулевой линии, отрицательные — вниз.

Проверяем правильность решения задачи по эпюре продольной силы, в точке приложения сосредоточенной силы на эпюре должен быть скачок, равный действующей силе.

По эпюре нормального напряжения проверяем условие прочности: если максимальные напряжения меньше или равны допускаемым, значит прочность обеспечена.

Рис.11.

Эпюры продольной силы N и нормального напряжения σ

1. Лекция 20 Тема 2.2. Растяжение и сжатие. Внутренние силовые факторы, напряжения. Построение эпюр

Иметь представление о продольных силах, о нормальных напряжениях в поперечных сечениях.
Знать правила построения эпюр продольных сил и нормальных напряжений, закон распределения нормальных
напряжений в поперечном сечении бруса.
Уметь строить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.
Растяжение и сжатие
Растяжением или сжатием называют вид нагружения, при котором в поперечном сечении бруса возникает
только один внутренний силовой фактор — продольная сила.
Продольные силы меняются по длине бруса. При расчетах после определения величин продольных сил по
сечениям строится график — эпюра продольных сил.
Условно назначают знак продольной силы.
Если продольная сила направлена от сечения, то брус растянут. Растяжение считают положительной
деформацией (рис. 20.1а).
Если продольная сила направлена к сечению, то брус сжат. Сжатие считают отрицательной деформацией (рис.
20.1б).

2.

Примеры построения эпюры продольных сил
Рассмотрим брус, нагруженный внешними
силами вдоль оси. Брус закреплен в стене
(закрепление «заделка») (рис. 20.2а).
Делим брус на участки нагружения.
Участком нагружения считают часть бруса между
внешними силами.
На представленном рисунке 3 участка нагружения.
Воспользуемся методом сечений и определим
внутренние силовые факторы внутри каждого участка.
Расчет начинаем со свободного конца бруса, чтобы
не определять величины реакций в опорах.
Продольная сила положительна, участок 1 растянут.
Продольная сила положительна, участок 2 растянут.
Продольная сила отрицательна, участок 3 сжат.
Полученное значение N3 равно реакции в заделке.
Под схемой бруса строим эпюру продольной силы
(рис. 20.2, б).
Эпюрой продольной силы называется график
распределения продольной силы вдоль оси бруса.
Ось эпюры параллельна продольной оси. Нулевая линия проводится тонкой линией. Значения сил
откладывают от оси, положительные — вверх, отрицательные — вниз.
В пределах одного участка значение силы не меняется, поэтому эпюра очерчивается отрезками прямых линий,
параллельными оси Oz.

3.

Правило контроля: в месте приложения внешней силы на эпюре должен быть скачок на величину
приложенной силы.
На эпюре проставляются значения Nz. Величины продольных сил откладывают в заранее выбранном
масштабе.
Эпюра по контуру обводится толстой линией и заштриховывается поперек оси.
Изучая деформации при растяжении и сжатии, обнаруживаем, что выполняются гипотеза плоских сечений и
принцип смягчения граничных условий.
Гипотеза плоских сечений заключается в том, что поперечное сечение бруса, плоское и перпендикулярное
продольной оси, после деформации остается плоским и перпендикулярным продольной оси.
Следовательно, продольные внутренние волокна удлиняются одинаково, а внутренние силы упругости
распределены по сечению равномерно.
Принцип смягчения граничных условий гласит: в точках тела, удаленных от мест приложения нагрузки, модуль
внутренних сил мало зависит от способа закрепления. Поэтому при решении задач не уточняют способ
закрепления.
Напряжения при растяжении и сжатии
При растяжении и сжатии в сечении действует только нормальное напряжение.
Напряжения в поперечных сечениях могут рассматриваться как силы, приходящиеся на единицу площади.
Таким образом, направление и знак напряжения в сечении совпадают с направлением и знаком силы в
сечении (рис. 20.3).
Исходя из гипотезы плоских сечений, можно предположить, что напряжения при растяжении и сжатии в
пределах каждого сечения не меняются. Поэтому напряжение можно рассчитать по формуле
где Nz — продольная сила в сечении; А — площадь поперечного сечения.

4.

Величина напряжения прямо пропорциональна продольной силе и обратно пропорциональна площади
поперечного сечения.
Нормальные напряжения действуют при растяжении от
сечения (рис. 20.4а), а при сжатии к сечению (рис. 20.4б).
Размерность (единица измерения) напряжений — Н/м2 (Па),
однако это слишком малая единица, и практически напряжения
рассчитывают в Н/мм2 (МПа):
1 МПа = 106 Па =1 Н/мм2.
При определении напряжений брус разбивают на участки
нагружений, в пределах которых продольные силы не
изменяются, и учитывают места изменений площади
поперечных сечений.
Рассчитывают напряжения по сечениям, и расчет оформляют
в виде эпюры нормальных напряжений.
Строится и оформляется такая эпюра так же, как и эпюра
продольных сил.
Рассмотрим брус, нагруженный внешними силами вдоль
оси (рис. 20.5).
Обнаруживаем три участка нагружения и определяем
величины продольных сил.
Участок 1: N1 = 0. Внутренние продольные силы равны нулю.
Участок 2: N2 = 2F. Продольная сила на участке положительна.
Участок 3: N3 = 2F – 3F = — F. Продольная сила на участке
отрицательна.
Брус – ступенчатый.

5.

С учетом изменений величин площади поперечного сечения участков напряжений больше.
Строим эпюры продольных сил и нормальных напряжений.
Масштабы эпюр могут быть разными и выбираются исходя из удобства построения.
Примеры решения задач
Пример 1. Ступенчатый брус нагружен вдоль оси двумя силами.
Брус защемлен с левой стороны (рис. 20.6). Пренебрегая весом
бруса, построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.
Решение
Определяем участки нагружения, их два.
Определяем продольную силу в сечениях 1 и 2.
Строим эпюру.
Рассчитываем величины нормальных напряжений и строим эпюру
нормальных напряжений в собственном произвольном масштабе.
1.Определяем продольные силы.
В обоих сечениях продольные силы положительны.

6.

2.Определяем нормальные напряжения
Сопоставляя участки нагружения с границами изменения площади, видим, что образуется 4 участка
напряжений.
Нормальные напряжения в сечениях по участкам:
Откладываем значения напряжений вверх от оси, т. к. значения их положительные (растяжение). Масштаб
эпюр продольной силы и нормальных напряжений выбирается отдельно в зависимости от порядка цифр и
имеющегося на листе места.

7.

Пример 2. Для заданного бруса (рис. 2.5, а) построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.
Решение
Заданный брус имеет четыре участка I, II, III, IV (рис. 2.5, а).
Границами участков являются сечения, в которых приложены
внешние силы, а для напряжений также и места изменения
размеров поперечного сечения.
Пользуясь методом сечений, строим эпюру продольных сил
(рис. 2.5, б).
Для построения эпюры нормальных напряжений определяем
их в поперечных сечениях каждого из участков:
Эпюра σ представлена на рис. 2.5, в.

8.

Пример 3. Определить количество деревянных стоек сечением 10×10 см, необходимых для поддержания,
цистерны, вмещающей V = 40 м3 воды. Масса цистерны Мц = 7,2-103 кг. Допускаемое напряжение [σ] = 13
Н/мм3. При расчете считать, что усилия в стойках одинаковы.
Решение
Требуемая площадь поперечного сечения стоек
где (fст — площадь поперечного сечения
одной стойки; i — число стоек);
N — усилие, передающееся на стойки.
где Gц — сила тяжести цистерны;
Gц = gтц = 9,81 * 7,2*103 =70,7*103 Н; Gв — сила тяжести воды;
Gв = уV = 10*40 = 400 кН (у = 10 кН/м3 — объемная сила тяжести
воды). Подставляя числовые значения, получаем
Тогда откуда находим требуемое число стоек: Принимаем i = 4.
Пример 4. Для заданной стержневой системы (рис. 2.6, а)
определить
из расчета на прочность требуемые площади сечения стержней
и подобрать по ГОСТ 8509—72 соответствующий номер
угловой равнополочной стали, учитывая, что каждый стержень изготовлен из двух равнополочных уголков.
Для принятых сечений стержней определить расчетные напряжения н указать расхождения (в процентах) с
допускаемым значением напряжения [σ] = 160 Н/мм3.

9.

Решение
Здесь требуется подобрать сечения стержней исходя из условий:
где N1 и N2 — усилия, возникающие соответственно в стержнях 1 и 2.
Усилия N1 и N2 во всех поперечных сечениях стержней одинаковы и площади этих сечений постоянны. Таким
образом, все сечения каждого стержня равноопасны.
Определяем усилия в стержнях из рассмотрения равновесия узла В, где приложены заданные силы Р1 и Р2
(рис. 2.6, б). Освобождаем эту точку от связей и прикладываем их реакции N1 и N2, равные усилиям в
стержнях. Получаем плоскую систему сходящихся сил. Для упрощения уравнений равновесия координатные
оси ху направляем вдоль неизвестных усилий N1 и N2. Составляем уравнения равновесия:
Откуда
Тогда

10.

По таблицам ГОСТ 8509—72 подбираем сечения стержней:
для первого стержня угловую равнополочную сталь 36x36x4
для второго стержня угловую равнополочную сталь 28x28x3
Вычислим напряжения в поперечных сечениях стержней при принятых площадях
что больше [σ] на
такое превышение допустимо;
что меньше [σ] на

11.

Пример 5. Определить размеры поперечных сечений стержней
(рис. 2.7, а), если допускаемые напряжения для
стали [σсх] = 140 Н/мм2,для дерева [σд] = 13 Н/мм2.
Решение
Рассматриваем равновесие шарнира А, так как
к этому шарниру
приложены заданная нагрузка и искомые усилия в стержнях.
Освобождаем шарнир А от связей и заменяем
их действие реакциями N1 и N2. Действующие на
шарнир А нагрузка и искомые усилия показаны
на рис. 2.7, б. Получили плоскую
систему сходящихся сил, которая находится в равновесии.
Выбираем систему координат и составляем уравнения равновесия:
откуда

12.

Требуемые площади поперечных сечений стержней
Откуда
Пример 6. Однородная балка АВ поддерживается тремя стальными стержнями 1, 2, 3 круглого поперечного
сечения d = 20 мм (рис. 2.8). Сила тяжести балки Q = 10 кН. Найти допускаемую интенсивность [q]
равномерно распределенной нагрузки, если допускаемое напряжение для материала стержней [σ] =160 Н/мм2.

13.

Решение
1.Определим усилия, возникающие в стержнях. Под действием силы Q, равномерно распределенной нагрузки
q и усилий N1, N2 и N3 в стержнях балка находится в равновесии.
2.Составляем уравнения равновесия:
3.Решая полученные уравнения, находим:
N3 больше, чем N1 и N2. Следовательно, опасными являются поперечные сечения стержня 3.
4.Условие прочности для стержня 3:
Подставляем значение N3:
5.Решая относительно ц и подставляя числовые значения, получаем:
где

14.

Пример 7. Стальной стержень круглого сечения диаметром d = 20 мм растягивается силой Р = 65 кН.
Проверить прочность стержня, если его предел текучести σ = σт = 300 Н/мм2 и требуемый коэффициент
запаса [n] = 1,5.
Решение
Напряжения, возникающие в поперечном сечении стержня,
Расчетный коэффициент запаса
Следовательно, можно считать, что прочность стержня достаточна, так как расчетный коэффициент запаса
незначительно (на 3%) меньше требуемого.

15.

Контрольные вопросы и задания
1.Какие внутренние силовые факторы возникают в сечении бруса при растяжении и сжатии?
2.Как распределяются по сечению силы упругости при растяжении и сжатии? (Использовать гипотезу
плоских сечений.)
3.Какого характера напряжения возникают в поперечном сечении при растяжении и сжатии: нормальные или
касательные?
4.Как распределены напряжения по сечению при растяжении и сжатии?
5.Запишите формулу для расчета нормальных напряжений при растяжении и сжатии.
6.Как назначаются знаки продольной силы и нормального напряжения?
7.Что показывает эпюра продольной силы?
8.Как изменится величина напряжения, если площадь поперечного сечения возрастет в 4 раза?
9.В каких единицах измеряется напряжение?