Методичка по сопромату растяжение сжатие
Растяжение (сжатие) – это такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечном сечении возникает внутренняя продольная сила Ν, действующая вдоль центральной оси z.
Продольная сила Ν – это равнодействующая всех внутренних нормальных сил в сечении. Для вычисления продольной силы применяется метод сечений.
Продольная сила Ν численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось бруса.
Правило знаков для продольной силы Ν: при растяжении продольная сила положительна, при сжатии – отрицательна.
График изменения продольных сил по длине стержня называется эпюрой. Эпюра N строится методом сечений на характерных участках бруса. Строится эпюра для использования ее при расчете бруса на прочность. Она дает возможность найти наибольшие значения продольных сил и положение сечений, в которых они возникают.
При растяжении (сжатии) возникают только нормальные напряжения. Согласно гипотезе Я. Бернулли (или гипотеза плоских сечений) в поперечных сечениях, удаленных от места приложения нагрузок, нормальные напряжения распределяются по сечению практически равномерно, а сами сечения, перпендикулярные к оси стержня z, остаются плоскими в процессе нагружения.
Нормальные напряжения в сечении при растяжении (сжатии) вычисляются по формуле
где А – площадь поперечного сечения.
Правило знаков для σ совпадает с правилом знаков для N.
В наклонном сечении, нормаль к которому составляет угол α с осью стержня z,
При растяжении в продольном направлении стержень удлиняется, а его поперечные размеры уменьшаются, при сжатии, напротив, в продольном направлении стержень укорачивается, а его поперечные размеры увеличиваются; Δℓ — абсолютное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, Δb – абсолютная поперечная деформация.
Относительное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, называемое линейной деформацией, определяется следующим образом
ε=Δℓ/ℓ.
Экспериментально установлено, что в определенной области нагрузок при упругом поведении материала между нормальными напряжениями и линейными деформациями существует линейная зависимость (закон Гука для напряжений)
σ=εЕ,
где Е – модуль продольной упругости или модуль Юнга, это физическая const. Для каждого из материалов величина модуля упругости имеет свое значение:
сталь, Е = 2.105 МПа,
медь, Е = 1.105 МПа,
алюминий, Е = 0,7.105 МПа.
Значение модуля упругости устанавливается экспериментально.
Согласно закону Гука (данную запись называют законом Гука для деформаций)
Δℓ=Νℓ/ЕА
Произведение ЕА – называется жесткостью стержня при растяжении – сжатии.
Перемещение произвольного сечения ступенчатого стержня
w=∑Δℓi
Относительная поперечная деформация:
ε′=Δb/b
где b – поперечный размер стержня.
Эксперименты также показывают, что в упругой стадии деформирования между продольной и поперечной деформациями существует взаимосвязь
μ =│ε′⁄ε│ — const,
где μ — коэффициент Пуассона, берется по модулю ,поскольку у продольной и поперечной деформации разные знаки (при растяжении продольные волокна увеличиваются, а поперечные уменьшаются в размере).
Для твердых материалов имеет значения коэффициент Пуассона
0≤μ ≤0,5
Изменение температуры стержня вызывает его удлинение (при нагревании) или укорочение (при охлаждении)
где — a- коэффициент линейного температурного расширения; Δtº=(tºк-tºн) — изменение температуры между значениями начальным (tºн) и конечным (tºк).
Статически неопределимыми называют системы, имеющие лишние связи – внешние или внутренние.
Для определения внутренних усилий в таких системах недостаточно рассматривать только уравнения равновесия.
В этом случае требуются дополнительные уравнения, число которых равно количеству лишних связей. Дополнительные уравнения составляются на основе анализа картины деформирования системы и использования законов деформирования ее элементов.
Алгоритм решения подобных задач включает следующее:
1) Статическая часть. Составляются уравнения равновесия с включением неизвестных усилий, действующих по направлению лишних связей.
2) Геометрическая часть. Составляются уравнения, описывающие взаимосвязь перемещений характерных точек, удлинений и укорочений отдельных стержней между собой.
3) Физическая связь. Записываются законы деформирования отдельных стержней системы.
Порядок расчета статически неопределимых брусьев
- Задаться направлениями возможных опорных реакций и составить уравнение статики для всей системы в целом.
- Определить степень статической неопределимости и использовать метод сечений с целью выразить неизвестные усилия через неизвестные опорные реакции. При этом неизвестные продольные силы (N) следует предполагать положительными и поэтому направлять «от сечения».
- Сформулировать условие совместности деформаций участков бруса.
- В процессе превращения условия совместности в уравнение совместности деформаций различий в характере деформаций участков не учитывать.
Порядок расчета статически неопределимых шарнирно-стержневых систем
- Задаться направлениями опорных реакций, но уравнений равновесия для всей системы не составлять, а сразу использовать метод сечений и составить уравнения статики для выделенной части системы.
- Определить степень статической неопределимости как разницу между количеством всех неизвестных, оказавшихся в уравнениях статики, и числом самих этих уравнений.
- Рассмотреть (изобразить) любую возможную картину деформаций системы и из ее анализа сформулировать условия совместности деформаций стержней системы (столько, какова степень статической неопределимости).
- В процессе преобразования условий совместности в уравнения совместности деформаций обязательно учитывать различие в характере деформаций стержней (т.е. вводить удлинение со знаком «плюс», а укорочение со знаком «минус») в соответствии с той картиной деформации, которую мы рассматриваем.
Источник
№1 Центральное растяжение и сжатие. Метод сечений. Внутренние силы в поперечных сечениях. Правило знаков. Построение эпюр нормальных сил.
Центральным растяжением (или центральным сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила (растягивающая или сжимающая), а все остальные внутренние усилия равны нулю. Иногда центральное растяжение (или центральное сжатие) кратко называют растяжением (или сжатием) .
Понятие о внутренних силах (метод сечений).Под действием внешних нагрузок в поперечных сечениях элементов конструкций и деталей машин возникают внутренние силы упругости, характеризующие связи между молекулами и его отдельными частицами. Возникновение внутренних сил сопровождается деформацией материала. Эти силы противодействуют внешним силам и стремятся восстановить прежнюю форму тела. Одна из задач сопротивления материалов состоит в определении величин внутренних сил.
Для этого широко используется метод сечений, сущность которого заключается в следующем:
1. В рассматриваемом месте элемент сооружения или деталь условно рассекается на две части.
2. Одна из частей условно отбрасывается.
3. Оставшаяся часть уравновешивается внутренними силами упругости.
Правило знаков Растягивающие продольные усилия принято считать положительными, а сжимающие — отрицательными.
Продольная сила в любом напряженном сечении бруса определяется методом сечений: она равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось.
Если продольная сила по всей длине бруса не постоянна, то строят эпюру «N». Эпюра – это график изменения внутреннего силового фактора по длине бруса.
Правила построения эпюр продольных сил:
Разбиваем брус на участки, границами которых являются сечения, где приложены внешние силы.
В пределах каждого участка применяют метод сечений и определяют продольную силу. При этом если внешняя сила растягивает оставленную часть стержня, т.е. направлена от сечения — продольная сила положительна; если внешняя сила сжимает оставленную часть стержня, т.е. направлена к сечению – продольная сила отрицательна.
Откладываем полученные значения и строим эпюру продольных сил. Если на участке не действует равномерно распределенная нагрузка, то эпюра ограничена прямой, параллельной нулевой линии.
Правильность построения эпюр продольных сил определяется следующим образом: в сечениях, где приложена внешняя сила, на эпюре есть «скачки», равные по величине приложенной силе.
№2 Центральное растяжение и сжатие. Удлинение стержня. Абсолютная и относительная продольная и поперечная деформации. Коэффициент Пуассона.
Центральным растяжением (или центральным сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила (растягивающая или сжимающая), а все остальные внутренние усилия равны нулю. Иногда центральное растяжение (или центральное сжатие) кратко называют растяжением (или сжатием) .
Как определить удлинение или укорочение стержня (бруса) под действием внешней нагрузки. Будем разбираться сразу на примерах.
Возьмем брус круглого и постоянного поперечного сечения, который нагружен
растягивающей силой.
При таком раскладе, очевидно, что брус удлинится на какую-то величину дельта.
Как ее найти? Вычислить удлинение можно по формуле:
В формуле есть уже знакомая вам буква N – продольная сила, l – длина недеформированного бруса, то есть до действия внешней нагрузки, E – модуль упругости и A – площадь поперечного сечения. Если проанализировать формулу, то можно сделать вывод, что, по сути, по ней площадь эпюры продольных сил делится на произведение модуля упругости и площади поперечного сечения.
Вернемся к нашему примеру. Слегка модифицируем формулу, подставив исходные данные и площадь поперечного сечения – круга. Вот что получим:
Вот так просто можно найти удлинение или укорочения брусьев.
А что делать, если, например брус ступенчатый или на него действуют несколько внешних сил? В этом случае обязательно строится эпюра продольных сил, разбивается на кусочки, так чтобы на этих кусочках внутренняя сила была одна, вычисляются уже относительные удлинения (укорочения) по вышеприведенной формуле для этих кусочков и результат складывают.
Посмотрим эту технику на примере двухступенчатого бруса загруженного парой сил. Найдем перемещение свободного торца бруса. Как и обговаривалось ранее, сначала строим эпюру внутренних усилий:
Дальше эпюру бьем на два участка и вычисляем относительные перемещения с учетом знака продольной силы. Потом складываем эти два значения.
Так как в итоге получили положительное значение, то значит, что брус удлинился, если бы получили отрицательное значение, то соответственно это значило, что он укоротился.
На практике на стержни помимо сосредоточенных сил могут действовать и распределенные нагрузки. Как быть в таком случае? Ответ нам даст эпюра продольной силы. Рассмотрим стержень, загруженный только распределенной нагрузкой, построим для него эпюру.
Как видно, эпюрой продольных сил от распределенной нагрузки является прямоугольной треугольник. Что есть равно половина от прямоугольника. Тогда вычисляя перемещение, выражение нужно дополнительно помножить на ½.
Если под действием силы P брус длиной L изменил свою продольную величину на +/- дельта l, то эта величина называется абсолютной продольной деформацией (абсолютное удлинение или укорочение). При этом наблюдается и поперечная абсолютная деформация +/- дельта b .Отношение 
называется относительной продольной деформацией, а отношение 
— относительной поперечной деформацией.
Коэффициент Пуассона (обозначается как или ) — величина отношения относительного поперечного сжатия к относительному продольному растяжению. Этот коэффициент зависит не от размеров тела, а от природы материала, из которого изготовлен образец.
Отношение 
называется коэффициентом Пуассона, который характеризует упругие свойства материала.
Коэффициент Пуассона имеет значение 
. (для стали он равен 
)
Источник
Первая тема сопротивления материалов — это растяжение-сжатие. Задачи на растяжение сжатие в сопромате — довольно простая тема. И сейчас я это докажу.
Прежде всего растяжение — мы интуитивно понимаем — удлинение, увеличение размеров. А сжатие — уменьшение длины, укорочение.
При изучении растяжения-сжатия используется один и тот же подход ко всем задачам, ко всем расчетным схемам. А именно — метод сечений. О нем мы расскажем в отдельной записи. А пока, ниже вы видите видео уроки на эту тему. Надеюсь вам будет полезно и удобно изучать эту тему со мной.
Что такое растяжение-сжатие
Прежде всего нужно сказать, что растяжение-сжатие — это такой вид деформации (относительного изменения размеров), при котором одно плоское сечение относительно другого удаляется параллельно исходному положению.
Пример деформации растяжения-сжатия. Схема приложенияВсе это звучит сложно, но посмотрите видео и Вы все поймете!
Подход в решении задач на растяжение-сжатие
Видео урок — Как отличить растяжение от сжатия. Приводится объяснение основного метода расчета задач по сопротивлению материалов — метод сечений
В первом видео уроке объясняется сам процес возникновения деформации растяжения-сжатия. Как отличить растяжение от сжатия. Приводится объяснение основного метода расчета задач по сопротивлению материалов — метод сечений.
Здесь рассмотрены задачи для стержня, имеющего сплошное поперечное сечение. На такой стержень может действовать как одна сила, так и несколько.
Растяжение-сжатие в стержневых конструкциях
видео урок Растяжение-сжатие в стержневых конструкциях
Во втором видео уроке приводится решение задачи на растяжение-сжатие для системы стержневых конструкций. Приведены методика и план решения задачи по сопротивлению материалов на тему растяжение-сжатие.
Учет собственного веса в задачах сопротивления материалов на растяжение-сжатие
видео урок — Учет собственного веса в задачах сопротивления материалов на растяжение-сжатие
Третья задача на растяжение-сжатие стержней с учетом собственного веса. Приведен пример решения задачи и доступно рассказывается как можно учесть собственный вес конструкции при расчете на растяжение-сжатие.
Растяжение-сжатие с учетом собственного веса в стержнях с двумя участками
Задача на растяжение сжатие, более сложный случай. В этой задаче стержень состоит из нескольких участков. Здесь необходимо учитывать собственный вес — для стержня, испытывающего деформацию растяжения или сжатия, который состоит из нескольких участков. Здесь же приводится методика построения эпюр внутренних усилий при этих видах деформации.
Удлинение стержня при деформации растяжения-сжатия
видео урок — Удлинение стержня при деформации растяжения-сжатия
Приведен пример расчета на растяжение-сжатие когда нужно определить удлинение стержня. Удлинение (при растяжении) или укорочение (при сжатии) — это изменение размеров стержня вдоль оси приложения продольной нагрузки. Об этом в пятом видео уроке.
Определение удлинения стержня с учетом собственного веса при растяжении-сжатии
Определение изменения длины стержня с учетом собственного веса. Особенности формулы для определения удлинения (изменения длины) при растяжении-сжатии с учетом собственного веса.
Итак на этой странице приведены видеоуроки на основные темы в растяжении-сжатии. Планируется запись еще темы в которой будут рассматриваться статически неопределимые задачи на растяжение-сжатие.
Конечно это не все задачи, которые может понадобиться решить реальному инженеру, как инженеру-механику, так и инженеру-строителю. Встречаются разные случаи, когда нужно применять сообразительность.
Метод сечений в задачах на растяжение сжатие
Однако подход в решении всех задач на растяжение-сжатие всегда одинаков и состоит из следующих шагов:
- рассекаем наш стержень (а именно так называют элемент конструкции, который испытывает деформацию растяжения-сжатия)
- рассматриваем равновесие одной из частей стержня рассматривая внешние, приложенные к стержню усилия и внутреннее усилие, которое формируется силами межатомного взаимодействия
- внутреннее усилие направляем от сечения рассматриваемой части стержня к оставшейся части стержня (для статически определимых систем) или используя интуицию и опыт направляем так, чтобы направление внутреннего усилия совпало с направлением действия деформации (на растяжение или на сжатие)
- из суммы проекций на соответствующую ось или, если это возможно, суммы моментов относительно точки находим нужное внутреннее усилие.
В статически неопределимой задаче нужно к указанным действиям добавить еще одно уравнение которое называется деформационным.
Растяжение-сжатие в сопротивлении материалов одна из наиболее простых тем, разнообразие задач, правда, довольно широко. Но именно растяжение-сжатие в сопротивлении материалов учит тому, как нужно правильно и везде одинаково, несмотря на разнообразие расчетных схем, применять один и тот же подход к решению — метод сечений. В классическом курсе сопротивления материалов это первая тема — растяжение-сжатие.
список видео уроков по сопромату в котором темы раскрываются одна за другой. рекомендую для изучения сопромата
Ну а если возникнут сложности, если Вы предпочитаете заниматься индивидуально — обратитесь ко мне — помогу!
skype: zabolotnyiAN,
e-mail: zabolotnyiAN@gmail.com
Остались вопросы?
Все вопросы, которые у Вас могут возникнуть — рассмотрены в рубрике Условия и цена онлайн обучения сопромат и строймех. Для связи со мной используйте страницу «Контакты» или всплывающий внизу справа значок мессенджера.
Рубрики
Задачи по сопротивлению материалов с решениями, примеры, Растяжение — сжатие, Сопромат онлайн
Метки
внутренние усилия, задачи курса сопротивление материалов, классический курс сопротивления материалов в решениях задач, краткий курс сопротивления материалов, курс сопромата для чайников, Построение эпюр продольных сил, растяжение сжатие сопромат, растяжение сжатие сопротивление материалов, сопромат для чайников, Сопромат Примеры решения задач на растяжение-сжатие, сопромат репетитор, Сопромат это легко, Сопротивление материалов, сопротивление материалов краткий курс, сопротивление материалов примеры решения задач, эпюры растяжения сжатия
Источник
Многочисленные учебники «Cопромат для чайников» создают для развенчания мифа о непостижимой сложности дисциплины. Этой наукой пугают на первых курсах вузов. Для начала расшифруем грозный термин «сопротивление материалов».
На деле – проста и решение почти не выходит за рамки школьной задачи о растяжении и сжатии пружины. Другое дело – найти слабое звено конструкции и свести расчет к несложной постановке. Так что не стоит зевать на лекциях по основам механики. При подготовке к урокам можно пользоваться решениями онлайн, но на экзаменах помогут только свои знания.
Что такое сопромат
Это методика расчета деталей, конструкций на способность выдерживать нагрузки в требуемой степени. Или хотя бы для предсказания последствий. Не более, хотя почему-то относят руководство к наукам.
Этой «наукой» прекрасно владели древнегреческие и древнеримские инженеры, сооружавшие сложнейшие механизмы. Понятия не имея о структуре, уравнении состояния вещества и прочих теориях, египтяне строили исполинские плотины и пирамиды.
Основные задачи по сопротивлению материалов
Задача следует напрямую из определения. А вот каковы критерии упомянутого слова «выдерживать»? Неясно, что скрывается под «материалом» и как реальные вещи схематизировать.
Требования
Перечислены далеко не все, но для статики и базовой программы хватит:
Прочность – способность образца воспринимать внешние силы без разрушения. Слегка мнущаяся под весом оборудования подставка никого не интересует. Основную-то функцию она выполняет.
Жесткость – свойство воспринимать нагрузку без существенного нарушения геометрии. Гнущийся под силой резания инструмент даст дополнительную погрешность обработки. К ошибке приведет деформация станины агрегата.
Устойчивость – способность конструкции сохранять стабильность равновесия. Поясним на примере: стержень находится под грузом, будучи прямым – выдерживает, а чуть изогнется – характер напряжения изменится, груз рухнет.
Материал и силы
Как всякая методика, сопромат принимает массу упрощений и прямо неверных допущений:
материал однороден, среда сплошная. Внутренние особенности в расчет не берутся;
свойства не зависят от направления;
образец восстанавливает начальные параметры при снятии нагрузки;
поперечные сечения не меняются при деформации;
в удаленных от места нагрузки местах усилие распределяется равно по сечению;
результат воздействия нагрузок равен сумме последствий от каждой;
деформации не влияют на точки приложения сил;
отсутствуют изначальные внутренние напряжения.
Схемы
Служат для создания возможности расчета реальных конструкций:
тело – объект с практически одинаковыми «длина х ширина х высота»;
брус (балка, стержень, вал) – характеризуется значительной длиной.
На рисунке показаны опоры с воспринимаемыми реакциями (обозначены красным цветом):
Рис. 1. Опоры с воспринимаемыми реакциями:
а) шарнирно-подвижная;
б) шарнирно-неподвижная;
в) жесткая заделка (защемление).
Силы в сопромате
Приложенные извне, уравновешиваются возникающими изнутри. Напомним, рассматривается статическая ситуация. Материал «сопротивляется».
Разделим нагруженное тело виртуальным сечением P (см. рис. 2).
Рис. 2
Заменим хаос равнодействующей R и моментом M (см. рис. 3):
Рис. 3
Распределив по осям, получим картину нагрузки сечения (см. рис. 4):
Рис. 4
Нагрузки и деформации, изучаемые в сопромате
Изучим несколько принятых терминов.
Напряжения
В теле приложенные силы распределяются по сечению. Нагружен каждый элементарный «кусочек». Разложим силы:
Элементарные усилия таковы:
σ – «сигма», нормальное напряжение. Перпендикулярно сечению. Характерно для сжатия / растяжения;
τ – «тау», касательное напряжение. Параллельно сечению. Появляется при кручении;
p – полное напряжение.
Просуммировав элементы, получим:
Здесь:
N – нормальная сила;
A – площадь сечения.
В принятой в России системе СИ сила измеряется в ньютонах (Н). Напряжения – в паскалях (Па). Длины в метрах (м).
Деформации
Различают деформацию упругую (с индексом «e») и пластическую (с индексом «p»). Первая исчезает по снятии растягивающей / сжимающей силы, вторая – нет.
Полная деформация будет равна:
Деформация относительная обозначается «ε» и рассчитывается так:
Под «сдвигом» понимается смещение параллельных слоев. Рассмотрим рисунок:
Здесь γ – относительный сдвиг.
Виды нагрузки
Перечислены основные.
Растяжение и сжатие – нагрузка нормальной силой (по оси стержня).
Кручение – действует момент. Обычно рассчитываются передающие усилия валы.
Изгиб – воздействие направлено на искривление.
Основные формулы
Базовый принцип сопромата единственный. В упомянутой задаче о пружине применим закон Гука:
E – модуль упругости (Юнга). Величина зависит от используемого материала. Для стали полагают равным 200 х 106 Па.
Сопротивление материала прямо пропорционально деформации:
Закон верен не всегда и не для всех материалов. Как уже упоминалось, принимается как одно из допущений.
Реальная диаграмма
Растяжение стержня из низкоуглеродистой стали выглядит следующим образом:
Принимаемые схемы:
График (б) относится к большей части конструкционных материалов: подкаленные стали, сплавы цветных металлов, пластики.
Расчеты обычно ведут по σт (а) и σ0.2 (б). С незначительными пластическими деформациями конструкции или без таковых.
Пример решения задачи
Какой груз допустимо подвесить на пруток из стали 45 Ø10 мм?
Решение.
σ0,2 для стали 45 равна 245 МПа (из ГОСТ).
Площадь сечения прутка:
Допустимая сила тяжести:
Для получения веса следует разделить на ускорение свободного падения g:
Ответ: необходимо подвесить груз массой 1950 кг.
Как найти опасное сечение
Наиболее простой способ – построение эпюры. На закрепленную балку действуют точечные и распределенные силы. Считаем на характерных участках, начиная с незакрепленного конца.
Усилие положительно, если направлено на растяжение.
На схеме показано, что:
на участке (7 — 8) действует сжатие 30 кН;
на (2 — 3) – растяжение 20 кН.
Зачем и кому нужен сопромат
Даже не имеющий отношения к прочностным расчетам инженер-универсал должен иметь понятие о приблизительных (на 10-20%) значениях. Знать конструкционные материалы, представлять свойства. Чувствовать заранее слабые места агрегатов.
Совершенно необходим разработчикам различных конструкций, машиностроительных изделий. Будущим архитекторам в вузах преподается в виде предмета «Строительная механика».
Методика помогает на стадии проектирования обеспечивать необходимый запас прочности изделий. Стойкость к постоянным и динамичным нагрузкам. Это сберегает массу времени и затрат в дальнейших изготовлении, испытании и эксплуатации изделия. Обеспечивает надежность и долговечность.
Источник