Одностороннее растяжение или сжатия
В машиностроении, строительстве и архитектуре при расчетах прочности и жесткости материалов используется математический аппарат технической механики. Деформация растяжения – одно из ключевых понятий, характеризующее механические процессы, происходящие в материалах при приложении к ним внешних воздействий. Для наглядности изучаются изменения, происходящие в брусе с постоянным сечением, характерные для упругой деформации при приложении внешних усилий.
Закон Гука (английский физик Р. Гук, 1653-1703) для упругой деформации растяжения/сжатия гласит, что нормальное напряжение находится в линейной зависимости (прямо пропорционально) к относительному удлинению/укорочению. Математический аппарат технической механики описывает эту формулу следующим образом:
Коэффициент пропорциональности E (модуль упругости, модуль Юнга) – величина определяющая жесткость материала, единица измерения – паскаль (ПА).
Его значения были установлены эмпирическим путем для большинства конструкционных материалов, необходимую информацию можно почерпнуть в справочниках по машиностроению. Относительная деформация является отношением изменения длины бруса к его изначальным размерам, это безразмерная величина, которая иногда отражается в процентном соотношении.
При растяжении или сжатии у бруса меняется не только длина, но происходят поперечные деформации: при сжатии образуется утолщение, при растяжении толщина сечения становится меньше. Величины этих изменений находятся в линейной зависимости друг от друга, причем установлено, что коэффициент пропорциональности Пуассона (фр. ученый С. Пуассон, 1781-1840) остается всегда неизменным для исследуемого материала.
Внутренние усилия при растяжении и сжатии
При приложении к брусу с постоянным сечением внешних воздействий, действие которых в любом поперечном разрезе направлено параллельно его центральной оси и перпендикулярно сечению, с ним происходит следующий вид деформации: растяжение или сжатие. На основе гипотезы о принципе независимости внешнего воздействия для каждого из поперечных разрезов можно рассчитать внутреннее усилие как векторную сумму всех приложенных внешних воздействий. Растягивающие нагрузки в сопромате принято считать положительными, а сжимающие отрицательными.
Рассмотрев произвольный разрез бруса или стержня, можно сказать что внутренние напряжения равны векторной сумме всех внешних сил, сгруппированных по одной из его сторон. Это верно только с учетом принципа Сен-Венана (фр. инженер А. Сен-Венан, 1797-1886) о смягчении граничных условий, т.к. распределение внутренних усилий по поверхности разреза носит сложный характер с нелинейными зависимостями, но в данном случае значением погрешности можно пренебречь как несущественным.
Применяя гипотезу Бернулли (швейцарский математик, И. Бернулли, 1667-1748) о плоских сечениях, для более наглядного представления процессов распределения сил и напряжений по центральной оси бруса можно построить эпюры. Визуальное представление более информативно и в некоторых случаях позволяет получить необходимые величины без сложных расчетов. Графическое представление отражает наиболее нагруженные участки стержня, инженер может сразу определить проблемные места и ограничиться расчетами только для критических точек.
Все вышесказанное может быть применимо при квазистатической (система может быть описана статически) нагрузке стержня с постоянным диаметром. Потенциальная энергия системы на примере растяжения стержня определяется по формуле:
U=W=FΔl/2=N²l/(2EA)
Потенциальная энергия растяжения U концентрируется в образце и может быть приравнена к выполнению работы W (незначительное выделение тепловой энергии можно отнести к погрешности), которая была произведена силой F для увеличения длины стержня на значение абсолютного удлинения. Преобразуя формулу, получаем, что вычислить значение величины потенциальной энергии растяжения можно, рассчитав отношение квадрата продольной силы N помноженной на длину стержня l и удвоенного произведения модуля Юнга E материала на величину сечения A.
Как видно из формулы, энергия растяжения всегда носит положительное значение, для нее невозможно применить гипотезу о независимости действия сил, т.к. это не векторная величина. Единица измерения – джоуль (Дж). В нижней части формулы стоит произведение EA – это так называемая жесткость сечения, при неизменном модуле Юнга она растет только за счет увеличения площади. Величина отношения жесткости к длине бруса рассматривается как жесткость бруса целиком.
Напряжения при растяжении сжатии
Используя гипотезу Бернулли для продольной упругой деформации стержня, можно определить продольную силу N как равнодействующую всех рассредоточенных по сечению внутренних усилий. Гипотеза Бернулли совместно с гипотезой о ненадавливании волокон позволяет сказать, что σ в произвольной точке разреза будут постоянны, т.к. реакция продольных волокон одинакова на всем поперечном разрезе. Для определения величины нормального напряжения σ используется следующая формула:
Напряжение для упруго деформированного стержня описывается как отношение внутренней силы N к площади сечения A. Считается положительным при растяжении, при сжатии рассматривается как отрицательное.
Абсолютная деформация зависит от жесткости сечения, величины продольной силы и длины бруса. Зависимость можно описать по следующей формуле:
Δl=Nl/EA
Таким образом, методика расчета величины абсолютного изменения длины такова: необходимо просчитать отношение значения продольной силы N умноженной на длину стержня l и жесткости сечения (произведение модуля Юнга E на площадь сечения A).
В реальных расчетах на брус действует достаточно много разнонаправленных сил, для решения таких задач требуется построение эпюр, которые могут наглядно показать какие напряжения действуют на разных участках, чем обусловлена деформация при растяжении и сжатии.
В рамках такой квазистатической (условно статической) системы, как брус или стержень с переменным сечением или отверстием, потенциальная энергия растяжения может быть рассмотрена как сумма энергий однородных участков. При проведении расчетов важно правильно разделить стержень на участки и смоделировать все участвующие в процессе силы и напряжения. Для реальных расчетов построение эпюр – сложная задача, которая требует от инженера хорошего понимания действующих на деталь нагрузок. Например, вал со шкивами разного диаметра требует сначала определения критических точек и разбивки на соответствующие участки, затем построения графиков по ним.
Деформации при растяжении сжатии
При растяжении/сжатии бруса могут возникать 2 вида деформации. Первый – упругая, второй – пластическая. Для упругой деформации характерно восстановление первоначальных параметров после прекращения воздействия. В случае пластической стадии деформации материала он утрачивает и не восстанавливает форму и размеры. Величина воздействия для перехода одного вида в другой называется пределом текучести.
Для расчета перемещения при растяжении бруса или стержня следует использовать метод разделения на участки, в рамках которых осуществляется приложение внешних воздействий. В точках воздействия силы следует вычислить величину изменения длины, используя формулу: Δl=Nl/EA. Как видно она зависит от жесткости сечения, длины бруса или стержня и величины действующей продольной силы. Итоговым перемещением для бруса целиком будет сумма всех частичных перемещений, рассчитанных для точек приложения силы.
Поперечные деформации бруса (становится более толстым при сжатии и тонким при растяжении) также характеризуются абсолютной и относительной величиной деформации. Первая – разность между размером сечения после и до приложения внешних воздействий, вторая – отношение абсолютной деформации к его исходному размеру. Коэффициент Пуассона, отражающий линейную зависимость продольной и поперечной деформаций, определяет упругие качества материалов и считается неизменным для растяжения и сжатия. Продольные наиболее наглядно отражают процессы, происходящие в брусе или стержне при внешнем воздействии. Зная величину любой из них (продольной или поперечной) и используя коэффициент Пуассона, можно рассчитать значение неизвестной.
Для определения величины деформации пружины при растяжении можно применить закон Гука для пружин:
F=kx
В данном случае х – увеличение длины пружины, k – коэффициент жесткости (единица измерения Н/м), F – сила упругости, направленная в противоположную от смещения сторону. Величина абсолютной деформации будет равна отношению силы упругости к коэффициенту жесткости. Коэффициент жесткости определяет упругие свойства материала, используемого для изготовления, может быть использован для выбора материала изготовления в условиях решения конкретной задачи.
Расчеты на прочность и жесткость
Прочность характеризует способность конструкционного материала сопротивляться внешним воздействиям без разрушений и остаточных изменений. Жесткость находится в линейной зависимости от модуля Юнга и размера сечения. Чем больше площадь, модуль упругости не меняется, тем больше жесткость. В общем случае жесткость подразумевает способность деформироваться без значительных изменений. Коэффициент запаса прочности – безразмерная величина, равная отношению предельного напряжения к допустимому. Запас прочности характеризует штатный режим работы конструкции даже с учетом случайных и не предусмотренных нагрузок. Наименьшим запасом прочности обладают пластические (1.2-2.5) и хрупкие (2-5) материалы.
Применение в расчетах этих коэффициентов позволяет, например, рассчитать опасную толщину для стержня, при которой может возникнуть максимальное нормальное напряжение. Используя коэффициент прочности и возможное предельное напряжение возможно произвести расчет необходимого диаметра вала, который гарантированно обеспечит упругую деформацию и не приведет к пластической. Для инженеров-экономистов важны расчеты наименьших безопасных размеров деталей конструкции по заданным нагрузкам.
Большинство практических расчетов на прочность и жесткость производятся для получения минимальных значений геометрических размеров конструкционных элементов и деталей машин в условиях известных внешних воздействий и необходимого и достаточного запаса прочности. Может решаться обратная задача получения значений предельных нагрузок при условии сохранения геометрических размеров и для конкретного материала.
Сложные конструкции могут быть разделены на элементарные части, для которых будут производиться расчеты, затем полученные результаты интерпретируются в рамках всей системы, для этого удобно строить эпюры распределения внешних воздействий и внутренних напряжений статически определенной системы.
С помощью известной жесткости материала делают расчеты максимально возможной длины балки или стержня (вала) при условии неизменности его сечения. Для ступенчатых валов необходимо строить эпюры воздействия внешних сил и возникающих в точках их приложения внутренних напряжений в критических точках. От правильно построенной теоретической модели будет зависеть насколько эффективно и долго прослужит вал для станка, не разрушится ли он от динамических крутящих моментов. На этапе проектирования можно выявить потенциальные слабые точки и рассчитать необходимые параметры для заданного предела прочности.
С расчетами на прочность связаны такие понятия, как срез и смятие. Срез проявляется в виде разрушения детали соединения в условиях возникновения в ее поперечном сечении перпендикулярной к нему и достаточной силы.
При расчетах соединений используют пределы текучести используемых материалов и коэффициенты запаса прочности, вычисляют максимально возможные напряжения.
Исследования на прочность обычно подразумевают решение нескольких задач: в условиях проведения поверочного расчета на проверку прочности при известных усилиях и площади сечения оценивают фактический коэффициент запаса прочности; подбор оптимального диаметра при заданных нагрузках и допустимом напряжении; вычисляют грузоподъемность или несущую способность с помощью определения внутреннего усилия при известной площади сечения и напряжении.
Прочностные расчеты при разных видах воздействий в рамках условно статических систем сложны, требуют учета многих, иногда не очевидных, факторов, их практическая ценность заключается в вычислении допустимых размеров конструкционных материалов для заданных параметров запаса прочности.
Источник
Макеты страниц
Одностороннее растяжение и сжатие. Пусть цилиндрический стержень, имеющий длину I и площадь поперечного сечения подвергается действию силы направленной параллельно его оси, как показано на рис. 168.
Рис. 168.
Под действием этой силы длина стержня увеличивается на некоторую величину (если изменить направление сил на обратное, то длина не увеличивается, а уменьшается). Но это удлинение не может быть принято за характеристику
деформации. Ведь сила действует на каждую единицу длины стержня, поэтому общее удлинение будет зависеть от длины I и, таким образом, будет определяться не только действующим напряжением, но и первоначальной длиной образца.
В качестве величины деформации в данном случае необходимо избрать отношение удлинения к длине I, которое уже от I не зависит. Это отношение называется относительным удлинением стержня. Пользуясь такой характеристикой деформации одног стороннего, растяжения (сжатие означает только изменение знака деформации при изменении направления силы), мы можем записать закон Гука в виде: или
Величина называется модулем Юнга или модулем упругости и является одной из основных характеристик упругих свойств твердого тела. Его размерность совпадает с размерностью давления. 1
Иногда модуль Юнга определяют как величину напряжения, удваивающего длину растягиваемого образца. Это следует из того, что если положить в (это и означает, что. длина образца удваивается), то
Такое определение модуля Юнга носит отвлеченный характер, ибо в действительности линейная зависимость между деформацией и напряжением, выражаемая уравнением (123.1), наблюдается только при малых деформациях Не может быть и речи об удвоении длины образца твердого тела, ибо задолго до достижения такой деформации образец разрушится! Больше того, задолго до разрушения образца деформация его перестает линейно меняться с напряжением и, следовательно, само понятие модуля Юнга теряет смысл.
Уравнение (123.1) может быть записано и в другом виде:
Коэффициент К, равный обратной величине модуля Юнга, называется коэффициентом упругости (иногда его еще называют коэффициентом одностороннего растяжения). Из формулы (123.1а) видно, что он численно равен относительному удлинению стержня, которое создается напряжением, равным единице.
При одностороннем растяжении или сжатии изменяется не только длина стержня, но и его поперечные размеры, т. е. его радиус: при сжатии радиус увеличивается, при растяжении
уменьшается. Если и эту деформацию характеризовать относительным изменением радиуса то можно написать:
где коэффициент пропорциональности, который можно назвать модулем поперечного сжатия при продольном растяжении. Ясно, что между должна быть простая связь. Она выражается в том, что их отношение есть величина, постоянная для данного вещества:
Постоянная равная отношению поперечного и продольногс удлинений, называется коэффициентом Пуассона. Значением коэффициента Пуассона, очевидно, определяется изменение объема деформируемого образца.
Если бы объем тела не менялся при деформации, т. е. если бы изменение длины образца компенсировалось соответствующим изменением радиуса (для цилиндрического образца), то выполнялось бы равенство
Действительно, объем образца где радиус цилиндра, I — его длина. Изменение объема
Для того чтобы необходимо, чтобы было
откуда
В действительности для всех веществ коэффициент Пуассонг меньше 1/2 и близок к 0,30, т. е. объем тела при линейной дефор мации увеличивается (у пробки коэффициент Пуассона равен нулю)
Всестороннее растяжение и сжатие. Этот вид деформации, по характеру своему не отличающийся от только что рассмотренного возникает, когда сила, действующая на тело, распределена по веек его поверхности (рис. 169).
По тем же соображениям, которые были приведены раньше, в качестве величины деформации в данном случае нужно принять относительное изменение объема тела, т. е. величину По закону
Гука мы можем поэтому написать:
Постоянная представляет собой модуль всестороннего сжатия (или растяжения). Подобно модулю Юнга, он численно равен напряжению, изменяющему объем тела вдвое (иногда модуль называют еще модулем объемной деформации).
Рис. 169.
Напишем формулу (123.2) в виде:
Коэффициент равный обратной величине модуля всестороннего сжатия, называется коэффициентом всестороннего сжатия. Ясно, что этот коэффициент для твердых тел очень мал (порядка 10 в
Всестороннее растяжение или сжатие можно, очевидно, рассматривать как результат сложения трех деформаций одностороннего растяжения или сжатия (если они малы). Поэтому модули простым образом связаны между собой. Легко убедиться в том, что если коэффициент Пуассона равен нулю, то Оба модуля равны друг другу при
Рис. 170.
Деформация сдвига. Этот вид деформации возникает под действием сил, приложенных к двум диагонально противоположным граням тела (рис. 170). Такая система сил вызывает смещение плоских слоев, параллельных направлению сил, друг относительно друга. Из рисунка видно, что при этом крайние грани смещаются на некоторое расстояние Если первоначальная длина образца равна I, то величина деформации может характеризоваться отношением Так как это отношение при малом 1 равно где угол сдвига плоскостей, то мерой деформации принимается именно этот угол. Закон Гука может быть поэтому написан в виде:
где напряжение. Постоянная называется модулем сдвига. Измеряется он, так же как и другие модули упругих деформаций, в единицах давления.
Постоянная, обратная модулю сдвига, называется коэффициентом сдвига. Он численно равен углу сдвига, вызываемому напряжением, равным единице, в то время как модуль сдвига равен напряжению, вызывающему сдвиг на угол, равный одному радиану.
Как уже отмечалось, деформация сдвига не сопровождается изменением объема деформируемого тела.
Источник
Если к концам однородного стержня постоянного сечения приложить направленные вдоль его оси силы и (f1 = f2 =f), действие которых равномерно распределено по всему сечению, то длина стержня l получит положительное (при растяжении), либо отрицательное (при сжатии) приращение Δl (рис. 44). При этом каждый произвольно выбранный элемент стержня δl получает приращение Δ(δl), пропорциональное его длине, так что для всех элементов стержня отношение оказывается одним ч тем же. Естественно поэтому в качестве величины, характеризующей деформацию стержня, взять относительное изменение его длины
(108)
Как следует из его определения, относительное удлинение ε является безразмерной величиной. В случае растяжения оно положительно, а в случае сжатия — отрицательно.
Опыт дает, что для стержней из данного материала относительное удлинение при упругой деформации пропорционально силе, приходящейся на единицу площади поперечного сечения стержня:
(109)
Коэффициент пропорциональности αназывается коэффициентом упругости. Он зависит только от свойств материала стержня.
Рис. 44.
Продольное растяжение (сжатие)
Величина, равная отношению силы к величине поверхности, на которую сила действует, называется напряжением. Благодаря взаимодействию частей тела друг с другом напряжение передается во все точки тела – весь объем стержня оказывается в напряженном состоянии. Если сила направлена по нормали к поверхности, напряжение называется нормальным. Если сила направлена по касательной к поверхности, на которую она действует, напряжение называется тангенциальным. Нормальное напряжение принято обозначать буквой σ, тангенциальное — буквой τ.
Введя в рассмотрение нормальное напряжение
(110)
уравнение (108) можно написать следующим образом:
ε = ασ. (111)
Таким образом, относительное удлинение оказывается пропорциональным нормальному напряжению. Из (111) вытекает, что коэффициент упругости αчисленно равен относительному удлинению при напряжении, равном единице.
Наряду с коэффициентом упругости α для характеристики упругих свойств материала пользуются обратной ему величиной Е= 1/α, которая называется модулем Юнга.
Заменяя в (111) α через E, получим:
(112)
откуда следует, что модуль Юнга равен такому нормальному напряжению, при котором относительное удлинение было бы равно единице (т. е. приращение длины Δl было бы равно первоначальной длине l), если бы столь большие упругие деформации были возможны (на самом деле, при значительно меньших напряжениях происходит разрыв стержня, еще раньше достигается предел упругости).
С учетом (108) и (112) соотношение (110) может быть приведено к следующему виду:
(113)
где k — постоянный для данного стержня коэффициент. Согласно (113) удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе. Соотношение (113) выражает закон Гука для данной деформации. Этот закон выполняется только до тех пор, пока не достигается предел упругости.
Изменение длины стержня при деформации сопровождается соответствующим изменением поперечных размеров стержня d (рис. 44). Это изменение принято характеризовать относительным поперечным расширением или сжатием:
(114)
Очевидно, что ε и ε’ всегда имеют разные знаки: при растяжении Δl положительно, а Δd отрицательно, при сжатии Δl отрицательно, a Δd положительно. Опыт дает, что ε’ пропорционально ε:
ε’ = με, (115)
где μ – положительный коэффициент, зависящий только от свойств материала. Его называют коэффициентом поперечного сжатия, или коэффициентом Пуассона.
Источник