Найти коэффициент растяжения и угол поворота в точке при отображении

Функция является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда функции u, v являются дифференцируемыми в точке (x; y) и выполняются соотношения:

(29.4)

Последние два равенства называют условиями Д’Аламбера–Эйлера (Коши–Римана).

Если все частные производные функций u, v непрерывны в точке (x, y) и удовлетворяют условиям Д’Аламбера–Эйлера, то функция является дифференцируемой в точке

Если функция f(z) является дифференцируемой в точке то для вычисления ее производной в этой точке справедливы формулы:

(29.5)

Геометрический смысл модуля производной: модуль производной в точке можно рассматривать как коэффициент растяжения в точке при отображении

Геометрический смысл аргумента производной: аргумент производной в точке есть угол поворота касательной к кривой в точке при отображении

Взаимно-однозначное отображение, которое сохраняет углы между кривыми, проходящими через некоторую точку, и дает одинаковый коэффициент их растяжения, называется конформным в этой точке.

Функция называется аналитической в области D, если она однозначна и дифференцируема в каждой точке этой области. Функция f(z) называется аналитической в замкнутой области если существует область в которой функция аналитична. Функция называется аналитической в точке, если существует некоторая окрестность этой точки, в которой функция аналитична.

Необходимыми и достаточными условиями аналитичности функции в области D являются дифференцируемость в области D функций u, v и выполнение в этой области условий Д’Аламбера–Эйлера (29.4).

Однозначная функция u(x; y) двух действительных переменных называется гармонической в области D, если она имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет уравнению Лапласа:

(29.6)

Действительная и мнимая части аналитической функции являются гармоническими функциями. Условие гармоничности функций u(x; y) и v(x; y) является необходимым условием аналитичности функции но не является достаточным.

Пусть D – произвольная область плоскости Ĉ. Если для любой замкнутой линии которая принадлежит множеству D, внутренняя или внешняя область кривой целиком принадлежит D, то область D называется односвязной.

Область, границей которой является объединение конечного числа замкнутых непрерывных непересекающихся кривых без точек самопересечения, называется многосвязной. Если граница области состоит из n указанных кривых, то область называется n—связной.

Любая гармоническая в односвязной области D функция является действительной (мнимой) частью некоторой аналитической в области D функции. При этом вторая неизвестная часть этой функции находится с точностью до постоянного слагаемого по ее известной части.

Пример 1.Выяснить, дифференцируема ли функция

Решение. Находим т. е. Проверим, выполняются ли условия (29.4) дифференцируемости функции.

Вычисляем

Видим, что условие выполняется при а условие – при Таким образом, сразу оба условия Д’Aламбера–Эйлера не выполняются ни в одной точке комплексной плоскости, т. е. функция не является дифференцируемой ни в одной точке.

Пример 2.Выяснить дифференцируемость функции f(z) и найти ее производную, если:

1) 2)

Решение. 1) 1-й способ. Функция определена в каждой точке плоскости C. Найдем ее действительную часть u, а также мнимую часть v.

т. е. Проверим, имеет ли эта функция непрерывные частные производные. Найдем их:

Видим, что все производные непрерывны на плоскости C и удовлетворяют на ней условиям Коши–Римана (29.4). Значит, функция f(z) является дифференцируемой на всей комплексной плоскости. Для вычисления ее производной можно использовать, например, формулу (29.5):

2-й способ. Используя формулу и правила дифференцирования (29.3), получим Очевидно, что этот способ нахождения производной рациональнее, чем первый.

2) Функция определена на всей плоскости C. Найдем ее действительную и мнимую части, преобразовав выражение, которым она задается (при условии ):

Тогда

Частные производные непрерывны всюду на множестве C, но нельзя утверждать, что условия Коши–Римана выполняются для всех Найдем те точки, где они справедливы, т. е. где имеет решение система

Поскольку она равносильна системе

то видим, что условия Коши–Римана выполняются только в точке (0; 0). Для этой точки все частные производные равны нулю, значит,

Пример 3. Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении в точке

Решение.

Откуда получаем коэффициент растяжения в заданной точке:

Находим угол поворота для заданного отображения:

Пример 4.Найти область аналитичности функции:

1) 2) 3)

Решение. 1) Поскольку то

Тогда

Условия Д’Аламбера–Эйлера (29.4) выполняются в единственной точке В этой точке функция является дифференцируемой, но не является аналитической. Таким образом, функция не является аналитической ни в одной точке комплексной плоскости.

2) Найдем действительную и мнимую части заданной функции:

т. е.

Находим частные производные:

Условия Д’Aламбера–Эйлера (29.4) выполняются во всех точках, кроме точки Функция аналитична на всей комплексной плоскости, кроме точки

3) Для нахождения действительной и мнимой частей заданной функции используем формулы Эйлера:

Поэтому

Вычисляем

Замечаем, что условия дифференцируемости (29.4) выполняются для всех т. е. функция аналитична на всей комплексной плоскости.

Пример 5.Восстановить аналитическую функцию f(z) по ее известной части (если это возможно): 1) действительной 2) мнимой 3) действительной

Решение. 1) Убедимся, что функция u(x, y) является гармонической. Поскольку

и то справедливо равенство (29.6). Первое равенство из условий Коши–Римана (т. е. ) приобретает вид откуда после интегрирования имеем

Таким образом, приходим к выражению

Из второго равенства Коши–Римана имеем: или, то же самое,

Из последнего равенства получаем и соответственно В результате найдена функция и восстановлена аналитическая функция

которую можно записать иначе:

Это то же самое, что

2) Нетрудно убедиться, что функция v(x, y) является гармонической, так как

Равенство из условий Коши–Римана принимает вид Интегрируя его, находим

Второе равенство из тех же условий дает

Значит,

Из последнего равенства получаем и соответственно

Таким образом, и

Функцию f(z) можно записать в виде зависимости от z. Действительно,

что приводит к виду

3) Проверим, является ли функция гармонической. Вычислим соответствующие частные производные:

Уравнение Лапласа (29.6) для этой функции приобретает вид откуда видим, что функция удовлетворяет уравнению Лапласа только в точках прямой Приходим к заключению, что она не является гармонической, так как не существует области, в которой справедливо равенство (29.6). По этой причине не существует аналитической функции, у которой действительная часть есть

Date: 2015-07-24; view: 489; Нарушение авторских прав

Название: Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление — сборник задач (Кадомская К.П.)

Жанр: Технические

Просмотров: 994

1.3. конформные отображения

Типовые задачи с решениями

     1.3.1. Найти угол поворота направления, выходящего из
точек , и коэффициенты растяжения
(сжатия) в этих точках при отображении, осуществляемом с помощью функции .

     Решение. Определяем производную заданной функции . Следовательно, значения
производных в заданных точках будут

.

     Углы поворота направлений и коэффициенты растяжения
(сжатия) в этих точках определятся следующим образом , :

     1.3.2. Какая часть плоскости сжимается, а какая
растягивается при отображении с помощью функции ?

     Решение. . Представив  в показательной форме, получим, что коэффициент
растяжения (сжатия) определится как . Следовательно, растяжению  отвечает область, расположенная вне круга радиуса , сжатию  – область внутри этого круга.

     1.3.3. Найти длину образа границы квадрата на плоскости
z   при отображении с помощью функции , т.е. . Следовательно, длина искомой границы на плоскости
w определится как

.

     1.3.4. Найти площадь образа сектора  при отображении с помощью функции , следовательно,  и

.

     1.3.5. Найти линейную функцию, отображающую треугольник
с вершинами в точках 0; 1; i на подобный ему треугольник на плоскости w с
вершинами в точках 1 + i; 0; 2;  соответственно.

     Решение. Линейная функция имеет вид  (a и b – в общем случае комплексные
числа). Решение задачи может быть проведено двояким способом: на основе
осуществления требуемых линейных отображений (растяжения/ сжатия), поворота и
сдвига или путем формального определения комплексных чисел a и b на основе решения
уравнений, составленных при использовании заданного соответствия точек на
плоскостях z и w. Заданный на плоскости z треугольник и его требуемое
отображение приведены на рис. 1.5, а и б.

Рис. 1.5. Отображение треугольника в подобный ему
треугольник

с помощью линейной функции

     Отображение может быть осуществлено последовательно при
использовании, например, вспомогательных плоскостей h и z (рис. 1.5, в
и г):

.

     Отображение на плоскость h
осуществляет растяжение, на плоскость z
– поворот и, наконец, на плоскость w – сдвиг. Таким образом, окончательно
получаем

.

     Можно  и иным путем  получить  требуемое отображение, определяя
коэффициенты преобразования a и b исходя из заданного

соответствия точек , или   .

     Из приведенных трех уравнений получаем , т.е. .

1.3.6. Найти конформное отображение верхней полуплоскости  на верхнюю полуплоскость , преобразующее точки ¥; 0; 1 на плоскости z в соответствующие
точки 0; 1; ¥ на плоскости w.

     Решение. Поскольку задано соответствие трех точек,
отображение будет единственным и отображающая функция определится из выражения

.

     В рассматриваемой задаче

,  или .

     1.3.7. Отобразить круг  на круг  так, чтобы .

     Решение. Применим дробно-линейное преобразование, записав
его в виде

.

     Для определения параметров преобразования a и b
воспользуемся свойством инвариантности сопряженных точек. Если принять на
плоскости z в качестве одной из сопряженных точек заданную точку , то сопряженная ей точка определится из соотношения
, т.е. при R = 2  z2 = 4.
Поскольку точка  по заданию
должна быть отображена в центр координат на плоскости w, сопряженная ей точка
будет находиться в бесконечности:

.

     Комплексное число  определим исходя из двух условий:  и . Уравнение окружности на плоскости z записывается в
виде . Следовательно,

.

Отсюда  и
. Производная

. При

.

     Так как по условию задачи , то и .

.

     1.3.8. Отобразить на верхнюю полуплоскость  полосу с разрезами  и  (рис. 1.6, а).

Рис. 1.6. Отображение полосы с разрезами  на верхнюю полуплоскость

     Решение. Поскольку в задаче не задано соответствие трех
точек

на плоскостях z и w,  отображающие  функции  могут  быть  различными.
Осуществим сначала отображение заданной области на промежуточную плоскость w1
(рис. 1.6, б) с помощью функции . Образами границ АВ и DЕ (y = 0) будет ось
вещественных (q = 0) на плоскости w.
Образами границ EF и NA (y = p)
будет ось отрицательных вещественных (q
= p). Образами границ, являющихся
разрезами (x = 0), будет геометрическое место точек , т.е. эти границы на плоскости w1 будут
принадлежать окружности единичного радиуса при и  (рис. 1.6,
б). Далее можно применить дробно-линейное преобразование, позволяющее разрезы
по окружности на плоскости w1 отобразить на плоскость w2 в разрезы по оси
ординат:

.

     Подставив в w2  (уравнение разрезов на плоскости w1), получим

,

т.е.  (рис.
1.6, в).

     Отображение на следующую плоскость w3 может быть осуществлено
с помощью функции  (рис.
1.6, г). Далее применим дробно-линейное отображение, объединяющее два разреза
на плоскости w3 в один на плоскости w4 (рис. 1.6, д):

.

     И, наконец, последним отображением будет

.

     Еще раз отметим, что полученная функция отвечает определенному
соответствию точек на плоскостях z и w. Если соответствие точек будет иным, то
и функция будет другой. Порядок последовательных отображений также может быть
иным. Количество промежуточных плоскостей, используемых при решении той или
иной задачи, определяется в том числе и опытом решающего задачу.

     1.3.9. Используя интеграл Кристоффеля–Шварца,
отобразить область внутри многоугольника (рис. 1.7, а) на верхнюю полуплоскость
.

Рис. 1.7. Многоугольник на плоскости z и его отображение

на верхнюю полуплоскость

     Решение. Заданная область является четырехугольником. Составим
таблицу, позволяющую упорядочить составление интеграла Кристоффеля–Шварца.

направлению с последующей стороной четырехугольника против часовой
стрелки. Неопределенный интеграл Кристоффеля–Шварца, отвечающий приведенной
таблице, будет

.

     Взяв неопределенный интеграл, получим

.

В последнем выражении содержатся три неизвестные величины:
С0, С1 и a3.  Одно из уравнений, позволяющих определить эти величины, получим
исходя из соответствия точек 0 и a3 на плоскостях z и w:

.               
(*)

     Недостающие два уравнения получим, обходя точки a2 и
a4, расположенные на плоскости w в точках –1 и 1, полуокружностями радиуса r. Этим обходам отвечают приращения h1 и h2
на плоскости z. Поэтому, положив  и ,
можно записать

для точки а2 

  (**)

для точки a4

    
(***)

     При r ® 0 и учитывая, что , из уравнений (**) и (***) получим

.

     Из уравнения (*)

.

     1.3.10. Используя интеграл Кристоффеля–Шварца и принцип
симметрии, отобразить многоугольник на плоскости z на верхнюю полуплоскость  (рис. 1.8, а). Поскольку
заданная на плоскости z область симметрична относительно оси y, сначала на
промежуточную плоскость w1 отобразим полуплоскость  (рис. 1.8, б). Внешние углы области на этой
полуплоскости, а также соответствие вершин на плоскостях z и w1 приведены в
таблице.

Рис. 1.8. Отображение с помощью интеграла Кристоффеля–Шварца

и использование принципа симметрии

Три уравнения для определения постоянных интегрирования С0 и
С1 и образа вершины a1 можно составить исходя из соответствия точек на
плоскостях  (вершина А2 и ее
образ a2), и в результате обхода точек a1 и a3 на плоскости  w  по полуокружностям
малого радиуса r:

Решив эту систему уравнений, получим: , . Таким образом, функция, осуществляющая преобразование
четырехугольника (в полуплоскости ) на плоскости z на плоскость w1, будет:

.

Согласно принципу симметрии область, симметричная области на
левой полуплоскости ,
перейдет на область, симметричную образу отображенной половине области, т.е. на
нижнюю полуплоскость .
Многоугольник же целиком отобразится при этом во всю открытую плоскость w1 с
соответствующим разрезом по оси вещественных (рис. 1.8, в). Окончательное же
отображение многоугольника на плоскости z на верхнюю полуплоскость  будет (рис. 1.8, г):

.

Задачи для самостоятельного решения

по подразделу 1.3

З а н я т и е 4

     Задача № 1. Найти угол поворота направления, выходящего
из заданных точек, и коэффициенты растяжения (сжатия) в этих точках при
отображении с помощью заданной функции.

     Какая часть плоскости сжимается, а какая растягивается
при отображении с помощью заданной функции?

     Найти длину образа геометрического места точек на плоскости
z или границы области на плоскости z при их отображении на плоскость  w  с
помощью заданной функции .

Найти площадь образа некоторой области на плоскости z при ее
отображении с помощью заданной функции.

     Задачи № 2 и 3. Найти линейную функцию, отображающую
заданное геометрическое место точек или область на плоскости z в подобную
кривую или область на плоскости w.

     Задача № 2

Окончание таблицы