Опыт на одноосное растяжение
Некоторые из опытов по сопромату проводили и вы, когда, например, сгибали металлическую проволоку или ветку. Стоит сказать, что и древесина, и металл являются одними из самых распространённых конструкционных материалов, так что если вы когда-то гнули проволоку или деревяшку ради любопытства, то можете смело называть себя начинающим прочнистом.
Сгибая сухой деревянный пруток (а только сухая древесина используется в строительстве), можно заметить, что, если слишком сильно согнуть его, он просто треснет (см. картинку).
Изгибая же железную проволоку, можно заметить, что её невозможно сломать в том виде, в каком сломался деревянный пруток. Из такой проволоки можно хоть узлы вязать, и она не сломается (см. картинку).
Исходя из этих опытов, назовём древесину хрупким материалом, а железо – пластичным.
Хотя деление на пластичные и хрупкие материалы очень условно, тем не менее, можно выделить материалы, имеющие явную хрупкость или явную пластичность.
К хрупким материалам относят камень, чугун, бетон, стекло и т.д.
Пластичные материалы — это малоуглеродистые стали, алюминий, медь, латунь и т.д.
Промежуточное положение занимают легированные стали, алюминиевые сплавы, бронзы и т.д.
Из этих опытов можно подметить ещё и то, что почти вплоть до разрушения деревянный пруток гнулся упруго. Это значит, что после снятия деформирующей силы, он возвращался в своё начальное положение.
Железо же действовало упруго только при ограниченной нагрузке; при больших нагрузках проволока сохраняла своё деформированное положение, лишь чуть-чуть возвращаясь назад.
Те деформации, которые исчезают после прекращения действия внешних сил, назовём упругими. Те деформации, которые не исчезают полностью после прекращения действия внешних сил, назовём неупругими, необратимыми или пластическими.
Важно также понять, что можно по-разному приложить деформирующую силу.
Рассмотрим случай доски, защемлённой в кирпичную стенку. К доске подвешивается груз. Однако есть несколько способов нагружения доски одним и тем же грузом:
- Можно плавно подвесить груз к доске
- А можно уронить этот же груз на эту доску с какой-то высоты
При этом результат будет различаться, и скорее всего будет так, что балка сломается от падающего груза, выдержав его в случае аккуратного подвешивания.
Назовём медленное, аккуратное подвешивание груза – статическим способом нагружения, а быстрое падение груза – динамическим способом нагружения (ударная нагрузка — только один из способов динамического нагружения).
И хотя приведённые ранее опыты с изгибом очень наглядны и доступны, но простейшими видами деформации являются растяжение и сжатие.
Сначала исследуем деформацию растяжения. Суть простейшего опыта на растяжение такова:
- Берём стержень и крепим его одним концом к опоре
- К другому концу начинаем подвешивать грузы известной массы
- Для каждого груза фиксируем получившееся удлинение стержня
- И так вплоть до разрушения
- По получившейся таблице строим график, где на оси игрек отложим прикладываемый вес, а на оси икс отложим соответствующее удлинение стержня
Далее будет представлен видеоролик с опытом на растяжение. Подход, использованный там, будет несколько отличаться от описанного выше. В нём стержень будет крепиться к двум опорам, одна из которых является подвижной. Суть такого подхода в том, что подвижная опора начинает удаляться от другой на известное расстояние, а другая опора реагирует на это перемещение, фиксируя силу для каждого «предложенного» ей удлинения. В итоге строится график зависимости удлинения от приложенной силы.
Опыты с растяжением рекомендуется смотреть здесь:
В этом видеоролике будет показано два опыта с двумя разными металлическими образцами:
- Первый образец — сталь
- Второй образец — алюминиевый сплав
По результатам двух опытов были получены две диаграммы растяжения: для стального образца и для образца из алюминиевого сплава.
Образец из стали Образец из алюминиевого сплава
Первое, на что хотелось бы обратить внимание – это сложность и нелинейность обеих диаграмм. Однако и у стали, и у алюминия начальные участки представляют из себя прямые (с некоторой долей допущения).
И хоть это не было показано в видео, но если бы мы нагружали образцы силами, которые бы попадали на эти линейные участки, то тогда бы деформации стержней были бы упругими, и стержни после разгрузки принимали бы свою форму до деформации. Такое совпадение линейных участков и упругих деформаций более-менее справедливо для большинства конструкционных металлов.
Помимо этого, можно также обратить внимание на то, что на этих прямых участках образцы воспринимают весьма значительную силу, вполне сопоставимую с максимально воспринятыми силами. А с учётом того, что деформации на этих прямых участках упругие, то логично желать, чтобы и материал в конструкциях также работал по этим прямым участкам.
Вдобавок к этому, линейные участки описываются функцией вида ????=????????y=kx, что облегчит определение деформаций при растяжении.
Теперь давайте попробуем сжать проволоку. Скорее всего результат у всех будет одинаковый – проволока выпучится и просто погнётся. Почему так происходит? Скорее всего проволока была изначально кривой и вектор сжимающей нагрузки не совпадал с осью центров тяжести сечений проволоки, потому возник изгиб.
И вот мы берём ровную проволоку, сжимаем её и получаем тот же самый результат: её выпучивает, и она изгибается. Выходит, дело не в начальной кривизне, а в чём-то другом.
Пробуем взять более короткую проволоку, сжимаем и видим, что её гораздо труднее выпучить.
И только для очень-очень короткой проволоки можно добиться отсутствия выпучивания и проанализировать сопротивление материала проволоки сжимающей нагрузке и провести опыт, аналогичный опыту на растяжение.
Такое явление, как выпучивание сжатой проволоки, назовём потерей устойчивости. То есть при сжатии проволоки её прямолинейная форма становится неустойчивой.
Так как явление потери устойчивости проволоки тесно связано с её изгибом, для начала следует исследовать изгиб и только потом потерю устойчивости.
Что касается опытов на сжатие, то образцы для них принимаются короткими и толстыми, чтобы они не теряли устойчивости.
Опыты с осевым сжатием можно наблюдать в опытах по ссылкам ниже.
- Хрупкое сопротивление (бетон): https://www.youtube.com/watch?v=-LDgJjbQeEo
- Вязкое сопротивление (медь): https://www.youtube.com/watch?v=H9okH91E1G0
Источник
Основным видом исследования механических свойств материалов является испытание на растяжение. Оно проводится на специальных испытательных машинах, создающих постепенно возрастающую нагрузку на испытываемый образец и осуществляющих в процессе нагружения регистрацию величины действующей на образец силы и его деформации.
Чаще всего применяют цилиндрические образцы (рис. 2.1, а), а при испытании листового материала – плоские (рис. 2.1, б).
Для цилиндрических образцов выдерживают определенное соотношение между расчетной длиной образца l0 и диаметром образца d0..Обычно l0 = 10 d0(длинный образец); реже l0 = 5d0 (короткий образец). Учитывая, что диаметр d0связан с площадью сечения образца формулой
,
связь между расчетной длиной l0 и площадью поперечного сечения образца можно выразить для длинного (десятикратного) образца зависимостью
, (2.1)
для короткого (пятикратного)
. (2.2)
Рисунок 2.1 – Цилиндрические (а) и плоские (б) образцы для испытания на растяжение
В качестве основных образцов при испытании на растяжение применяют цилиндрические образцы с диаметром d0 = 10 мм, расчетной длиной l0 = 100 мм и l0 = 50 мм. Допускается применение и других пропорциональных образцов, в которых выдержаны соотношения размеров в соответствии с формулами (2.1, 2.2).
Образец перед испытанием измеряется штангенциркулем и устанавливается в захваты испытательной машины, где к нему прикладывается осевая статическая нагрузка. Под действием приложенной силы образец удлиняется; с ростом силы растет и удлинение.
Специальное устройство, так называемый диаграммный аппарат, вычерчивает в определенном масштабе кривую в координатах Р.- , называемую диаграммой растяжения (первичная диаграмма)), вид которой зависит от свойств материала и размеров образца. Для малоуглеродистых сталей (сталь Ст2, Ст3 и др.) диаграмма имеет вид, показанный на рис. 2.2.
Из рисунка видно, что диаграмма имеет ряд характерных точек (1…5), соответствующих определенному состоянию металла образца.
На начальном участке диаграммы О-1 наблюдается линейная зависимость между силой Р и удлинением образца , т.е. деформируется материал упруго и подчиняется закону Гука. При дальнейшем увеличении силы (участок 1-2) закон Гука нарушается, однако материал деформируется упруго, поэтому, если разгрузить образец с точки 2, то перо записи диаграммы возвращается в начало координат.
Рисунок. 2.2 – Диаграмма растяжения (первичная диаграмма)
Участок 2-3 именуется площадкой текучести, т.к. здесь наблюдается пластическое течение материала (необратимое) при постоянной нагрузке. На этом участке металл переходит в новое качественное состояние. На гладкой полированной поверхности образца появляется сетка линий скольжения (так называемые линии Чернова–Людерса) – следствие сдвигов по плоскостям наибольших касательных напряжений. Линии скольжения составляют угол 45° с продольной осью образца;
Дальнейшее деформирование образца от точки 3 до точки 4 требует увеличения силы Р, причем зависимость между Р и становится нелинейной. В точке 4 усилие растяжения достигает своего наибольшего значения – Рmax. Материал на рассматриваемом участке упрочняется за счет явления наклепа.
От точки О до точки 4 образец на всей рабочей части равномерно удлиняется с соответствующим равномерным уменьшением сечения (диаметра).
Начиная с точки 4 растяжение образца приведет к образованию местного сужения (именуемое «шейкой»), кривая на диаграмме идет вниз и на точке 5 обрывается (образец разрушается в «шейке»).
Следует отметить, что разгрузка образца с любой точки диаграммы (напр. точки i) на участке диаграммы 2-5 приведет к исчезновению только упругой деформации (отрезок ), но останутся пластические (отрезок ОО1), и перо записи диаграммы уже не возвратится в начало координат, т.е. образец получит остаточное удлинение.
Вид разрушенного путем растяжения образца показан на рис. 2.3.
Пользуясь указанными характерными нагрузками, взятыми из диаграммы растяжения, и зная площадь сечения испытуемого образца , определяют основные характеристики прочности материала:
Источник
Возьмём однородный стержень и приложим к его основаниям растягивающие (или сжимающие) усилия (рис.7.1). Пусть — длина недеформированного стрежня, а S — его сечение. После приложения силы F его длина получает приращение D и делается равной . Отношение
, (7.1)
называется относительным удлинением стержня.
В случае растягивающих сил оно положительно, в случае сжимающих сил – отрицательно.
Деформация стержня связана с возникновением упругих сил, с которыми одна часть стержня действует на другую, с которой она граничит. Такие силы действуют в любом поперечном сечении. Внешняя сила, приложенная к каждой из этих двух частей, уравновешивается упругой силой Fупр, действующей на рассматриваемую часть со стороны другой. Силу, перпендикулярную поперечному сечению стержня и отнесенную к единице его площади, называют нормальным упругим напряжением
. (7.2)
В системе СИ упругое напряжение измеряется в Н/м2 .
Опыт показывает, что при малых деформациях, возникающие в теле нормальные упругие напряжения пропорциональны относительной деформации, т.е.
, (7.3)
где Е — постоянная, называемая модулем Юнга и зависящая только от материала стержня и его физического состояния..
Формула (7.3) выражает закон Гука для деформации растяжения и сжатия. Из нее следует, что модуль Юнга равен тому нормальному напряжению, при котором относительное удлинение равно единице. Длина стержня в этом случае увеличилась бы в 2 раза, если бы при такой деформации выполнялся закон Гука. Однако, при таких больших деформациях закон Гука не выполняется и либо образец разрушается, либо нарушается пропорциональность между деформацией и силой.
Под действием растягивающей или сжимающей силы изменяются не только продольные, но и поперечные размеры стержня. Характеристикой этого изменения является относительное поперечное сжатие (растяжение)
, (7.4)
где d — поперечный размер образца.
При растяжении e i < 0, при сжатии e i>0. Отношение
, (7.5)
называется коэффициентом Пуассона.
Для большинства изотропных материалов, к которым относятся, например, металлы, имеющие поликристаллическую структуру, он близок к 0,25. Модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона m полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала. Все прочие упругие постоянные могут быть выражены через Е и m.
Деформированное тело обладает запасом потенциальной энергии.Эта энергия называетсяупругой. Она равна работе, затраченной на деформацию тела.
Приложим к стержню растягивающую силу ƒ(x) и будем непрерывно увеличивать ее от начального значения ƒ=0 до конечного значения ƒ=F. При этом удлинение будет меняться от x = 0 до конечного значения x = Dl. По закону Гука
. (7.6)
Вся работа, совершаемая при деформации, запасается в виде упругой энергии, поэтому
. (7.7)
Эта энергия распределена по всему объему деформированного тела, что дает основание ввести плотность энергии упругой деформации, т.е. энергию, приходящуюся на единицу объема стержня,
. (7.8)
Сдвиг
Сдвигом называют такую деформацию твердого тела, при которой все его плоские слои, параллельные некоторой плоскости, называемой плоскостью сдвига, смещаются параллельно друг другу (рис.7.2). Сдвиг происходит под действием касательной силы F, приложенной к грани ВС, параллельной плоскости сдвига. Грань АD, параллельная ВС, закреплена неподвижно. При малом сдвиге:
, (7.9)
где D х = — абсолютный сдвиг, а g — угол сдвига, называемый также относительным сдвигом.
В любом сечении образца, параллельном плоскости сдвига, возникают уже не нормальные, а касательные упругие напряжения, определяемые по формуле
. (7.10)
По закону Гука касательные напряжения пропорциональны относительному сдвигу,т.е.
, (7.11)
где G — модуль сдвига.
Модуль сдвига численно равен тому касательному напряжению, которое возникло бы в образце при относительном сдвиге, равном единице, если бы в этом случае выполнялся закон Гука.
Между модулем сдвига, модулем Юнга и коэффициентом Пуассона существует следующее соотношение
. (7.12)
Объемная плотность энергии упругой деформации при сдвиге, как и при растяжении (7.8), прямо пропорциональна квадрату напряжения и обратно пропорциональна модулю упругости:
. (7.13)
Кручение
Возьмем однородный стержень, закрепим его верхний конец, а к нижнему концу приложим закручивающие силы, создающие вращающий момент. В результате этого каждый радиус нижнего основания повернется вокруг продольной оси на некоторый угол. Такая деформация называется кручением.
Деформация кручения является неоднородной. Это значит, что деформация внутри образца меняется от точки к точке. Чем дальше от оси вращения, тем больше деформация.
Закон Гука для деформации кручения записывается в виде
, (7.14)
где ƒ – постоянная для данного образца величина, называемая модулем кручения, — угол кручения, — крутящий момент.
Модуль кручения показывает, какой момент сил нужно приложить, чтобы закрутить стержень на угол в 1 рад. В отличие от модулей Юнга и сдвига он зависит не только от материала, но и от геометрических размеров образца.
Деформацию кручения можно свести к деформации сдвига. Выведем выражение для модуля кручения.
Стержень (рис.7.3) можно представить состоящим из множества цилиндрических оболочек (трубок) радиусом r, длиной L и толщиной dr. Площадь основания трубки
dS = 2p rdr , (7.15)
а момент упругих сил, действующих на это основание:
dM = 2 p r dr τ r , (7.16)
где τ — тангенциальное напряжение в этом основании.
С учетом того, что каждый элемент цилиндрической трубки сдвигается на угол:
, (7.17)
то по закону Гука для деформации сдвига получим
. (7.18)
Таким образом, момент сил, действующих на цилиндрическую трубку, равен
. (7.19)
Полный момент сил, действующих на стержень радиуса R, найдется интегрированием:
. (7.20)
Сопоставляя (7.20) с законом Гука для деформации кручения (7.14), получим выражение для модуля кручения:
. (7.21)
Экспериментально модуль кручения можно измерить. С этой целью подвесим на проволоке массивное симметричное телои возбудим крутильные колебания. Эти колебания будут гармоническими с периодом
, (7.22)
где I – момент инерции тела, f – модуль кручения проволоки. Если момент инерции тела известен, то, определив период колебаний, можно вычислить по формуле (9.22) модуль кручения проволоки.
Примеры решения задач
1. Нижнее основание стального цилиндра диаметром d=20 см и высотой h=20 см закреплено неподвижно. На верхнее основание действует горизонтальная сила F=20 кН. Найти: 1) тангенциальное напряжение в материале цилиндра, 2) смещение верхнего основания цилиндра, 3) потенциальную энергию и объемную плотность деформированного образца.
Решение
1) Тангенциальное напряжение материала деформированного образца выражается формулой
.
В данном случае , поэтому получим
.
Сделав вычисления, найдем
2) Смещение верхнего основания цилиндра будет равно
,
где — угол сдвига.
В соответствии с законом Гука
,
где = 8,1.1010 Па — модуль сдвига стали.
Произведя подстановку, получим
.
Выполнив вычисления, найдем
1,6 мкм.
3. Потенциальная энергия и объемная плотность энергии деформированного образца определятся по формулам
и .
Сделав вычисления, получим, U=159 мДж, w= 2,5 Дж/м3.
2. Определить относительное удлинение алюминиевого стержня, если при его растяжении затрачена работа А=6,9 Дж. Длина стержня l=1 м, площадь поперечного сечения S=1 мм2, модуль Юнга для алюминия Е=69 ГПа.
Решение
Работа, затраченная при растяжении стержня, переходит в его упругую потенциальную энергию
,
где — нормальное напряжение деформированного образца, V =Sl – его объем.
В соответствии с законом Гука
.
После подстановки и преобразований, найдем
.
Вычисления дают
Основные положения
1. Упругое напряжение – физическая величина, равная упругой силе, приходящейся на единицу площади:
— нормальное напряжение, сила направлена по нормали к площадке
;
— тангенциальное напряжение, сила направлена по касательной к площадке
.
2. Закон Гука – напряжение упруго деформированного тела прямо пропорционально его относительной деформации:
— деформация растяжения (сжатия)
;
— деформация сдвига
.
3. Коэффициент Пуассона – отношение поперечного сужения к продольному удлинению:
4. Объемная плотность энергии упруго деформированного тела:
— деформация растяжения (сжатия)
;
— деформация сдвига
.
Контрольные вопросы
1. Что такое упругие напряжения? Как определяются нормальные и тангенциальные напряжения?
2. Как формулируется закон Гука для различных видов деформации?
3. Каков физический смысл модуля Юнга и модуля сдвига?
4. Как определяется коэффициент Пуассона?
5. От чего зависит объемная плотность энергии упруго деформированного тела?
Механика жидкостей и газов
Источник