На какие простые деформации можно разложить внецентренное растяжение
Сложное сопротивление – одновременное действие на брус нескольких простых видов деформаций: растяжения-сжатия, сдвига, кручения и изгиба. Например, совместное действие растяжения и кручения.
Косой изгиб.
Косой изгиб – это изгиб, при котором плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции сечения бруса.
В общем случае при косом изгибе в поперечных сечениях возникают четыре внутренних силовых фактора: поперечные силы Qx, Qy и изгибающие моменты Mx , My. Таким образом, косой изгиб можно рассматривать как сочетание двух плоских поперечных изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях. Влиянием поперечных сил на прочность и жесткость бруса обычно пренебрегают.
Нейтральная линия при косом изгибе всегда проходит через центр тяжести сечения.
Условие прочности при косом изгибе:
где ymax, xmax — координаты точки сечения, наиболее удаленной от нейтральной оси.
Для сечений, имеющих две оси симметрии, максимальные напряжения будут в угловых точках, а условие прочности:
где Wx , Wy – осевые моменты сопротивления сечения относительно соответствующих осей.
Если материал бруса не одинаково работает на растяжение и на сжатие, то проверку его прочности выполняют по допускаемым и растягивающим и сжимающим напряжениям.
Прогибы при косом изгибе определяют, используя принцип независимости действия сил, геометрическим суммированием прогибов вдоль направления главных осей:
Изгиб с растяжением (сжатием).
При таком виде сложного сопротивления внутренние силовые факторы приводятся к одновременному действию продольной силы N и изгибающего момента M.
Рассмотрим случай центрального растяжения бруса в сочетании с косым изгибом. На консольный брус действует сила F, составляющая некоторый угол с продольной осью бруса и не лежащая ни в одной из главных плоскостей сечения. Сила приложена в центре тяжести торцевого сечения бруса:
К расчёту на прочность бруса при изгибе с растяжением:
a — нагружение бруса; б — внутренние силовые факторы в поперечном сечении;
Разложим силу F на три составляющие. Тогда внутренние силовые факторы приобретут следующий вид:
Напряжение в произвольно выбранной точке Д, имеющей координаты (хд, уд), пренебрегая действием поперечных сил, будут определяться по формуле:
где А — площадь поперечного сечения.
Если сечение имеет две оси симметрии (двутавр, прямоугольник, круг), наибольшее напряжение определяют по формуле:
Условие прочночти имеет вид:
Также как и в случае косого изгиба, если материал бруса не одинаково работает на растяжение и на сжатие, то проверку прочности проводят по допускаемым растягивающим и сжимающим напряжениям.
Внецентренное растяжение или сжатие.
При таком виде сложного сопротивления продольная сила приложена не в центре тяжести поперечного сечения бруса.
К расчёту на прочность бруса при внецентренном растяжении
a — нагружение бруса; б — внутренние силовые факторы в поперечном сечении;
Приведём силу F к центру тяжести:
где уF , xF — координаты точки приложения силы F.
В произвольной точке Д, с координатами (хд, уд), нормальное напряжение определяется по фомуле:
Условие прочности для бруса, изготовленного из материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию, имеет вид:
Для бруса, который неодинаково работает на растяжение и на сжатие проверка прочности по допускаемым растягивающим и сжимающим напряжениям.
Кручение с изгибом.
Сочетание деформаций изгиба и кручения характерно для работы валов машин.
Напряжения в сечениях вала возникают от кручения и от изгиба. При изгибе появляются нормальные и касательные напряжения:
Эпюры напряжений в сечении бруса при кручении с изгибом
Нормальное напряжение достигает максимума на поверхности:
Касательное напряжение от крутящего момента Mz достигает максимума также на поверхности вала:
Из третьей и четвёртой теории прочности:
При кручении с изгибом условие прочности имеет вид:
Источник
Рассмотрим прямой стержень, нагруженный на торце силами, направленными параллельно оси Ох. Равнодействующая этих сил F приложена в точке С. В локальной правосторонней системе координат yOz, совпадающей с главными центральными осями сечения, координаты точки С равны а и b (рис. 5.18).
Заменим приложенную нагрузку статически эквивалентной ей системой сил и моментов. Для этого перенесем равнодействующую силу F в центр тяжести сечения О и догрузим стержень двумя изгибающими моментами, равными произведению силы Т^на ее плечи относительно осей координат: Mff = Fa и Mz = Fb.
Отметим, что по правилу правосторонней системы координат для точки С, лежащей в первой четверти, изгибающие моменты формально получат сле-
Рис. 5.18. Прямой стержень, нагруженный на торце силами, направленными параллельно оси Ох
дующие знаки: Му = Fa и М7 = -Fb. При этом в элементарной площадке, лежащей в первой четверти, оба момента вызывают растягивающее напряжение.
Используя принцип независимости действия сил, определим напряжения в текущей точке сечения с координатами у и z от каждого силового фактора отдельно. Общее напряжение получим суммированием всех трех составляющих напряжений:
Определим положение нейтральной оси. Для этого в соответствии с формулой (5.69) приравняем к нулю значение нормального напряжения в текущей точке:
В результате простых преобразований получим уравнение нейтральной линии
где iy и iz — главные радиусы инерции, определяемые по формулам (3.14).
Таким образом, в случае внецентренного растяжения-сжатия нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения (рис. 5.19), на что указывает наличие в уравнении (5.70) отличающегося от нуля свободного члена.
Максимальные напряжения возникают в точках сечения А и В, наиболее удаленных от нейтральной линии. Установим соотношение между координатами точки приложения силы и положением нейтральной линии. Для этого определим точки пересечения этой линией координатных осей:
Рис. 5.19. Напряжения в сечении при внецентренном растяжении
Полученные формулы показывают, что координата точки приложения силы а и координата точки пересечения нейтральной линией оси координат Oz (точка г0) имеют противоположные знаки. То же самое можно сказать о величинах b и у0. Таким образом, точка приложения равнодействующей силы и нейтральная линия находятся по разные стороны относительно начала координат.
Согласно полученным формулам при приближении точки приложения силы к центру тяжести сечения нейтральная линия отдаляется от центральной зоны. В предельном случае (а = b = 0) приходим к случаю центрального растяжения-сжатия.
Представляет интерес определение зоны приложения силы, при котором напряжения в сечении будут иметь одинаковый знак. В частности, для материалов, плохо сопротивляющихся растяжению, сжимающую силу рационально прилагать именно в этой зоне, чтобы в сечении действовали только сжимающие напряжения. Такая зона вокруг центра тяжести сечения называется ядром сечения.
Если сила приложена в ядре сечения, то нейтральная линия не пересекает сечение. В случае приложения силы по границе ядра сечения нейтральная линия касается контура сечения. Для определения ядра сечения можно использовать формулу (5.71).
Если нейтральную линию представить как касательную к контуру сечения и рассмотреть все возможные положения касательной и соответствующие этим положениям точки приложения силы, то точки приложения силы очертят ядро сечения.
Рис. 5.20. Ядро сечения:
а — эллипс; 6 — прямоугольник
Источник
КАТЕГОРИИ:
Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)
15.1. Общие понятия и определения
Внецентренное растяжение (сжатие)– нагружение, при котором брус растягивается силами, параллельными его оси и не проходящими через центр тяжести сечения бруса.
Точку P приложения силы при внецентренном растяжении (сжатии) будем называть полюсом силы. При этом расстояние от полюса P до продольной оси стержня (Ox) именуется эксцентриситетом.
15.2. Определение внутренних усилий и напряженийпри внецентренном растяжении (сжатии)
Рассмотрим стержень, который растягивается силой F, приложенной не в центре тяжести сечения стержня, а в некоторой точке P с координатами yp и zp. Для определения внутренних усилий воспользуемся методом мысленных сечений:
Как видим, из шести внутренних усилий в сечении стержня при внецентренном растяжении действует три – осевое усилие и два изгибающих момента.
Таким образом, внецентренное растяжение может рассматриваться как сочетание простого растяжения и двух чистых изгибов во взаимно перпендикулярных плоскостях (а потому и относится к сложному сопротивлению).
Для определения нормальных напряжений при внецентренном растяжении (в произвольной точке K(y, z) сечения) найдем напряжения для каждого из простых видов сопротивления, входящих в состав сложного, а затем воспользуемся принципом суперпозиции и суммируем их:
При использовании формулы (15.1) необходимо соблюдать традиционное правило знаков: растягивающая сила F берется со знаком «плюс», сжимающая – «минус», координаты точек P (yp, zp) и K (y, z) также подставляются со своими знаками «плюс» или «минус».
15.3. Определение положения нейтральной оси и величины максимальных напряжений при внецентренном растяжении (сжатии)
Так как по определению нейтральная ось есть линия, на которой нормальные напряжения равны нулю (σ=0), то ее уравнение можно получить следующим образом:
Полученное выражение (15.2) представляет собой уравнение нейтральной оси – уравнение прямой в отрезках yн и zн, где
Анализ полученных соотношений дает возможность заключить следующее:
1) положение нейтральной оси не зависит от величины силы F; 2) нейтральная ось лежит по другую сторону от полюса (относительно центра тяжести); 3) при перемещении полюса вдоль прямой нейтральная ось поворачивается относительно некоторой фиксированной точки (это легко доказать, если в уравнении (15.2) «зафиксировать» координаты y, z для рассматриваемой точки (y, z const),тогда переменные координаты полюса yp и zp должны подчиняться все тому же уравнению прямой).
Экстремальные нормальные напряжения будут возникать в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси
При этом нейтральная ось может делить сечение на две части – сжатую и растянутую, тогда величину максимальных сжимающих или растягивающих напряжений найдем по формуле (15.4), учитывая правила знаков. Так как в точках сечения возникает линейное напряженное состояние (действуют только нормальные напряжения), то условие прочности запишется в самом простом виде:
При внецентренном растяжении (сжатии) также имеем три задачи расчета на прочность (см. «Косой изгиб»).
15.4. Ядро сечения
Из соотношений, полученных для определения положения нейтральной оси, следует, что нейтральная ось в зависимости от координат полюса может пересекать рассматриваемое сечение или лежать вне его (например, если сила приложена в центр тяжести – имеем простое растяжение, а нейтральная ось удаляется в бесконечность). Представляет интерес найти такие положения полюса, когда нейтральная ось будет лишь касаться сечения, не пересекая его. В этом случае в сечении будут возникать напряжения одного знака, что особенно важно, если нагруженный материал плохо сопротивляется, например, растягивающим напряжениям (бетон, камень, чугун) и желательно чтобы вся конструкция работала лишь на сжатие.
Ядро сечения – область вокруг центра тяжести сечения, при приложении силы внутрь которой, в сечении возникают напряжения одного знака.
Чтобы построить очертания (контур) ядра сечения, необходимо: 1) задать несколько положений нейтральной оси так, чтобы она лишь касалась контура сечения, но не пересекала его ни в одной точке; 2) определить для каждого из этих положений координаты yн и zн точек пересечения нейтральной линии с осями Oy и Oz; 3) вычислить для каждого положения нейтральной оси координаты точки приложения силы (ypи zp) по формулам [которые получим из (15.3)]
Дата добавления: 2014-01-14; Просмотров: 2293; Нарушение авторских прав?
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Рекомендуемые страницы:
Читайте также:
Источник
Многие элементы строительных конструкций (колонны, стойки, опоры) находятся под воздействием сжимающих сил, приложенных не в центре тяжести сечения. На рис. 12.9 показана колонна, на которую опирается балка перекрытия. Как видно, сила действует по отношению к оси колонны с эксцентриситетом е, и таким образом, в произвольном сечении а—а колонны наряду с продольной силой N = —Р возникает изгибающий момент, величина которого равна Ре. Внецентренное растяжение (сжатие) стержня представляет такой вид деформирования, при котором равнодействующие внешних сил действуют вдоль прямой, параллельной оси стержня. В дальнейшем будем рассматривать главным образом задачи внецентренного сжатия. При внецентренном растяжении во всех приводимых расчетных формулах следует изменить знак перед силой Р на противоположный.
Пусть стержень произвольного поперечного сечения (рис. 12.10) нагружен на торце внецентренно приложенной сжимающей силой Р, направленной параллельно оси Ох. Примем положительные
Рис. 12.9
Рис. 12.10
направления главных осей инерции сечения Оу и Oz таким образом, чтобы точка приложения силы Р находилась в первой четверти осей координат. Обозначим координаты точки приложения силы Р через ур и zP-
Внутренние усилия в произвольном сечении стержня равны
Знаки минус у изгибающих моментов обусловлены тем, что в первой четверти осей координат эти моменты вызывают сжатие. Величины внутренних усилий в данном примере не изменяются по длине стержня, и таким образом, распределение напряжений в сечениях, достаточно удаленных от места приложения нагрузки, будет одинаковым.
Подставляя (12.11) в (12.1), получим формулу для нормальных напряжений при внецентренном сжатии:
Эту формулу можно преобразовать к виду
где i , i— главные радиусы инерции сечения. При этом
Положив в (12.12) о = 0, получим уравнение нулевой линии:
Здесь у0 и z0 — координаты точек нулевой линии (рис. 12.11). Уравнение (12.14) является уравнением прямой, не проходящей через центр тяжести сечения. Чтобы провести нулевую линию, найдем точки ее пересечения с осями координат. Полагая в (12.14) последовательно у0 = 0 и z0 = 0, соответственно найдем
где az и ау — отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат (рис. 12.11).
Рис. 12.11
Рис. 12.12
Установим особенности положения нулевой линии при вне- центренном сжатии.
- 1. Из формул (12.15) следует, что ау и az имеют знаки, противоположные знакам соответственно ур и zP- Таким образом, нулевая линия проходит через те четверти осей координат, которые не содержат точку приложения силы (рис. 12.12).
- 2. С приближением точки приложения силы Р по прямой к центру тяжести сечения координаты этой точки ур и zP уменьшаются. Из (12.15) следует, что при этом абсолютные значения длин отрезков ау и az увеличиваются, то есть нулевая линия удаляется от центра тяжести, оставаясь параллельной самой себе (рис. 12.13). В пределе при ZP=yP = 0 (сила приложена в центре тяжести) нулевая линия удаляется в бесконечность. В этом случае в сечении напряжения будут постоянными и равными о = -P/F.
- 3. Если точка приложения силы Р находится на одной из главных осей, нулевая линия параллельна другой оси. Действительно, положив в (12.15), например, ур = 0, получим, что ау = то есть нулевая линия не пересекает ось Оу (рис. 12.14).
- 4. Если точка приложения силы перемещается по прямой, не проходящей через центр тяжести, то нулевая линия поворачивается вокруг некоторой точки. Докажем это свойство. Точкам приложения сил Рх и Р2, расположенным на осях координат, соответствуют нулевые линии 1 — 1 и 2—2, параллельные осям (рис. 12.15), которые пересекаются в точке D. Так как эта точка принадлежит двум нулевым линиям, то напряжения в этой точке от одновременно приложенных сил Рх и Р2 будут равны нулю. Поскольку любую силу Р3, точка приложения которой расположена на прямой Р{ Р2, можно
Рис. 12.13
Рис. 12.14
Рис. 12.15
разложить на две параллельные составляющие, приложенные в точках Pj и Р2, то отсюда следует, что напряжения в точке D от действия силы Р3 также равны нулю. Таким образом, нулевая линия 3—3, соответствующая силе Р3, проходит через точку D.
Другими словами, множеству точек Р, расположенных на прямой Р{Р2, соответствует пучок прямых, проходящих, через точку D. Справедливо и обратное утверждение: при вращении нулевой линии вокруг некоторой точки точка приложения силы перемещается по прямой, не проходящей через центр тяжести.
Если нулевая линия пересекает сечение, то она делит его на зоны сжатия и растяжения. Так же как и при косом изгибе, из гипотезы плоских сечений следует, что напряжения достигают наибольших значений в точках, наиболее удаленных от нулевой линии. Характер эпюры напряжений в этом случае показан на рис. 12.16, а.
Если нулевая линия расположена вне сечения, то во всех точках сечения напряжения будут одного знака (рис. 12.16, б).
Пример 12.3. Построим эпюру нормальных напряжений в произвольном сечении внецентренно сжатой колонны прямоугольного сечения с размерами b х h (рис. 12.17). Квадраты радиусов инерции сечения согласно (12.22) равны
Рис. 12.16
Отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат, определяются по формулам (12.15):
Подставляя последовательно в (12.12) координаты наиболее удаленных от нулевой линии точек С и В (рис. 12.18)
найдем
Рис. 12.17
Рис. 12.18
Эпюра о показана на рис. 12.18. Наибольшие сжимающие напряжения по абсолютной величине в четыре раза превосходят значения напряжений, которые были бы в случае центрального приложения силы. Кроме того, в сечении появились значительные растягивающие напряжения. Заметим, что из (12.12) следует, что в центре тяжести (у = z = 0) напряжения равны о = —P/F.
Пример 12.4. Полоса с вырезом нагружена растягивающей силой Р (рис. 12.19, а). Сравним напряжения в сечении ЛВ, достаточно удаленном от торца и места выреза, с напряжениями в сечении CD в месте выреза.
В сечении АВ (рис. 12.19, б) сила Р вызывает центральное растяжение и напряжения равны а = P/F = P/bh.
Рис. 12.19
В сечении CD (рис. 12.19, в) линия действия силы Р не проходит через центр тяжести сечения, и поэтому возникает внецентренное растяжение. Изменив знак в формуле (12.12) на противоположный и приняв ур = 0, получим для этого сечения
Принимая
найдем
Нулевая линия в сечении CD параллельна оси Оу и пересекает ось Oz на расстоянии а = —i2y/zP— Ь/12. В наиболее удаленных от нулевой линии точках сечения C(z — —Ь/4) и D(z — Ь/4) напряжения согласно (12.16) равны
Эпюры нормальных напряжений для сечений ЛВ и CD показаны на рис. 12.19, б, в.
Таким образом, несмотря на то что сечение CD имеет площадь в два раза меньшую, чем сечение АВ, за счет внецентренного приложения силы растягивающие напряжения в ослабленном сечении возрастают не в два, а в восемь раз. Кроме того, в этом сечении появляются значительные по величине сжимающие напряжения.
Следует заметить, что в приведенном расчете не учитываются дополнительные местные напряжения, возникающие вблизи точки С из-за наличия выточки. Эти напряжения зависят от радиуса выточки (с уменьшением радиуса они увеличиваются) и могут значительно превысить по величине найденное значение ас = 8P/bh. При этом характер эпюры напряжений вблизи точки С будет существенно отличаться от линейного. Определение местных напряжений (концентрация напряжений) рассматривается в главе 18.
Многие строительные материалы (бетон, кирпичная кладка и др.) плохо сопротивляются растяжению. Их прочность на растяжение во много раз меньше, чем на сжатие. Поэтому в элементах конструкций из таких материалов нежелательно появление растягивающих напряжений. Чтобы это условие выполнялось, необходимо, чтобы нулевая линия находилась вне сечения. В противном случае нулевая линия пересечет сечение и в нем появятся растягивающие напряжения. Если нулевая линия является касательной к контуру сечения, то соответствующее положение точки приложения силы является предельным. В соответствии со свойством 2 нулевой линии, если точка приложения силы будет приближаться к центру тяжести сечения, нулевая линия будет удаляться от него. Геометрическое место предельных точек, соответствующих различным касательным к контуру сечения, является границей ядра сечения. Ядром сечения называется выпуклая область вокруг центра тяжести, обладающая следующим свойством: если точка приложения силы находится внутри или на границе этой области, то во всех точках сечения напряжения имеют один знак. Ядро сечения является выпуклой фигурой, поскольку нулевые линии должны касаться огибающей контура сечения и не пересекать его.
Через точку А (рис. 12.20) можно провести бесчисленное множество касательных (нулевых линий); при этом только касательная АС является касательной к огибающей, и ей должна соответствовать определенная точка контура ядра сечения. В то же время, например, нельзя провести касательную к участку АВ контура сечения, поскольку она пересекает сечение.
Построим ядро сечения для прямоугольника (рис. 12.21). Для касательной 1 — 1 а7 — Ь/2; а = . Из (12.15) находим для точки 1, соответствующей этой касательной, zP= -i2y / а 7=-Ь/6; у р — 0. Для касательной 2—2 ау — к/2; а7=°°, и координаты точки 2 будут равны ур — —h/6; zP — 0. Согласно свойству 4 нулевой линии точки приложения силы, соответствующие различным касательным к правой нижней угловой точке сечения, расположены на прямой 1—2. Положение точек 3 и 4 определяется из условий симметрии. Таким образом, ядро сечения для прямоугольника представляет собой ромб с диагоналями Ь/3 и И/З.
Рис. 12.20
Рис. 12.21
Чтобы построить ядро сечения для круга, достаточно провести одну касательную (рис. 12.22). При этом а = R; а = °о.
‘У У ^ ^
Учитывая, что для круга iу— Jу/F — R /4, из (12.15) получим
Таким образом, ядро сечения для круга представляет собой круг с радиусом R/4.
На рис. 12.23, а, 6 показаны ядра сечения для двутавра и швеллера. Наличие четырех угловых точек ядра сечения в каждом из этих примеров обусловлено тем, что огибающая контура и у двутавра и у швеллера является прямоугольником.
Рис. 12.23
Рис 12.22
Источник