Одноосное растяжение что это

Возьмём однородный стержень (рис.1.12) и приложим к его основаниям растягивающие (или сжимающие) усилия.

Пусть lo — длина недеформированного стрежня, а S — его сечение. После приложения силы F его длина получает приращение Dl и делается равной l = l o + Dl. Отношение

, (1.68)

называется относительным удлинением стержня. В случае растягивающих сил оно положительно, в случае сжимающих сил – отрицательно.

Рис.1.12

В любом поперечном сечении деформированного стержня возникнут нормальные упругие напряжения, численно равные упругой силе, приходящейся на единицу площади поперечного сечения тела, т.е.

. (1.69)

Закон Гука для деформации растяжения (сжатия) имеет вид

, (1.70) где Е — модуль Юнга.

Модуль Юнга зависит только от материала стержня и его физического состояния. При D l = l – l0 = l0 и ε = 1 Е = σn. Поэтому, модуль Юнга равен тому нормальному напряжению, которое возникло бы в образце при увеличении его длины в 2 раза, если бы при такой деформации выполнялся закон Гука. Однако при таких больших деформациях закон Гука не выполняется и образец либо разрушается, либо нарушается пропорциональность между деформацией и силой.

Под действием растягивающей или сжимающей силы изменяются не только продольные, но и поперечные размеры

стержня. Характеристикой этого изменения является относи- тельное поперечное сжатие (растяжение)

, (1.71)

где d — поперечный размер образца.

При растяжении e < 0, при сжатии e >0. Отношение

, (1.72)

называется коэффициентом Пуассона.

Для больших изотропных материалов он близок к 0,25. Модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона m полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала. Все прочие упругие постоянные могут быть выражены через Е и m.

Деформированное тело обладает запасом потенциальной энергии. Эта энергия называется упругой. Она равна работе, затраченной на деформацию тела,

. (1.73)

Объемная плотность упругой энергии W, т.е. энергия, приходящаяся на единицу объема растянутого (сжатого) стержня, равна

. (1.74)

Сдвиг

Сдвигом называют такую деформацию твердого тела, при которой все его плоские слои, параллельные некоторой плоскости, называемой плоскостью сдвига, смещаются параллельно друг другу (рис.1.13,а). Сдвиг происходит под действием касательной силы F, приложенной к грани ВС, параллельной плоскости сдвига. Грань АД параллельная ВС, закреплена неподвижно (рис.1.13,б). При малом сдвиге:

, (1.75)

где D х = СС’ — абсолютный сдвиг, а g — угол сдвига, называемый также относительным сдвигом.

Закон Гука для деформации сдвигаимеет вид

, (1.76)

где =F/S– скалывающее или тангенциальное напряжение, G — модуль сдвига.

а) б)

Модуль сдвига численно равен касательному напряже- нию, которое возникло бы в образце при относительном сдвиге, равном единице, если бы в этом случае выполнялся закон Гука.

Между модулем сдвига, модулем Юнга и коэффициентом Пуассона существует cоотношение

. (1.77)

Объемная плотность энергии упругой деформации при сдвиге, как и при растяжении, прямо пропорциональна квадрату напряжения и обратно пропорциональна модулю упругости:

. (1.78)

Мы часто получаем запросы типа «Мне просто нужно ввести диаграмму деформирования по результатам измерений прямо в COMSOL Multiphysics». В новой серии записей мы детально рассмотрим, как обрабатывать и интерпретировать данные о материале по результатам испытаний. Также мы объясним, почему не стоит просто вводить диаграмму деформаций напрямую.

Различные модели материалов

Все модели материалов представляют собой математические аппроксимации реальных физических свойств. Тем не менее, модели материалов не всегда можно вывести из физических законов — например, из закона сохранения массы или уравнений равновесия. Эти модели феноменологические по своей природе и основаны на измерениях. Тем не менее, законы физики обеспечивают соблюдение ограничений для математической структуры моделей материалов и возможных значений свойств этих материалов.

Даже из повседневной жизни очевидно, что различные материалы демонстрируют совершенно разные свойства. Материал может быть очень хрупким, как стекло, или очень эластичным, как резина. Выбор модели материала зависит не только от материала как такового, но и от условий эксплуатации. Если погрузить кусок резины в жидкий азот, он станет хрупким, как стекло — пример популярного учебного эксперимента. И наоборот, если нагреть стекло, оно начнет деформироваться и демонстрировать вязкоупругие свойства.

Во время анализа характеристик механики конструкций в COMSOL Multiphysics можно выбрать около 50 встроенных моделей материалов, многие из которых имеют несколько вариантов параметров. Также можно создать и задать свои собственные модели материалов или же объединить несколько моделей материалов, например, для описания материала, одновременно обладающего как ползучестью, так и пластичностью.

Некоторые из доступных классов материалов:

• Линейные упругие
• Гиперупругие
• Нелинейные упругие
• Пластичные
• Ползучие
• Бетон

Мы не будем вдаваться в подробности того, как правильно выбрать модель материала, однако советуем до начала моделирования задать себе ряд вопросов:

• Насколько велики амплитуды напряжения и пластической деформации?
• Важна ли скорость нагружения?
• Какова рабочая температура и будет ли она постоянной?
• Существует ли готовая модель, разработанная специально для моего материала: например, бетон или пластичный грунт?
• Является ли нагрузка постоянной, монотонно нарастающей или циклической?
• Направлено ли напряжение преимущественной вдоль одной оси или оно полностью объемное?

Исходя из этих соображений и следует выбирать подходящую модель материала. Определение правильных параметров для использования в модели материала может оказаться более или менее сложным.

С одной стороны, существуют стандартные материалы (такие как сталь при комнатной температуре), данные которых многие инженеры знают наизусть (E = 210 ГПа, v = 0,3, ρ = 7850 кг/м3) или же их можно легко найти в литературе или Интернете.

С другой стороны, получение данных о высокотемпературной ползучести чугуна, используемого в качестве материала выпускного коллектора, может представлять собой отдельную непростую задачу. Для этого потребуется множество испытаний при различных уровнях нагрузки и температурах. Полная программа испытаний такого рода может занять полгода и стоить несколько сотен тысяч долларов.

Оборудование для испытаний на растяжение. «Inspekt desk 50kN IMGP8563» компании Smial. Загружено в сеть Интернет пользователем Smial на веб-сайт de.wikipedia — Перемещено с веб-сайта de.wikipedia; перемещено в Викисклад пользователем: Smial с помощью CommonsHelper. (Оригинальный текст:eigenes Foto). Лицензия CC BY-SA 2.0 de от Викисклада.

Стандартные типы испытаний

Перед началом моделирования при помощи COMSOL Multiphysics недостаточно только импортировать геометрию образца, выбрать модель материала и применить нагрузки и прочие граничные условия. Необходимо также указать параметры выбранной модели материала в рабочем диапазоне напряжений—деформаций и температуры. Эти параметры, как правило, можно получить в результате одного или нескольких испытаний.

Одноосное растяжение

Основным испытанием является испытание на одноосное растяжение. Именно его обычно имеют в виду инженеры, когда говорят, что у них есть «готовая диаграмма деформирования». Если посмотреть на перечень вопросов выше, очевидно, что даже это на первый взгляд несложное испытание часто не решает многих проблем:

• Материал может иметь зависимость от времени даже при постоянных нагрузках, демонстрируя эффекты ползучести и вязкоупругости. Для получения надежных данных необходимо выполнить большое количество испытаний, часто при различных температурах и уровнях напряжения.
• Параметры материала, полученные в результате стандартного испытания на растяжение при низкой скорости, могут оказаться нехарактерными для поведения материала при высоких скоростях деформации. Ударные испытания могут продемонстрировать высокую скорость деформации на уровне 10 сек–1, в то время как обычные одноосные испытательные установки могут работать при низких скоростях деформации порядка 10–3 сек–1.
• Является ли материал изотропным, или необходимо проводить испытания в нескольких направлениях?
• Если выполняются только испытания на растяжение, что произойдет при сжатии? Трудно ответить однозначно, имея лишь одну кривую.
• Испытание на растяжение даст диаграмму деформирования для исследуемого направления нагрузки, но далеко не всегда содержит данные о деформациях в поперечном направлении. Без этих данных мы ничего не можем сказать о взаимозависимостях деформаций для разных направлений в трехмерном сценарии.
• При аппроксимации кривой экспериментальных измерений, возможно, не все данные должны учитываться с равными весовыми коэффициентами. Существует вероятность того, что результат в определенном диапазоне деформаций оказывает большее влияние на результаты моделирования.

Одноосное сжатие

Некоторые материалы, например, бетон, плохо выдерживают нагрузки при растяжении или вообще не выдерживают их. Для таких материалов испытание на одноосное сжатие является наиболее фундаментальным. Оно имеет много общих характеристик с испытанием на растяжение.

Прочие материалы, такие как сталь и резина, тоже можно подвергать испытанию на сжатие. В дальнейшем мы объясним, почему это полезно.

При одноосном испытании (на растяжение, сжатие или оба вида деформаций) невозможно получить полную картину характеристик материала. Для этого необходимо сделать ряд допущений: например об изотропности или несжимаемости материала. Исходя из опыта, для многих материалов эти допущения вполне оправданы.

Влияние диапазона испытания на понимание характеристик материала показано на анимированной диаграмме ниже.

• В случае выполнения только нагрузочной части испытания разграничить упругое и пластичное поведение материала не представляется возможным.
• При разгрузке можно отличить упругое поведение от пластичного, но до тех пор, пока образец находится в состоянии существенного сжатия, невозможно определить, какая из моделей — изотропного или кинематического упрочнения — лучше описывает поведение материала.

Двухосное растяжение

Значительно труднее разработать испытательное оборудование для создания однородного двухосного напряженного состояния. Двухосное испытание часто применяется для материалов, доступных только в виде тонких листов и полотен: например, тканей. Регулируя отношение нагрузок в двух перпендикулярных направлениях можно получить гораздо больше информации, чем из одноосного испытания.

Трехосное сжатие

Для грунтов, которые, как правило, размещаются в ограниченном пространстве, стандартным испытанием является трехосное сжатие. В принципе, испытания на трехосное сжатие могут применяться к массиву любого материала, но разработка испытательного оборудования достаточно сложна. Низкий коэффициент сжимаемости большинства твердых материалов также снижает привлекательность трехосного испытания, так как измеренные смещения при сжатии материала во всех направлениях очень незначительны.

Модель испытаний на трехосное сжатие демонстрирует модель конечных элементов испытания на трехосное сжатие.

Кручение

Испытание на кручение, при котором скручивается цилиндрический контрольный образец — это достаточно простое испытание, при котором создается неодноосное напряженное состояние. Однако напряженное состояние распределяется по стержню неравномерно. Таким образом, необходима некоторая дополнительная обработка для пересчета полученных результатов крутящего момента как функции угла в зависимость деформации от напряжения.

Испытания гиперупругих материалов

В следующей записи этой серии мы подробно расскажем, как адаптировать результаты измерений для различных моделей гиперупругих материалов. В данном примере примере будем считать, что данные подходят для проведения испытаний. Исходные данные содержат результаты двух измерений:одно из них — для одноосного растяжения, а второе — для равномерного двухосного растяжения, как показано ниже.
На графике показана зависимость номинального напряжения (сила, деленая на первоначальную площадь) от растяжения (текущей длины, деленой на первоначальную длину).

Кривые деформирования согласно результатам измерений по Treloar.

Так как данные относятся к широкому диапазону растяжений, результаты эксперимента, очевидно, нелинейны. Простейшие модели гиперупругих материалов с одним или двумя параметрами, вероятно, будут неприменимы для этих экспериментальных данных. Мы использовали Модель Огдена с тремя членами, которая часто применяется для резины.

Подбор методом наименьших квадратов при равных весовых коэффициентах дает результаты, приведенные ниже. Как показывает график, можно подобрать один набор параметров материала, хорошо подходящий для обоих экспериментов.

Поараметры материала, подобранные при помощи модели Огдена с тремя членами.

Но что если результаты двухосного испытания недоступны? При подборе только по данным одноосных испытаний мы получим другой набор параметров материала, который, конечно, будет точнее соответствовать имеющимся экспериментальным данным, однако не будет согласовываться с результатами двухосных испытаний. См. рисунок ниже.

Результаты анализа одноосного и двухосного растяжения при подборе параметров модели только по результатам одноосного испытания.

Очевидно, что предсказанные значения равномерного двухосного состояния растяжения будут отличаться для двух наборов параметров. Как видно, для кривой напряжения при двухосном испытании ошибка при некоторых уровнях растяжения составляет более 20%.

Как насчет других состояний напряжения? Два состояния напряжения, имитируемые в простой модели конечных элементов, представляют собой одноосное сжатие и чистое кручение. Кривая зависимости деформаций от напряжения одноосного испытания в широком диапазоне растяжений показана ниже.

Результаты на стороне растяжения не так чувствительны к набору данных, используемых для получения параметров материала, как результаты на стороне сжатия. Это неудивительно, так как данные растяжения используются для подбора параметров в обоих случаях, тогда как ни один из экспериментов не содержит информации о поведении материала при сжатии.

Результат одноосного испытания в диапазоне от сжатия до растяжения. Шкала по оси x является логарифмической.

Обратите внимание, что условия эксплуатации резиновых деталей, например уплотнений, часто предполагают преимущественно состояние сжатия. Если наборы данных, используемые для подбора параметров, содержат только данные натяжения, они могут быть вносить погрешности при моделировании состояний многоосных напряжений.

Наконец, обратим внимание на моделирование скручивания стержня круглого сечения. Ниже наблюдается уже рассмотренное выше расхождение между результатами для двух наборов параметров материала.

Рассчитанный момент как функция угла кручения.

Cледует отметить, что многие гиперупругие модели устойчивы лишь условно. Это означает, что, несмотря на абсолютную верность оцениваемых параметров материалов для определенного диапазона деформаций, однозначная и непрерывная зависимость напряжения и деформации может и не существовать для других комбинаций деформации. Мы часто сталкиваемся с такими проблемами при расчете опорных конструкций. К сожалению, это довольно трудно обнаружить априори, так как необходимо выполнить полный анализ всех возможных комбинаций деформации.

Заключительные замечания и анонс

Измеренные данные следует обрабатывать и анализировать перед использованием в качестве входных данных моделирования. Прежде чем использовать модели материалов, отличных от упрощенной линейно-упругой модели, в крупномасштабном моделировании, желательно привести несколько примеров с единичным кубом для оценки характеристик при различных состояниях нагрузки.

Итак, когда нам говорят: «Мне просто нужно ввести диаграмму деформирования по результатам измерений прямо в COMSOL Multiphysics», мы отвечаем, что такой подход не рекомендуется. Это превратило бы программную среду в «черный ящик», так что для получения значимых результатов пользователю пришлось бы принимать множество самостоятельных решений.

В следующей статье, посвященной конструкционным материалам мы обсудим нелинейную упругость и пластичность.