Нормальные напряжения при растяжении бруса

При растяжении (сжатии) бруса в его поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения. Равнодействующая соответствующих элементарных сил σz dA — продольная сила N — может быть найдена с помощью метода сечений. Для того чтобы иметь возможность определить нормальные напряжения при известном значении продольной силы, необходимо устано­вить закон их распределения по поперечному сечению бруса.

Эта задача решается на основе гипотезы плоских сечении (гипотезы Я. Бернулли), которая гласит: сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформа­ции, остаются плоскими и нормальными к оси и при деформации.

При растяжении бруса (изготовленного, например, для большей наглядности опыта из резины), на поверхности ко­торого нанесена система продольных и поперечных рисок, можно убедиться, что риски остаются прямоли­нейными и взаимно перпендикулярными, изменяются лишь расстояния: между поперечными рисками несколько увеличи­ваются, а между продольными — уменьшаются.

Описанный опыт можно рассматривать как подтверждение гипотезы плоских сечений; при этом предполагают, что внутри бруса деформации имеют тот же характер, что и на его поверхности.

Представим себе, что брус состоит из бесконечно большого числа продольных элементов, имеющих бесконечно малые («точечные») поперечные сечения. Эти элементы здесь и в даль­нейшем будем условно называть волокнами.

Из гипотезы Бернулли следует, что все волокна в рассма­триваемом случае деформируются одинаково. При однород­ном материале равным деформациям соответствуют одина­ковые напряжения. Таким образом, приходим к заключению, что при растяжении (сжатии) бруса нормальные напряжения рас­пределены по его поперечному сечению равномерно. Подчеркнем, что распределение напряжений не зависит от формы поперечного сечения.

Для определения нормальных напряжений используем вы­ражение . Вынося σz (постоянная величина!) за знак интеграла, получаем:

.= σzA,

где А – площадь поперечного сечения бруса.

Для нормальных напряжений принимают то же правило знаков, что и для продольных сил, т. е. при растяжении считают напряжения положи­тельными.

Фактически распределение напряжений в сечениях бруса, примыкающих к месту приложения внешних сил, зависит от способа приложения нагрузки и может быть неравномерным. Экспериментальные и теоретические исследования показывают, что это нарушение равномерности распределения напряжений носит местный характер. В сечениях бруса, отстоящих от ме­ста нагружения на расстоянии, примерно равном наибольшему из поперечных размеров бруса, распределение напряжений можно считать практически равномерным.

Рассмотренное положение является частным случаем принципа Сен-Венана, который можно сформулировать следующим образом: распределение напряжений существенно зависит от способа приложения внешних сил лишь вблизи места нагружения.

В частях, достаточно удаленных от места приложения сил, распределение напряжений практически зависит только от стати­ческого эквивалента этих сил, а не от способа их приложения.

Таким образом, применяя принцип Сен-Венана и отвлекаясь от вопроса о местных напряжениях, имеем возможность (как в этой, так и в последующих лекциях курса) не интересоваться конкретными способами приложения внешних сил. В местах резкого изменения формы и размеров поперечного сечения бруса также возникают местные напряжения. Это явле­ние называют концентрацией напряжений, которую в этой лекции учитывать не будем.

В тех случаях, когда нормальные напряжения в различных поперечных сечениях бруса неодинаковы, целесообразно по­казывать закон их изменения по длине бруса в виде графи­ка — эпюры нормальных напряжений.

Продольная сила N, возникающая в поперечном сечении бруса, представляет, собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределенных по площади поперечного сечения, и связана с возникающими в этом сечении нормальными напряжениями зависимостью

где а — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения, принадлежащей элементарной площадке dA; А — площадь поперечного сечения бруса.

Произведение о • dA = dN представляет собой элементарную внутреннюю силу, приходящуюся на площадку dA.

Значение продольной силы N в каждом частном случае легко можно определить при помощи метода сечений, как показано в предыдущем разделе. Для нахождения же напряжений а в каждой точке поперечного сечения бруса надо знать закон их распределения по этому сечению.

Закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении бруса изображается обычно графиком, показывающим изменение их по высоте или ширине поперечного сечения. Такой график называют эпюрой нормальных напряжений (эпюрой а).

Выражение (9.1) может быть удовлетворено при бесконечно большом числе видов эпюр напряжений о (например, при эпюрах а, изображенных на рис. 9.2). Поэтому для выяснения закона распределения нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса проводят эксперименты.

Если поперечное сечение перпендикулярно оси бруса, то при растяжении и сжатии нормальные напряжения распределены по поперечному сечению равномерно, т.е. а = const. Это позволяет в выражении (9.1) вынести о за знак интеграла. Таким образом,

откуда

Рис. 9.2. Виды эпюр напряжений:

а — прямоугольная; б — вогнутая; в — выпуклая

Рис. 9.3. Определение напряжений в наклонных плоскостях

Итак, в поперечных сечениях бруса при центральном растяжении или сжатии возникают равномерно распределенные нормальные напряжения, равные отношению продольной силы к площади поперечного сечения.

Для нормальных напряжений принимают знаков, как и для продольных сил, т.е. при растяжении нормальные напряжения считают положительными, при сжатии — отрицательными.

Для наглядного изображения изменения нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня (по его длине) строится эпюра нормальных напряжений. Осью этой эпюры является отрезок прямой, равный длине стержня и параллельный его оси.

Рассмотрим теперь напряжения в наклонных сечениях бруса. Обозначим через а угол между наклонным сечением п—пг и поперечным сечением п—п2 (см. рис. 9.3, а). Угол а условимся считать положительным, когда поперечное сечение для совмещения с наклонным сечением нужно повернуть на этот угол против часовой стрелки.

Как уже известно, удлинения всех волокон, параллельных оси бруса, при его растяжении или сжатии одинаковы. Это позволяет предполагать, что напряжения р во всех точках наклонного (так же как и поперечного) сечения одинаковы.

Рассмотрим нижнюю часть бруса, отсеченную сечением п—п1 (см. рис. 9.3, б). Из условий ее равновесия следует, что напряженияр параллельны оси бруса и направлены в сторону, противоположную силе Р, а внутренняя сила рАа, действующая в сечении п—пь равна Р. Здесь Аа — площадь наклонного сечения п — пь равная Л/cos а (где А — площадь поперечного сечения п—п2 бруса).

Следовательно,

откуда

где Р/А = о — нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса.

Разложим напряжение р на два составляющих напряжения: нормальное оа, перпендикулярное плоскости сечения п—пь и касательное та, параллельное этой плоскости (рис. 9.3, в).

Значения оа и та получим из выражений

Нормальное напряжение считается обычно положительным при растяжении и отрицательным при сжатии. Касательное напряжение положительно, если изображающий его вектор стремится вращать тело относительно любой точки С, лежащей на внутренней нормали к сечению, по часовой стрелке. На рис. 9.3, в напряжения оа и та положительные.

Определение нормальной силы

Центральное растяжение (сжатие) – одно из наиболее простых видов нагружения. Методом сечений в поперечном сечении бруса обнаруживается только один внутренний силовой фактор – нормальная сила. Ее вектор перпендикулярен к поперечному сечению и направлен вдоль продольной оси бруса. Брус, работающий на растяжение-сжатие, принято называть стержнем.

Согласно методу сечений величина и направление продольной силы определяются из уравнения равновесия, составленного для отсеченной части бруса:

(2.9)

Таким образом, продольная (нормальная) сила о произвольном сечении бруса численно равна алгебраической сулеме проекций па продольную ось всех внешних (активных и реактивных) сил, приложенных к отсеченной части.

В общем случае

(2.10)

где – интенсивность нагрузки, распределенной вдоль оси бруса на участке от 0 до .

Продольная сила считается положительной, если она вызывает растяжение, т.е. направлена от сечения. В поперечном сечении бруса она является равнодействующей внутренних нормальных сил, возникающих в этом сечении.

График функции называется эпюрой нормальных сил. Из выражения (2.10) следует, что

(2.11)

т.е. интенсивность распределенной нагрузки в каждом сечении равна по величине и знаку тангенсу угла наклона касательной к эпюре в соответствующей рассматриваемому сечению точке эпюры.

Нормальные напряжения и деформации

При растяжении (сжатии) бруса в поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения. Чтобы задача определения по известным N А имела единственное решение, необходимо установить закон распределения σ(x) по сечению. Для этого используется гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к его оси и при деформации. Поперечные сечения лишь перемещаются вдоль оси, оставаясь параллельными друг другу.

Допустим, брус состоит из бесконечно большого числа продольных волокон. Из гипотезы Бернулли следует, что все волокна деформируются одинаково. Поскольку, согласно закону Гука, равным деформациям соответствуют равные напряжения, то при растяжении (сжатии) бруса нормальные напряжения равномерно распределяются по поперечному сечению, т.е.;.

Как известно,. Так как, то . Отсюда

(2.12)

Положительными считаются направления , соответствующие растяжению.

В сечениях бруса, примыкающих к месту приложения внешних сил и к закреплениям, распределение напряжений зависит

Рис. 2.7

от способа приложения нагрузки и может быть неравномерным. Поэтому гипотеза плоских сечений в этих местах неверна.

Рассмотрим однородное напряженное состояние бруса, когда напряжения не изменяются по длине (рис. 2.7).

Изменение линейных размеров называется абсолютным удлинением; отношение – относительным удлинением или линейной деформацией.

В случае неоднородного напряженного состояния линейная деформация определяется выражением , где – приращение отрезка .

Между линейными деформациями и вызывающими их напряжениями существует связь, обусловленная упругими свойствами материала. Эта связь определяется законом Гука:

(2.13)

где Е – модуль упругости материала.

Рассмотрим выражение. Согласно формуле (2.13) получим; поскольку

Отсюда изменение длины всего бруса

(2.14)

Произведение НА называется жесткостью бруса при растяжении (сжатии).

Если законы изменения N и А различны для отдельных участков бруса, то

(2.15)

где – число участков.

В частном случае, когда N и А постоянны по длине бруса, получаем формулу Гука в виде

(2.16)

Итак, перемещение i-го сечения с координатой х относительно неподвижного сечения

(2.17)

Аналогично можно записать

(2.18)

где – перемещение начального сечения относительно заделки.

Пусть сечение бруса (см. рис. 2.7) имеет форму прямоугольника со сторонами а и b, тогда при растяжении бруса периметр его уменьшится. Величина характеризует относительное изменение периметра поперечного сечения и называется поперечной деформацией. Если сечение круглое, то . Отношение поперечной деформации к линейной величине постоянно для данного материала и называется коэффициентом Пуассона:

(2.19)

Для стали и большинства металлических материалов . В общем случае .