Плотность потенциальной энергии при растяжении
Как уже отмечалось, под действием сил происходит деформация тел, т
Как уже отмечалось, под действием сил происходит деформация
тел, т. е. изменение их размеров и формы. Если после прекращения действия сил,
вызвавших деформацию, тело принимает первоначальные размеры и форму, деформация
называется упругой. Мы ограничимся кратким рассмотрением основных упругих
деформаций.
Упругие деформации происходят в том случае, если сила,
обусловившая деформацию, не превосходит некоторый, определенный для каждого
конкретного тела предел. При превышении этого предела тело получает остаточные
или пластические деформации, сохраняющиеся и после прекращения действия силы на
тело.
Все возможные виды упругих деформаций твердого тела могут
быть сведены к двум основным: растяжению (или сжатию) и сдвигу.
Продольное растяжение (или одностороннее сжатие). Если к
концам однородного стержня постоянного сечения приложить направленные вдоль его
оси силы
Рис.
125.
f1
и f2 (ƒ1 ƒ2=ƒ), действие
которых равномерно распределено по всему сечению, то длина стержня l получит
положительное (при растяжении), либо отрицательное (при сжатии) приращение ∆l
(рис. 125). При этом каждый произвольно выбранный элемент стержня δl
получает приращение ∆(δl) пропорциональное его длине, так что для
всех элементов стержня отношение оказывается одним и тем же. Естественно
поэтому в качестве величины, характеризующей деформацию стержня, взять относительное
изменение его длины:
(45.1) |
Как следует из его определения, относительное удлинение
εявляется безразмерной величиной. В случае растяжения оно
положительно, а в случае сжатия — отрицательно.
Опыт дает, что для стержней из данного материала
относительное удлинение при упругой деформации пропорционально силе,
приходящейся на единицу площади поперечного сечения стержня:
(45.2) |
Коэффициент пропорциональности α называется коэффициентом
упругости. Он зависит только от свойств материала стержня.
Величина, равная отношению силы к величине поверхности, на
которую сила действует, называется напряжением. Благодаря взаимодействию частей
тела друг с другом напряжение передается во все точки тела—весь объем стержня
оказывается в напряженном состоянии. Если сила направлена по нормали к
поверхности, напряжение называется нормальным. Если сила направлена по касательной
к поверхности, на которую она действует, напряжение называется тангенциальным.
Нормальное напряжение принято обозначать буквой σ, тангенциальное — буквой
τ.
Введя в рассмотрение нормальное напряжение
(45.3) |
уравнение (45.1) можно записать
следующим образом:
(45.4) |
Таким образом, относительное удлинение оказывается
пропорциональным нормальному напряжению. Из (45.4) вытекает, что коэффициент
упругости α численно равен относительному удлинению при напряжении, равном
единице.
Наряду с коэффициентом упругости α для характеристики
упругих свойств материала пользуются обратной ему величиной Е=1/α,
которая называется модулем Юнга.
Заменяя в (45.4) ее через Е, получим:
(45.5) |
откуда следует, что модуль Юнга
равен такому нормальному напряжению, при котором относительное удлинение было
бы равно единице (т. е. приращение длины ∆l было бы равно первоначальной
длине l), если бы столь большие упругие деформации были возможны (на самом
деле, при значительно меньших напряжениях происходит разрыв стержня, еще раньше
достигается предел упругости).
С учетом (45.1) и (45.5) соотношение (45.3) может быть
приведено к следующему виду:
(45.6) |
где k—постоянный для данного стержня
коэффициент.
Согласно (45.6) удлинение стержня при упругой деформации
пропорционально действующей на стержень силе. Соотношение (45.6) выражает закон
Гука для данной деформации. Этот закон выполняется только до тех пор, пока не
достигается предел упругости.
Изменение длины стержня при деформации сопровождается
соответствующим изменением поперечных размеров стержня d (рис. 125). Это
изменение принято характеризовать относительным поперечным расширением или
сжатием:
(45.7) |
Очевидно, что ε и ε’ всегда имеют разные знаки:
при растяжении ∆l положительно, a ∆d отрицательно, при сжатии ∆l
отрицательно, a ∆d положительно. Опыт дает, что ε’ пропорционально ε:
(45.8) |
где μ—положительный коэффициент,
зависящий только от свойств материала. Его называют коэффициентом
поперечного сжатия или коэффициентом Пуассона.
Сдвиг. Возьмем однородное тело, имеющее форму
прямоугольного параллелепипеда, и приложим к его противолежащим граням силы f1
и f2 (f1=f2=f),
направленные параллельно этим граням (рис. 126). Если действие сил будет
равномерно распределено но всей поверхности соответствующей грани S, то в любом
сечении, параллельном этим граням, возникнет тангенциальное напряжение
(45.9) |
Под действием напряжений тело деформируется таким образом,
что верхняя (на рисунке) грань сместится относительно нижней на некоторое
расстояние а. Если тело мысленно разбить на элементарные горизонтальные слои,
то каждый слой окажется сдвинутым относительно соседних с ним слоев. По этой
причине деформация такого вида получила название сдвига.
Рис
126.
При деформации сдвига любая прямая, первоначально перпендикулярная
к горизонтальным слоям, повернется на некоторый угол. Следовательно, отношение
сдвига двух
произвольно взятых слоев к расстоянию между этими слоями будет одинаково для любой пары
слоев. Это отношение естественно взять в качестве характеристики деформации
сдвига:
(45.10) |
Величина называется относительным сдвигом. В
силу малости угла можно
положить . Следовательно, относительный
сдвиг оказывается
равным углу сдвига .
Опыт показывает, что относительный сдвиг пропорционален тангенциальному напряжению:
(45.11) |
Коэффициент G зависит только от свойств материала и
называется модулем сдвига. Он равен такому тангенциальному напряжению, при
котором угол сдвига оказался бы равным 45° (), если бы при столь больших деформациях
не был превзойден предел упругости.
Кроме разобранных нами основных деформаций, рассмотрим
кручение круглого стержня. Если круглый стержень закрепить одним кондом
неподвижно, а к другому концу приложить вращательный момент М, имеющий
направление вдоль оси стержня (рис. 127), то стержень получит такую деформацию,
при которой его нижнее основание повернется по отношению к верхнему на
некоторый угол.
Рис.
127.
Легко видеть, что деформация при кручении представляет собой
деформацию сдвига. Действительно, если мысленно разбить стержень на
элементарные слои, перпендикулярные к его оси, то закручивание приведет к
сдвигу каждого из таких слоев по отношению к соседним с ним слоям. Правда,
сдвиг этот будет неоднороден: участок слоя ∆S
получает по отношению к аналогичному участку смежного слоя тем большее
смещение, чем дальше он отстоит от оси стержня.
Произведя соответствующий расчет, можно показать, в согласии
с опытом, что угол закручивания стержня определяется следующим выражением:
(45.12) |
где l– длина стержня, r— его радиус, G — модуль сдвига,
М — вращательный момент.
Обозначая постоянный для данного стержня множитель при М
буквой k, соотношению (45.12) можно придать вид
(45.13) |
Последнее соотношение выражает закон Гука при кручении. При
постоянной длине стержня из данного материала коэффициент пропорциональности kочень сильно зависит от толщины
стержня (как 1/r4).
Энергия упругой деформации. Упруго деформированное
тело, например, растянутый или сжатый стержень, возвращаясь в недеформированное
состояние, может, подобно сжатой или растянутой пружине, совершить работу над
внешними телами, т. е. обладает некоторым запасом энергии[1].
Поскольку эта энергия обусловлена взаимным расположением элементов тела, она
представляет собой потенциальную энергию. Запас энергии деформированного тела
равен, очевидно, работе, которая совершается внешними силами при деформации.
Вычислим энергию упруго растянутого (сжатого) стержня. При
растяжении на стержень необходимо действовать силой, величина которой
определяется выражением (45.6). Работа этой силы равна
где буквой x
обозначено абсолютное удлинение стержня, которое в процессе деформации
изменяется от 0 до ∆l.
Сила f соответствующая удлинению x,согласно(45.6)
равна
Следовательно,
[2]
Умножая числитель и знаменатель полученного выражения на lзаменяя затем отношение относительным
удлинением и
учитывая, наконец, что Sl дает объем стержня V
получим:
(45.14) |
Введем в рассмотрение плотность энергии u,
которую определим как отношение энергии ΔUк тому объему ΔV, в
котором она заключена:
Поскольку в нашем случае стержень однороден и формация
является равномерной, т, е, одинаковой в равных точках стержня, энергия (45.14)
распределена стержне также равномерно с постоянной плотности. Поэтому можно
считать:
(45.15) |
Выражение (45.15) дает плотность энергии упругой формации при
растяжении (или при сжатии). Аналогичным образом можно получить, что плотность
энергии упругой деформации при сдвиге равна
(45.16) |
Источник
Считая процесс нагружения квазистатическим и учитывая линейную связь Al(N), для потенциальной энергии деформации имеем
Если брус неоднородный, то
Удельная потенциальная энергия деформации, соответственно, равна
Статически неопределимые системы. Перемещение систем в пространстве ограничено связями. Если число связей, наложенных на систему, больше, чем необходимое для ее решения число уравнений статики, то такие системы называют статически неопределимыми. Для их решения используют дополнительные уравнения совместности деформаций. Характерной особенностью статически неопределимых систем является возникновение в них температурных напряжений, образующихся без внешних усилий под воздействием температуры.
При испытании на растяжение обеспечивается однородность напряженного состояния всех точек образца на рабочей длине. Испытание на растяжение достаточно просто, а его результаты в меньшой степени зависят от формы и размеров образца, чем испытания других видов. Наконец, испытание на растяжение позволяет получить достоверные характеристики прочности, упругости и пластичности материала, которые можно также использовать в расчетах деталей, работающих в условиях сложного напряженного состояния.
Характерный вид диаграммы растяжения образца из пластичного материала представлен на рис. 14.3. На этой диаграмме можно выделить четыре основных участка (зоны).
Рис. 143. Диаграммы растяжения образцов
На участке ОЛ материал подчиняется закону Гука. Деформации образца очень малы и при разгрузке исчезают. Участок ОЛ называют зоной упругости. За пределами этого участка деформация образца складывается из упругой и пластической (остаточной) составляющих.
Участок ВС характеризуется нарастанием пластической деформации без увеличения осевой нагрузки (Р = Рт) и называется зоной общей текучести. При нагрузке Рт во всем объеме рабочей части образца происходят необратимые деформации сдвига между кристаллическими слоями. В результате текучести происходит перестройка кристаллической решетки, несущая способность образца увеличивается и для его дальнейшего деформирования требуется повышение нагрузки.
Участок CD называют зоной упрочнения. Здесь удлинение образца сопровождается возрастанием нагрузки, но гораздо более медленным, чем на участке ОЛ. В точке D диаграммы осевая растягивающая нагрузка достигает максимального значения (Р = Ртах). К этому моменту на образце наметилось место будущего разрыва — образовалось местное сужение, называемое шейкой (или пластический шарнир).
Дальнейший ход испытания связан с прогрессирующим утонением шейки и сосредоточением деформации образца в районе шейки. Участок DFдиаграммы носит название зоны местной текучести. Здесь нагрузка плавно уменьшается (Р тах) вплоть до разрушения образца в шейке.
Если образец нагрузить до точки L диаграммы, а затем плавно уменьшить нагрузку, то зависимость между силой и деформацией изобразится отрезком LM, параллельным прямой О А При полной разгрузке образца его удлинение уменьшится, но не исчезнет. Таким образом, полное удлинение образца в точке L складывается из двух составляющих — упругой А/у и остаточной — Д/(кт. При повторном нагружении такого образца материал будет деформироваться упруго до точки L (см. рис. 14.3, б). В результате предварительной вытяжки материал приобрел способность воспринимать без остаточных деформаций большие нагрузки. Исчезла площадка текучести, материал стал более хрупким. Подобное явление, называемое наклепом (или нагартовкой), широко используют в технике.
Параметры диаграммы растяжения в координатах А/—Р зависят не только от свойств материала образца, но и от его размеров. Чтобы получить характеристики материала, машинную диаграмму А/—Р перестраивают в координатах е —а (относительная деформация — напряжение). Связь между координатами определяется зависимостями
где А() — начальная площадь поперечного сечения образца; /() — начальная расчетная длина образца.
Поскольку А0 и /() — константы, диаграмма деформаций при растяжении имеет ту же форму (рис. 14.4, кривая 1). Обработка диаграммы деформаций позволяет определить следующие основные характеристики материала:
- • физический предел текучести от = Рт/Л();
- • предел прочности (временное сопротивление) овр = Ртах/Л0;
• относительное удлинение после разрыва
• относительное сужение после разрыва
Рис. 14.4. Диаграммы деформаций пластичного материала:
1 — условная для испытания на растяжение; 2 — истинная; 3 — условная для испытания
на сжатие
Первые две характеристики относятся к характеристикам прочности, две другие — к характеристикам пластичности. Здесь /к — конечная расчетная длина образца; Ак — площадь поперечного сечения образца в месте его разрыва.
По величине относительного удлинения после разрыва 5 материалы условно разделяют на следующие группы:
- • 8
- • 5%
- • 8 > 15% — пластичные материалы.
Более тщательная обработка диаграммы деформаций при растяжении позволяет определить дополнительные характеристики материала. Предел пропорциональности стм определяют как условное напряжение, при котором отступление от прямой пропорциональной зависимости между нагрузкой и удлинением составляет 50% (рис. 14.5). Для получения величины ап к кривой диаграммы деформаций проводится касательная под углом ап = = arctg(tga/l,5).
Под пределом упругости ау понимается наибольшее напряжение, до которого образец не получает остаточных деформаций. Поскольку определить это значение практически невозможно, условным пределом упругости называют то напряжение, при котором остаточная деформация составляет 0,01% (см. рис. 14.5, б). Для материалов без четко выраженной площадки текучести определяют условный предел текучести а0 2, который соответствует остаточной деформации 0,2% (рис. 14.5, в).
Рис. 14.5. Диаграммы a — е
Следует заметить, что рассмотренная диаграмма деформаций является условной, поскольку в процессе испытания площадь поперечного сечения образца А0 не остается постоянной, а постепенно уменьшается. Напряжение в шейке ак существенно отличается от рассчитанного но формуле a = = Р/А0 Продольная деформация в шейке ?к также значительно превосходит среднюю деформацию образца, характеризуемую величиной 8 (рис. 14.6). Диаграмма зависимости между напряжением и деформацией в шейке носит название истинной диаграммы деформаций (см. рис. 14.4, кривая 2). На участках упругости, текучести и упрочнения она практически совпадает с условной диаграммой деформаций. Последний участок истинной диаграммы деформаций строится как касательная к условной диаграмме,
Рис. 14.6. Характер деформации и эпюра остаточных деформаций в месте разрыва образца пластичного материала
проведенная из точки FK, координаты которой рассчитываются по формулам:
Рис. 14.7. Диаграммы деформации хрупкого материала:
- 1 — при растяжении:
- 2 — при сжатии
Диаграмма деформаций при растяжении образца хрупкого материала не имеет площадки текучести и зоны упрочнения (рис. 14.7). Разрушение образца происходит при наибольшей величине нагрузки (Р = РП1ах) и весьма малой остаточной деформации без образования шейки. Здесь определяется только одна характеристика предела прочности при растяжении ствр = PmJA0.
Испытание на сжатие применяется в основном для определения характеристик малопластичных и хрупких материалов. Его можно рассматривать как обратное испытанию на растяжение (растяжение с обратным знаком).
При малых деформациях пластичные материалы имеют весьма близкие характеристики растяжения и сжатия. Диаграммы деформаций при растяжении и сжатии (в последней напряжения и деформации условно считают положительными) практически совпадают на участках упругости, текучести и упрочнения. Однако по мере нарастания пластических деформаций при сжатии все больше сказывается влияние трения на торнах и увеличение размеров поперечного сечения образца. В результате нагрузка резко возрастает (см. рис. 14.4, кривая 3), а образец сжимается в тонкий диск (рис. 14.8). Пластичный образец довести до разрушения практически не удается — испытание ограничивается силовыми возможностями испытательной машины.
Диаграмма деформаций при сжатии хрупкого образца подобна диаграмме при растяжении (см. рис. 14.7, кривая 2), однако прочность хрупких материалов при сжатии выше, чем при растяжении. Отношение соответству-
Ж 3 и
Рис. 14.8. Испытание на сжатие:
а — сферическая опора нижнего захвата; 6, в — формы выточек на торцах образца; г—е — стадии деформирования пластичного образца; ж—и — характер разрушения хрупкого образца
ющих пределов прочности а]к./а1ф характеризует степень хрупкости материала и составляет:
- • 2,5—3 — для текстолита;
- • 3—5 — для чугунов;
- • 8—14 — для керамики;
- • 12—150 — для вакуумных стекол.
Испытание на сжатие имеет некоторые особенности по сравнению с испытанием на растяжение. Для устранения перекоса образца при непараллель- ности его торцов в одном из захватов испытательной машины предусмотрена установка сферической опоры (см. рис. 14.8, а). Силы трения между торцами образца и плоскими элементами испытательной машины сдерживают поперечную деформацию образца вблизи его торцов.
В результате образец приобретает характерную бочкообразную форму, в его объеме создается сложное неоднородное напряженное состояние, не соответствующее расчетной схеме. Для уменьшения влияния внешнего трения применяют смазки (вазелин, солидол), прокладки (бумага, пропитанная парафином, тефлон), цилиндрические или конические выточки на торцах (рис. 14.8, б, в). Разрушение хрупкого образца при испытании на сжатие происходит вследствие сколов по плоскостям, наклоненным под углом 45° к оси образца (рис. 14.8, ж, з). Если удается устранить влияние сил внешнего трения на образце, при его разрушении возникают продольные трещины (рис. 14.8, и).
Для испытания на растяжение чаще всего используют образцы с цилиндрической рабочей частью (рис. 14.9). Начальный диаметр d0 выбирается из стандартного ряда в пределах d{) = (3 — 25) мм. Начальное значение расчетной длины образца /() = 11,3~ 10d() («длинный» образец) или /() = 5,65~ ~ 5d0 («короткий» образец). Длина цилиндрического участка 1{ > 1,1 /0.
Концы образца оформляются в виде утолщений (головок), форма и размеры которых определяются захватными устройствами испытательной машин. Между рабочей частью и головками предусмотрены переходные уча-
Рис. 14.9. Стандартные образцы для испытания на растяжение:
а, б — цилиндрические; в — плоский
стки, которые служат для уменьшения концентрации напряжений. Для получения характеристик листового материала с толщиной менее 5 мм применяют плоские образцы (см. рис. 14.9, в). Размер s0 равен толщине листа, ширина Ь0 составляет КНЗО мм, расчетная длина /0 =11,3yjs0b0.
Испытание на сжатие проводят на образцах цилиндрической или кубической формы (рис. 14.10). Для предотвращения потери устойчивости цилиндрического образца во время испытания его высота ограничена: А0 = (1-^3)с70
Рис. 14.10. Образцы для испытания на сжатие:
а — цилиндрический; б — кубический
Источник