Нейтральная ось при внецентренном растяжении
Внецентренное растяжение (сжатие) вызывается силой, параллельной оси бруса, но не совпадающей с ней (рис. 10.6).
Рис. 10.6.
Внецентренное растяжение (сжатие) может быть сведено к осевому растяжению (сжатию) и косому изгибу, если перенести силу P в центр тяжести сечения. Внутренние силовые факторы в произвольном поперечном сечении бруса равны:
, | (10.13) |
где yp, zp — координаты точки приложения силы.
На основании принципа независимости действия сил напряжения в точках поперечного сечения при внецентренном растяжении (сжатии) определяются по формуле:
(10.14) |
или
, | (10.15) |
где — радиусы инерции сечения.
Выражение в скобках в уравнении (10.15) показывает во сколько раз напряжения при внецентренном растяжении (сжатии) больше напряжений центрального растяжения.
Уравнение нейтральной линии определяем из (10.15), приравнивая правую часть (10.15) нулю. После сокращения на P/F получим
. | (10.16) |
Таким образом, нейтральная линия при внецентренном растяжении (сжатии) не проходит через центр тяжести сечения. Нейтральная линия отсекает на осях координат отрезки
. | (10.17) |
Из формулы (10.17) видно, что точка приложения силы и нейтральная линия всегда расположены по разные стороны от центра тяжести сечения, причем положение нейтральной линии определяется координатами точки приложения силы (рис. 10.7).
При приближении точки приложения силы к центру тяжести сечения (a и b по абсолютной величине возрастают) нейтральная линия будет удаляться от центра. При этом в сечении увеличивается доля напряжений одного знака, так как уменьшаются напряжения от изгиба. При удалении точки приложения силы от центра тяжести сечения (a и b по абсолютной величине убывают) нейтральная линия будет приближаться к центру. При этом в сечении увеличивается доля напряжений разного знака, так как возрастают напряжения от изгиба. В пределе при a=b=0 нейтральная линия удаляется в бесконечность. В этом случае будет иметь место центральное растяжение (сжатие) бруса.
Всегда можно найти такое положение точки приложения силы, при котором нейтральная линия будет касаться контура сечения, нигде не пересекая его. В этом случае в сечении напряжения будут только одного знака. Зона вблизи центра тяжести сечения, приложение продольной нагрузки в которой вызывает появление во всех точках сечения напряжений только одного знака, называется ядром сечения. До тех, пока точка приложения силы находится внутри ядра, нейтральная линия не пересекает контур сечения и напряжения во всем сечении будут одного знака. Если точка приложения силы расположена вне ядра, то нейтральная линия пересекает контур сечения, и тогда в сечении будут действовать напряжения разного знака. Указанное обстоятельство необходимо учитывать при расчете элементов конструкций из хрупких материалов, плохо воспринимающих растягивающие нагрузки. В этом случае необходимо прикладывать внешние силы так, чтобы во всем сечении действовали только напряжения сжатия. Для этого точка приложения равнодействующей внешних сил должна находиться внутри ядра сечения.
Рис. 10.7.
Расчет на прочность при внецентренном растяжении (сжатии) производится так же, как и при косом изгибе, — по нормальному напряжению в опасной точке поперечного сечения. Опасной является точка сечения, наиболее удаленная от нейтральной линии. Однако, в тех случаях, когда в этой точке действует напряжение сжатия, а материал элемента конструкции хрупкий, опасной может быть точка, в которой действует наибольшее растягивающее напряжение. Эпюра напряжений строится на оси, перпендикулярной к нейтральной линии сечения и ограничена прямой линией. Условие прочности имеет следующий вид:
, | (10.18) |
где yA,zA — координаты опасной точки, а [σ] — допускаемое напряжение на растяжение и сжатие.
Источник
Расчет напряжений
При внецентренном растяжении (сжатии)
Внецентренным растяжением называется такой вид нагружения бруса, при котором внешние силы действуют вдоль продольной оси бруса, но не совпадают с ней (рис. 8.4). Определение напряжений производится с помощью принципа независимости действия сил. Внецентренное растяжение представляет сочетание осевого растяжения и косого (в частных случаях – плоского) изгиба. Формула для нормальных напряжений может быть получена как алгебраическая сумма нормальных напряжений, возникающих от каждого вида нагружения:
, (8.4)
где ; ;
yF, zF– координаты точки приложения силы F.
Для определения опасных точек сечения необходимо найти положение нейтральной линии (н.л.) как геометрического места точек, в которых напряжения равны нулю.
.
Уравнение н.л. может быть записано как уравнение прямой в отрезках:
,
где и – отрезки, отсекаемые н.л. на осях координат,
, – главные радиусы инерции сечения.
Нейтральная линия разделяет поперечное сечение на зоны с растягивающими и сжимающими напряжениями. Эпюра нормальных напряжений представлена на рис. 8.4.
Если сечение симметрично относительно главных осей, то условие прочности записывается для пластичных материалов, у которых [sc] = [sp] = [s], в виде
. (8.5)
Для хрупких материалов, у которых [sc]¹[sp], условие прочности следует записывать отдельно для опасной точки сечения в растянутой зоне:
и для опасной точки сечения в сжатой зоне:
,
где z1, y1 и z2, y2 – координаты наиболее удаленных от нейтральной линии точек сечения в растянутой 1 и сжатой 2зонах сечения (рис. 8.4).
Свойства нулевой линии
1. Нулевая линия делит все сечение на две зоны – растяжения и сжатия.
2. Нулевая линия прямая, так как координаты х и у в первой степени.
3. Нулевая линия не проходит через начало координат (рис. 8.4).
4. Если точка приложения силы лежит на главной центральной инерции сечения, то соответствующая ей нулевая линия перпендикулярна этой оси и проходит с другой стороны от начала координат (рис. 8.5).
5. Если точка приложения силы движется по лучу, выходящему из начала координат, то соответствующая ему нулевая линия движется за ним (рис. 8.6):
н.л
н.л
°
Рис. 8.5 Рис. 8.6
а) при движении точки приложения силы по лучу, исходящему из начала координат от нуля в бесконечность (yF ®∞, zF ®∞), ау ®0; аz ®0. Предельное состояние этого случая: нулевая линия пройдет через начало координат (изгиб);
б) при движении точки приложения силы (т. К) по лучу, исходящему из начала координат от бесконечности к нулю (yF ® 0 и zF ® 0), ау ®∞; аz ®∞. Предельное состояние этого случая: нулевая линия удаляется в бесконечность, а тело будет испытывать простое растяжение (сжатие).
6. Если точка приложения силы (т. К) движется по прямой, пересекающей координатные оси, то в этом случае нулевая линия будет вращаться вокруг некоторого центра, расположенного в противоположном от точки К квадранте.
8.2.3. Ядро сечения
Некоторые материалы (бетон, кирпичная кладка) могут воспринимать весьма незначительные растягивающие напряжения, а другие (например, грунт) не могут вовсе сопротивляться растяжению. Такие материалы используются для изготовления элементов конструкций, в которых не возникают растягивающие напряжения, и не применяются для изготовления элементов инструкций, испытывающих изгиб, кручение, центральное и внецентренное растяжения.
Из указанных материалов можно изготавливать только центрально сжатые элементы, в которых растягивающие напряжения не возникают, а также внецентренно сжатые элементы, если в них не образуются растягивающие напряжения. Это происходит в том случае, когда точка приложения сжимающей силы расположена внутри или на границе некоторой центральной области поперечного сечения, называемой ядром сечения.
Ядром сечения бруса называется его некоторая центральная область, обладающая тем свойством, что сила, приложенная в любой ее точке, вызывает во всех точках поперечного сечения бруса напряжения одного знака, т.е. нулевая линия не проходит через сечение бруса.
Если точка приложения сжимающей силы расположена за пределами ядра сечения, то в поперечном сечении возникают сжимающие и растягивающие напряжения. В этом случае нулевая линия пересекает поперечное сечение бруса.
Если сила приложена на границе ядра сечения, то нулевая линия касается контура сечения (в точке или по линии); в месте касания нормальные напряжения равны нулю.
При расчете внецентренно сжатых стержней, изготовляемых из материала, плохо воспринимающего растягивающие напряжения, важно знать форму и размеры ядра сечения. Это позволяет, не вычисляя напряжений, установить, возникают ли в поперечном сечении бруса растягивающие напряжения (рис. 8.7).
Из определения следует, что ядро сечения есть некоторая область, которая находится внутри самого сечения.
Для хрупких материалов сжимающую нагрузку следует прикладывать в ядре сечения, чтобы исключить в сечении зоны растяжения (рис. 8.7).
Для построения ядра сечения необходимо последовательно совмещать нулевую линию с контуром поперечного сечения так, чтобы нулевая линия не пе-ресекала сечение, и одновременно рассчитывать соответствующую ей точку
приложения сжимающей силы К с коор-
Рис. 8.7 динатами yF и zF по формулам:
; .
Полученные точки приложения силы с координатами yF, zF необходимо соединить отрезками прямых. Область, ограниченная полученной ломаной линией, и будет являться ядром сечения.
Последовательность построения ядра сечения
1. Определить положение центра тяжести поперечного сечения и главных центральных осей инерции у и z, а также значения квадратов радиусов инерции iy, iz .
2. Показать все возможные положения н.л., касающиеся контура сечения.
3. Для каждого положения н.л. определить отрезки ay и az, отсекаемые ею от главных центральных осей инерции у и z.
4. Для каждого положения н.л. установить координаты центра давления yF, и zF .
5. Полученные центры давлений соединить отрезками прямых, внутри которых будет расположено ядро сечения.
Кручение с изгибом
Вид нагружения, при котором брус подвергается одновременно действию скручивающих и изгибающих моментов, называется изгибом с кручением.
При расчете воспользуемся принципом независимости действия сил. Определим напряжения по отдельности при изгибе и кручении (рис. 8.8).
При изгибе в поперечном сечении возникают нормальные напряжения, достигающие максимального значения в крайних волокнах
.
При кручении в поперечном сечении возникают касательные напряжения, достигающие наибольшего значения в точках сечения у поверхности вала
.
Нормальные и касательные напряжения одновременно достигают наибольшего значения в точках С и В сечения вала (рис. 8.9). Рассмотрим напряженное состояние в точке С (рис. 8.10). Видно, что элементарный параллелепипед, выделенный вокруг точки С, находится при плоском напряженном состоянии.
Поэтому для проверки прочности применим одну из гипотез прочности.
Условие прочности по третьей гипотезе прочности (гипотезе наибольших касательных напряжений)
.
Учитывая, что , , получим условие прочности вала
. (8.6)
Если изгиб вала происходит в двух плоскостях, то условие прочности будет
.
Используя четвертую (энергетическую) гипотезу прочности
,
после подстановки s и t получим
. (8.7)
Вопросы для самопроверки
1. Какой изгиб называется косым?
2. Сочетанием каких видов изгиба является косой изгиб?
3. По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях балки при косом изгибе?
4. Как находится положение нейтральной оси при косом изгибе?
5. Как определяются опасные точки в сечении при косом изгибе?
6. Как определяются перемещения точек оси балки при косом изгибе?
7. Какой вид сложного сопротивления называется внецентренным растяжением (или сжатием)?
8. По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня при внецентренном растяжении и сжатии? Какой вид имеет эпюра этих напряжений?
9. Как определяется положение нейтральной оси при внецентренном растяжении и сжатии? Запишите соответствующие формулы.
10. Какие напряжения возникают в поперечном сечении бруса при изгибе с кручением?
11. Как находятся опасные сечения бруса круглого сечения при изгибе с кручением?
12. Какие точки круглого поперечного сечения являются опасными при изгибе с кручением?
13. Какое напряженное состояние возникает в этих точках?
Источник
2 | (8.9) | |||||
d = d | 2 | + d | ||||
y | x | |||||
Перемещения δy и δx | в главных плоскостях определяются рассмотренны- | |||||
ми выше методами определения перемещений. Ранее было показано, что для
случая балки, защемленной одним концом и нагруженной на свободном конце
сосредоточенной | силой F, прогиб конца консоли в | вертикальной и горизон- | |||||
тальной плоскости определяется следующим образом | |||||||
d y = | FCosa ×l | 3 | , | dx = | FSina ×l3 | (8.10) | |
3EI x | 3EI y | ||||||
Угол наклона вектора полного перемещения по отношению к оси y:
tgg = | dx | = | FSina ×l3 | ×3EI x | = tga | I x | (8.12) |
d y | 3EI y × FCosa ×l3 | I y | |||||
Из (8.12) следует, что при косом изгибе γ ≠ α и следовательно смеще-
ние центра сечения происходит не в плоскости действия изгибающего момента,
а в направлении нормали к нейтральной линии (см.8.8).
При косом изгибе прямого бруса нагрузками, расположенными в одной плоскости, упругая линия бруса будет плоской кривой. Однако плоскость изги-
ба не совпадает с плоскостью действия нагрузки. Если внешние силы и пары,
изгибающие брус, будут располагаться в разных плоскостях, то изогнутая ось бруса будет пространственной
Внецентренное растяжение (сжатие) вызывается силой, параллельной
оси бруса, но не совпадающей с ней (рисунок 8.5).
147
Рисунок 8.5 — Внецентренное растяжение стержня
Точка приложения силы называется центром давления, а расстояние от центра тяжести до точки приложения силы называется эксцентриситетом и обо-
значается «е».
8.2.1. Определение нормальных напряжений при внецентренном
растяжении (сжатии)
Пусть точка приложения внешней силы имеет координаты xF, yF (рису-
нок 8.5). При такой схеме нагружения внутренние силовые факторы в произ-
вольном поперечном сечении бруса равны:
N = F , | M x = F × yF , | M y= F ×xF , | (8.13) |
где yF, zF — координаты точки приложения силы.
Таким образом, если перенести силу P в центр тяжести сечения(рисунок
8.5.б), то внецентренное растяжение(сжатие) может быть сведено к осевому растяжению (сжатию) и чистому косому изгибу.
s (x, y) = | N | + | M x | y + | M y | x = | F | + | F × xF | x + | F × yF | y | (8.14) | |||||||||
A | Ix | I y | A | I y | I x | |||||||||||||||||
или | ||||||||||||||||||||||
F | æ | xF | yF | ö | ||||||||||||||||||
s (x, y) = | ç | + | y + | y | ÷ | , | (8.15) | |||||||||||||||
ç1 | ÷ | |||||||||||||||||||||
A | 2 | 2 | ||||||||||||||||||||
è | iy | ix | ø | |||||||||||||||||||
где ix = | , | iy = | — радиусы инерции сечения. | |||||||||||||||||||
Ix / A | I x / A | |||||||||||||||||||||
148
Выражение в скобках в уравнении(8.15) показывает во сколько раз на-
пряжения при внецентренном растяжении(сжатии) больше напряжений цен-
трального растяжения. Переменными в формуле (8.15) являются два последних слагаемых, отражающих влияние изгиба. Так как при изгибе максимальные на-
пряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, то для определения наиболее опасных точек при внецентренном растяжении или сжа-
тии необходимо определить положение нейтральной оси.
8.2.2Определение положения нейтральной линии при внецентренном растяжении (сжатии)
Обозначим коордиаты точек нейтральной оси xo, yo. Для определения по-
ложения нейтральной оси приравняем нулю выражение (8.15) и после сокраще-
ния на F/A получим уравнение нейтральной линии:
1 + | xF | x | + | yF | y = 0 | (8.16) |
iy2 | ix2 | |||||
o | o | |||||
Из уравнения (8.17) следует, что нейтральная линия при внецентренном растяжении (сжатии) не проходит через центр тяжести сечения. Нейтральная линия отсекает на осях координат отрезки xн , yн (рисунок 8.6). Чтобы найти от-
резок xн , отсекаемый на оси x, надо в уравнении (8.16) положить xo= xн, yo=0.
Тогда получим:
y | í | = — | ix2 | , | x = — | iy2 | (8.17) |
yF | í | xF | |||||
Из формулы (8.17) видно, что точка приложения силы и нейтральная ли-
ния всегда расположены по разные стороны от центра тяжести сечения, причем положение нейтральной линии определяется координатами точки приложения силы (рисунок 8.6).
Для определения наиболее опасных точек необходимо провести -каса тельные к контуру сечения параллельные нейтральной линии. Наиболее уда-
149
ленные точки касания А и В, расположенные в растянутой и сжатой зоне, яв-
ляются наиболее опасными (рисунок 8.6). Эпюра напряжений строится на оси,
перпендикулярной к нейтральной линии сечения и ограничена прямой линией.
Условие прочности имеет следующий вид:
s | A | = | F | + | F × xF | × x | A | + | F ×y F | × y | , | (8.18) |
A | I y | I x | A£[s ] | |||||||||
где yF, zF — координаты опасной точки, а [σ] — допускаемое напряжение на растяжение и сжатие.
Рисунок 8.6 — Определение положения нейтральной линии
В тех случаях, когда в наиболее удаленной от нейтральной линии точке действует напряжение сжатия, а материал элемента конструкции хрупкий,
опасной может быть точка, в которой действует наибольшее растягивающее напряжение.
8.2.3 Определение положения ядра сечения
При приближении точки приложения силы к центру тяжести сечения (xн и yн по абсолютной величине возрастают) нейтральная линия будет удаляться от центра. При этом в сечении увеличивается доля напряжений одного знака, так как уменьшаются напряжения от изгиба. В пределе при xF = yF=0 нейтральная линия удаляется в бесконечность. В этом случае будет иметь место центральное растяжение (сжатие) бруса.
150
Всегда можно найти такое положение точки приложения силы, при кото-
ром нейтральная линия будет касаться контура сечения, нигде не пересекая его.
В этом случае в сечении напряжения будут только одного знака. Зона вблизи центра тяжести сечения, приложение продольной нагрузки в которой вызывает появление во всех точках сечения напряжений только одного знака, называется
ядром сечения. До тех, пока точка приложения силы находится внутри ядра,
нейтральная линия не пересекает контур сечения, и напряжения во всем сече-
нии будут одного знака. Если точка приложения силы расположена вне ядра, то нейтральная линия пересекает контур сечения, и тогда в сечении будут дейст-
вовать напряжения разного знака. Указанное обстоятельство необходимо учи-
тывать при расчете элементов конструкций из хрупких материалов, плохо вос-
принимающих растягивающие нагрузки. В этом случае необходимо приклады-
вать внешние силы так, чтобы во всем сечении действовали только напряжения сжатия. Для этого точка приложения равнодействующей внешних сил должна находиться внутри ядра сечения.
Для построения ядра сечения необходимо задаться различными положе-
ниями нейтральной оси и вычислить соответствующие точки приложения силы
F по формулам (8.17).
iy2 | i | 2 | |||
xF | = | yF | = | x | (8.17) |
xí | yí | ||||
Вычисленные координаты xF, yF определяют точки, лежащие на границе ядра сечения (рисунок 8.7).
Рис. 8.7 — Определение положения ядра сечения для прямоугольного сечения
151
Построим ядро сечения для прямоугольного сечения (рисунок 8.8) со сто-
ронами b и h. Совместим вначале нейтральную линию с одной из сторон пря-
моугольника (положение I-I). При этом координаты нейтральной линии равны
xí = — b ; yí = ¥ , а учитывая, что
2
(8.18)
Из формулы (8.17) получим для точки 1′
Совместим теперь нейтральную линию с другой стороной (положение II-
II). Координаты нейральной линии в этом положении равны x = ¥; | y | í | = — | h | . |
í | 2 | ||||
Тогда координаты точки 2′ ядра сечения | |||||
Аналогично определяем координаты точек 3′ и 4′.
Так как при переходе нейтральной линии с одной стороны на другую она поворачивается вокруг угловой точки сечения, то точка приложения силы пе-
ремещается по прямой, образуя контур ядра. Таким образом, ядро сечения пря-
моугольника представляет собой ромб с диагоналями, равными одной трети со-
ответствующей стороны.
Построим ядро для круглого сечения (рисунок 8.8).
Рисунок 8.8 — Ядро сечения для круглого сечения
В круге все центральные оси являются главными, поэтому при касании нейтральной линии I-I в любой точке окружности точка I’ ядра сечения будет
152
лежать на том же диаметре с противоположной стороны относительно центра
тяжести. Положение нейтральной линии определяется координатами: xí = R , yí = ¥ .
Тогда координаты точки 1′ ядра
Таким образом, ядро сечения для круглого сечения представляет собой круг с радиусом R/4 или d/8.
Пример
Стержень нагружен внецентренно приложенной силой Р=400кН (прису-
нок 8.9). Определить напряжения в точках А, В, С и D. Размеры сечения приве-
дены на рисунке. Определить положение нейтральной оси.
Напряжения при внецентренном растяжении-сжатии определяются по формуле (8.15)
F | æ | xF | yF | ö | ||
s (x, y) = | ç | + | y + | y | ÷ | . |
1 | ÷ | |||||
2 | 2 | |||||
A | ç | |||||
è | iy | ix | ø |
Рисунок 8.9 – Пример внецентренного приложения нагрузки
1. Определим моменты инерции поперечного сечения
153
Источник