Поперечное сечение бруса при растяжении
Внутренние усилия при растяжении-сжатии.
Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).
Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)
Напряжения при растяжении-сжатии.
Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:
где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.
Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:
Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.
Деформации при растяжении-сжатии.
Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l
Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:
При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:
где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).
Таблица 1
Модуль продольной упругости для различных материалов
Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:
Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:
При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε’ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε’ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:
Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).
Таблица 2
Коэффициент Пуассона.
Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:
Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно. В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:
Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).
Механические свойства материалов.
Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность, пластичность, хрупкость, упругость и твердость.
Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.
Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.
Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).
Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.
Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.
Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l0 и начальным постоянным поперечным сечением площади A0 статически растягивается с обоих торцов силой F.
Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)
где Δl = l — l0 абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l0 — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A0 — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.
Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.
Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:
где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.
Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.
Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.
Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):
При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:
При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:
Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.
Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:
Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.
Следующая важная статья теории:
Изгиб балки
Источник
Содержание:
- Продольные и поперечные деформации бруса при растяжении (сжатии). Закон Гука. Перемещения
Продольные и поперечные деформации бруса при растяжении (сжатии). Закон Гука. Перемещения
- Продольная и поперечная деформация балки при растяжении (сжатии). Закон крючка. Приложим внешнюю силу F к стержню длины / постоянной площади сечения A(рис. 15.4, а). Изображая силу стрелы, как уже говорилось, она считается равномерно распределенной по всем концам. Другими словами, предположим, что все воображаемые продольные призматические элементы (волокна) балки нагружены равномерно и подвергаются одинаковой деформации. Под действием натяжения длина стержня I увеличивается на величину AZ, как показал эксперимент, Тысяча и
сто тысяч. Его поперечные размеры уменьшаются. Для риса. 15.4, и пунктирная линия показывает диаграмму деформации протянутой балки. Когда сила действует в противоположном направлении, луч сжимается. В случае сжимаемого стержня с меньшей длиной по сравнению с его поперечными размерами его длина I уменьшается на величину D/, а поперечные размеры увеличиваются.
Если длина балки значительна по сравнению с ее поперечными размерами, то сила сжатия может согнуть ее, то есть происходит потеря
Людмила Фирмаль
устойчивости. Этот случай будет рассмотрен в главе 24. Величина D / называется продольным удлинением стержня при растяжении. Удлинение при растяжении считается положительным, а укорочение при сжатии-отрицательным. Естественно, что чем больше сила растяжения балки и ее длина, тем больше удлинение D/, и наоборот, и чем больше поперечное сечение, тем меньше брус из разных материалов будет удлиняться при разных значениях. Связь между мощностью и удлинением называется R. R Гука law.It впервые был получен Гуком.EAS константа Nz и Az Al-N1 / EA, (15.4), где D / —
абсолютное удлинение балки./ Это физическая постоянная материала, характеризующая его способность противостоять упругой деформации. Чем больше Е, тем меньше продольная деформация.EA-жесткость поперечного сечения балки при растяжении или сжатии. Таким образом, удлинение балки прямо пропорционально силе, действующей на поперечное сечение N и обратно пропорционально длине балки I и жесткости балки EA. Поскольку в любой точке рассматриваемой балки О2 имеет одинаковое значение, то линейная деформация 141в все точки будут одинаковыми, их значение можно определить по формуле E2=D///. (15.5) Линейная деформация при
- растяжении балки (сжатии), Е2 обычно называется растяжением или относительной продольной деформацией. Относительная продольная деформация-это абстрактная величина, равная абсолютному удлинению единицы длины балки. Если разделить левую и правую части уравнения (15.4) на I и указать a-Z=N / At, то D/ / =N / EA;E2= O2 / E или (ЮЖД = эз)(15.6) В свою очередь, закон крюка можно сформулировать следующим образом: относительная продольная деформация прямо пропорциональна соответствующему вертикальному напряжению. В то же время размеры поперечного сечения (ширина b и высота y) уменьшаются за счет продольной
деформации при растяжении стержня. Обозначает горизонтальное укорочение от B и h до-D6 и-Dy(рис. 15.4, 6). Относительная поперечная деформация экс—б!bEU= — &h/h. (15.7) Для изотропных материалов поперечная деформация одинакова.7. Как показывают эксперименты, при напряжении, не превышающем предела упругости, относительная поперечная деформация прямо пропорциональна относительной продольной деформации, но имеет противоположный знак: eg= — ex / p= — Ey/[i. (15.8) Отношение поперечной деформации к продольной (абсолютная амплитуда) называется коэффициентом Пуассона: И=I| / / E2|. (15.9))
Коэффициент Пуассона C является безразмерной величиной. Продольные упругие константы E и C являются физико-механическими свойствами
Людмила Фирмаль
Изотропных материалов. Коэффициент Пуассона был определен экспериментально. Для различных материалов он имеет значение от нуля (для пробки) до значения, близкого к 0,5 (для резины). Для стали C составляет 0,25-0,3,для некоторых материалов значение E и C приведены в таблице. 15.1. 142T a b l I C a15. Один Имя материала E, MPa L имя материала E-M P A th Сталь 2.1-10 » 0.25-0.3 бетон (0.18-0.25) 10* 0.1— 0.2 Медь 1• 10* 0,31—0 ; 34 камень 0,01*105 0,16— 0,34 Алюминий 0.7-10″0.32-0.36 дерево 0.1 * 105-чугун 1.1-10″ 0.23-0.27 стекло 0.56 * 105 0.25 Движение поперечного сечения штанги. Изменение поперечного сечения — это изменение начального положения поперечного сечения в результате деформации балки. Движение
может быть линейным из-за изменения расстояния или угла при повороте секции. Исходя из гипотезы о плоском сечении поперечного сечения после деформации барина центральное натяжение(сжатие) занимает новое положение параллельно исходному, смещаясь вдоль оси за счет расширения (укорочения). В этом случае угловое смещение всех поперечных сечений равно нулю. Кроме того, смещение рассматриваемого участка, поскольку величина смещения представляет собой изменение расстояния между двумя участками, зависит от того, вычисляется ли смещение для какого участка, как
правило, в виде сечения, как линейное (продольное) движение балки вычисляется как сечение, сечение, где величина жесткости (перемещение равно нулю) равна Перемещение определяется выражением &=N l/E A, (15.10), где I-расстояние между исследуемыми участками, N-внутренняя продольная сила, а EA-жесткость балки при растяжении(сжатии). Если стержень между двумя исследуемыми участками имеет ступенчатое изменение поперечного сечения или нагружается каким-то внешним продольным усилием фокуса, то участок съемки будет закрыт.、 Смещение вычисляется как алгебраическая сумма расширений отдельных участков: 143). 15.5 D=5W или / E A t). i = l Результат расчета указывается в виде графика
продольного смещения сечения балки. Процесс построения графиков движений объясняется примерами. Например. Для ступенчатых балок (рис. 15.5, а) построить график движения. Решение. Для этого бара см. рис. 15.2, b, C) внутренние продольные силы уже рассчитаны и построены графики N и az, поэтому перейдем непосредственно к построению графика продольных перемещений. В этом случае ступенчатый стержень имеет три секции KD, DC и CB, в которых построены N и o^. Верхняя секция K, которая совпадает с жесткой прижимной опорой, не имеет движения, поэтому рассчитайте движение остальных секций балки против нее. Во-первых, рассмотрим сюжет KD. В любом сечении сделайте смещение от
верхнего удлинения 1-1(рис. 15.5, g) равно DX=N2z / EA2-z / E. Из этой формулы мы устанавливаем, что закон изменения смещения вдоль участка KD является линейным. 2=0DL=0; z=l=AZ / ^=0.75 TSE m. Участок постоянного тока. Перемещение любого сечения 2-2(рис. 15.5, d) равна сумме смещения сечения DK и удлинения балки на длину z сечения DC:^S D+Nt z/EA2. Закон изменения смещения также линейный. От 2=0=0.75/£’, z=l&c = QJ5l/E+Nil / EA2=0f75l / E+0.25 l / E / E-=TSE m. Любой участок 3-3 Санкт-Петербурга(рис. 15.5, д) сумма перемещений двух верхних частей KD и DC и длины балки на участке CB длиной z равна: 144А Три. =A c+^Z>E A1-в этой области смещение изменяется линейно. АТ2=0=АТ2=з:АВ=цэ+НР UEAt = цэ+0.5/ / Д=1.5 м це. По полученным данным строится график продольного смещения поперечного сечения балки (рис. 15.5, г).
Смотрите также:
Решение задач по технической механике
Источник
Деформации продольные и поперечные. Коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона). Закон Гука. Модуль упругости.
При действии растягивающих сил по оси бруса длина его увеличивается, а поперечные размеры уменьшаются. При действии сжимающих усилий происходит обратное явление. На рис. 6 показан брус, растягиваемый двумя силами Р. В результате растяжения брус удлинился на величину Δl, которая называется абсолютным удлинением,и получим абсолютное поперечное сужение Δа.
Отношение величины абсолютного удлинения и укорочения к первоначальной длине или ширине бруса называется относительной деформацией. В данном случае относительная деформация называется продольной деформацией, а — относительной поперечной деформацией. Отношение относительной поперечной деформации к относительной продольной деформации называется коэффициентом Пуассона: (3.1)
Коэффициент Пуассона для каждого материала как упругая константа определяется опытным путем и находится в пределах: ; для стали .
В пределах упругих деформаций установлено, что нормальное напряжение прямо пропорционально относительной продольной деформации. Эта зависимость называется законом Гука:
, (3.2)
где Е — коэффициент пропорциональности, называемый модулем нормальной упругости.
Если мы в формулу закона Гука подставим выражение и , тo получим формулу для определения удлинения или укорочения при растяжении и сжатии:
, (3.3)
где произведение ЕF называется жесткостью при растяжении, сжатии.
Модуль упругости — общее название нескольких физических величин, характеризующих способность твёрдого тела(материала, вещества) упруго деформироваться (то есть не постоянно) при приложении к нему силы. В области упругой деформации модуль упругости тела в общем случае зависит от напряжения и определяется производной (градиентом) зависимости напряжения от деформации, то есть тангенсом угла наклона начального линейного участка диаграммы напряжений-деформаций:
{displaystyle E {stackrel {text{def}}{=}} {frac {dsigma }{dvarepsilon }}}
где:
· E — модуль упругости;
· {displaystyle sigma } — напряжение, вызываемое в образце действующей силой (равно силе, делённой на площадь приложения силы);
· {displaystyle varepsilon } — упругая деформация образца, вызванная напряжением (равна отношению изменения размера образца после деформации к его первоначальному размеру).
Определение осевых перемещений поперечных сечений. Жесткость при растяжении и сжатии.
Растяжениемилисжатиемназывают такой вид деформации бруса (стержня), при котором в его поперечных сечениях возникает только продольная сила N.
Продольной силойв поперечном сечении бруса называется равнодействующая внутренних нормальных сил , возникающих в этом сечении.
При сжатии сравнительно длинного и тонкого бруса прямолинейная форма его равновесия может оказаться неустойчивой.
жесткость сечения бруса при растяжении (сжатии) — Произведение модуля продольной упругости иплощади поперечного сечения. Характеризует жесткость бруса при растяжении (сжатии).
3. Диаграммы растяжения и ее характерные параметры: пределы пропорциональности, упругости, текучести, прочности. Истинная диаграмма растяжения.
Диаграмма растяжения
Диаграмма растяжения показывает зависимость удлинения образца от продольной растягивающей силы.
Ее построение является промежуточным этапом в процессе определения механических характеристик материалов (в основном металлов).
Диаграмму растяжения материалов получают экспериментально, при испытаниях образцов на растяжение.
Для этого образцы стандартных размеров закрепляют в специальных испытательных машинах и растягивают до их полного разрушения (разрыва). При этом специальные приборы фиксируют зависимость абсолютного удлинения образца от прикладываемой к нему продольной растягивающей нагрузки и самописец вычерчивает кривую характерную для данного материала.
Диаграмму ~ условно делят на четыре области:
I – зона упругости. Здесь материал подчиняется закону Гука.
II – зона общей текучести. Здесь происходит существенное удлинение образца без заметного увеличения нагрузки. Кривая АВ называется площадкой текучести.
III – зона упрочнения. Здесь удлинение образца сопровождается возрастанием нагрузки, но неизмеримо более медленным, чем на упругом участке.
Процесс предварительного деформирования называют наклепом.
IV – зона местной текучести (зона разрушения). Здесь начинает появляться место сужения – шейка.
На диаграмме растяжения отмечают характерные напряжения:
– предел пропорциональности – напряжение, до которого выполняется закон Гука;
– предел упругости – наибольшее напряжение, до которого материал не получает остаточной деформации;
– предел текучести – напряжение, при котором происходит рост деформации без заметного увеличения нагрузки.
– предел прочности – отношение максимальной силы, которую способен выдержать образец, к его начальной площади поперечного сечения.
Дата добавления: 2018-10-15; просмотров: 2215 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов
Читайте также:
Рекомендуемый контект:
Поиск на сайте:
© 2015-2020 lektsii.org — Контакты — Последнее добавление
Источник