Построение эпюр при сжатии растяжении ступенчатого стержня
1. На рисунке проводиться ось ОХ, совпадающая с продольной осью стержня.
2. Под рисунком стержня проводятся две базовые нулевые линии, параллельно продольной оси стержня. Одна для эпюры продольной силы Nz
Вторая базовая нулевая линия для эпюры нормальных напряжений (Мпа).
3. Стержень разбивается на участки. Для границ участков проводятся вертикальные линии в точках приложения нагрузки и изменения площади поперечного сечения вниз до пересечения с базовыми нулевыми линиями. Нумерация участков начинается со свободной стороны стержня для задачи статически определимой. Если задача статически неопределимая, то нумерация выполняется слева направо.
4. Для определения значения продольной силы используется метод сечений. В середине участка проводится сечение. Указывается направление продольной силы. Положительным считается направление продольной силы, направленной от сечения (растягивает). Значение продольной силы Nz определяется из условия равновесия отсечённой части (сумма проекций на ось ох всех действующих сил равна нулю 0).
5. Вычисляем значение нормальных напряжений.
6. Положительные значения продольной силы и нормального напряжения откладываем вверх от базовой нулевой линии, отрицательные вниз.
7. Проверяем правильность решения задачи по эпюре продольной силы. В точках, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре должен быть скачок равный значению продольной силы.
8. Условие прочности проверяем по эпюре нормальных напряжений. Максимальные напряжения, возникающие в конструкции, не должны превышать допускаемых.
Пример №1: Построить эпюры продольной силы N и нормального напряжения σ, проверить на прочность стальной стержень, закрепленный с одной стороны (статически определимая задача). Р1 = 10кН Р2 = 15кН
Р3 =15кН
=100 Мпа; А1 = F; А2 = 2F; F = 100 мм2
Решение:
Параллельно продольной оси стержня проводим две базовые нулевые линии для продольной силы и нормального напряжения.
Разбиваем стержень на участки, начиная со свободной стороны. Проводим вниз вертикальные линии в точках приложения сил и изменения площади поперечного сечения до пересечения с нулевыми линиями. Нумерация участков начинается со свободной стороны стержня.
1 участок:
— на первом участке проводим сечение, перпендикулярное продольной оси, мысленно отбрасываем большую часть и рассматриваем меньшую часть стержня. Заменяем действие отброшенной части на оставленную продольной силой N1. Положительным считается действие от сечения (растягивает).
Рассматриваем равновесие оставленной части, проецируя действующие силы на ось ОХ:
Определяем продольную силу на первом участке:
-N1+ Р1=0 следовательно N1 = Р1=10 кН
Определяем нормальное напряжение на первом участке
2 участок:
-N2+ Р1 — Р2=0 следовательно N2 = Р1-Р2 =10-15= -5 кН
3 участок:
-N3+ Р1 — Р2=0 следовательно N3 = Р1-Р2 =10-15= -5 кН
4 участок:
-N4+ Р1 — Р2+Р3=0 следовательно N4 = Р1-Р2+Р3=10-15+15= 10 кН
Рис. 10.
Метод сечений для определения продольной силы.
Для построения эпюр продольной силы и нормального напряжения задаёмся произвольным масштабом (например: одна клеточка -5 кН и -25 мегапаскалей). Строим эпюры продольной силы и нормального напряжения, откладывая положительные значения вверх от базовой нулевой линии, отрицательные вниз.
Проверяем правильность решения задачи по эпюре продольной силы, в точке приложения сосредоточенной силы на эпюре должен быть скачок, равный действующей силе.
По эпюре нормального напряжения проверяем условие прочности максимальные напряжения должны быть меньше или равны допустимым, значит прочность обеспечена.
Рис.11.
Эпюры продольной силы N и нормального напряжения σ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Рубашкин А.Г. Лабораторные работы по сопротивлению материалов.- М.: Высшая школа, 1961.-159с.
2. Афанасьев A.M., Марьин В.А. Лабораторный практикум по сопротивлению материалов.- М.: Наука, 1975.-284с.
3. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов.- М.: Наука, 1979.-559с.
4. Писаренко Г.С. Сопротивление материалов.- Киев.: Высшая школа, 1973.-667с.
Источник
Пример решения задачи на растяжение и сжатие
.
Условие задачи на растяжение и сжатие
Стальной стержень (модуль Юнга кН/см2) с размерами см; см, см и площадью поперечного сечения нижнего участка см2, а верхнего – см2 нагружен внешними осевыми силами кН и кН. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений . Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) кН/см2, а допускаемый коэффициент запаса . Найти удлинение стержня .
Расчетная схема для задачи на растяжение и сжатие
рис 3.2
Решение пример задачи на растяжение и сжатие
Определяем значение опорной реакции , возникающей в заделке
Учитывая, что , направим опорную реакцию вниз. Тогда из уравнения равновесия находим:
кН.
Строим эпюру продольных сил
Разбиваем длину стержня на три участка. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы и (или) изменяется размер поперечного сечения стержня.
Воспользуемся методом сечений. Делаем по одному сечению в произвольном месте каждого из трех участков стержня.
Cечение 1 – 1. Отбросим (или закроем листком бумаги) верхнюю часть стержня (рис. 3.2, б). Само сечение 1 – 1 мысленно считаем неподвижным. Мы видим, что внешняя сила растягивает рассматриваемую нижнюю часть стержня. Отброшенная нами верхняя часть стержня противодействует этому растяжению. Это противодействие мы заменим внутренней продольной силой , направленной от сечения и соответствующей растяжению. Разрушения стержня не произойдет только в том случае, если возникающая в сечении 1 – 1 внутренняя продольная сила уравновесит внешнюю силу . Поэтому очевидно, что
кН.
Сечение 2 – 2. Внешняя сила растягивает рассматриваемую нами нижнюю часть стержня, а сила ее сжимает (напомним, что 2 – 2 мы мысленно считаем неподвижным). Причем, согласно условию задачи, . Чтобы уравновесить эти две силы, в сечении 2 – 2 должна возникнуть внутренняя сила , противодействующая сжатию, то есть направленная к сечению. Она равна:
кН.
Сечение 3 – 3. Отбросим теперь часть стержня, расположенную ниже этого сечения. Внутренняя продольная сила должна уравновесить внешнюю (реактивную) сжимающую силу . Поэтому она направлена к сечению и равна:
кН.
Легко убедиться в том, что полученный результат не изменится, если мы отбросим не нижнюю, а верхнюю часть стержня. В этом случае продольная сила также противодействует сжатию. Она равна:
кН.
При построении эпюры продольных сил будем пользоваться следующим правилом знаков: внутренняя продольная сила, возникающая в поперечном сечении стержня, считается положительной, если она противодействует растяжению стержня, и отрицательной, если она противодействует его сжатию. Оно вводится для того, чтобы можно было наглядно видеть, какая часть стержня испытывает деформацию растяжения, а какая часть – деформацию сжатия. Это обстоятельство может оказаться крайне важным, в частности для стержней из хрупкого материала, которые имеют разные допускаемые напряжения на растяжение и на сжатие.
Таким образом, мы установили, что в любом сечении нижнего участка стержня внутренняя продольная сила противодействует растяжению и равна кН. В любом сечении среднего и верхнего участков стержня имеет место деформация сжатия, поэтому кН.
Для построения эпюры продольных сил проводим тонкой линией ось, параллельную оси стержня z (рис. 3.2, д). Вычисленные значения продольных сил в выбранном масштабе и с учетом их знака откладываем от этой вертикальной оси. В пределах каждого из участков стержня продольная сила остается постоянной, поэтому мы как бы «заштриховываем» горизонтальными линиями соответствующий участок.
Отметим, что каждая линия «штриховки» (то есть ордината эпюры) в принятом масштабе дает значение продольной силы в соответствующем поперечном сечении стержня.
Полученную эпюру обводим жирной линией.
Анализируя полученную эпюру, мы видим, что в местах приложения внешних сил на эпюре имеет место скачкообразное изменение продольной силы на величину, равную значению соответствующей внешней силы. Причем изменение поперечного размера стержня, как это видно из рис. 3.2, д, никак не сказывается на характере эпюры .
Строим эпюру нормальных напряжений
Нормальное напряжение, возникающее в k–м поперечном сечении стержня при растяжении (сжатии), вычисляется по следующей формуле
,
где и – продольная сила и площадь k–го поперечного сечения стержня соответственно.
В первом поперечном сечении стержня нормальное напряжение равно
кН/см2,
во втором –
кН/см2,
в третьем –
кН/см2.
Строим по вычисленным значениям эпюру (рис. 3.2, е). В пределах каждого из участков стержня напряжения постоянны, то есть эпюра напряжений параллельна оси. Заметим, что в отличие от эпюры N, на эпюре «скачок» имеет место не только в местах приложения внешних сил, но и там, где происходит изменение размеров поперечного сечения стержня.
Оцениваем прочность стержня
Сопоставляем наибольшее (по модулю) нормальное напряжение , которое в нашем примере возникает во втором сечении стержня, с допускаемым напряжением . Напомним, что допускаемое напряжение представляет собой долю от предельного напряжения , то есть от напряжения, при котором начинается разрушение материала. Разрушение стали, как пластичного материала, начинается при появлении значительных остаточных деформаций. Поэтому для стали предельное напряжение равно пределу текучести: . Тогда
кН/см2.
Условие прочности имеет вид . В нашем случае
кН/см2 > кН/см2,
следовательно, прочность стержня на втором участке не обеспечена.
Таким образом, площадь поперечного сечения стержня на втором участке, равную см2, нам необходимо увеличить.
Несложный анализ показывает, что на других участках стержня условие прочности выполняется.
Из условия прочности определяем требуемую площадь поперечного сечения стержня на втором участке:
см2.
Принимаем на втором участке см2.
Вычисляем удлинение всего стержня
При переменных по длине стержня значениях продольной силы и площади поперечного сечения удлинение вычисляется по формуле
,
где E – модуль Юнга, а – длина соответствующего участка стержня.
Тогда
см.
Таким образом, длина стержня уменьшается на мм.
Задача по сопромату на растяжение и сжатие для самостоятельного решения
Условие задачи на растяжение и сжатие
Стальной стержень (модуль Юнга кН/см2) находится под действием внешних осевых сил и (рис. 3.1). Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений . Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) кН/см2, а допускаемый коэффициент запаса . Найти удлинение стержня .
Схемы для задачи на растяжение и сжатие
Исходные данные к задаче на растяжение и сжатие
Номер схемы | F, см2 | a, м | b, м | c, м | P, кН |
1 | 2,0 | 1,2 | 1,4 | 1,6 | 11 |
2 | 2,2 | 1,4 | 1,6 | 1,4 | 12 |
3 | 2,4 | 1,8 | 1,6 | 1,2 | 13 |
4 | 2,6 | 1,6 | 2,0 | 1,0 | 14 |
5 | 2,8 | 2,0 | 1,8 | 1,2 | 15 |
6 | 3,0 | 2,2 | 1,6 | 1,4 | 16 |
7 | 3,2 | 2,4 | 1,4 | 1,6 | 17 |
8 | 3,4 | 2,6 | 1,2 | 1,8 | 18 |
9 | 3,6 | 2,8 | 1,0 | 1,4 | 19 |
3,8 | 2,4 | 1,6 | 1,2 | 20 |
Источник
Задача. Определить напряжение в стальных стержнях, поддерживающих абсолютно жёсткую балку. Материал — сталь Ст3, α=60°, [σ]=160МПа.
- Схему вычерчиваем в масштабе. Нумеруем стержни.
В шарнирно-неподвижной опоре А возникают реакции RА и НА. В стержнях 1 и 2 возникают усилия N1 и N2. Применим метод сечений. Замкнутым разрезом вырежем среднюю часть системы. Жесткую балку покажем схематично — линией, усилия N1 и N2 направим от сечения.
Составляем уравнения равновесия
Количество неизвестных превышает количество уравнений статики на 1. Значит, система один раз статически неопределима, и для её решения потребуется одно дополнительное уравнение. Чтобы составить дополнительное уравнение, следует рассмотреть схему деформации системы. Шарнирно-неподвижная опора А остается на месте, а стержни деформируются под действием силы.
Схема деформаций
По схеме деформаций составим условие совместности деформаций из рассмотрения подобия треугольников АСС1и АВВ1. Из подобия треугольников АВВ1 и АСС1 запишем соотношение:
, где ВВ1=Δℓ1 (удлинение первого стержня)
Теперь выразим СС1 через деформацию второго стержня. Укрупним фрагмент схемы.
Из рисунка видно, что СС2 = СС1·cos (90º-α)= СС1·sinα.
Но СС2= Δℓ2 , тогда Δℓ2= СС1·sinα, откуда:
Превратим условие совместности деформации (4) в уравнение совместности деформации с помощью формулы Гука для деформаций. При этом обязательно учитываем характер деформаций (укорочение записываем со знаком «-», удлинение со знаком «+»).
Тогда уравнение совместности деформаций будет:
Сокращаем обе части на Е, подставляем числовые значения и выражаем N1 через N2
Подставим соотношение (6) в уравнение (3), откуда найдем:
N1 = 7,12кН (растянут),
N2 =-20,35кН (сжат).
Определим напряжения в стержнях.
Задача решена.
Расчет бруса с зазором. Для статически неопределимого стального ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений, перемещений. Проверить прочность бруса. До нагружения между верхним концом и опорой имел место зазор Δ=0,1 мм. Материал – сталь Ст 3, модуль продольной упругости Е=2·105 МПа, допускаемое напряжение [σ]=160МПа.
- После нагружения зазор закроется и реакции возникнут и в нижней, и в верхней опоре. Покажем их произвольно, это реакции RA и RВ. Составим уравнение статики.
∑у=0 RA — F1 + F2 — RВ=0
В уравнении 2 неизвестных, а уравнение одно, значит задача 1 раз статически неопределима, и для ее решения требуется 1 дополнительное уравнение.
Это уравнение совместности деформаций. В данном случае совместность деформаций участков бруса состоит в том, что изменение длины бруса (удлинение) не может превзойти величины зазора, т.е. Δℓ=Δ, это условие совместности деформации.
- Теперь разобьем брус на участки и проведем на них сечения – их 4 по количеству характерных участков. Каждое сечение рассматриваем отдельно, двигаясь в одном направлении – от нижней опоры вверх. В каждом сечении выражаем силу N через неизвестную реакцию. Направляем N от сечения.
Выпишем отдельно значения продольных сил в сечениях:
N1 = — RА
N2 = 120 — RА
N3 = 120 — RА
N4 = 30- RА
3. Вернемся к составлению условия совместности деформации. Имеем 4 участка, значит
Δℓ1+ Δℓ2+ Δℓ3+ Δℓ4= Δ (величина зазора).
Используя формулу Гука для определения абсолютной деформации 
составим уравнение совместности деформаций, — это именно то дополнительное уравнение, которое необходимо для решения задачи.
Попробуем упростить уравнение. Помним, что величина зазора Δ=0,1 мм = 0,1·10-3 м
Е – модуль упругости, Е=2·105МПа=2·108кПа.
Подставляем вместо N их значения, записанные через опорную реакцию RА.
4. Вычисляем N и строим эпюру продольных сил.
N1=- RА=-47,5кН
N2=120 — RА=72,5кН
N3=120 — RА=72,5кН
N4=30- RА=-17,5кН.
5. Определяем нормальные напряжения σ по формуле 
и строим их эпюры
Строим эпюру нормальных напряжений.
Проверяем прочность.
σmax= 90,63 МПа < [σ]=160МПа.
Прочность обеспечена.
- Вычисляем перемещения, используя формулу Гука для деформаций.
Идем от стены А к зазору.
Получили величину ω4, равную зазору ,это является проверкой правильности определения перемещений.
Строим эпюру перемещений.
Задача решена.
Для статически определимого стального ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Проверить прочность бруса. Материал – сталь Ст 3, модуль продольной упругости Е=2·105 МПа, допускаемое напряжение [σ]=160МПа.
- Произвольно направляем реакцию стены RAи определяем её из уравнения равновесия.
∑у=0 — RA+F3 — F2+ F1 =0
RA= F3 — F2+ F1 =60-25+10=45кН.
- Определяем продольные силы N методом сечений. Сечение расставляем на характерных участках (между изменениями). Подсказкой может служить размерная нитка – сколько отсечено отрезков, столько будет и участков с сечениями. В нашей задаче их 6.Каждое сечение рассматриваем отдельно с любой стороны на наше усмотрение. Силу N направляем от сечения.
Строим эпюру N. Все значения откладываем перпендикулярно от нулевой линии в выбранном нами масштабе.
Положительные значения условимся откладывать вправо от нулевой линии, отрицательные — влево.
- Определяем нормальные напряжения σ в сечениях по формуле . Внимательно смотрим, по какой площади проходит сечение.
Строим эпюру σ.
Проверим прочность по условию прочности 
|σmax|= 75 МПа < [σ]=160МПа.
Прочность обеспечена.
4. Определяем перемещение бруса.
Расчет ведется от стены, в которой перемещение равно нулю ωА= 0.
Формула Гука для определения абсолютной деформации участка
Определяем перемещения:
Строим эпюру перемещений ω.
Задача решена.
На стальной стержень действует продольная сила Р и собственный вес (γ = 78 кН/м3). Найти перемещение сечения 1 –1.
Дано: Е =2·105 МПа, А = 11 см2, а = 3,0 м, в = 3,0 м, с= 1,3 м, Р = 2 кН.
Учет собственного веса
Перемещение сечения 1 –1 будет складываться из перемещения от действия силы Р, от действия собственного веса выше сечения и от действия собственного веса ниже сечения. Перемещение от действия силы Р будет равно удлинению участка стержня длиной в+а ,расположенного выше сечения 1 –1. Нагрузка Р вызывает удлинение только участка а, так как только на нем имеется продольная сила от этой нагрузки. Согласно закону Гука удлинение от действия силы Р будет равно: 
Определим удлинение от собственного веса стержня ниже сечения 1 –1.
Обозначим его как 
. Оно будет вызываться собственным весом участка с и весом стержня на участке а+в
Определим удлинение от собственного веса стержня выше сечения 1 –1.
Обозначим его как
Оно будет вызываться собственным весом участка а+в
Тогда полное перемещение сечения 1-1:
Т.е, сечение 1-1 опустится на 0,022 мм.
Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно неподвижную опору и прикреплен к двум стержням при помощи шарниров. Требуется: 1) найти усилия и напряжения в стержнях, выразив их через силу Q; 2) Найти допускаемую нагрузку Qдоп, приравняв большее из напряжений в двух стержнях к допускаемому напряжению 
; 3) найти предельную грузоподъемность системы , если предел текучести 
4) сравнить обе величины, полученные при расчете по допускаемым напряжениям и предельным нагрузкам. Размеры: а=2,1 м, в=3,0 м, с=1,8 м, площадь поперечного сечения А=20 см2
Данная система один раз статически неопределима. Для раскрытия статической неопределимости необходимо решить совместно уравнение равновесия и уравнение совместности деформаций стержней.
(1) -уравнение равновесия
Составим деформационную схему — см. рис. Тогда из схемы:
(2)
По закону Гука имеем:
Длины стержней:
Тогда получим:
Подставим полученное соотношение в уравнение (1):
Определяем напряжение в стержнях:
Допускаемая нагрузка:
В предельном состоянии: 
Подставим полученные соотношения в уравнение (1):
