Напряжение при внецентренном растяжении
Расчет напряжений
При внецентренном растяжении (сжатии)
Внецентренным растяжением называется такой вид нагружения бруса, при котором внешние силы действуют вдоль продольной оси бруса, но не совпадают с ней (рис. 8.4). Определение напряжений производится с помощью принципа независимости действия сил. Внецентренное растяжение представляет сочетание осевого растяжения и косого (в частных случаях – плоского) изгиба. Формула для нормальных напряжений может быть получена как алгебраическая сумма нормальных напряжений, возникающих от каждого вида нагружения:
, (8.4)
где ; ;
yF, zF– координаты точки приложения силы F.
Для определения опасных точек сечения необходимо найти положение нейтральной линии (н.л.) как геометрического места точек, в которых напряжения равны нулю.
.
Уравнение н.л. может быть записано как уравнение прямой в отрезках:
,
где и – отрезки, отсекаемые н.л. на осях координат,
, – главные радиусы инерции сечения.
Нейтральная линия разделяет поперечное сечение на зоны с растягивающими и сжимающими напряжениями. Эпюра нормальных напряжений представлена на рис. 8.4.
Если сечение симметрично относительно главных осей, то условие прочности записывается для пластичных материалов, у которых [sc] = [sp] = [s], в виде
. (8.5)
Для хрупких материалов, у которых [sc]¹[sp], условие прочности следует записывать отдельно для опасной точки сечения в растянутой зоне:
и для опасной точки сечения в сжатой зоне:
,
где z1, y1 и z2, y2 – координаты наиболее удаленных от нейтральной линии точек сечения в растянутой 1 и сжатой 2зонах сечения (рис. 8.4).
Свойства нулевой линии
1. Нулевая линия делит все сечение на две зоны – растяжения и сжатия.
2. Нулевая линия прямая, так как координаты х и у в первой степени.
3. Нулевая линия не проходит через начало координат (рис. 8.4).
4. Если точка приложения силы лежит на главной центральной инерции сечения, то соответствующая ей нулевая линия перпендикулярна этой оси и проходит с другой стороны от начала координат (рис. 8.5).
5. Если точка приложения силы движется по лучу, выходящему из начала координат, то соответствующая ему нулевая линия движется за ним (рис. 8.6):
н.л
н.л
°
Рис. 8.5 Рис. 8.6
а) при движении точки приложения силы по лучу, исходящему из начала координат от нуля в бесконечность (yF ®∞, zF ®∞), ау ®0; аz ®0. Предельное состояние этого случая: нулевая линия пройдет через начало координат (изгиб);
б) при движении точки приложения силы (т. К) по лучу, исходящему из начала координат от бесконечности к нулю (yF ® 0 и zF ® 0), ау ®∞; аz ®∞. Предельное состояние этого случая: нулевая линия удаляется в бесконечность, а тело будет испытывать простое растяжение (сжатие).
6. Если точка приложения силы (т. К) движется по прямой, пересекающей координатные оси, то в этом случае нулевая линия будет вращаться вокруг некоторого центра, расположенного в противоположном от точки К квадранте.
8.2.3. Ядро сечения
Некоторые материалы (бетон, кирпичная кладка) могут воспринимать весьма незначительные растягивающие напряжения, а другие (например, грунт) не могут вовсе сопротивляться растяжению. Такие материалы используются для изготовления элементов конструкций, в которых не возникают растягивающие напряжения, и не применяются для изготовления элементов инструкций, испытывающих изгиб, кручение, центральное и внецентренное растяжения.
Из указанных материалов можно изготавливать только центрально сжатые элементы, в которых растягивающие напряжения не возникают, а также внецентренно сжатые элементы, если в них не образуются растягивающие напряжения. Это происходит в том случае, когда точка приложения сжимающей силы расположена внутри или на границе некоторой центральной области поперечного сечения, называемой ядром сечения.
Ядром сечения бруса называется его некоторая центральная область, обладающая тем свойством, что сила, приложенная в любой ее точке, вызывает во всех точках поперечного сечения бруса напряжения одного знака, т.е. нулевая линия не проходит через сечение бруса.
Если точка приложения сжимающей силы расположена за пределами ядра сечения, то в поперечном сечении возникают сжимающие и растягивающие напряжения. В этом случае нулевая линия пересекает поперечное сечение бруса.
Если сила приложена на границе ядра сечения, то нулевая линия касается контура сечения (в точке или по линии); в месте касания нормальные напряжения равны нулю.
При расчете внецентренно сжатых стержней, изготовляемых из материала, плохо воспринимающего растягивающие напряжения, важно знать форму и размеры ядра сечения. Это позволяет, не вычисляя напряжений, установить, возникают ли в поперечном сечении бруса растягивающие напряжения (рис. 8.7).
Из определения следует, что ядро сечения есть некоторая область, которая находится внутри самого сечения.
Для хрупких материалов сжимающую нагрузку следует прикладывать в ядре сечения, чтобы исключить в сечении зоны растяжения (рис. 8.7).
Для построения ядра сечения необходимо последовательно совмещать нулевую линию с контуром поперечного сечения так, чтобы нулевая линия не пе-ресекала сечение, и одновременно рассчитывать соответствующую ей точку
приложения сжимающей силы К с коор-
Рис. 8.7 динатами yF и zF по формулам:
; .
Полученные точки приложения силы с координатами yF, zF необходимо соединить отрезками прямых. Область, ограниченная полученной ломаной линией, и будет являться ядром сечения.
Последовательность построения ядра сечения
1. Определить положение центра тяжести поперечного сечения и главных центральных осей инерции у и z, а также значения квадратов радиусов инерции iy, iz .
2. Показать все возможные положения н.л., касающиеся контура сечения.
3. Для каждого положения н.л. определить отрезки ay и az, отсекаемые ею от главных центральных осей инерции у и z.
4. Для каждого положения н.л. установить координаты центра давления yF, и zF .
5. Полученные центры давлений соединить отрезками прямых, внутри которых будет расположено ядро сечения.
Кручение с изгибом
Вид нагружения, при котором брус подвергается одновременно действию скручивающих и изгибающих моментов, называется изгибом с кручением.
При расчете воспользуемся принципом независимости действия сил. Определим напряжения по отдельности при изгибе и кручении (рис. 8.8).
При изгибе в поперечном сечении возникают нормальные напряжения, достигающие максимального значения в крайних волокнах
.
При кручении в поперечном сечении возникают касательные напряжения, достигающие наибольшего значения в точках сечения у поверхности вала
.
Нормальные и касательные напряжения одновременно достигают наибольшего значения в точках С и В сечения вала (рис. 8.9). Рассмотрим напряженное состояние в точке С (рис. 8.10). Видно, что элементарный параллелепипед, выделенный вокруг точки С, находится при плоском напряженном состоянии.
Поэтому для проверки прочности применим одну из гипотез прочности.
Условие прочности по третьей гипотезе прочности (гипотезе наибольших касательных напряжений)
.
Учитывая, что , , получим условие прочности вала
. (8.6)
Если изгиб вала происходит в двух плоскостях, то условие прочности будет
.
Используя четвертую (энергетическую) гипотезу прочности
,
после подстановки s и t получим
. (8.7)
Вопросы для самопроверки
1. Какой изгиб называется косым?
2. Сочетанием каких видов изгиба является косой изгиб?
3. По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях балки при косом изгибе?
4. Как находится положение нейтральной оси при косом изгибе?
5. Как определяются опасные точки в сечении при косом изгибе?
6. Как определяются перемещения точек оси балки при косом изгибе?
7. Какой вид сложного сопротивления называется внецентренным растяжением (или сжатием)?
8. По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня при внецентренном растяжении и сжатии? Какой вид имеет эпюра этих напряжений?
9. Как определяется положение нейтральной оси при внецентренном растяжении и сжатии? Запишите соответствующие формулы.
10. Какие напряжения возникают в поперечном сечении бруса при изгибе с кручением?
11. Как находятся опасные сечения бруса круглого сечения при изгибе с кручением?
12. Какие точки круглого поперечного сечения являются опасными при изгибе с кручением?
13. Какое напряженное состояние возникает в этих точках?
Источник
Из сказанного следует, что при внецентренном растяжении и сжатии нейтральная линия может как пересекать сечение, так и находиться за его пределами. В первом случае в сечении возникают и растягивающие, и сжимающие напряжения. Во втором случае напряжения во всех точках сечения будут одного знака.
[c.158]
Формула (9.9) служит для определения нормальных напряжений в любой точке поперечного сечения при внецентренном растяжении и сжатии.
[c.367]
При внецентренном растяжении и сжатии нормальные напряжения в каждой точке поперечного сечения бруса, как и при изгибе, прямо пропорциональны расстоянию от этой точки до нейтральной оси. Наибольшие напряжения возникают в точках поперечного сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси.
[c.370]
Чему равно нормальное напряжение в центре тяжести поперечного сечения при внецентренном растяжении и сжатии
[c.405]
По каким формулам определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса при внецентренном растяжении и сжатии Какой вид имеет эпюра этих напряжений Выведите соответствующие формулы.
[c.468]
Изгиб и растяжение. Нормальное напряжение при внецентренном растяжении или сжатии
[c.278]
Сложив (15.7) и (15.9), получим полное нормальное напряжение при внецентренном растяжении или сжатии
[c.280]
К первой группе относятся те случаи, при которых в опасных точках бруса напряженное состояние либо является одноосным, либо может приближенно рассматриваться как одноосное в связи с незначительным влиянием на прочность бруса касательных напряжений, возникающих в его поперечных сечениях. Поэтому в таких случаях при расчетах на прочность теории прочности не используются. К первой группе относятся косой изгиб, а также внецентренное растяжение и сжатие.
[c.414]
Нулевой (или нейтральной) линией в плоскости сечения называем такую линию при внецентренном растяжении или сжатии, для всех точек которой результирующее нормальное напряжение равно нулю. Если представить себе так называемую поверхность напряжений для сечения, то нулевая линия будет получена как линия пересечения поверхности напряжений и плоскости поперечного сечения. Положим, что сечение имеет главные центральные оси ОУ и OZ (рис. 190). Перпендикулярно к плоскости сечения в точке С (силовая точка) приложена продольная растягивающая сила УУ эксцентриситет ее действия е = ОС. При этом полу-чаем моменты My=Nz .
[c.281]
Затронутый вопрос имеет значение, например, для расчета сжатых кирпичных колонн. Кирпичная кладка плохо сопротивляется растяжению. Поэтому желательно, чтобы напряжения при внецентренном сжатии были для всего сечения сжимающими и чтобы нейтральная линия проходила за пределами сечения. Для этого нужно внешнюю силу прикладывать достаточно близко к центру тяжести.
[c.158]
Ядро сечения. Пусть при некотором положении точки приложения силы Р нейтральная линия касается контура и нигде его не пересекает. Очевидно, что при таком положении нейтральной линии нормальное напряжение во всех точках поперечного сечения имеет один знак (при внецентренном растяжении — плюс, так как все сечение растянуто, а при внецентренном сжатии — минус —все сечение сжато). Исключение составляет точка касания (или точки касания) нейтральной линии к контуру, в которой нормальное напряжение равно нулю.
[c.305]
Вопросы прочности при внецентренном растяжении решаются на основании формул (34)—(37). Если материал бруса работает на растяжение и сжатие неодинаково, то необходимо проверять точки, испытывающие наибольшее напряжение растяжения и наибольшее напряжение сжатия.
[c.337]
Весь этот раздел представляется мне весьма темным, как и вообще большая часть произведений этого выдающегося автора в длинном ряду его разнообразных достижений в науках и языках не оказалось, к несчастью, места для способности выражаться ясно обыкновенным языком математиков. Формулы этого раздела были, вероятно, в своей значительной части новыми для времени своего появления, но они имели мало шансов обратить на себя внимание по причине той непривлекательной формы, в которой они были представлены . Нужно согласиться с тем, что эта глава в книге Юнга читается с трудом. Однако при всем том для ряда важных задач в ней даны правильные и новые для его современников решения. Мы находим, например, здесь впервые решение задачи о внецентренном растяжении или сжатии прямоугольного бруса. Полагая, что распределение напряжений в нем может быть представлено двумя треугольниками, как показано на рис. 54, в, Юнг определяет положение нейтральной линии из условия, что равнодействующая этих напряжений должна проходить через точку О приложения внешней силы (рис. 54, б). Это дает
[c.117]
Если стержень работает на внецентренное растяжение (сжатие), то испытываемый им изгиб является чистым изгибом, и поэтому касательные напряжения в поперечных сечениях не возникают. Ввиду этого излагаемая теория не нуждается в поправках ни в отношении вычисления напряжений, ни в отношении определения деформаций. Но если стержень растянут (сжат) и одновременно изогнут поперечной нагрузкой, то в поперечных сечениях возникают касательные напряжения, а потому приходится учитывать высказанные ранее соображения о центре изгиба ( 65). Стержень работает на изгиб и растяжение только в том случае, если плоскость поперечной нагрузки проходит через центр изгиба. В противном случае он испытывает также кручение. При внецентренном растяжении (сжатии), как следует из сказанного, кручение не может возникнуть, так как касательные напряжения отсутствуют.
[c.285]
Внецентренное сжатие стержней большой жесткости в пластической области. Так как при внецентренном сжатии, так же как и при чистом изгибе, нормальные напряжения, а следовательно, и соответствующие им деформации изменяются пропорционально расстояниям волокон от нейтральной плоскости, то пластические деформации впервые появляются в волокнах, наиболее удаленных от этой плоскости, в большинстве случаев — в сжатых. По мере роста деформаций пластическое состояние охватывает все большее и большее число волокон, так что в се-чении образуются целые зоны пластичности, охватывающие все большую и большую часть сечения. Граница между упругой и пластической зонами постепенно приближается к нейтральной оси, которая в свою очередь меняет свое положение. В зависимости от поведения материала при пластической деформации окончание этого процесса может иметь различный характер. Мы рассмотрим только случай, когда материал деформируется пластически без упрочнения и имеет одинаковые пределы текучести при растяжении и сжатии. В этом случае пластическая деформация, начавшаяся в сжатой зоне сечения, при определенной величине нагрузки распространяется и на растянутую зону, охватывая постепенно все большую и большую ее часть. Таким образом, за предельное состояние можно принять такое, при котором та и другая зоны сечения оказываются в со- стоянии пластической деформации, т. е. напряжения во всех точках равны соответствующему пределу текучести. Тогда на основании (7.1) получим
[c.257]
При сложном сопротивлении или сложных видах нагружения в отличие от простых случаев возникает не один, а два или более внутренних силовых фактора, которые могут быть как моментом, так и силой. Все случаи сложного сопротивления решаются исходя из принципа независимости действия нагрузок, т. е. напряжения определяются суммированием напряжений от действия каждого силового фактора. Сложное сопротивление наблюдается при косом изгибе, внецентренном растяжении или сжатии и при различном сочетании простых видов нагружения.
[c.116]
В случае внецентренного растяжения знаки всех составляющих нормального напряжения в точке В изменятся на обратные. Поэтому для того, чтобы по формуле (27.4) получать правильный знак напряжений как при внецентренном сжатии, так и при внецентренном растяжении, нужно, кроме знаков координат у г, учитывать также и знак силы Я при растяжении перед выражением
[c.501]
При изучении деформаций растяжения, сжатия и сдвига, а также при исследовании напряженного состояния тела нам достаточно было знания простейшей геометрической характеристики плоского сечения — площади. При изучении других типов деформаций стержней (кручения, изгиба, внецентренного растяжения или сжатия и т. д.) придется встречаться с другими, более сложными геометрическими характеристиками плоских сечений, а именно, со статическими моментами и моментами инерции.
[c.103]
Поскольку при внецентренном ударе кроме деформаций и напряжений растяжения (сжатия) возникают еще деформации и напряжения изгиба, примем гипотезу о том, что изогнутая ось стержня при ударе совпадает по форме с изогнутой осью при статическом действии нагрузки.
[c.292]
Мы выяснили, что при внецентренном сжатии в поперечных сечениях бруса могут возникать растягивающие напряжения. Вместе с тем если материал бруса хрупкий и обладает малой прочностью на растяжение, то такое внецентренное сжатие может привести к разрушению конструкции.
[c.44]
При одновременном действии продольных и поперечных сил брус испытывает одновременно растяжение или сжатие и сложный изгиб. Нормальное напряжение в любой точке сечения определяется как алгебраическая сумма напряжений от изгиба и от растяжения (сжатия). Если брус находится под действием уравновешенной системы продольных сил, приложенных к торцовым сечениям внецентренно, то деформация бруса называется внецентренным растяжением (сжатием). Напряжение для произвольной точки сечения в этом случае находится так же, как и при одновременном действии продольных сил и изгибающих моментов.
[c.191]
Пружины растяжения рассчитывают по тем же формулам, что и пружины сжатия. Наличие изгибающих напряжений в зацепах и витках пружины (при внецентренном приложении нагрузки) учитывают снижением
[c.190]
При внецентренном сжатии брусьев из материала, различно сопротивляющегося сжатию и растяжению, находят наибольшее сжимающее и соответственно растягивающее напряжения.
[c.284]
Построение эпюры ст и проверка прочности по нормальным напряжениям производятся так же, как и при внецентренном сжатии (растяжении).
[c.239]
Пружины растяжения рассчитывают по тем же формулам, что и пружины сжатия. Наличие изгибающих напряжений в зацепах и витках пружины (при внецентренном приложении нагрузки) учитывают снижением расчетных напряжений в 1,2—1,5 раза по сравнению с напряжениями, допускаемыми для пружин сжатия центрального нагружения.
[c.513]
Многие строительные материалы (бетон, кирпичная кладка, серый чугун и др.) плохо сопротивляются растяжению. Поэтому в элементах конструкций из таких материалов, испытывающих внецентренное сжатие, нежелательно появление растягивающих напряжений. Для выполнения этого условия необходимо, чтобы нейтральная линия не выходила за пределы сечения. В связи с этим представляет интерес установить область вокруг центра тяжести поперечного сечения, при приложении внутри которой силы F нормальные напряжения по всему сечению будут одного знака. Такая область называется ядром
[c.32]
При внецентренном растяжении и сжатии расчет на прочность производится обычно по нормальным напряжениям, возникающим в поперечных сечениях бруса, т. е. как при одноосном напряженном состоянии. Поэтому теории прочности при таком расчете не используются. Если в поперечном сечети бруса действует поперечная сила, то касательные напряжения от ее составляющих Qy и могут быть определены по формуле Журавского.
[c.371]
Внецентрен н у ю нагрузку можно заменить силой Р, приложенной в центре тяжести сечения, и двумя изгибающими моментами Pxq и Руа (рис. 42,6). Поэтому нормальные напряжения при внецентренном растяжении-сжатии можно рассматривать как сумму напряжений, вызванных растягивающей силой и двумя изгибающими моментами. И для некоторой точки с координатами X я у получим
[c.41]
Курс прикладной механики Бресса состоит из трех томов ). Из них лишь в первом и третьем рассматриваются задачи сопротивления материалов. Автор не делает никаких попыток ввести результаты математической теории упругости в элементарное учение о прочности материалов. Для всех случаев деформирования брусьев предполагается, что их поперечные сечения остаются при деформировании плоскими. В таком предположении исследуются также внецентренные растяжение и сжатие, при этом используется центральный эллипс инерции, как это было разъяснено выше (см. стр. 178). Бресс показывает также, как подходить к задаче, если модуль материала изменяется по площади поперечного сечения. Гипотеза плоских сечений используется им также и в теории кручения, причем Бресс делает попытку оправдать это указанием на то, что в практических применениях поперечные сечения валов бывают либо круглыми, либо правильными многоугольниками, почему депланацией их допустимо пренебрегать. В теории изгиба приводится исследование касательных напряжений по Журавскому. В главах, посвященных кривому брусу и арке, воспроизводится содержание рассмотренной выше книги того же автора.
[c.182]
При прочностных расчетах в случае внецентрен-ного растяжения пользуются формулами (34)—(37). Если материал бруса работает на растяжение и сжатие неодинаково, то необходимо определить коэф(]1и-циент запаса по точкам, испытывающим наибольшие напряжения растяжения и сжатия.
[c.224]
Таким образом, при внецентренном растяжении (сжатии) в поперечном сечении бруса возникает нормальная сила Мг= Р и изгибающие моменты МхмМу. Следовательно, на основании принципа независимости действия сил в произвольной точке В с координатами X, у нормальное напряжение а определяется следующим выражением
[c.117]
Имея это в виду, будем решать только задачу о внецентренном растяжении (сжатии). Заметим, что решение оказывается достаточно точным лишь для жестких балок, прогибы которых ничтожно малы по сравнению с поперечными размерами. Если балка гибка, то продольная сжимающая сила, изгибая балку, будет заметным образом увеличивать эксцентриситет в опасном сечении, так что деформации и напряжения станут возрастать не пропорционально нагрузке, а более быстро. Принцип независимости действия сил неприменим к этой задаче при большой гибкости балки. Если же считать балку жесткой в том смысле, как указано выше, то решение становится очень пррстым.
[c.280]
В практике чаще применяется метод компенсации, как более удобный и точный. Однако здесь нужно знать с — коэффициент оптической активности материала исследуемого образца. Коэффициент оптической активности определяется обычно на образцах прямоугольного сечения, подвергаемых осевому растяжению или сжатию. Но при этом неизбежно возникает внецентренность приложения сил, образец оказывается в сложном напряженном состоянии и определение величины с связано с определенными трудностями. Значительно проще использовать для этой цели образцы в виде дисков, подвергаемых простому сжатию, причем внецентренность приложения нагрузки исключается. Оптическая разность хода лучей определяется в центре диска. Коэффициент оптической активности для диска вычисляется по формуле
[c.9]
Частный случай полюс силы находится на одной из главных осей сечения. Нейтральная линия перпендикулярна этой оси. При этом внецентренное действие продольной силы приводится к щгнтралыюму растяжению (сжатию) и поперечному изгибу (рйс. 6.7). Напряжения в крайних дочках симметричного сечения опре-
[c.163]
При конструировании внецентренйо сжатых стержней из материалов, плохо сопротивляющихся растяжению (камень, бетон и др.) растягивающие напряжения ограничиваются или вообще не допускаются. Уменьшение растянутой зоны может быть достигнуто путем ограничения величины эксцентриситета е. Из рис. 6.7 и формулы (6.19) следует, что растягивающие напряжения в сечении будут отсутствовать при условии, если
[c.164]
Учет совместного действия силовых факторов при анализе напряженно-деформированного состояния конструкций сейсмостойких зданий и сооружений. Колонны каркасных зданий во время землетрясения работают как внецентренно-сжатые или сжато-изогнутые элементы. В зданиях с гибким первым этажом, особенно в многоэтажных, крайние колонны могут оказаться внецейтренно-растянутыми. При сейсмических колебаниях вертикальные несущие элементы испытывают изгиб в двух направлениях. Кроме того, в железобетонных колоннах каркасов при небольшой их гибкости возникают значительные поперечные силы, которые могут существенно снизить прочность приопорных зон. Узлы ригелей и колонн испытывают совместное действие изгибающих моментов, продольных и поперечных сил. Диафрагмы бескаркасных зданий в условиях сейсмических воздействий работают на знакопеременные усилия сдвига и растяжения-сжатия. В отдельных элементах зданий (простенки, перемычки и др.) возникает сложное на-
[c.69]
Сопротивление материалов 1986
(1986) — [
c.362
]
Источник