Напряженно деформированное состояние при растяжении сжатии

Морозовой Анастасии Владимировны

Рассмотрим более детально особенности напряженного состояния, возникающего в однородном растянутом стержне. Определим сначала напряжения в некоторой наклонной площадке, составля­ющей угол α с плоскостью нормального сечения (рис. 1). Полное напряжение p на этой площадке, согласно условию однородности напряженного состояния для всех точек площадки, будет одним и тем же. Равнодействующая же внутренних сил в сечении должна
быть направлена по оси стержня и равна величине растягивающей силы σF , т. е.

pFα = σF ,

где Fα—площадь косого сечения:

Fα = F ∕ cosα

Таким образом, полное напряжение на наклонной площадке равно

р = σ cos α.

Раскладывая это напряжение по нормали и по касательной к наклонной площадке (рис. 1, в), находим

σα= р cosα, τα = р sinα,

или

σα = σ соs2α,                                                         (1.1)

τα = 1∕2σ sin2α.                                                 (1.2)

Как видим, для одной и той же точки растянутого стержня величина возникающих в сечении напряжений оказывается различ­ной в зависимости от ориентации секущей площадки. Поэтому, в частности, неточным было бы утверждение, что при растяжении возникают только нормальные напряжения. Это верно только для площадок, нормальных к оси стержня.

Рис. 1

Если положить α = 0, то из выражений (1.1) и (1.2) мы получим напряжения в поперечном сечении стержня, т. е.

σα = σ, τα = 0.

При α = 90°, т. е. в про­дольных сечениях, σα = τα = 0. Это значит, что про­дольные слои растянутого стержня не имеют друг с другом силового взаимодействия по боковым поверхностям. В этом смысле растяжение стержня можно уподобить растяжению пучка не связанных друг с другом парал­лельных нитей.

Касательное напряжение τα, обращаясь в нуль в продольных и поперечных сечениях, имеет наибольшее значение на площадках, наклоненных под углом 45° к оси растянутого стержня:

τmax=σ/2

Если из растянутой полосы мы выделим прямоугольник (рис.2, а), то на его гранях АВ и CD следует приложить напряжения σαи τα, определяемые выражениями (1.1) и (1.2). На рис. 33, б эти напря­жения отмечены сверху штрихом. На гранях ВС и AD напряжения определяются из тех же выражений, в которых только угол α заменяется углом α+π/2. Эти напряжения отмечены двумя штри­хами. Таким образом, то напряженное состояние, которое показано на рис. 2, б представляет собой обыкновенное растяжение, но изображенное в непривычном для нас ракурсе.

Существенно отметить, что переход от произвольной площадки (α) к площадке (α+90°) не сказывается на абсолютной величине касательного напряжения τα. Действительно,

│1/2σ sin2α│ = │1/2σ sin2(α+90°)│ .

Рис. 2

Следовательно, на двух взаимно перпендикулярных площадках (если отвлечься пока от знаков) касательные напряжения должны быть равными. Это условие яв­ляется общей особенностью лю­бого напряженного состояния и носит название закона парности касательных напряжений.

Этому закону можно дать на­глядное толкование. Если рас­смотреть произвольно взятый элемент ABCD (рис. 2, а), то легко заметить, что, независимо от величин нормальных напря­жений σ‘ и σ«, касательные на­пряжения τ‘ и τ» должны быть такой величины и иметь такое направление, чтобы моменты их пар взаимно уравновешивались .(рис. 2, б). Для произвольно взятого элемента, имеющего тол­щину h, очевидно, что

τ‘ ABhAD = τ» ADhAB .

Таким образом,

τ′=τ″.

При этом, как видно из рис. 2, б, векторы касательных напряже­ний в двух взаимно перпендикулярных площадках направлены либо оба к общему ребру (реб­ра А и С), либо от общего ребра (В и D ).

Рис. 3

Теперь обратимся к анализу деформированного состояния рас­тянутого стержня.

Наблюдения показывают, что удлинение стержня в осевом на­правлении сопровождается уменьшением его поперечных размеров (рис. 3). Таким образом, при растяжении возникает не только  продольная, но и поперечная деформация стержня.

Наблюдения показывают, что удлинение стержня в осевом направлении сопровождается уменьшением его поперечных размеров (рис. 3). Таким образом, при растяжении возникает не только продольная, но и поперечная деформация стержня,

εпрод = ∆ℓ/ℓ, εпопер = ∆а/а.

Экспериментально установлено, что в пределах применимости закона Гука поперечная деформация пропорциональна продоль­ной,

                    εпопер = μ εпрод                    (1.12)

где μ- безразмерный коэффициент пропорциональности, называе­мый коэффициентом Пуассона. Величина μхарактеризует свойства материала и определяется экспериментально. Для всех металлов числовые значения μлежат в пределах 0,25÷0,35. Для изотропного материала ве­личина μ вообще не может превышать 0,5.

Рис. 4

Вернемся к рис. 2, а. Полоса удлиняется в продольном на­правлении и сужается в попе­речном. Стороны прямоугольни­ка ABCD , начерченного на по­верхности полосы, изменят свою длину, а сам прямоугольник перекосится и превратится в па­раллелограмм. Углы А и С уменьшатся, а В и D — увеличатся. Это изменение прямого угла для заданной ориентации сторон, как нам уже известно, называется угловой деформацией или углом сдвига. Чтобы найти его, мы определим сначала углы, на которые повер­нутся отрезки АВ и AD . Разность этих углов и даст нам искомый угол сдвига.

Начнем с отрезка АВ (рис. 4). Построим на нем, как на диаго­нали, вспомогательный прямоугольник AKBL , стороны которого KB и AL ориентированы по продольной оси стержня. Вследствие продольного удлинения точка В переместится вправо и отрезок АВ повернется на угол

В результате поперечного сужения отрезок А В получит дополни­тельный угол поворота

Сумма этих углов дает нам искомый угол поворота отрезка АВ:

или

Изменяя угол а на 90°, найдем угол поворота отрезка AD (рис. 2, а):

Угловая деформация (угол сдвига) определяется разностью углов поворота отрезков, и, следовательно,

Сопоставляя выражение γαс выражением (1.2), выведенным для напряжения τα, замечаем, что угол сдвига, независимо от ориентации осей, пропорционален касательному напряжению, возникающему в тех же плоскостях, т. е.

Это соотношение в случае изотропного материала является еди­ным для всех типов напряженных состояний и носит название закона Гука для сдвига. Опуская индекс α, напишем последнее выражение в виде

где величина G называется модулем сдвига или модулем упругости второго рода:

Размерность модуля G такая же, как и модуля Е, т. е. кГ/см2.

Рассмотрим более подробно особенности напряженного состоя­ния, возникающего в однородном растянутом стержне. Определим напряжения, возникающие на некоторой наклонной площадке, со­ставляющей угол с плоскостью нормального сечения (рис. 2.10, а).

Из условия , записанного для отсеченной части стержня (рис. 2.10, б), получим:

, (2.19)

где A — площадь поперечного сечения стержня, — пло­щадь наклонного сечения. Из (2.19) легко установить:

. (2.20)

Раскладывая напряжение р по нормали и касательной к на­клонной площадке (рис. 2.10, в), с учетом (2.20) получим:

; . (2.21)

Рис. 2.10

Полученные выражения показывают, что для одной и той же точки тела величины напряжений, возникающих в сечениях, про­ходящих через эту точку, зависят от ориентации этой площадки, т.е. от угла . При из (2.21) следует, что , . При , т.е. на продольных площадках, . Это означает, что продольные слои растянутого стержня не взаимодействуют друг с другом. Касательные напряжения принимают наибольшие зна­чения при , и их величина составляет . Важно отме­тить, что . Следовательно, в любой точке тела на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряже­ния равны между собой по абсолютной величине. Это условие является общей закономерностью любого напряженного состояния и носит назва­ние закона парности касательных напряжений.

Теперь перейдем к анализу деформаций в растянутом стержне. Наблюдения показывают, что его удлинение в продольном направ­лении сопровождается пропорциональным уменьшением попереч­ных размеров стержня (рис. 2.11).

Если обозначить:

; ; ,

то, как показывают эксперименты, = const для данного материала и является безразмерным коэффициентом Пуассона. Вели­чина является важной характеристикой материала и определяется экспериментально. Для реальных материалов принимает значе­ния 0,1…0,45.

Рис. 2.11

При растяжении стержня возникают не только линейные, но и угловые деформации.

Рассмотрим прямой угол АВС (рис. 2.12, а), образованный отрез­ками АВ и АС, в недеформированном состоянии.

Рис. 2.12

При растяжении стержня точки А, В и С займут положение А¢, B¢, C¢ соответственно. Величина

называется угловой деформацией или угловым сдвигом в точке А.

Совместим точки А и А¢ и рассмотрим взаимное расположение отрезков АВ и А¢B¢(рис. 2.12, б). На этом рисунке отметим вспомо­гательные точки K и L и прямую n, перпендикулярную отрезку А¢B¢. Из рис. 2.12, б имеем:

; ,

откуда с учетом получим:

. (2.22)

Для определения спроектируем ломаную на ось n

,

откуда, учитывая ма­лость угла , т.е. , , получим:

. (2.23)

В результате совместного рассмотрения (2.22) и (2.23) получим:

.

Откуда .

Следовательно, . (2.24)

Сопоставляя выражение с выражением из (2.21) окон­чательно получим закон Гука для сдвига:

(2.25)

где величина называется модулем сдвига или модулем упругости материала второго рода.

Расчеты на прочность и жесткость при растяжении (сжатии)

Основной задачей расчета конструкции является обеспечение ее безопасной эксплуатации. Важнейшим условием, обеспечивающим безопасную эксплуатацию конструкции, является условие прочности. Существуют различные методы обеспечения прочности конструкций. Мы чаще всего будем пользоваться одним из этих методов – расчетом по допускаемым напряжениям. Согласно этому методу для конструкций, работающих на растяжение-сжатие, условие прочности, составленное для опасного сечения, можно записать в таком виде:

(2.26)

где – максимальное напряжение в конструкции; – характеристика материала, называемая допускаемым напряжением.

Допускаемое напряжение находится по формуле

. (2.27)

где – предельное напряжение, при достижении которого в стержне наступает предельное состояние материала: появляются пластические деформации, если материал стержня – пластичный, или происходит разрушение, если стержень выполнен из хрупкого материала; n – нормируемый коэффициент запаса прочности.

Кроме формулы (2.26), возможен второй вариант условия прочности

, (2.28)

где (2.29)

называется действительным коэффициентом запаса прочности, показывающим во сколько раз надо увеличить максимальное напряжение в стержне, чтобы материал стержня оказался в опасном (предельном) состоянии.

Условие прочности в зависимости от цели поставленной задачи позволяет выполнять расчеты на прочность двух видов: проектный и проверочный. Для спроектированного стержня можно также определять допускаемую нагрузку.

Проектный расчет выполняют с целью определения размеров поперечных сечений элемента конструкции при известных рабочих нагрузках и материале (допускаемых напряжений). Площадь поперечного сечения определяют из выражения

. (2.30)

Форма сечения стержня не влияет на его прочность при растяжении (сжатии). Форму сечения стержня необходимо знать только для определения размеров сечения при известном значении площади.

Зная площадь сечения и его форму, находят размеры сечения.

Проверочный расчет выполняют для спроектированной конструкции с целью проверки ее прочности. При проверочном расчете должны быть известны площадь опасного сечения, нагрузка и материал (допускаемое напряжение). Проверочный расчет выполняют по формуле (2.26).

Определение допускаемой нагрузки для спроектированного элемента конструкции, размеры поперечного сечения которого и материал (допускаемые напряжения) известны. Условие прочности в этом случае записывают в виде

. (2.31)

Зная значение , определяют допускаемую нагрузку .

Так как допускаемые напряжения не имеют точного значения, а выбираются приближенно, то при проверочном расчете максимальные рабочие напряжения могут превышать допускаемые на 5%. По этой же причине можно округлять полученные в расчетах значения площади опасного поперечного сечения или допускаемой нагрузки так, чтобы максимальные напряжения отличались от допускаемых не более чем на 5%. По этой же причине можно округлять полученные в расчетах значения площади опасного поперечного сечения или допускаемой нагрузки та, чтобы максимальные напряжения отличались от допускаемых не более чем на 5%.

При проектировании элементов конструкций стремятся сделать их во всех сечениях равнопрочными.

Рассмотренные три вида расчетов на прочность можно выполнять не только при растяжении или сжатии, а при любом виде деформации (сдвиге, кручении, изгибе).

При проектировании строительных конструкций расчет на прочность стальных элементов, подверженных центральному растяжению или сжатию, следует выполнять по формуле

(2.32)

где – коэффициент условий работы, принимаемый по СНИП (см. табл.2.1) или другим нормам.

Примечание: В случаях, не оговоренных в настоящих нормах, в формулах следует

принимать .

Для хрупких строительных материалов условия прочности принимают вид:

при растяжении: , ;

при сжатии: , (2.33)

где и – допускаемые напряжения при растяжении и сжатии; nt и nc – нормативные коэффициенты запаса прочности по отношению к пределу прочности (nt, nc>1).

Для центрально сжатых бетонных элементов формула (2.33) записывается в виде:

(2.34)

где – коэффициент, принимаемый для бетона тяжелого, мелкозернистого и легкого равным 1,00; для ячеистого автоклавного – 0,85; для ячеистого неавтоклавного – 0,75.

В некоторых случаях работоспособность элемента конструкции определяется не только его прочностью, но и жесткостью, т.е. способностью элемента воспринимать нагрузки без недопустимых упругих деформаций. При расчетах на жесткость определяют максимальные перемещения сечений и сопоставляют их с допускаемыми перемещениями.

Условие жесткости, ограничивающее изменение длины элемента, имеет сле­дующий общий вид:

,

где — изменение размеров детали;

— допускаемая величина этого изме­нения.

Учитывая, что при растяжении (сжатии) абсолютное удлинение в общем виде определяется как алгебраическая сумма величин по участкам

, (2.35)

условие жесткости при растяжении (сжатии) запишем следующим образом:

. (2.36)

Так как перемещение, согласно закону Гука, зависит от нагрузки и размеров поперечного сечения, условие жесткости позволяет решать те же три вида задач, что и условие прочности.

Дата добавления: 2015-01-05; просмотров: 21; Нарушение авторских прав