Нормальное напряжение я при растяжении с изгибом равно
Изгиб с растяжением – частный случай сложного сопротивления, при котором на брус действуют продольные и поперечные нагрузки, пересекающие ось бруса. В общем случае в поперечных сечениях возникают пять внутренних усилий: действующие в двух плоскостях изгибающие моменты Mz, My, поперечные силы Qz, Qy, а также продольная сила N. Возникает сложный изгиб с растяжением или сжатием. Пренебрегая касательными напряжениями от поперечных сил Qz, Qy (для длинных балок с отношением ℓ/h > 10 их влияние незначительно), можно считать напряженное состояние в опасных точках линейным. Внецентренное растяжение или сжатие Внецентренное растяжение – частный случай изгиба с растяжением, при котором брус растягивается силами, параллельными оси бруса так, что их равнодействующая не совпадает с осью бруса, а проходит через точку Р, называемую полюсом силы. Внутренние усилия и напряжения В произвольном сечении х бруса (рис.8.7, а) методом сечений определяем внутренние усилия Рис. 8.6. Примеры деталей и узлов, работающих при внецентренном нагружении: а – болт-костыль; б – пружина сцепления; в – сварное соединение Отличны от нуля три внутренних усилия (рис. 8.7, б), от которых возникают нормальные напряжения, действующие по одной из трех пар граней (рис. 8.7, в); две другие пары граней свободны от напряжений. Имеет место линейное напряженное состояние. Напряжения в произвольной точке являются суммой трех слагаемых Учитывая, что отношение i = – радиус инерции сечения, получим О правиле знаков внутренних усилий. Формула (8.10) выведена для случая положительной растягивающей силы N и изгибающих моментов Mz, My, вызывающих растягивающие напряжения в точке, принадлежащей первой четверти осей координат (где x > 0 и y > 0). Поэтому оси координат поперечного сечения бруса следует направлять так, чтобы полюс P (точка приложения силы) находился в первом квадранте. Если сила, приложенная к брусу, сжимающая, то ее числовое значение будет со знаком минус. Анализ формулы (8.10) 1. Отсутствие координаты х свидетельствует о неизменности напряжений вдоль оси бруса. 2. В случае приложения силы в центр тяжести сечения (zP = 0, yP = 0) напряжения в любой точке сечения постоянны и равны σ = F/A, то есть центральное растяжение является частным случаем внецентренного. Рис. 8.7. Схема к определению внутренних усилий и напряжений при внецентренном приложении силы 3. Независимо от значений координат полюса Р напряжение в центре тяжести сечения (yцт =0, zцт = 0), σцт = F/A. 4. Переменные z и y в первой степени, следовательно, формула (8.10) является уравнением прямой и нормальные напряжения распределяются по линейному закону, значит должна быть нейтральная линия, на которой напряжения равны нулю. Уравнение нейтральной линии при внецентренном растяжении Нейтральная линия (нейтральная ось) – геометрическое место точек, в которых нормальное напряжение в поперечном сечении равно нулю. Приравняем нулю уравнение (8.10). Поскольку F/A ≠ 0, то выражение в скобках равно нулю Переменные z, y в первой степени, следовательно, нормальные напряжения в сечении распределяются по линейной зависимости. Полученное выражение приведем к виду уравнения прямой в отрезках, где a и b – отрезки, отсекаемые линией на осях координат. В нашем случае уравнение нейтральной линии будет записано как Свободный член полученного уравнения не равен нулю, следовательно, нейтральная линия через начало координат не проходит. Отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях y и z, соответственно равны: По найденным значениям отрезков проводят нейтральную линию и находят точки В и С, наиболее удаленные от нее (рис. 8.9). Выполняют это простым геометрическим построением, проводя касательные к сечению, параллельные нейтральной оси. Найденные точки – опасные, поскольку напряжения в них наибольшие по величине. Рис. 8.8. Уравнение прямой в отрезках и график прямой линии, известные из школьного курса Уравнения (8.12), связывающие координаты полюса Р – точки приложения внешней нагрузки с положением нейтральной линии, являются гиперболической функцией. Чем ближе полюс Р к центру тяжести сечения (значения yP, zP уменьшаются), тем нейтральная линия проходит дальше и в пределе стремится к бесконечности. И, наоборот, по мере отдаления точки приложения силы от центра тяжести нейтральная линия асимптотически приближается к нему. Однако пересечь центр тяжести сечения нейтральная линия не может (см. анализ формулы (8.10)). В центре тяжести σцт = F/A (рис. 8.9), поскольку yцт = 0 и zцт = 0 (подставьте в (8.10)). Нейтральная линия может разделять поперечное сечение на области, в которых действуют напряжения разных знаков. Некоторые материалы (чугун, силумин, керамика, кирпичная кладка…) хорошо сопротивляются сжатию и плохо – растяжению. Поэтому необходимо уметь определять такую область приложения нагрузки, в которой не возникают напряжения разных знаков. Ядро сечения Ядро сечения – область вокруг центра тяжести сечения, при приложении нагрузки внутри которой, напряжения во всем сечении будут одного знака. Контур ядра сечения строят путем окатывания нейтральной линией контура поперечного сечения, то есть решают задачу обратную той, в которой определяли положение нейтральной линии: куда следует прикладывать силу, чтобы нейтральная линия не пересекала контур сечения, а только касалась его. Задают несколько положений нейтральной линии, касательной к сечению (например, н.л.1, н.л.2, н.л.3), определяют координаты точек пересечения этих линий с осями координат (например, zн.л.1, yн.л.1). Затем, преобразуя уравнение (11), находят Рис. 8.10. Определение координат отрезков нейтральной линии для построения ядра сечения Рис. 8.9. Эпюра напряжений в поперечном сечении Нейтральная линия соответствующие им координаты точек ядра сечения (точки 1, 2, 3): Так как при переходе нейтральной линии с одной стороны на другую (например, от н.л 3 к н.л 4) она поворачивается вокруг угловой точки сечения, то точка приложения силы перемещается по прямой (на рис. 8.10 отрезок 3 – 4), образуя контур ядра. Пример 8.4. Построить ядро сечения для круга диаметром d. Решение. Квадрат радиуса инерции круга: Задаем положение нейтральной линии 1–1, касательной к окружности. Ее координаты: Координаты точки ядра сечения: Из симметрии сечения относительно его центра тяжести следует, что при других положениях нейтральной линии на окружности диаметром d точки ядра сечения образуют концентрический с ней круг диаметром d/4. Пример 8.5. Построить ядро сечения для прямоугольника с размером сторон bЧh. Решение. Квадраты радиусов инерции: Задаем положение нейтральной линии 1-1, касательной к верхней грани прямоугольника. Ее ко- ординаты: zн.л 1 = ∞; yн.л1 = h/2. Координаты соответствующей точки ядра сечения: Аналогично для нейтральной линии 2-2: zн.л 2 = b/2; yн.л 2 = ∞. Учитывая симметрию прямоугольного сечения относительно осей z и y, задаем положения нейтральных линий на противоположных сторонах прямоугольника и получаем еще две точки. Соединяя все точки, получаем ядро сечения в виде ромба с диагоналями, равными h/3 и b/3. Пример 8.6. Построить ядро сечения для швеллера № 20. Решение. Из таблицы сортамента выпишем исходные данные и выполним рисунок швеллера. Последовательно задаем положение нейтральной линии (I-I, II-II, III-III, IV-IV), касающейся контура сечения, и вычисляем координаты точек ядра сечения. Расчеты представлены в табличном виде. Ядро сечения имеет вид четырехугольника, асимметричного относительно оси ординат. Положение ядра сечения зависит лишь от формы и размеров поперечного сечения, но не зависит от величины приложенной силы. Расчет на прочность при внецентренном нагружении Поверочный расчет выполняют, используя условие прочности Проектный расчет обладает особенностью, связанной с тем, что геометрические характеристики, входящие в условие прочности содержат искомый размер поперечного сечения в разной степени. Площадь А измеряется в м2, а моменты сопротивления W в м3. Попытка выразить искомый yн.л. = h/2 = 20/2 = 10 см; zн.л. = ∞; размер из условия прочности приводит к трансцендентной функции, то есть аналитической функции, не являющейся алгебраической. Проектный расчет выполняют методом итераций 1 [от лат. iteratio – повторение]. В первом приближении, пренебрегая одним из внутренних усилий, – продольной силой N – подбирают размер сечения только из условия прочности при изгибе. Полученный размер подставляют в исходное уравнение и выполняют следующую пробу. Процесс повторяют до тех пор, пока невязка – разность размеров последующей и предыдущей проб, не достигнет заданной наперед малости. Пример 8.7. (Винокуров А. И. Сборник задач … 5.35). Подобрать диаметр стержня выпускного клапана. При расчете использовать усилие F в момент открывания клапана в конце рабочего хода поршня. Решение. Сила давления газов на тарелку клапана 533441Н Внутренние усилия в сечении 1-1 стержня клапана (по модулю): N = F; M = F•e. Условие прочности: По обе стороны от знака неравенства искомый диаметр – имеем трансцендентное уравнение, которое решаем методом приближений: Метод последовательных приближений, при котором каждое новое приближение вычисляют исходя из предыдущего; начальное приближение выбирается в достаточной степени произвольно. Дано: p = 1,5 МПа; e = 12 мм; D = 35 мм; [σ] = 210 МПа Разность между последним и предпоследним приближениями Процесс подбора прекращаем, принимаем d = 10 мм. Проверка: Напряжения изгиба больше напряжений растяжения в 6,9 раза Пример 8.8. (Винокуров А. И. Сборник задач … 5.38.). Из расчета на прочность определить размер h скобы струбцины. Решение. Условие прочности при внецентренном растяжении плоской фигуры σ=+≤[σ] где A = b•h; W = b•h2/6; M = F(a+h/2). Условие прочности: Требуемый размер скобы: Размер h в обеих части неравенства. Полученное уравнение – трансцендентное. Решаем его методом последовательных приближений. В первом приближении принимаем h в скобках под корнем равным нулю: h0 = 0. Тогда Невязка подбора 100 25,4 % Следующее приближение 101,58 мм. Невязка подбора 100 4,5 % Следующее приближение 102,54 мм. Невязка подбора 100 0,95 % невязка менее 1 %, поэтому выходим из цикла подбора. Принимаем h = 103 мм. Проверка: Сопоставим вклады от изгиба и растяжения в общее напряжение: Напряжения от изгиба в 8,24 раза превышают напряжения от растяжения. Полученное соотношение можно сделать более благоприятным снизив долю растягивающих напряжений от изгиба за счет уменьшения плеча е изгибающего момента. На практике применяют тавровое и двутавровое сечения, смещая центр тяжести с ближе к линии действия силы и располагая больше материала в области растягивающих напряжений, к которым хрупкие материалы более чувствительны. Рис. 8.11. Примеры выполнения поперечного сечения бруса, подверженного действию внецентренного растяжения
Источник
При выводе формулы для вычисления нормальных напряжений рассмотрим такой случай изгиба, когда внутренние силы в сечениях балки приводятся только к изгибающему моменту, а поперечная сила оказывается равной нулю. Этот случай изгиба носит название чистого изгиба. Рассмотрим средний участок балки, подвергающийся чистому изгибу.
В нагруженном состоянии балка прогибается так,что ее нижние волокна удлиняются,а верхние укорачиваются.
Поскольку часть волокон балки растягивается, а часть сжимается, причем переход от растяжения к сжатию происходит плавно, без скачков, в средней части балки находится слой, волокна которого только искривляются, но не испытывают ни растяжения, ни сжатия. Такой слой называют нейтральным слоем. Линия, по которой нейтральный слой пересекается с поперечным сечением балки, называется нейтральной линией или нейтральной осью сечения. Нейтральные линии нанизаны на ось балки. Нейтральная линия — это линия, в которой нормальные напряжения равны нулю.
Линии, проведенные на боковой поверхности балки перпендикулярно оси, остаются плоскими при изгибе. Эти опытные данные позволяют положить в основу выводов формул гипотезу плоских сечений (гипотеза Бернулли). Согласно этой гипотезе сечения балки плоские и перпендикулярные к ее оси до изгиба, остаются плоскими и оказываются перпендикулярными изогнутой оси балки при ее изгибе.
Допущения для вывода формул нормального напряжения: 1) Выполняется гипотеза плоских сечений. 2) Продольные волокна друг на друга не давят (гипотеза о ненадавливании) и, следовательно, каждое из волокон находится в состоянии одноосного растяжения или сжатия. 3) Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми. 4) Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости. 5) Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков. 6) Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.
Рассмотрим балку произвольного сечения, но имеющую ось симметрии.
Изгибающий момент представляет собой результирующий момент внутренних нормальных сил
, возникающих на бесконечно малых площадках и может быть выражен в интегральном виде: 
(1), где y — плечо элементарной силы относительно оси х
Формула (1) выражает статическую сторону задачи об изгибе прямого бруса, но по ней по известному изгибающему моменту нельзя определить нормальные напряжения, пока не установлен закон их распределения.
Выделим на среднем участке балки и рассмотрим участок длиной dz, подвергающийся изгибу. Изобразим его в укрупненном масштабе.
К выводу формул при изгибе: а) участок балки до деформации; б) участок балки после деформации
Сечения, ограничивающие участок dz, параллельны друг другу до деформации, а после приложения нагрузки повернутся вокруг своих нейтральных линий на угол 
. Длина отрезка волокон нейтрального слоя при этом не изменится и будет равна:
, где 
-это радиус кривизны изогнутой оси балки. А вот любое другое волокно, лежащее ниже или выше нейтрального слоя, изменит свою длину. Вычислим относительное удлинение волокон, находящихся от нейтрального слоя на расстоянии у. Относительное удлинение — это отношение абсолютной деформации к первоначальной длине ,тогда:
Сократим на и приведем подобные члены, тогда получим:
(2) Эта формула выражает геометрическую сторону задачи о чистом изгибе: деформации волокон прямо пропорциональны их расстояниям до нейтрального слоя.
Теперь перейдем к напряжениям, т.е. будем рассматривать физическую сторону задачи. в соответствии с допущением о ненадавливании волокон используем закон Гука при осевом растяжении-сжатии:
, тогда с учетом формулы (2) имеем
(3),т.е. нормальные напряжения при изгибе по высоте сечения распределяются по линейному закону. На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре тяжести сечения равны нулю. Подставим (3) в уравнение (1) и вынесем за знак интеграла дробь 
как постоянную величину, тогда имеем
. Но выражение 
— это осевой момент инерции сечения относительно оси х — Iх. Его размерность см4, м4
Тогда
,откуда
(4) ,где
— это кривизна изогнутой оси балки, а
— жесткость сечения балки при изгибе.
Подставим полученное выражение кривизны (4) в выражение (3) и получим формулу для вычисления нормальных напряжений в любой точке поперечного сечения:
(5)
Т.о. максимальные напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии. Отношение 
(6) называют осевым моментом сопротивления сечения. Его размерность см3, м3. Момент сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения на величину напряжений.
Тогда максимальные напряжения: 
(7)
Условие прочности при изгибе:
(8)
При поперечном изгибе действуют не только нормальные, но и касательные напряжения,т.к. имеется поперечная сила. Касательные напряжения усложняют картину деформирования, они приводят к искривлению поперечных сечений балки, в результате чего нарушается гипотеза плоских сечений. Однако исследования показывают, что искажения, которые привносят касательные напряжения, незначительно влияют на нормальные напряжения,подсчитанные по формуле (5). Таким образом ,при определении нормальных напряжений в случае поперечного изгиба теория чистого изгиба вполне применима.
Нейтральная линия. Вопрос о положении нейтральной линии.
При изгибе отсутствует продольная сила, поэтому можно записать 
Подставим сюда формулу нормальных напряжений (3) и получим
Так как модуль продольной упругости материала балки не равняется нулю и изогнутая ось балки имеет конечный радиус кривизны, остается положить, что 
этот интеграл представляет собой статический момент площади поперечного сечения балки относительно нейтральной линии-оси х 
, и, поскольку он равен нулю, то нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.
Условие 
(отсутствие момента внутренних сил относительно силовой линии) даст
или с учетом (3) 
. По тем же соображениям (см. выше) 
. В подынтегральном выражении — центробежный момент инерции сечения относительно осей х и у равен нулю, значит, эти оси являются главными и центральными и составляют прямой угол. Следовательно, силовая и нейтральная линии пр прямом изгибе взаимно перпендикулярны.
Установив положение нейтральной линии, несложно построить эпюру нормальных напряжений по высоте сечения. Ее линейный характер определяется уравнением первой степени.
Характер эпюры σ для симметричных сечений относительно нейтральной линии, М<0
Источник
Сопротивление материалов
Напряжения при изгибе
Нормальные напряжения при чистом изгибе
Как было установлено ранее, в поперечных сечениях балки при чистом изгибе возникают только нормальные напряжения растяжения и сжатия. Вопрос о распределении этих напряжений по поперечному сечению решается путем рассмотрения деформаций волокон балки.
Рассмотрим участок балки, подверженный деформации чистого изгиба. Двумя поперечными сечениями АВ и СD выделим элемент балки бесконечно малой длины ds (рис 1). Радиус кривизны нейтрального слоя балки обозначим ρ.
Рассмотрим слой волокон mn, находящийся на расстоянии y от нейтрального слоя NN. Это волокно в результате деформации изгиба удлинилось на величину nn1. Ввиду малости расстояния ds заштрихованные треугольники будем считать прямолинейными; эти треугольники подобны (n1F || mE):
Δ OEF ~ Δ Fnn1.
Из подобия треугольников запишем равенство:
nn1 / ds = y / ρ.
Так как левая часть этого равенства есть относительное удлинение, т. е. nn1 / ds = ε, то y / ρ = ε.
Применив закон Гука при растяжении и сжатии σ = Еε, получим:
σ = Еy / ρ.
Из этой формулы видно, что нормальные напряжения при изгибе распределены по высоте сечения неравномерно: максимальные напряжения возникают в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси. По ширине сечения нормальные напряжения не меняются.
Распределение нормальных напряжений изображено на рис. 2.
Полученная формула для определения нормальных напряжений неудобна, так как в нее входит радиус кривизны нейтрального слоя.
Для вывода формулы, связывающей нормальные напряжения с изгибающим моментом, применим метод сечений и рассмотрим равновесие части балки, изображенной на рис. 3.
В плоскости поперечного сечения выделим бесконечно малую площадку dA, в пределах которой будем считать нормальные напряжения σ постоянными; тогда нормальная сила dN, действующая на площадку dA, будет равна:
dN = σdA.
Составим уравнения равновесия:
1. Σ Z = 0; ∫dN = 0, или: ∫σ dA = ∫Еy / ρ dA = Е / ρ ∫y dA = 0.
(ρ для данного сечения, а также модуль упругости Е – величины постоянные, поэтому вынесены за знак интеграла). Поскольку ρ и Е не равны нулю, значит, ∫y dA = 0.
Этот интеграл представляет собой статический момент площади сечения относительно оси x, т. е. нейтральной оси бруса (балки). Равенство нулю статического момента инерции означает, что при изгибе нейтральная ось проходит через центр тяжести площади поперечного сечения;
2. Σ Ми = 0; — m + ∫y dN = 0.
Так как при чистом изгибе изгибающий момент равен внешнему моменту Ми = m, то
Ми = ∫y dN = ∫y dA = ∫y Еy / ρ dA = Е / ρ ∫y2 dA,
откуда:
Ми = Е I / ρ,
где: I = ∫y2 dA – момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси; ЕI – жесткость сечения при изгибе.
Так как при чистом изгибе балки постоянного сечения Ми = const, то:
ρ = EI / Ми = const.
Следовательно, изогнутая ось такой балки представляет собой дугу окружности. Выражение радиуса кривизны подставим в формулу для определения нормальных напряжений; тогда:
σ = Еy / ρ = Ey / EI / Ми = Ми y / I.
Максимальное значение нормальные напряжения будут иметь у волокон, наиболее удаленных от нейтральной оси:
σmax = Ми ymax / I = Ми / I / ymax = Ми / W,
где W = I / ymax – момент сопротивления изгибу (или осевой момент сопротивления).
Момент сопротивления изгибу есть отношение осевого момента инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси к расстоянию от этой оси до наиболее удаленного волокна.
Единица момента сопротивления сечения изгибу [W] = м3.
Итак, наибольшие нормальные напряжения при чистом изгибе вычисляются по формуле
σmax = Ми / W.
Нетрудно заметить, что эта формула по своей структуре аналогична формулам для определения напряжений при растяжении, сжатии, сдвиге и кручении.
***
Касательные напряжения при изгибе
Очевидно, что при поперечном изгибе, вызванном приложением к балке поперечной силы, в сечениях балки должны возникнуть касательные напряжения.
Определением зависимости между внешними нагрузками, геометрическими и физическими параметрами балок и касательными напряжениями, возникающими в них, занимался русский мостостроитель Д. И. Журавский, который в 1855 году предложил следующую формулу:
τ = QS / (I d).
Эта формула называется формулой Журавского и читается так:
касательные напряжения в поперечном сечении балки равны произведению поперечной силы Q на статический момент S относительно центральной оси части сечения, лежащей выше рассматриваемого слоя волокон, деленному на момент инерции I всего сечения относительно нейтральной оси и на ширину b рассматриваемого слоя волокон.
По формуле Журавского можно вывести зависимости для определения касательных напряжений в балках, имеющих разную форму поперечного сечения (прямоугольную, круглую и т. п.).
Например, для балки круглого сечения формула Журавского в результате преобразований выглядит так:
τmax = 4Q / (3A) = 4τсред / 3,
где Q – поперечная сила, вызывающая изгиб, А – площадь сечения балки.
Большинство балок в конструкциях рассчитывается только по нормальным напряжениям, и только три вида балок проверяют по касательным напряжениям:
— деревянные балки, т. к. древесина плохо работает на скалывание;
— узкие балки (например, двутавровые), поскольку максимальные касательные напряжения обратно пропорциональны ширине нейтрального слоя;
— короткие балки, так как при относительно небольшом изгибающем моменте и нормальных напряжениях у таких балок могут возникать значительные поперечные силы и касательные напряжения.
Максимальное касательное напряжение в двутавровой балке определяется по формуле Журавского, при этом геометрические характеристики таких балок берутся из справочных таблиц .
***
Расчеты на прочность при изгибе
Условие на прочность при изгибе заключается в том, что максимальное нормальное напряжение в опасном сечении не должно превышать допускаемое.
Полагая, что гипотеза о не надавливании волокон справедлива не только при чистом, но и при поперечном изгибе, мы можем нормальные напряжения при поперечном изгибе определять по такой же формуле, что и при чистом изгибе, при этом расчетная формула выглядит так:
σmax = Миmax / W ≤ [σ]
и читается так: нормальное напряжение в опасном сечении, определенное по формуле σmax = Миmax / W ≤ [σ] не должно превышать допускаемое.
Допускаемое нормальное напряжение при изгибе выбирают таким же, как при растяжении и сжатии.
Максимальный изгибающий момент определяют по эпюре изгибающих моментов или расчетом.
Так как момент сопротивления изгибу W в расчетной формуле стоит в знаменателе, то чем больше W, тем меньшие напряжения возникают в сечении бруса.
Ниже приведены моменты сопротивления изгибу для наиболее часто встречающихся сечений:
1. Прямоугольное сечение размером b x h: Wпр = bh2 / 6.
2. Круглое сечение диаметром d: Wкруг = π d3 / 32 ≈ 0,1d3
3. Кольцо размером D x d: Wкольца = ≈ 0,1 (D4 – d4) / D; (момент сопротивления кольцевого сечения нельзя определять, как разность моментов сопротивления большого и малого кругов).
***
Материалы раздела «Изгиб»:
- Понятие деформации изгиба.
- Дифференциальные зависимости при изгибе. Теорема Журавского.
Деформации растяжения и сжатия
Источник