Лабораторная по сопромату растяжение и сжатие
Растяжение (сжатие) – это такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечном сечении возникает внутренняя продольная сила Ν, действующая вдоль центральной оси z.
Продольная сила Ν – это равнодействующая всех внутренних нормальных сил в сечении. Для вычисления продольной силы применяется метод сечений.
Продольная сила Ν численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось бруса.
Правило знаков для продольной силы Ν: при растяжении продольная сила положительна, при сжатии – отрицательна.
График изменения продольных сил по длине стержня называется эпюрой. Эпюра N строится методом сечений на характерных участках бруса. Строится эпюра для использования ее при расчете бруса на прочность. Она дает возможность найти наибольшие значения продольных сил и положение сечений, в которых они возникают.
При растяжении (сжатии) возникают только нормальные напряжения. Согласно гипотезе Я. Бернулли (или гипотеза плоских сечений) в поперечных сечениях, удаленных от места приложения нагрузок, нормальные напряжения распределяются по сечению практически равномерно, а сами сечения, перпендикулярные к оси стержня z, остаются плоскими в процессе нагружения.
Нормальные напряжения в сечении при растяжении (сжатии) вычисляются по формуле
где А – площадь поперечного сечения.
Правило знаков для σ совпадает с правилом знаков для N.
В наклонном сечении, нормаль к которому составляет угол α с осью стержня z,
При растяжении в продольном направлении стержень удлиняется, а его поперечные размеры уменьшаются, при сжатии, напротив, в продольном направлении стержень укорачивается, а его поперечные размеры увеличиваются; Δℓ — абсолютное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, Δb – абсолютная поперечная деформация.
Относительное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, называемое линейной деформацией, определяется следующим образом
ε=Δℓ/ℓ.
Экспериментально установлено, что в определенной области нагрузок при упругом поведении материала между нормальными напряжениями и линейными деформациями существует линейная зависимость (закон Гука для напряжений)
σ=εЕ,
где Е – модуль продольной упругости или модуль Юнга, это физическая const. Для каждого из материалов величина модуля упругости имеет свое значение:
сталь, Е = 2.105 МПа,
медь, Е = 1.105 МПа,
алюминий, Е = 0,7.105 МПа.
Значение модуля упругости устанавливается экспериментально.
Согласно закону Гука (данную запись называют законом Гука для деформаций)
Δℓ=Νℓ/ЕА
Произведение ЕА – называется жесткостью стержня при растяжении – сжатии.
Перемещение произвольного сечения ступенчатого стержня
w=∑Δℓi
Относительная поперечная деформация:
ε′=Δb/b
где b – поперечный размер стержня.
Эксперименты также показывают, что в упругой стадии деформирования между продольной и поперечной деформациями существует взаимосвязь
μ =│ε′⁄ε│ — const,
где μ — коэффициент Пуассона, берется по модулю ,поскольку у продольной и поперечной деформации разные знаки (при растяжении продольные волокна увеличиваются, а поперечные уменьшаются в размере).
Для твердых материалов имеет значения коэффициент Пуассона
0≤μ ≤0,5
Изменение температуры стержня вызывает его удлинение (при нагревании) или укорочение (при охлаждении)
где — a- коэффициент линейного температурного расширения; Δtº=(tºк-tºн) — изменение температуры между значениями начальным (tºн) и конечным (tºк).
Статически неопределимыми называют системы, имеющие лишние связи – внешние или внутренние.
Для определения внутренних усилий в таких системах недостаточно рассматривать только уравнения равновесия.
В этом случае требуются дополнительные уравнения, число которых равно количеству лишних связей. Дополнительные уравнения составляются на основе анализа картины деформирования системы и использования законов деформирования ее элементов.
Алгоритм решения подобных задач включает следующее:
1) Статическая часть. Составляются уравнения равновесия с включением неизвестных усилий, действующих по направлению лишних связей.
2) Геометрическая часть. Составляются уравнения, описывающие взаимосвязь перемещений характерных точек, удлинений и укорочений отдельных стержней между собой.
3) Физическая связь. Записываются законы деформирования отдельных стержней системы.
Порядок расчета статически неопределимых брусьев
- Задаться направлениями возможных опорных реакций и составить уравнение статики для всей системы в целом.
- Определить степень статической неопределимости и использовать метод сечений с целью выразить неизвестные усилия через неизвестные опорные реакции. При этом неизвестные продольные силы (N) следует предполагать положительными и поэтому направлять «от сечения».
- Сформулировать условие совместности деформаций участков бруса.
- В процессе превращения условия совместности в уравнение совместности деформаций различий в характере деформаций участков не учитывать.
Порядок расчета статически неопределимых шарнирно-стержневых систем
- Задаться направлениями опорных реакций, но уравнений равновесия для всей системы не составлять, а сразу использовать метод сечений и составить уравнения статики для выделенной части системы.
- Определить степень статической неопределимости как разницу между количеством всех неизвестных, оказавшихся в уравнениях статики, и числом самих этих уравнений.
- Рассмотреть (изобразить) любую возможную картину деформаций системы и из ее анализа сформулировать условия совместности деформаций стержней системы (столько, какова степень статической неопределимости).
- В процессе преобразования условий совместности в уравнения совместности деформаций обязательно учитывать различие в характере деформаций стержней (т.е. вводить удлинение со знаком «плюс», а укорочение со знаком «минус») в соответствии с той картиной деформации, которую мы рассматриваем.
Источник
Пример решения задачи на растяжение и сжатие
.
Условие задачи на растяжение и сжатие
Стальной стержень (модуль Юнга кН/см2) с размерами см; см, см и площадью поперечного сечения нижнего участка см2, а верхнего – см2 нагружен внешними осевыми силами кН и кН. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений . Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) кН/см2, а допускаемый коэффициент запаса . Найти удлинение стержня .
Расчетная схема для задачи на растяжение и сжатие
рис 3.2
Решение пример задачи на растяжение и сжатие
Определяем значение опорной реакции , возникающей в заделке
Учитывая, что , направим опорную реакцию вниз. Тогда из уравнения равновесия находим:
кН.
Строим эпюру продольных сил
Разбиваем длину стержня на три участка. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы и (или) изменяется размер поперечного сечения стержня.
Воспользуемся методом сечений. Делаем по одному сечению в произвольном месте каждого из трех участков стержня.
Cечение 1 – 1. Отбросим (или закроем листком бумаги) верхнюю часть стержня (рис. 3.2, б). Само сечение 1 – 1 мысленно считаем неподвижным. Мы видим, что внешняя сила растягивает рассматриваемую нижнюю часть стержня. Отброшенная нами верхняя часть стержня противодействует этому растяжению. Это противодействие мы заменим внутренней продольной силой , направленной от сечения и соответствующей растяжению. Разрушения стержня не произойдет только в том случае, если возникающая в сечении 1 – 1 внутренняя продольная сила уравновесит внешнюю силу . Поэтому очевидно, что
кН.
Сечение 2 – 2. Внешняя сила растягивает рассматриваемую нами нижнюю часть стержня, а сила ее сжимает (напомним, что 2 – 2 мы мысленно считаем неподвижным). Причем, согласно условию задачи, . Чтобы уравновесить эти две силы, в сечении 2 – 2 должна возникнуть внутренняя сила , противодействующая сжатию, то есть направленная к сечению. Она равна:
кН.
Сечение 3 – 3. Отбросим теперь часть стержня, расположенную ниже этого сечения. Внутренняя продольная сила должна уравновесить внешнюю (реактивную) сжимающую силу . Поэтому она направлена к сечению и равна:
кН.
Легко убедиться в том, что полученный результат не изменится, если мы отбросим не нижнюю, а верхнюю часть стержня. В этом случае продольная сила также противодействует сжатию. Она равна:
кН.
При построении эпюры продольных сил будем пользоваться следующим правилом знаков: внутренняя продольная сила, возникающая в поперечном сечении стержня, считается положительной, если она противодействует растяжению стержня, и отрицательной, если она противодействует его сжатию. Оно вводится для того, чтобы можно было наглядно видеть, какая часть стержня испытывает деформацию растяжения, а какая часть – деформацию сжатия. Это обстоятельство может оказаться крайне важным, в частности для стержней из хрупкого материала, которые имеют разные допускаемые напряжения на растяжение и на сжатие.
Таким образом, мы установили, что в любом сечении нижнего участка стержня внутренняя продольная сила противодействует растяжению и равна кН. В любом сечении среднего и верхнего участков стержня имеет место деформация сжатия, поэтому кН.
Для построения эпюры продольных сил проводим тонкой линией ось, параллельную оси стержня z (рис. 3.2, д). Вычисленные значения продольных сил в выбранном масштабе и с учетом их знака откладываем от этой вертикальной оси. В пределах каждого из участков стержня продольная сила остается постоянной, поэтому мы как бы «заштриховываем» горизонтальными линиями соответствующий участок.
Отметим, что каждая линия «штриховки» (то есть ордината эпюры) в принятом масштабе дает значение продольной силы в соответствующем поперечном сечении стержня.
Полученную эпюру обводим жирной линией.
Анализируя полученную эпюру, мы видим, что в местах приложения внешних сил на эпюре имеет место скачкообразное изменение продольной силы на величину, равную значению соответствующей внешней силы. Причем изменение поперечного размера стержня, как это видно из рис. 3.2, д, никак не сказывается на характере эпюры .
Строим эпюру нормальных напряжений
Нормальное напряжение, возникающее в k–м поперечном сечении стержня при растяжении (сжатии), вычисляется по следующей формуле
,
где и – продольная сила и площадь k–го поперечного сечения стержня соответственно.
В первом поперечном сечении стержня нормальное напряжение равно
кН/см2,
во втором –
кН/см2,
в третьем –
кН/см2.
Строим по вычисленным значениям эпюру (рис. 3.2, е). В пределах каждого из участков стержня напряжения постоянны, то есть эпюра напряжений параллельна оси. Заметим, что в отличие от эпюры N, на эпюре «скачок» имеет место не только в местах приложения внешних сил, но и там, где происходит изменение размеров поперечного сечения стержня.
Оцениваем прочность стержня
Сопоставляем наибольшее (по модулю) нормальное напряжение , которое в нашем примере возникает во втором сечении стержня, с допускаемым напряжением . Напомним, что допускаемое напряжение представляет собой долю от предельного напряжения , то есть от напряжения, при котором начинается разрушение материала. Разрушение стали, как пластичного материала, начинается при появлении значительных остаточных деформаций. Поэтому для стали предельное напряжение равно пределу текучести: . Тогда
кН/см2.
Условие прочности имеет вид . В нашем случае
кН/см2 > кН/см2,
следовательно, прочность стержня на втором участке не обеспечена.
Таким образом, площадь поперечного сечения стержня на втором участке, равную см2, нам необходимо увеличить.
Несложный анализ показывает, что на других участках стержня условие прочности выполняется.
Из условия прочности определяем требуемую площадь поперечного сечения стержня на втором участке:
см2.
Принимаем на втором участке см2.
Вычисляем удлинение всего стержня
При переменных по длине стержня значениях продольной силы и площади поперечного сечения удлинение вычисляется по формуле
,
где E – модуль Юнга, а – длина соответствующего участка стержня.
Тогда
см.
Таким образом, длина стержня уменьшается на мм.
Задача по сопромату на растяжение и сжатие для самостоятельного решения
Условие задачи на растяжение и сжатие
Стальной стержень (модуль Юнга кН/см2) находится под действием внешних осевых сил и (рис. 3.1). Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений . Оценить прочность стержня, если предельное напряжение (предел текучести) кН/см2, а допускаемый коэффициент запаса . Найти удлинение стержня .
Схемы для задачи на растяжение и сжатие
Исходные данные к задаче на растяжение и сжатие
Номер схемы | F, см2 | a, м | b, м | c, м | P, кН |
1 | 2,0 | 1,2 | 1,4 | 1,6 | 11 |
2 | 2,2 | 1,4 | 1,6 | 1,4 | 12 |
3 | 2,4 | 1,8 | 1,6 | 1,2 | 13 |
4 | 2,6 | 1,6 | 2,0 | 1,0 | 14 |
5 | 2,8 | 2,0 | 1,8 | 1,2 | 15 |
6 | 3,0 | 2,2 | 1,6 | 1,4 | 16 |
7 | 3,2 | 2,4 | 1,4 | 1,6 | 17 |
8 | 3,4 | 2,6 | 1,2 | 1,8 | 18 |
9 | 3,6 | 2,8 | 1,0 | 1,4 | 19 |
3,8 | 2,4 | 1,6 | 1,2 | 20 |
Источник
Растяжение и сжатие.
Внутренние силовые факторы, напряжения.
Построение
эпюр
Иметь представление о продольных силах, о нормальных напряжениях в
поперечных сечениях.
Знать правила построения эпюр продольных сил и нормальных
напряжений, закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении бруса.
Уметь
строить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.
Растяжение и сжатие
Растяжением
или сжатием называют вид нагружения, при котором в поперечном сечении бруса возникает
только один внутренний силовой фактор — продольная сила.
Продольные силы
меняются по длине бруса. При расчетах после определения величин продольных сил
по сечениям строится график — эпюра продольных сил.
Условно назначают знак продольной силы
Рис.
Если продольная сила направлена от
сечения, то брус растянут. Растяжение считают положительной деформацией (рис.
20.1а).
Если продольная сила направлена к сечению, то брус сжат. Сжатие
считают отрицательной деформацией (рис. 20.16).
Примеры построения эпюры
продольных сил
Рассмотрим брус, нагруженный внешними силами вдоль оси.
Брус закреплен в стене (закрепление «заделка») (рис. 20.2а).
Делим брус на участки нагружения. Участком нагружения считают часть На представленном рисунке 3 участка нагружения. Воспользуемся Расчет начинаем со свободного конца бруса, чтобы не определять величины |
Рис. |
в опорах.
Участок
1: ΣFz = 0; — 3F + N1 = 0; N1 = 3F. Продольная сила положительна, участок
1 растянут.
Участок 2: ΣFz = 0; -3F + 2F + N2 = 0; N2 = = F. Продольная
сила положительна, участок 2 растянут.
Участок 3: ΣFz = 0; -3F + 2F
+ 5F — N3 = 0; N3 = 4F. Продольная сила отрицательна, участок 3 сжат. Полученное
значение Nз равно реакции в заделке.
Под схемой бруса строим эпюру продольной
силы (рис. 20.26).
Рис. | Эпюрой продольной силы называется график распределения продольной силы вдоль Ось эпюры параллельна продольной оси. Нулевая линия проводится В пределах одного участка значение силы не меняется, поэтому |
эпюра очерчивается отрезками прямых линий, параллельными оси Oz.
Правило
контроля: в месте приложения внешней силы на эпюре должен быть скачок на величину
приложенной силы.
На эпюре проставляются значения Nz. Величины продольных
сил откладывают в заранее выбранном масштабе.
Эпюра по контуру обводится
толстой линией и заштриховывается поперек оси.
Изучая деформации при растяжении
и сжатии, обнаруживаем, что выполняются гипотеза плоских сечений и принцип смягчения
граничных условий.
Гипотеза плоских сечений заключается в том, что поперечное
сечение бруса, плоское и перпендикулярное продольной оси, после деформации остается
плоским и перпендикулярным продольной оси.
Следовательно, продольные внутренние
волокна удлиняются одинаково, а внутренние силы упругости распределены по сечению
равномерно.
Принцип смягчения граничных условий гласит: в точках тела,
удаленных от мест приложения нагрузки, модуль внутренних сил мало зависит от способа
закрепления. Поэтому при решении задач не уточняют способ закрепления.
Напряжения
при растяжении и сжатии
При растяжении и сжатии в сечении действует только
нормальное напряжение.
Напряжения в поперечных сечениях могут рассматриваться
как силы, приходящиеся на единицу площади.
Таким образом, направление и
знак напряжения в сечении совпадают с направлением и знаком силы в сечении (рис.
20.3).
Исходя из гипотезы плоских сечений, можно предположить, что напряжения
при растяжении и сжатии в пределах каждого сечения не меняются. Поэтому напряжение
можно рассчитать по формуле
Рис. | , где Nz — продольная сила в сечении; А — площадь Величина напряжения прямо пропорциональна |
Нормальные напряжения действуют при растяжении от сечения (рис. 20.4а),
а при сжатии к сечению (рис. 20.46).
Размерность (единица измерения) напряжений
— Н/м2 (Па), од-
жако это слишком малая единица, и практически напряжения
рассчитывают в Н/мм2 (МПа): 1 МПа = 106 Па = 1 Н/мм2.
При определении напряжений брус разбивают на участки нагружений, в пределах |
Рис. |
Рассчитывают
напряжения по сечениям, и расчет оформляют в виде эпюры нормальных напряжений.
Строится
и оформляется такая эпюра так же, как и эпюра продольных сил.
Рис. | Рассмотрим брус, нагруженный внешними силами вдоль оси (рис. 20.5). Обнаруживаем Участок 1: Участок 2: N2 = 2F. Продольная Участок 3: N3 = 2F — 3F = — F. Продольная Брус — ступенчатый. С учетом изменений |
; , ; Ө.
Строим эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Масштабы эпюр могут
быть разными и выбираются исходя из удобства построения.
Задача 1.1.13. Определить допускаемую нагрузку Fadm растягиваемого
стального листа, ослабленного отверстиями d = 2 см (рис. 1.1.12). Расчетное
сопротивление стали принять Ry = 240 МПа, а = 1. Толщина листа t =1 см, ширина b = 15 см.
Ответ: Fadm = 216 кН.
Задача 1.1.14. Определить допускаемую нагрузку Fadm растягиваемого стального
листа, ослабленного отверстиями d = 2 см (рис. 1.1.13). Расчетное сопротивление
стали принять Ry = 240 МПа, а = 1. Толщина листа t = 1 см, ширина b = 13 см.
Ответ: Fadm = 216 кН.
Задача 1.1.15. Определить допускаемую толщину t растягиваемого стального
листа, изображенного на рис. 1.1.12, если диаметры отверстий d = 2 см, а ширина
листа b = 20 см. Расчетное сопротивление стали принять: Ry = 240 МПа, а =
1. Внешняя растягивающая сила F = 20 т.
Ответ: см.
Задача 1.1.16. В стенке стального двутавра № 20 вырезано отверстие
диаметром d = 10 см (рис. 1.1.14).
Определить допускаемую на-грузку Fadm, которая может быть приложена вдоль
продольной оси ослабленного двутавра. Расчетное сопротивление стали принять
Ry = 2450 кг/см2, а γc = 1,1 (см. табл. 1.1).
Ответ: Fadm = 571 кН.
. Задача 1.1.17. В стенке стального двутавра № 20 вырезано отверстие диаметром
d = 10 см. Определить допускаемую равномерно распределенную нагрузку
(кг/м), которую можно приложить вдоль стенки двутавра (рис. 1.1.15). Расчетное
сопротивление стали Ry = 2450 кг/см2, а =
1.
Ответ: = 84933 кг/м = 833,19 Н/м.
Источник