Параллельный перенос сжатие и растяжение графиков
Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия
В чистом виде основные элементарные функции встречаются, к сожалению, не так часто. Гораздо чаще приходится иметь дело с элементарными функциями, полученными из основных элементарных при помощи добавления констант и коэффициентов. Графики таких функций можно строить, применяя геометрические преобразования к графикам соответствующих основных элементарных функций (или переходить к новой системе координат).
С помощью геометрических преобразований графика функции f(x) может быть построен график любой функции вида ( pm {k_1} cdot f( pm {k_2} cdot (x + a)) + b,) где ({k_1},{k_2} > 0) — коэффициенты сжатия или растяжения (в зависимости от их значений) вдоль осей oy и ox соответственно. Знаки «минус» перед коэффициентами указывают на симметричное отображение графика относительно координатных осей, а и b определяют сдвиг относительно осей абсцисс и ординат соответственно.
Таким образом, различают три вида геометрических преобразований графика функции:
1. Первый вид — масштабирование (сжатие или растяжение) вдоль осей абсцисс и ординат.
На необходимость масштабирования указывают коэффициенты k1 и k2, отличные от единицы, если (0 < {k_1} < 1,0 < {k_2} < 1) , то происходит сжатие графика относительно oy и растяжение относительно ox , если ({k_1},{k_2} > 1) , то производим растяжение вдоль оси ординат и сжатие вдоль оси абсцисс.
2. Второй вид — симметричное (зеркальное) отображение относительно координатных осей.
На необходимость этого преобразования указывают знаки «минус» перед коэффициентами k1 (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси ox ) и k2 (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси oy). Если знаков «минус» нет, то этот шаг пропускается.
3. Третий вид — параллельный перенос (сдвиг) вдоль осей ox и oy.
Это преобразование производится в последнюю очередь при наличии коэффициентов a и b, отличных от нуля. При положительном а график сдвигается влево на |а| единиц, при отрицательных а — вправо на |а| единиц. При положительном b график функции параллельно переносим вверх на |b| единиц, при отрицательном b — вниз на |b| единиц.
Рассмотрим примеры
Пример1
Построить графики функции (y = {x^2} — 10) и (y = {x^2} + 10) в одной координатной плоскости.
Построим для начала график функции (y = {x^2}) , это парабола с вершиной в точке (0;0) и ветвями вверх.
Для построения искомого графика функции (y = {x^2} — 10) необходимо параболу параллельно перенести в отрицательном направлении по У, т.е. вниз. Для построения искомого графика функции (y = {x^2} + 10) необходимо параболу параллельно перенести в положительном направлении по У, т.е. вверх.
Пример2
Построить графики функций (y = {left( {x + 2} right)^2}) и (y = {left( {x — 2} right)^2}) .
За основу возьмем тот же график параболы, но параллельный перенос будем осуществлять вдоль оси Ох. По правилу переноса график сдвинется влево на 2 единицы для функции (y = {left( {x + 2} right)^2}) . А для функции (y = {left( {x — 2} right)^2}) сдвиг произойдет вправо.
Пример3
Построить график функции (y = — {x^2}) .
За основу возьмем тот же график параболы. Производимое изменение графика носит название -отображение. Картинка получится симметричной исходной параболе, симметрия относительно Ох.
Пример4
Построить графики функций (y = left( {3{x^2}} right)) и (y = left( {frac{1}{3}{x^2}} right)) .
Для построения этих графиков произведем сжатие графика (y = {x^2}) для первой функции и растяжение – для второй.
Источник
Анна Малкова
В этой статье мы расскажем об основных преобразованиях графиков функций. Что нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали. Как задать растяжение графика по горизонтали или вертикали. Как отразить график относительно оси Х или Y.
Очень жаль, что эта тема — полезная и очень интересная — выпадает из школьной программы. На нее не постоянно хватает времени. Из-за этого многим старшеклассникам не даются задачи с параметрами — которые на самом деле похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов. Хотя бы для того, чтобы решать задачи с параметрами, стоит научиться строить графики функций.
Но конечно, не только для того, чтобы сдать ЕГЭ. Первая лекция на первом курсе технического или экономического вуза посвящена функциям и графикам. Первые зачеты в курсе матанализа связаны с функциями и графиками.
Начнем со сдвигов графиков по Х и по Y.
Сдвиг по горизонтали.
Пусть функция задана формулой и Тогда график функции сдвинут относительно исходной на а вправо. График функции сдвинут относительно исходной на а влево.
1. Сдвиг по вертикали.
Пусть функция задана формулой и С — некоторое положительное число. Тогда график функции сдвинут относительно исходного на С вверх. График функции сдвинут относительно исходного на С вниз.
Теперь растяжение графика. Или сжатие.
2. Растяжение (сжатие) по горизонтали.
Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в k раз по горизонтали, если , и сжат относительно исходного в k раз по горизонтали, если
3. Растяжение (сжатие) по вертикали
Пусть функция задана формулой и Тогда график функции растянут относительно исходного в М раз по вертикали, если , и сжат относительно исходного в М раз по вертикали, если
И отражение по горизонтали.
4. Отражение по горизонтали
График функции симметричен графику функции относительно оси Y.
5. Отражение по вертикали.
График функции симметричен графику функции относительно оси Х.
Друзья, не возникло ли у вас ощущения, что вы все это где-то видели? Да, наверняка видели, если когда-либо редактировали изображения в графическом редакторе на компьютере. Изображение можно сдвинуть (по горизонтали или вертикали). Растянуть (по горизонтали или вертикали). Отразить. И все это мы делаем с графиками функций.
И еще два интересных преобразования. Здесь в формулах присутствует знак модуля. Если не помните, что такое модуль, — срочно повторите эту тему.
6. Графики функций и
На рисунке изображен график функции Она специально взята такая — несимметричная относительно нуля.
Построим график функции
Конечно же, мы пользуемся определением модуля.
Это мы и видим на графике. Для неотрицательных значений х график остался таким же, как был. А вместо каждого отрицательного х мы взяли противоположное ему положительное число. И поэтому вся та часть графика функции, что лежала слева от оси Х, заменилась на зеркально отраженную правую часть графика.
Теперь график функции Вы уже догадались, что будет. Вся часть графика, лежащая ниже оси Х, зеркально отражается в верхнюю полуплоскость. А верхняя часть графика, лежащая выше оси Х, остается на месте.
Как определить по формуле функции, будет график преобразован по горизонтали (по Х) или по вертикали (по Y)? Разница очевидна. Если сначала мы что-либо делаем с аргументом х (прибавляем к нему какое-либо число, умножаем на какое-либо число или берем модуль) — преобразование по Х. Если сначала мы нашли функцию, а затем уже к значению функции что-то прибавили, или на какое-нибудь число умножили, или взяли модуль, — преобразование по Y.
Вот самые простые задачи на преобразование графиков.
1. Построим график функции
Это квадратичная парабола, сдвинутая на 3 влево по x и на 1 вниз по y.
Вершина в точке
2. Построим график функции
Выделим полный квадрат в формуле.
График — квадратичная парабола, сдвинутая на 2 вправо по x и на 5 вниз по y.
Обратите внимание: график функции пересекает ось y в точке На нашем графике это точка
Продолжение — в статье «Построение графиков функций».
Источник
Основные элементарные функции в чистом виде без преобразования встречаются редко, поэтому чаще всего приходится работать с элементарными функциями, которые получили из основных с помощью добавления констант и коэффициентов. Такие графики строятся при помощи геометрических преобразований заданных элементарных функций.
Рассмотрим на примере квадратичной функции вида y=-13x+232+2, графиком которой является парабола y=x2, которая сжата втрое относительно Оу и симметрична относительно Ох, причем сдвинутую на 23 по Ох вправо, на 2 единицы по Оу вверх. На координатной прямой это выглядит так:
Геометрические преобразования графика функции
Применяя геометрические преобразования заданного графика получаем, что график изображается функцией вида ±k1·f(±k2·(x+a))+b, когда k1>0, k2>0 являются коэффициентами сжатия при 0<k1<1, 0<k2<1 или растяжения при k1>1, k2>1 вдоль Оу и Ох. Знак перед коэффициентами k1 и k2 говорит о симметричном отображении графика относительно осей, a и b сдвигают ее по Ох и по Оу.
Существует 3 вида геометрических преобразований графика:
- Масштабирование вдоль Ох и Оу. На это влияют коэффициенты k1 и k2 при условии не равности 1, когда 0<k1<1, 0<k2<1, то график сжимается по Оу, а растягивается по Ох, когда k1>1, k2>1, то график растягивается по Оу и сжимается по Ох.
- Симметричное отображение относительно координатных осей. При наличии знака «-» перед k1 симметрия идет относительно Ох, перед k2 идет относительно Оу. Если «-» отсутствует, тогда пункт при решении пропускается;
- Параллельный перенос (сдвиг) вдоль Ох и Оу. Преобразование производится при наличии коэффициентов a и b неравных 0. Если значение a положительное, до график сдвигается влево на |а|единиц, если отрицательное a, тогда в право на такое же расстояние. Значение b определяет движение по оси Оу, что значит при положительном b функция движется вверх, при отрицательном – вниз.
Степенная функция
Рассмотрим решения на примерах, начиная со степенной функции.
Преобразовать y=x23 и построить график функции y=-12·8x-423+3.
Решение
Представим функции таким образом:
y=-12·8x-423+3=-12·8x-1223+3=-2x-1223+3
Где k1=2, стоит обратить внимание на наличие «-», а=-12 , b=3. Отсюда получаем, что геометрические преобразования производятся с растяжения вдоль Оу вдвое, отображается симметрично относительно Ох, сдвигается вправо на 12 и вверх на 3 единицы.
Если изобразить исходную степенную функцию, получим, что
при растягивании вдвое вдоль Оу имеем, что
Отображение, симметричное относительно Ох, имеет вид
а движение вправо на 12
движение на 3 единицы вверх имеет вид
Показательная функция
Преобразования показательной функции рассмотрим на примерах.
Произвести построение графика показательной функции y=-1212(2-x)+8.
Решение.
Преобразуем функцию, исходя из свойств степенной функции. Тогда получим, что
y=-1212(2-x)+8=-12-12x+1+8=-12·12-12x+8
Отсюда видно, что получим цепочку преобразований y=12x:
y=12x→y=12·12x→y=12·1212x→→y=-12·1212x→y=-12·12-12x→→y=-12·12-12x+8
Получаем, что исходная показательная функция имеет вид
Сжимание вдвое вдоль Оу дает
Растягивание вдоль Ох
Симметричное отображение относительно Ох
Отображение симметрично относительно Оу
Сдвигание на 8 единиц вверх
Логарифмическая функция
Рассмотрим решение на примере логарифмической функции y=ln(x).
Построить функцию y=lne2·-12×3 при помощи преобразования y=ln(x).
Решение
Для решения необходимо использовать свойства логарифма, тогда получаем:
y=lne2·-12×3=ln(e2)+ln-12×13=13ln-12x+2
Преобразования логарифмической функции выглядят так:
y=ln(x)→y=13ln(x)→y=13ln12x→→y=13ln-12x→y=13ln-12x+2
Изобразим график исходной логарифмической функции
Производим сжимание строе по Оу
Производим растягивание вдоль Ох
Производим отображение относительно Оу
Производим сдвигание вверх на 2 единицы, получаем
Для преобразования графиков тригонометрической функциинеобходимо подгонять под схему решения вида ±k1·f(±k2·(x+a))+b. Необходимо , чтобы k2 приравнивался к Tk2. Отсюда получаем, что 0<k2<1 дает понять, что график функции увеличивает период по Ох, при k1 уменьшает его. От коэффициента k1 зависит амплитуда колебаний синусоиды и косинусоиды.
Преобразования y = sin x
Рассмотрим примеры решения заданий с преобразованиями y=sinx.
Построить график y=-3sin12x-32-2 с помощью преобразований функции y=sinx.
Решение
Необходимо привести функцию к виду ±k1·f±k2·x+a+b. Для этого:
y=-3sin12x-32-2=-3sin12(x-3)-2
Видно, что k1=3, k2=12, a=-3, b=-2. Так как перед k1 имеется «-», а перед k2 — нет, тогда получим цепочку преобразований вида:
y=sin(x)→y=3sin(x)→y=3sin12x→y=-3sin12x→→y=-3sin12x-3→y=-3sin12(x-3)-2
Подробное преобразование синусоиды. При построении графика исходной синусоиды y=sin(x) получаем, что наименьшим положительным периодом считается T=2π. Нахождение максимума в точках π2+2π·k; 1, а минимума — -π2+2π·k; -1, k∈Z.
Производится растягивание по Оу втрое, значит возрастание амплитуды колебаний возрастет в 3 раза. T=2π — это наименьший положительный период. Максимумы переходят в π2+2π·k; 3, k∈Z , минимумы — -π2+2π·k; -3, k∈Z.
При растягивании по Ох вдвое получаем, что наименьший положительный период увеличивается в 2 раза и равняется T=2πk2=4π. Максимумы переходят в π+4π·k; 3, k∈Z, минимумы – в -π+4π·k; -3, k∈Z.
Изображение производится симметрично относительно Ох. Наименьший положительный период в данном случае не меняется и равняется T=2πk2=4π. Переход максимума выглядит как -π+4π·k; 3, k∈Z, а минимума – π+4π·k; -3, k∈Z.
Производится сдвижение графика вниз на 2 единицы. Изменение наименьшего общего периода не происходит. Нахождение максимумов с перехождением в точки -π+3+4π·k; 1, k∈Z, минимумов — π+3+4π·k; -5, k∈Z.
На данном этапе график тригонометрической функции считается преобразованным.
Преобразование функции y = cos x
Рассмотрим подробное преобразование функции y=cosx.
Построить график функции y=32cos2-2x+1 при помощи преобразования функции вида y=cosx.
Решение
По алгоритму необходимо заданную функцию привести к виду ±k1·f±k2·x+a+b. Тогда получаем, что
y=32cos2-2x+1=32cos(-2(x-1))+1
Из условия видно, что k1=32, k2=2, a=-1, b=1, где k2 имеет «-», а перед k1 он отсутствует.
Отсюда получаем, что получится график тригонометрической функции вида:
y=cos(x)→y=32cos(x)→y=32cos(2x)→y=32cos(-2x)→→y=32cos(-2(x-1))→y=32cos-2(x-1)+1
Пошаговое преобразование косинусоиды с графической иллюстрацией.
При заданной графике y=cos(x) видно, что наименьший общий период равняется T=2π. Нахождение максимумов в 2π·k; 1, k∈Z, а минимумов π+2π·k; -1, k∈Z.
При растягивании вдоль Оу в 32 раза происходит возрастание амплитуды колебаний в 32 раза.T=2π является наименьшим положительным периодом. Нахождение максимумов в 2π·k; 32, k∈Z, минимумов в π+2π·k; -32, k∈Z.
При сжатии вдоль Ох вдвое получаем, что наименьшим положительным периодом является число T=2πk2=π. Производится переход максимумов в π·k; 32, k∈Z,минимумов — π2+π·k; -32, k∈Z.
Симметричное отображение относительно Оу. Так как график нечетный, то он не будет изменяться.
При сдвигании графика на 1. Отсутствуют изменения наименьшего положительного периода T=π. Нахождение максимумов в π·k+1; 32, k∈Z, минимумов — π2+1+π·k; -32, k∈Z.
При сдвигании на 1 наименьший положительный период равняется T=π и не изменен. Нахождение максимумов в π·k+1; 52, k∈Z, минимумов в π2+1+π·k; -12, k∈Z.
Преобразования функции косинуса завершено.
Преобразования y = tgx
Рассмотрим преобразования на примере y=tgx.
Построить график функции y=-12tgπ3-23x+π3 при помощи преобразований функции y=tg(x).
Решение
Для начала необходимо привести заданную функцию к виду ±k1·f±k2·x+a+b, после чего получаем, что
y=-12tgπ3-23x+π3=-12tg-23x-π2+π3
Отчетливо видно, что k1=12, k2=23, a=-π2, b=π3, а перед коэффициентами k1 и k2 имеется «-». Значит, после преобразования тангенсоиды получаем
y=tg(x)→y=12tg(x)→y=12tg23x→y=-12tg23x→→y=-12tg-23x→y=-12tg-23x-π2→→y=-12tg-23x-π2+π3
Поэтапное преобразование тангенсоиды с графическим изображением.
Имеем, что исходный график – это y=tg(x). Изменение положительного периода равняется T=π. Областью определения считается -π2+π·k; π2+π·k, k∈Z.
Сжимаем в 2 раза вдоль Оу. T=π считается наименьшим положительным периодом, где область определения имеет вид -π2+π·k; π2+π·k, k∈Z.
Растягиваем вдоль Ох в 32 раза. Вычислим наименьший положительный период, причем равнялся T=πk2=32π. А область определения функции с координатами -3π4+32π·k; 3π4+32π·k, k∈Z , меняется только область определения.
Симметрия идет по сторону Ох. Период не изменится в этот момент.
Необходимо симметрично отображать оси координат. Область определения в данном случае неизменна. График совпадает с предыдущим. Это говорит о том, что функция тангенса нечетная. Если к нечетной функции задать симметричное отображение Ох и Оу, тогда преобразуем до исходной функции.
При движении вправо на π2 видим, что наименьшим положительным периодом является T=32π. А изменения происходят внутри области определения -π4+32π·k; 5π4+32π·k, k∈Z.
При сдвигании графика на π3 получаем, что изменение области определения отсутствует.
Преобразование тангенса завершено.
Тригонометрическая функция вида y=arccosx
Рассмотрим на примере тригонометрической функции вида y=arccosx.
Построить график функции y=2arcsin13(x-1) при помощи преобразования y=arccosx.
Решение
Для начала необходимо перейти от арккосинуса к арксинусу при помощи обратных тригонометрических функций arcsin x+arcocos x=π2. Значит, получим, что arcsinx=π2-arccosx.
Видно, что y=arccosx→y=-arccosx→y=-arccosx+π2.
Поэтапное преобразование арккосинуса и графическое изображение.
График, данный по условию
Производим отображение относительно Ох
Производим движение вверх на π2.
Таким образом, осуществляется переход от арккосинуса к косинусу. Необходимо произвести геометрические преобразования арксинуса и его графика.
Видно, что k1=2, k2=13, a=-1, b=0, где отсутствует знак «-» у k1 и k2.
Отсюда получаем, что преобразования y=arcsinx примет вид:
y=arcsin(x)→y=2arcsin(x)→→y=2arcsin13x→y=2arcsin13(x-1)
Поэтапное преобразование графика арксинуса и графическое изображение.
График y=arcsinx имеет область определения вида x∈-1; 1, тогда интервал y∈-π2; π2 относится к области значений.
Необходимо растянуть вдвое по Оу, причем область определения останется неизменной x∈-1; 1, а область значений y∈-π; π.
Растягивание по Ох строе. Происходит расширение области определения x∈-3; 3, но область значений остается неизменной y∈-π; π.
Производим сдвигание вправо на 1, причем область определения становится равной x∈-2; 4. Без изменений остается область значений y∈-π; π.
Задача преобразования графика обратной тригонометрической функции завершена. Если по условию имеются сложные функции, тогда необходимо прибегнуть к полному исследованию функция.
Источник
Если Вы знаете, как выглядят графики простейших элементарных функций, или умеете быстро строить их по характерным точкам, то сумеете также быстро построить на их основе графики более сложных функций того же класса. Для этого существуют правила преобразования графиков функций. Они легко запоминаются, но если Вы всё же не уверены в результате, проверьте его по одной-двум хорошим точкам. Эти правила, разумеется, общие для всех функций, а не только для тех, которые изучают в школе, поэтому известный график дальше будем называть заданным.
Пусть задан график функции y = f(x). Чтобы построить график функции
- y = mf(x), где m > 0 и m ≠ 1, нужно ординаты точек заданного графика умножить на m. Такое преобразование называется растяжением от оси x c коэффициентом m, если m > 1, и сжатием к оси x, если 0 < m < 1.
- y = −f(x) получается из графика функции f(x) преобразованием симметрии относительно оси x. (Преобразование симметрии — зеркальное отражение относительно прямой.)
- y = f(x) + n, получается из графика функции f(x) параллельным переносом последнего вдоль оси ординат на n единиц вверх, если n > 0 и, соответственно на |n| единиц вниз, если n
- y = f(kx), где k > 0 и k ≠ 1. Искомый график функции получается из заданного сжатием с коэффициентом k к оси y (если 0 < k < 1 указанное «сжатие» фактически является растяжением с коэффициентом 1/k)
- y = f(−x) получается из графика функции f(x) преобразованием симметрии относительно оси y
- y = f(x + l) получается из графика функции f(x) параллельным переносом последнего на l единиц влево, если l > 0 и, соответственно на |l| единиц вправо, если m < 0.
Например, пусть задан график функции y = √x_.
Чтобы построить графики других функций, содержащих аргумент (x) под знаком квадратного корня, воспользуемся перечисленными выше правилами. Заданный график повторим во вновь начерченных осях «карандашом бледно», требуемый график, который получится после преобразований, сделаем более интенсивным. В тетради лишнее можно будет удалить ластиком, останется только результат выполнения задания.
| Пример 1a. Построить график функции y = 2√x_
Растянули в 2 раза от оси x. Ордината каждой точки увеличилась в 2 раза. | Пример 1b. Построить график функции y = √x_ /2
Сжали вдвое к оси x. Ордината каждой точки уменьшилась в 2 раза. |
| Пример 3a. Построить график функции y = √x_ + 2
Параллельно перенесли на 2 единицы вверх вдоль оси y. Ордината каждой точки увеличилась на 2. | Пример 3b. Построить график функции y = √x_ − 2
Параллельно перенесли на 2 единицы вниз вдоль оси y. Ордината каждой точки уменьшилась на 2 единицы. |
| Пример 4a. Построить график функции y = √2x__
Сжали вдвое к оси y. Абсцисса каждой точки уменьшилась в 2 раза. | Пример 4b. Построить график функции y = √x/2___
Растянули в 2 раза от оси y. Абсцисса каждой точки увеличилась в 2 раза. |
| Пример 6a. Построить график функции y = √x + 2____
Параллельно перенесли на 2 единицы влево вдоль оси x. Абсцисса каждой точки уменьшилась на 2 единицы. | Пример 6b. Построить график функции y = √x − 2____
Параллельно перенесли на 2 единицы вправо вдоль оси x. Абсцисса каждой точки увеличилась на 2 единицы. |
| Пример 2. Построить график функции y = −√x_
Применили преобразование симметрии – зеркально отразили относительно оси x. | Пример 5. Построить график функции y = √−x__
Применили преобразование симметрии – зеркально отразили относительно оси y. |
Заметим, что параллельный перенос графика относительно одной из осей в какую-либо сторону равносилен переносу этой оси относительно графика в противоположную сторону. Поэтому 3-е и 6-е правила можно объединить следующим образом: чтобы построить график функции
y = f(x − m) + n
нужно выполнить параллельный перенос всей плоскости координат так, чтобы началом новой системы координат x‘y‘ была точка O‘(m;n). Очевидно, что вместо того, чтобы дважды перерисовывать график, проще перечертить оси.
Пример 7.
Задан график функции y = √x_. Построить график функции y = √x + 3____ − 1.
В этом случае m = −3, n = −1. Если есть затруднения в определении знаков m и n, то записывайте формулу функции так, чтобы она совпадала с правилом
y = f(x − m) + n; y = √x − m_____ + n; y = √x − (−3)_______ + (−1)
Построение выполняем так. Чертим оси нужной системы координат. Находим точку с координатами (−3;−1). Проводим через неё «бледно карандашом» прямые параллельные основным осям. Это вспомогательная система координат. В этой (карандашной) системе координат строим график y = √x_. Относительно основной системы координат, он является графиком функции y = √x + 3____ − 1. Т.е., если карандаш удалить ластиком, то останется график, который требовалось построить.
Если нужно скомбинировать только параллельные переносы, чтобы построить график функции, то всё равно в каком порядке их выполнять, и всё равно, что переносить — оси или кривые. Но если нужно построить график сложной функции, используя и перенос, и растяжение-сжатие, и отражения, то следует тщательно соблюдать порядок выполнения операций.
Последовательность преобразований при построении графиков.
Пусть задан график функции y = f(x) и нужно построить график функции y = m·f(kx + l) + n, где k, l, m, n — числа.
- Записываем формулу функции в виде
y = m·f(k·(x + l/k)), т.е. выносим за скобки коэффициент при х в аргументе функции. - Производим сжатие с коэффициентом k вдоль оси Ох к оси Oy. (Если k Oy.)
- Если k Oy.
- Осуществляем параллельный перенос (сдвиг) полученного графика на l/k единиц влево или вправо (в зависимости от знака, для положительного числа влево).
- Производим растяжение с коэффициентом m от оси Oх (вдоль оси Оy). (Если m Ox.)
- Если m Ox.
- Осуществляем параллельный перенос (сдвиг) полученного графика на n единиц вверх или вниз (в зависимости от знака, при n >0 вверх).
Пример 8.
Задан график функции y = √x_. Построить график функции y = −0,5√3x − 12______ + 2.
1. Записываем формулу функции в виде y = −0,5·√3·(x − 4)_______ + 2,
т.е. выносим за скобки коэффициент при х под знаком квадратного корня с учетом того, что 12/3 = 4.
2. Строим известный график функции. ——
3. Производим сжатие в 3 раза к оси Oy. ——
4. — (преобразование симметрии относительно оси Oy не требуется, т.к. k = 3 > 0).
5. Сдвигаем полученный график на 4 единицы вправо. ——
6. Производим сжатие в 2 раза (растяжение с коэффициентом 0,5) к оси Oх. ——
7. Симметрично отражаем график относительно оси Ox. ——
8. Сдвигаем последний на 2 единицы вверх. Получили требуемый график. ——
Проверим результат по «удобным» точкам. Например, x1 = 4 и x2 = 16.
y1 = −0,5√3·4 − 12_____ + 2 = 2.
y2 = −0,5√3·16 − 12_____ + 2 = −1.
Точки с координатами (4;2) и (16;−1) действительно принадлежат последнему графику.
Источник