Напряжение грунтов на растяжение

Основные формы условия предельного равновесия Кулона—Мора. При определенных напряжениях в грунте может возникнуть предельное напряженное состояние. В этом случае малое увеличение (формально бесконечно малое) действующих сил приводит к разрушению грунта, потере устойчивости, образованию необратимых сдвигов по возникающим при этом поверхностям скольжения. Таким образом, предельное напряженное состояние, или предельное равно-

весне, — это условие начала еще не возникших деформаций разрушения грунта, условие прочности или условие пластичности. Для грунтов все эти термины обычно применяют как синонимы.

В качестве основного условия предельного состояния, предельного равновесия или условия прочности для грунтов наиболее широко применяют условие, сформулированное еще в 1773 г. Ш. Кулоном, по которому на площадках возможного начала скольжения касательные напряжения (т) связаны с нормальными напряжениями (а) зависимостью

т = а1§ср + с> (2.32,1)

где ф и с, как уже отмечалось ранее в § 1.5, — параметры линейной

зависимости, традиционно условно называемые углом внутреннего трения и сцеплением (см. рис. 1.38).

Зависимость Кулона (2.32), предложенная им для грунтов, является частным случаем появившейся позднее теории прочности Мора, который принял, что сопротивление сдвигу по какой-либо площадке является функцией нормального напряжения, т. е.

х = / (а). (2.33)

Следует отметить, что иногда для характеристики напряженного состояния грунта, в противовес предельному, вводят понятие о допредельном состоянии грунта, условием которого, естественно, является х С гг1§ф + с. Обратный знак неравенства не может иметь места, так как уже в случае знака равенства прочность грунта нарушается .

Для дальнейшего процесса развития разрушения грунта и больших пластических деформаций иногда вводится также термин запредельное состояние.

Условие (2.32) можно представить в различных формах, удобных для его использования.

В некоторых случаях удобно представить условие предельного равновесия в форме

т=(а + ос)*е®, (2.34,11)

где стс — напряжение всестороннего сжатия, эквивалентное связанности (фиктивная величина).

По какой-либо площадке в грунтовой среде (рис. 2.11) в общем случае действуют касательные и нормальные напряжения, а также нормальные фиктивные напряжения стс. Равнодействующая этих напряжений, называемая полным приведенным напряжением, будет отклоняться от нормали к площадке на угол б. При повороте площадки этот угол будет меняться в пределах от 0гаах До 0 (по главным площадкам) и величина Отах будет

*§етах = */(« + *е)- (2*35)

Сопоставляя (2.35) с (2.34), можно прийти к выводу, что состояние предельного равновесия будет достигнуто в данной точке среды при условии.

Таким образом, состояние предельного равновесия наступает тогда, когда максимальный угол отклонения полного приведенного напряжения от нормали к площадке становится равным углу внутреннего трения.

Для того чтобы получить еще одну форму условия предельного равновесия, рассмотрим круг напряжений Мора (диаграмму Мора) для какого-либо элемента грунтовой связной среды. В условиях плоской задачи напряженное состояние описывается кругом (рис. 2.12), построенным на разности главных напряжений <31 и ст3.

Рис. 2.11. Напряжения, Рис. 2.12. Круг напряжений в усло-

действующие по элемен- виях плоской задачи

тарной площадке в грунтовой среде

Тогда, как известно, любая точка на окружности соответствует площадке, наклоненной к главной площадке под углом а и имеющей напряжения г и о (рис. 2.12), а угол наклона к оси о прямой, проведенной в эту точку, будет углом отклонения полного приведенного напряжения от нормали к площадке (0), т. е., как следует из рис. 2.12,

2. §б = т /(ст + сгс).

Наибольший угол бтах отвечает точке касания прямой О’А к кругу напряжений. Учитывая условие предельного равновесия в форме (2.36), следует признать, что состояние предельного равновесия для всех напряженных состояний, описываемых различными кругами напряжений (рис. 2.13), наступает только тогда, когда круг напряжений касается прямой, проведенной из точки О’ под углом, равным углу внутреннего трения <р. Эта прямая обычно называется предельной прямой.

Таким образом, элементы грунта с напряженным состоянием, описываемым кругами 1 и 3 (рис. 2.13), находятся в предельном равновесии. Положение круга 4 свидетельствует об отсутствии в данной точке среды предельного напряженного состояния, т. е. 0тзх < ср и имеется допредельное состояние. Случая пересечения кругом напряжений 2 предельной прямой не может существовать, так как в этом случае 6тах > ф или, что то же самое, т>тПР, что физически невозможно.

Из рис. 2.12 легко заметить, что

АС __ (а, — а8)/2

(2.37)

^тах п , , , ч /<л

ОС 0с + 0з+(а1 — °з)/2

а так как в предельном состоянии из (2.36) 0тах = ф> то условие предельного напряженного состояния (2.32) через главные напряжения приобретает форму

°х — °з = (°1 + °з + 2ос) 5*п (2.38, IV)

Точка касания А предельной прямой к кругу напряжений, т. е. в случае 6тах = ф, определяет в данной точке земляной среды наклон

Рис. 2.13. Круги напряжений для различных элементов грунтовой среды

°1 1

площадки скольжения —сдвига к главной площадке. Тогда из рис. 2.12, учитывая, что треугольник О’АС прямоугольный, получим 180° —

1. 2а = 180° — (90° + ф) или наклон площадки скольжения к главной площадке (рис. 2.14) будег

а =45°+ .ср/2. (2.39, V)

Учитывая, что главные площадки взаимно перпендикулярны, наклон площадки скольжения ко второй главной площадке (рис. 2.19) равен

45° —ср/2. (2.40)

Кроме того, из условия симметрии круга Мора и наличия двух предельных прямых с точками касания А и А’ (рис. 2.12) в каждом элементе грунтовой среды, находящимся в предельном напряженном состоянии, будет две площадки скольжения (рис. 2.14). Между собой площадки скольжения, как показано на рис. 2.14, пересекаются под углами

Главные напряжения, как известно, выражаются через компоненты напряжений зависимостями

90° — ср и 90° + ср. (2.41, V)

Тогда условие предельного равновесия (2.38, IV) через компоненты напряжений приобретает форму

(°* — °2)2 + 4т2хг = (ах + а2 + 2сс)2 зт2ср. (2.43, VI)

Ниже будет получен еще ряд форм условия предельного равновесия. Следует подчеркнуть, что все они являются только различными формами условия Кулона (2.32, 1)и по существу выражают одно и то же физическое условие прочности грунта. Каждое из этих уравнений равноценно и используется только в зависимости от удобства решения конкретной задачи.

Для пространственной задачи, т. е. при наличии оь ст2 и сг3, напряженное состояние в любой точке среды определяется тремя кругами напряжений (рис. 2.15). Учитывая, что предельная прямая под углом ф не может пересекать какой- либо круг напряжений, то, как можно заметить из рис. 2.15, условие предельного равновесия определяется касательной к кругу, построенному на наибольшем (о^)

и наименьшем (о3) главных напряжениях, т. е. условием (2.38).

Таким образом, можно сделать существенный вывод, что величина промежуточного главного напряжения (о2) никак не отражается на условии предельного равновесия — условии прочности Кулона —

Мора, т. е. как бы внутри большего круга напряжений (рис. 2.15)

не изменялись два остальных круга, прочность элемента среды формально остается неизменной. В действительности, как показывают эксперименты, промежуточное, главное напряжение может в ряде случаев влиять на прочность в основном плотных, песчаных и более крупнозернистых грунтов.

Для того чтобы оценить весь возможный диапазон изменения главных напряжений, рассмотрим элемент грунта, ограниченный глав

Предельные соотношения между главными напряжениями, ношение между главными напряжениями <?! и сг3 (т. е. а4 > о3) дельном состоянии определится условием (2.38) как

1 + 51П у . о 5Ш у 1 + 51П <

: г ^0-„
ными площадками (рис. 2.16) с напряжениями на них ст’ и ст». Полагая одно из главных напряжений заданным (фиксированным), например о», определим пределы возможного изменения другого (о’), т. е. до возникновения состояния предельного равновесия. Очевидно, что разрушение элемента может быть достигнуто как при возрастании ст’ по сравнению с ст»(ст’ > ст»), так и при его уменьшении (з’ < о»).

Если о’ > ст», то ст’ == а1, а о» = ст3 и тогда из (2.45) следует

а’ < о» *22(45° + ?/2) + 2с (45° + ср/2). (2.46)

а’ > а» ■ — 2с =

(45° + ?/2) (45° + у/2)

= а» 1§2 (45° — Ф/2) — 2с *§ (45° — ф/2). (2.47)

Таким образом, выражения (2.46) и (2.47) определяют пределы возможного изменения одного главного напряжения ст’ по сравнению с другим известным главным напряжением о». Знаки неравенства в выражениях (2.46) и (2.47) свидетельствуют, что в рассматриваемой точке грунтовой среды нет состояния предельного равновесия. В любом случае получение знака равенства является признаком перехода грунта в предельное напряженное состояние. Других знаков неравенства в (2.46) и (2.47) физически быть не может.

В результате для случая ст’ < ст» условие предельного равновесия (2.32) приобретает форму

0′ = о» 1§3 (45° — ф/2) — 2с 1&(45э — ,ф/2) (2.48, VII)

и такое предельное состояние называют активным, а при о’ > о» приобретает вид

а’ = о» (45° + Ф/2) + 2с (45° + ф/2), (2.49, VIII)

называемый пассивным предельным состоянием.

Зависимости (2.48), (2.49) широко применяют в инженерной практике, в частности, при определении активного и пассивного давления грунта на сооружение (см. гл. 6).

из (2.49) будет

В частном случае одноосного сжатия элемента грунта (т. е. при ст» = 0), что соответствует ст’ > ст», предельное сопротивление сжатию

2. 2с (45° + ф/2). (2.50, IX)

При одноосном растяжении (также ст» = 0), считая растягивающие напряжения отрицательными и, следовательно, в случае ст’ ■< ст», из (2.48) получим выражение для предельного сопротивления растяжению в виде

Яр = 2с (45° — ф/2). (2.51, X)

Имея из лабораторных опытов для одного и того же грунта величины Кс и ЯР, можно по зависимостям (2.50) и (2.51) определить расчетные параметры прочности грунта ф и с.

В заключение следует еще раз подчеркнуть, что все приведенные формы условия предельного равновесия от (II) до (X) могут быть обратным путем преобразованы в (I), т. е. в закон Кулона т= о!§ф + с. При необходимости могут быть получены и другие формы условия (I). Больше того, в истории развития механики грунтов нередко предлагались «новые» зависимости, которые на самом деле при более детальном их рассмотрении и преобразованиях оказались ничем иным, как тем же законом Кулона в иной форме.

Условие предельного равновесия Мизеса—Боткина. Расчетная модель прочности грунтовой среды Кулона—

Мора, как было показано, не учитывает промежуточное главное напряжение а2, т. е. в какой-то мере пространствен- ность напряженного состояния грунтовой среды. Поэтому А. И. Боткин впервые в 1940 г. предложил использовать и обобщил для случая грунтовой среды теорию прочности Р. Мизеса, разработанную им применительно к металлам. В этой модели роль промежуточного главного напряжения весьма существенна.

При рассмотрении таких задач прочности грунтовой среды значительно удобнее перейти к системе октаэдрических площадок и соответствующим им октаэдрическим напряжениям. Для этого вводится система координатных осей, направленных по главным площадкам (оси 1, 2, 3 на рис. 2.17). Затем проводятся плоскости, равнонакло- ненные к этим координатным осям, образующие восьмигранник или октаэдр (рис. 2.17), поэтому такие плоскости называют октаэдрическими. Используя обычные правила перехода от напряжений по одной площадке к напряжениям по другой, излагаемые в курсах сопротивления материалов, можно найти, что направляющие косинусы всех октаэдрических площадок равны 1 /]/Ж а нормальное напряжение по октаэдрической площадке

Условие предельного равновесия Боткина можно представить в виде токт 30КТ Фокт + ^окт (2-54)

‘окт = VК ~ «2)а + («. — «з)а + (®з ~ «х)2 . (2-53)

«окт = “ К+ «/+ °з) = 0 = °СР» (2-52)

• К — 02)2 + (32 — °з)2 + (33 — «I)2 = (3! -Г 32 + 33) Фокт — Зсокт,

(2.55)

где фокт и сокт — параметры прочности грунта (расчетные характеристики прочности) в модели Боткина.

Таким образом, условие прочности Мизеса—Боткина в отличие от условия Кулона—Мора учитывает все три главных напряжения.

Для характеристики пространственного напряженного состояния (вида напряженного состояния) удобно ввести параметр Лодэ—|а, (параметр вида напряженного состояния). В качестве этого параметра принимается отношение двух отрезков ОС и ВС — радиус большого круга на диаграмме пространственных кругов Мора (см. рис. 2.15), т. е.

Как можно заметить, параметр |л=, изменяется от —1 при сг2 = до + 1 при 02 = С4. Следует отметить, что (х, = —1 соответствует случаю испытания на приборах трехосного сжатия (стабилометрах). Очевидно, при одном и том же значении [л, диаграммы Мора, построенные для разных точек среды, будут подобны, т. е. будет подобным их напряженное состояние.

Аналогичным образом записывается параметр [х6 вида деформированного состояния

2. *,-(ч + *з)

где еь е3 — главные деформации, т. е. деформации по направлениям действия главных напряжений.

Таким образом, параметры |л3 и х, характеризуют вид напряженного и деформированного состояний и позволяют классифицировать эти состояния.

Роль учета промежуточного главного напряжения ст2, следовательно применимость различных условий прочности к грунтам, может быть оценена только по данным экспериментов. Для этого необходимо использовать приборы, позволяющие в большом диапазоне менять параметр Лодэ. В основном, это установки с независимо изменяющимися тремя главными напряжениями (см. рис. 1.17), приборы с кручением трубчатых образцов грунта (см. рис. 1.19, в) и с меньшими возможностями обычные стабилометры.

В последние годы в этом направлении появились очень немногочисленные экспериментальные данные. Для песчаных грунтов получены изменения величины ф, например, от 35° при р,3 = —1 до 48° (|д.3 = 0) и 44° при [х, = +1, другими исследователями меньшие изменения, например, от 39° (ц, = —1) до 42° (^ = 0) и 39° ((г, = = +1), а для ф = 21° при = —1 всего до 23° при ц, = 0 и др. Результаты опытов, хотя и противоречивы, но показывают тенденцию существенного уменьшения влияния з2 при уменьшении величины угла внутреннего трения ср.